精品解析：山西省阳泉市部分学校2024-2025学年上学期期中考试九年级数学试卷

山西省2024－2025学年度九年级上学期期中阶段评估 数学上册 第章 说明：共三大题．23小题．满分120分，答题时间120分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的选项填在下表中） 1. 若．则的值为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，直接根据比例的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．根据二次根式的运算法则，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、2和不是同类二次根式，无法合并，原计算错误，不符合题意； B、和不是同类二次根式，无法合并，原计算错误，不符合题意； C、，原计算正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意． 故选：C． 3. 小明用放大镜观察一个正多边形，用放大镜看到的正多边形与原正多边形的边长比为．则下列说法不正确的是（ ） A. 放大后的正多边形的面积与原正多边形的面积比为 B. 放大后的正多边形的每个内角与原正多边形的每个内角都相等 C. 放大后的正多边形的周长与原正多边形的周长比为 D. 若原正多边形的面积为4，则放大后的正多边形的面积为9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，关键是相似多边形对应边的比相等、面积的比等于相似比的平方，根据以上知识逐项分析判断即可求解． 【详解】A. 放大后的正多边形的面积与原正多边形的面积比为，故原说法错误，本选项符合题意； B. 放大后的正多边形的每个内角与原正多边形的每个内角都相等，故原说法正确，本选项不符合题意； C. 放大后的正多边形的周长与原正多边形的周长比为，故原说法正确，本选项不符合题意； D. 若原正多边形的面积为4，则放大后的正多边形的面积为9，故原说法正确，本选项不符合题意； 故选：A 4. 已知关于的一元二次方程的一个解是，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的解，直接把代入方程，进而得出答案． 【详解】解：关于的一元二次方程的一个解是， ∴， 则的值为：． 故选：D． 5. 若能与二次根式合并，则的值可以为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．根据同类二次根式的定义，进行计算即可解答． 【详解】解：，为二次根式，且能够与合并， 可以为2， 可以是1， 故选：A． 6. 从前有一天，一个笨汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺．他的邻居教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个笨汉一试，不多不少刚好进去了．求竹竿有多长．设竹竿长x尺，则根据题意，可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了列一元二次方程，竹竿的长为x尺，则门框的长为尺，宽为尺，利用勾股定理即可列出关于x的一元二次方程． 【详解】解：∵竹竿的长为x尺，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺． ∴门框的长为尺，宽为尺， ∴可列方程为， 故选：B． 7. 若，是方程的两个实数根，则的值为（） A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系和方程的解等知识点，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．利用根与系数的关系求出，把代入方程得到关系式，变形后代入原式计算即可求出值． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ， 是方程的实数根， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 8. 如图，一个中号唢呐的长约为，点是唢呐上的一个黄金分割点（），则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割点．根据黄金分割点得，进而可得出． 【详解】解：∵点P为靠近点B的黄金分割点， ∴，即， ∴， 故选：A． 9. 《墨经》中记载：“景到，在午有端，与景长，说在端”，这句话描述了小孔成像的现象及原理．老师在物理课上制作了一个小孔成像的装置，其中纸筒的长度为，点燃蜡烛测得蜡烛及火焰的长为，要想得到高度为的像，请你计算一下，蜡烛到纸筒的水平距离应该为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．直接利用相似三角形对应高的比等于相似比解题． 【详解】解：设蜡烛到纸筒的水平距离是， 由相似三角形对应高的比等于相似比得到：， 解得， 即蜡烛火焰的高度是， 故选：C． 10. 如图，在边长为4的正方形中，点在边上，且，连接，过点作，交于点．连接，并延长交的延长线于点，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键掌握正方形的性质，相似三角形的判定与性质．根据正方形的性质可得，，由，可知，，接下来证明，根据相似三角形的性质表示出，再证明，得到，即可求解． 【详解】解：四边形是正方形，正方形的边长为4 ，， ， ， 故选：B． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，△ABC顶点A的坐标为（2，4），若以原点O为位似中心，画△ABC的位似图形△A1B1C1，使△ABC与△A1B1C1的相似比等于2，则点A1的坐标为 ________________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据位似的概念即可完成． 【详解】∵以原点O为位似中心，画△ABC的位似图形△A1B1C1，使△ABC与△A1B1C1的相似比等于2，点A的坐标为（2，4）， ∴点A1的坐标为或，即（1，2）或（﹣1，﹣2）， 故答案为：（1，2）或（﹣1，﹣2）． 【点睛】本题考查的是位似变换的性质、坐标与图形性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 12. 我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步？若设阔（宽）为x步，则可列方程______． 【答案】x（x+12）=864 【解析】 【分析】利用长乘以宽=864，列出方程即可得出答案． 【详解】解：设阔（宽）为x步，则所列方程为：x（x+12）=864． 故答案为：x（x+12）=864． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出矩形的长是解题关键． 13. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则满足条件的实数的值可以是_____． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题考查了根的判别式，用到的知识点是一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根．关于的方程有两个不相等的实数根，即判别式．即可得到关于的不等式，从而求得的范围． 【详解】解：由于，，， 所以， 解得：． 所以的值可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 14. 如图，在中，为边的中点，有以下作图步骤： ①以点为圆心，适当的长为半径画弧，交于点，交于点； ②以点为圆心，的长为半径画弧，交于点； ③以点为圆心，的长为半径画弧，交前一条弧于点； ④连接，并延长交于点．若的面积为2，则的面积为_____． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—作一个角等于已知角，平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解决本题的关键是得到．根据作图可知，推出，进而得到，再根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：为边的中点， ， 由作图可知：， ， ， ， ， ， 故答案为：8． 15. 如图，这是一个铁夹的剖面图，其为轴对称图形，对称轴为，，表示铁夹的剖面的两条边，点C是转动轴的位置，，铁夹相关数据（单位：）如图中所标示，铁夹尖端闭合时，把手部分A，B两点间的距离是_____． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键； 连接，并延长交于点，由勾股定理得出，根据轴对称的性质得出，，证明，由相似三角形的性质计算即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，并延长交于点H， ， 在中， ． 铁夹的剖面图是轴对称图形，对称轴为所在直线， ，， ， ， ， 即， ， ． 故答案为：30． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：． （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）4 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的运算和代数式求值．熟练掌握二次根式的化简，分解因式，整体代入法求代数式的值，是解决问题的关键． （1）先对二次根式化简，计算乘法，再计算加减即得； （2）根据，求出，，将提取后代入计算即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2） ，， 原式． 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，能熟记公式是解此题的关键．先求出的值，再代入公式求出答案即可． 【详解】解：化为， ． ， ， ． 18. 素材1：某商店销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元． 素材2：为了扩大销售，增加利润并尽快减少库存．经调查，发现若每件衬衫每降价1元，商店平均每天可多售出2件． （1）若商店平均每天要获得利润1200元，则每件衬衫应降价多少元? （2）判断商店平均每天能获得利润有可能达到1500元吗? 【答案】（1）商店平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价20元 （2）该商店平均每天的盈利不能达到1500元 【解析】 【分析】本题是一道考查一元二次方程应用的题目，根据题意找出题目中等量关系是解题的关键． （1）仔细审题，根据总利润每件利润销售量，设每件衬衫应降价元，根据题意可得，解此方程，根据题目中的要求“尽快减少库存”，合理取舍的值； （2）假设能达到，则，利用判别式判断此方程是否有解即可． 【小问1详解】 解：设每件衬衫应降价元． 根据题意，得， 解得，． 根据题意，要尽快减少库存，在获利相同的条件下，降价越多，销售越快，故． 答：商店平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价20元． 【小问2详解】 解：不能． 假设能达到，则． 整理，得． ， 该方程无解， 该商店平均每天的盈利不能达到1500元． 19. 如图，绕点按顺时针方向旋转一定的角度得到，点在边上，连接，求证：． 【答案】 证明：根据旋转的性质，得， ， ， ． 由， 得， ． 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，相似三角形的判定，先由旋转得，进而得，，，即可证． 【详解】略 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点（网格线的交点）上，已知点的坐标为． （1）以点为位似中心，在所给的网格内画出，使与位似，且点的坐标为． （2）求的面积． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2） 【解析】 【分析】本题考查了作图位似变换：掌握以原点为位似中心的对应点的坐标特征是解决问题的关键． （1）根据点和点的坐标特征得到位似比，然后把、的横纵坐标都乘以得到、的坐标，然后描点即可； （2）根据三角形面积公式直接计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ． 21. 阅读与思考 认真阅读并完成相应的任务． 化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式．所谓的化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法．一般总是将复杂问题通过变换转化为简单问题；将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题；将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题． 阅读逆写为；逆写为；逆写为． 观察、发现：． 阅读2：无理方程（根号里含有未知数的方程），可以通过方程两边平方把它转化为，可得．通过“方程两边平方”解方程，有可能产生增根，必须对解得的根进行检验．例如：把方程两边平方，得，解得，经检验，不是原方程的根，故原方程的解为． 任务： （1）化简： （2）化简：． （3）解方程：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】此题考查了分母有理化，二次根式的运算及解无理方程，弄清题中分母有理化法则是解本题的关键． （1）观察上面解题过程，得出原式的结果即可； （2）进行分母有理化，再计算即可； （3）先将原方程两边平方，再解方程，最后再验根即可得到结果． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ， ， ； 【小问3详解】 解：方程两边平方，得， 解得． 经检验，不是原方程的根， 原方程的根是． 22. 综合与实践 学习过“利用相似三角形测物高”的内容后，小武利用平面镜的镜面反射特点来构造相似测一大楼的高度，如图1所示． 【问题提出】 （1）大楼为，平面镜放在点处，表示小武的位置，若，求大楼的高．（用含的式子表示） （2）实地观察大楼周围的环境之后、发现由于条件限制，大楼的底部不可到达，所以无法准确测量大楼底部到平面镜的距离．在老师帮助下，小武进一步完善了自己的想法，构造二次相似，将测量距离进行转化．如图2，小武测量得到．请求出大楼的高度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与应用． （1）由反射特点可知，证明，，即可求得； （2）由反射特点可知，，证得，，有，，，，可得． 【小问1详解】 解：由反射特点可知，． ， ， ， ， ∴， ， 即大楼的高为； 【小问2详解】 解：由反射特点可知，． ， ∴， ． ， ， ， ， 解得， ， 解得． 答：大楼的高度为． 23. 综合与探究 【观察与猜想】 （1）如图1，在矩形中，，，是边上的一点，连接，，若，则的值为 ． 【类比探究】 （2）如图2，在四边形中，，为边上的一点，连接，过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点，求证：． 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，，将沿翻折，点落在点处，得到，为边上的一点，连接，作交于点，垂足为．已知，，，求的长． 【答案】（1） （2）证明：如图，过点作，交的延长线于点， ， ， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质可得，因而可得，由垂线的性质可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，于是可证得，由相似三角形的性质即可得出答案； （2）过点作，交的延长线于点，易证得四边形为矩形，于是可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由对顶角相等可得，进而可得，于是可证得，由相似三角形的性质即可得出结论； （3）过点作于点，由多边形的内角和可得，由邻补角的定义可得，于是可得，进而可证得，由相似三角形的性质可得，于是可得，由轴对称的性质可得，于是根据勾股定理可得，因而可得，进而可得出答案． 【详解】（1）解：如图，设，交于点， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）略 （3）解：如图，过点作于点， ，， ， ， ， ， ， ， ， 将沿翻折，得到， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余，等式的性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，对顶角相等，多边形的内角和，邻补角的定义，轴对称的性质（折叠问题），勾股定理等知识点，添加适当辅助线构造相似三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西省2024－2025学年度九年级上学期期中阶段评估 数学上册 第章 说明：共三大题．23小题．满分120分，答题时间120分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的选项填在下表中） 1. 若．则的值为（ ） A. 6 B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 小明用放大镜观察一个正多边形，用放大镜看到的正多边形与原正多边形的边长比为．则下列说法不正确的是（ ） A. 放大后的正多边形的面积与原正多边形的面积比为 B. 放大后的正多边形的每个内角与原正多边形的每个内角都相等 C. 放大后的正多边形的周长与原正多边形的周长比为 D. 若原正多边形的面积为4，则放大后的正多边形的面积为9 4. 已知关于的一元二次方程的一个解是，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 5 5. 若能与二次根式合并，则的值可以为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 11 6. 从前有一天，一个笨汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺．他的邻居教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个笨汉一试，不多不少刚好进去了．求竹竿有多长．设竹竿长x尺，则根据题意，可列方程（ ） A. B. C. D. 7. 若，是方程的两个实数根，则的值为（） A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 8. 如图，一个中号唢呐的长约为，点是唢呐上的一个黄金分割点（），则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 《墨经》中记载：“景到，在午有端，与景长，说在端”，这句话描述了小孔成像的现象及原理．老师在物理课上制作了一个小孔成像的装置，其中纸筒的长度为，点燃蜡烛测得蜡烛及火焰的长为，要想得到高度为的像，请你计算一下，蜡烛到纸筒的水平距离应该为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在边长为4的正方形中，点在边上，且，连接，过点作，交于点．连接，并延长交的延长线于点，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，△ABC顶点A的坐标为（2，4），若以原点O为位似中心，画△ABC的位似图形△A1B1C1，使△ABC与△A1B1C1的相似比等于2，则点A1的坐标为 ________________． 12. 我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步？若设阔（宽）为x步，则可列方程______． 13. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则满足条件的实数的值可以是_____． 14. 如图，在中，为边的中点，有以下作图步骤： ①以点为圆心，适当的长为半径画弧，交于点，交于点； ②以点为圆心，的长为半径画弧，交于点； ③以点为圆心，的长为半径画弧，交前一条弧于点； ④连接，并延长交于点．若的面积为2，则的面积为_____． 15. 如图，这是一个铁夹的剖面图，其为轴对称图形，对称轴为，，表示铁夹的剖面的两条边，点C是转动轴的位置，，铁夹相关数据（单位：）如图中所标示，铁夹尖端闭合时，把手部分A，B两点间的距离是_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：． （2）已知，求的值． 17. 解方程：． 18. 素材1：某商店销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元． 素材2：为了扩大销售，增加利润并尽快减少库存．经调查，发现若每件衬衫每降价1元，商店平均每天可多售出2件． （1）若商店平均每天要获得利润1200元，则每件衬衫应降价多少元? （2）判断商店平均每天能获得利润有可能达到1500元吗? 19. 如图，绕点按顺时针方向旋转一定的角度得到，点在边上，连接，求证：． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点（网格线的交点）上，已知点的坐标为． （1）以点为位似中心，在所给的网格内画出，使与位似，且点的坐标为． （2）求的面积． 21. 阅读与思考 认真阅读并完成相应的任务． 化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式．所谓的化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法．一般总是将复杂问题通过变换转化为简单问题；将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题；将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题． 阅读逆写为；逆写为；逆写为． 观察、发现：． 阅读2：无理方程（根号里含有未知数的方程），可以通过方程两边平方把它转化为，可得．通过“方程两边平方”解方程，有可能产生增根，必须对解得的根进行检验．例如：把方程两边平方，得，解得，经检验，不是原方程的根，故原方程的解为． 任务： （1）化简： （2）化简：． （3）解方程：． 22. 综合与实践 学习过“利用相似三角形测物高”的内容后，小武利用平面镜的镜面反射特点来构造相似测一大楼的高度，如图1所示． 【问题提出】 （1）大楼为，平面镜放在点处，表示小武的位置，若，求大楼的高．（用含的式子表示） （2）实地观察大楼周围的环境之后、发现由于条件限制，大楼的底部不可到达，所以无法准确测量大楼底部到平面镜的距离．在老师帮助下，小武进一步完善了自己的想法，构造二次相似，将测量距离进行转化．如图2，小武测量得到．请求出大楼的高度． 23. 综合与探究 【观察与猜想】 （1）如图1，在矩形中，，，是边上的一点，连接，，若，则的值为 ． 【类比探究】 （2）如图2，在四边形中，，为边上的一点，连接，过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点，求证：． 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，，将沿翻折，点落在点处，得到，为边上的一点，连接，作交于点，垂足为．已知，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $