精品解析：海南省2024-2025学年高二上学期学业水平诊断（一）（11月）数学试题

海南省2024—2025学年高二年级学业水平诊断（一） 数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答亲写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，已知点是点在平面内的射影，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 直线与直线之间的距离为（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面以为法向量，且经过坐标原点和点，则（ ） A. B. C. D. 4. 点到直线的距离的最大值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 若点在圆外，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在多面体中，底面是边长为1的正方形，底面底面，且是正方形的中心，若，则（ ） A. 2 B. C. 5 D. 7. 已知是空间中的三个单位向量，若 ，则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 据文献及绘画作品记载，中国最早的拱桥可以追溯到东汉或西晋时期.某拱桥及其示意图如下，桥拱是一段圆弧，桥的跨度，拱高，与相距的支柱，则（ ） A. 5 B. C. 15 D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知两条不同的直线与，则与的位置关系可以是图中的（ ） A. B. C. D. 10. 已知圆，则下列说法正确的是（ ） A. 圆的半径为 B. 圆关于直线对称 C. 若，则圆过坐标原点 D. 若圆的圆心到轴的距离等于圆的半径，则或 11. 如图，在正方体中，为棱的中点，，则下列结论中正确的是（ ） A. 是平面的一个法向量 B. 当时，可以作为空间的一个基底 C. 若向量是平面的一个法向量，则 D. 直线与平面所成角的正弦的最大值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线经过点，则的倾斜角为__________. 13. 已知，直线与垂直，则的最大值为__________. 14. 如图，直线与直线交于点，点在轴上，是圆心为，半径为的圆上的一段圆弧，是以为直径的半圆，是以为直径的半圆，三段圆弧构成曲线，则所在圆的方程为__________，曲线上有__________个整点（横､纵坐标均为整数的点）. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在平面直角坐标系中，已知点. （1）求过点且与直线平行的直线方程； （2）求过点且在轴､轴上的截距相等的直线方程. 16. 如图，已知正三棱锥的侧棱长为6，点满足，且为棱的中点. （1）证明：平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 17. 已知点在圆上运动，点. （1）求的最小值； （2）若为的中点，求点的轨迹方程. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，且. （1）求四棱锥的体积. （2）点满足为棱的中点，且平面. ①求的值； ②求平面与平面夹角的余弦值. 19. 在平面直角坐标系中，定义点到直线的有向距离. （1）若直线，分别求； （2）若点，直线满足，点是上的动点，求的最小值； （3）若是圆上一动点，直线，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海南省2024—2025学年高二年级学业水平诊断（一） 数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答亲写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，已知点是点在平面内的射影，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】求得摄影点坐标为，即可得. 【详解】易知点在平面内的射影为， 可知，即可得. 故选：C 2. 直线与直线之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由两平行线间的距离求解即可. 【详解】直线化为：， 所以直线与直线之间的距离为： . 故选：B. 3. 已知平面以为法向量，且经过坐标原点和点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据求参数的值. 【详解】由. 故选：B 4. 点到直线的距离的最大值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】利用直线过定点以及两点间距离公式计算可得结果. 【详解】易知直线恒过定点， 当点与定点连线垂直于直线时，满足题意； 此时距离的最大值为. 故选：A 5. 若点在圆外，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可求出，将圆化为标准方程则，即可得出答案. 【详解】因为点在圆外， 所以，则. 又因为圆化为标准方程可得：， 所以，则，解得：或. 所以的取值范围为：. 故选：D. 6. 如图，在多面体中，底面是边长为1的正方形，底面底面，且是正方形的中心，若，则（ ） A. 2 B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，用基底表示出，再由数量积的运算律化简可求出，即可得出答案. 【详解】因为底面是边长为1的正方形，底面底面ABCD， 所以，，，设， 因为， ， ，解得：， 故. 故选：A. 7. 已知是空间中的三个单位向量，若 ，则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可求得，再结合数量积的定义分析运算. 【详解】因为，则， 又， 所以， 又， 故当，即与同向时，有最大值. 所以. 故选：B 8. 据文献及绘画作品记载，中国最早的拱桥可以追溯到东汉或西晋时期.某拱桥及其示意图如下，桥拱是一段圆弧，桥的跨度，拱高，与相距的支柱，则（ ） A. 5 B. C. 15 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆的性质由弦长及拱高构造等量关系，由勾股定理计算可得结果. 【详解】设拱桥所在圆心为，连接，作于点，如下图所示： 设圆的半径为，在中利用勾股定理可得， 即，解得； 易知， 在中，易知，即，解得. 故选：C 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知两条不同的直线与，则与的位置关系可以是图中的（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由图像逐项判断即可. 【详解】对于A：由图像判断，符合，正确； 对于B：，在轴上的截距为1，图像不符合；错误； 对于C：由于，在轴上的截距为1，在轴上的截距为，结合图像可得：，图像符合；正确； 对于D: 由于，在轴上的截距为1，在轴上的截距为， 结合图像可知：，即，此时的图像矛盾，错误； 故选：AC 10. 已知圆，则下列说法正确的是（ ） A. 圆的半径为 B. 圆关于直线对称 C. 若，则圆过坐标原点 D. 若圆的圆心到轴的距离等于圆的半径，则或 【答案】BCD 【解析】 【分析】把圆的方程化成标准方程，明确圆心和半径，再根据圆的性质判断各选项是否正确. 【详解】圆：， 所以圆心为，圆的半径：，（），故A错误； 因为圆心在直线上，故圆关于直线对称，故B正确； 对C：当时，圆：，所以圆过坐标原点，故C正确； 对D：由且或，故D正确. 故选：BCD 11. 如图，在正方体中，为棱的中点，，则下列结论中正确的是（ ） A. 是平面的一个法向量 B. 当时，可以作为空间的一个基底 C. 若向量是平面的一个法向量，则 D. 直线与平面所成角的正弦的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系利用法向量定义可判断A正确，由空间基底的概念可知B错误，由平面法向量的求法计算可得C正确，根据线面角的向量求法利用基本不等式计算可得D正确. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 设正方体棱长为2，则可得， 对于A，显然， 因此，又平面， 所以是平面的一个法向量，即A正确； 对于B，当时，可得， 即，又， 显然，即共面，所以不可以作为空间的一个基底，即B错误； 对于C，若向量是平面的一个法向量，则向量是平面的一个法向量， 易知，因此， 设向量，则，令，可得； 即，又， 所以，即可知C正确； 对于D，设，由可得，所以， 显然为平面的一个法向量， 所以 ， 当且仅当时，等号成立； 设直线与平面所成的角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦的最大值为，即D正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛：在求解正方体中关于位置关系、空间角度、距离等问题时，合理的建立空间直角坐标系可以使复杂的空间问题简单化为向量坐标间的关系，进行代数运算即可. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线经过点，则的倾斜角为__________. 【答案】 【解析】 【分析】代入点坐标求得斜率即可得倾斜角. 【详解】将点代入直线方程可得， 所以直线的倾斜角满足，解得. 故答案为： 13. 已知，直线与垂直，则的最大值为__________. 【答案】1 【解析】 【分析】由直线与垂直可得，再由基本不等式求解即可. 【详解】因为直线与垂直， 所以，所以， 所以，当且仅当时取等， 故答案为：1. 14. 如图，直线与直线交于点，点在轴上，是圆心为，半径为的圆上的一段圆弧，是以为直径的半圆，是以为直径的半圆，三段圆弧构成曲线，则所在圆的方程为__________，曲线上有__________个整点（横､纵坐标均为整数的点）. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意，联立两直线方程即可得到点坐标，从而得到圆的方程，分别联立直线与圆的方程即可得到点坐标，即可得到曲线上的整点个数. 【详解】联立直线与直线的方程，可得，解得， 所以，且半径为，则所在圆的方程为； 又直线，令可得，所以， 联立直线与圆的方程，可得， 消去可得，解得或（舍），则，所以， 联立直线与圆的方程，可得， 消去可得，解得或（舍），则，所以， 则以为直径的半圆上的整点坐标有， 以为直径的半圆上的整点坐标有， 又所在圆的方程为， 令，解得或（舍）， 即与轴交点坐标为， 令，可得， 所以上的整点坐标有， 即曲线上有个整点. 故答案为：； 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在平面直角坐标系中，已知点. （1）求过点且与直线平行的直线方程； （2）求过点且在轴､轴上的截距相等的直线方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）求得直线的斜率再由点斜式方程即可得结果； （2）分截距是否为零两种情况进行分类讨论，可得结果. 【小问1详解】 因为， 所以过点且与直线平行的直线方程为， 即. 【小问2详解】 设所求的直线为， 若过坐标原点，设其方程为，将代入直线方程，得， 所以. 若不过坐标原点，设其方程为，将代入直线方程，得， 所以. 所以过点且在轴､轴上的截距相等的直线方程为或. 16. 如图，已知正三棱锥的侧棱长为6，点满足，且为棱的中点. （1）证明：平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】（1）证明：如图，连接. . 又，且平面，所以平面， 由平面，所以. ，，，平面. 所以：平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据正三棱锥的集合性质，寻找线线垂直，再结合，根据线面垂直的判定定理证明线面垂直. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求异面直线所成的角的余弦. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 是正三棱锥，平面两两垂直. 以为坐标原点，向量的方向分别为轴､轴､轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，由条件可得. . 设异面直线与所成的角为， 则， 即异面直线与所成角的余弦值为. 17. 已知点在圆上运动，点. （1）求的最小值； （2）若为的中点，求点的轨迹方程. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）首先判断点在圆外，再根据圆外点到圆上点距离的最小值为圆外点到圆心的距离减半径求解即可； （2）通过中点建立相关关系，列方程求解轨迹方程 【小问1详解】 圆的标准方程为， 故圆心，半径. 因为，所以点在圆外. 所以的最小值为. 【小问2详解】 设. 因为为线段的中点， 所以则 因为点在圆上运动， 所以， 代入得， 化简得， 所以点的轨迹方程为. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，且. （1）求四棱锥的体积. （2）点满足为棱的中点，且平面. ①求的值； ②求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）分别求得四棱锥的高与底面积，再由锥体的体积公式代入计算，即可得到结果； （2）①根据题意，取的中点，连接，即可证明四边形是平行四边形，从而得到结果；②建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算以及二面角的公式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 平面平面的边上的高为四棱锥的高. 由已知得底面是直角梯形，， 是等腰直角三角形， 边上的高. 四棱锥的体积. 【小问2详解】 ①如图，取的中点，连接. 为棱的中点，， 又，又四点共面， 平面，平面平面， 四边形是平行四边形. ，即. ②取的中点，连接，由条件知四边形为正方形.以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴，过点且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，如图. 易知. . 设平面的法向量为， 则 令，可得. 易知平面的一个法向量为. ， 平面与平面夹角的余弦值为. 19. 在平面直角坐标系中，定义点到直线的有向距离. （1）若直线，分别求； （2）若点，直线满足，点是上的动点，求的最小值； （3）若是圆上一动点，直线，求的取值范围. 【答案】（1），. （2）10 （3） 【解析】 【分析】（1）根据有向距离的定义直接代入计算可得结果； （2）分情况讨论直线斜率是否存在，再利用点关于直线对称问题求得两点间距离公式计算可得结果； （3）利用参数方程思想设点，求出关于的表达式，再由三角函数值域即可求得结果. 【小问1详解】 由有向距离的定义可知， . 【小问2详解】 若的斜率不存在， 设其方程为， 则，所以，不符合题意， 故的斜率存在，设其方程为，即， 则，解得， 所以的方程为. 易知点位于直线的同侧，设点关于的对称点为， 则解得，即. ， 当且仅当三点共线时等号成立，所以的最小值为10. 【小问3详解】 设. 由题可得， 所以. 因为，所以， 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $