精品解析：海南省澄迈县思源高级中学2024-2025学年高二上学期期中质量检测数学试题

海南省澄迈县思源高级中学2024-2025学年高二上学期期中质量检测数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，时间120分钟. 祝各位考生考试顺利！ 第I卷 注意事项：本卷共题，共58分. 一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.每小题5分，共40分. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出直线的斜率，利用斜率与倾斜角的关系可得出该直线的倾斜角. 【详解】因为直线的斜率为， 因此，直线的倾斜角为. 故选：A. 2. 直线和直线，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】求出两直线垂直时参数值，再根据充分必要条件的定义判断． 【详解】，则，解得或，题中应是充分不必要条件， 故选：B． 3. 已知圆是圆上一动点，点为线段的中点，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，由题设得，代入已知圆方程整理即可得动点M的轨迹方程； 【详解】解：设， M为线段的中点，， ， 而A是圆C上一动点， 故， 整理得：， 即， 故动点M的轨迹方程为. 故选:C. 4. 若已知椭圆，长轴在轴上，若焦距为4，则等于（ ） A. 4 B. 5 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意直接列式求解即可. 【详解】由题意可得：，解得. 故选：A. 5. 如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（ ） A. 直线与直线垂直，直线平面 B. 直线与直线平行，直线平面 C. 直线与直线相交，直线平面 D. 直线与直线异面，直线平面 【答案】A 【解析】 【分析】由正方体间的垂直、平行关系，可证平面，即可得出结论. 【详解】 连，在正方体中， M是的中点，所以为中点， 又N是的中点，所以， 平面平面， 所以平面. 因为不垂直，所以不垂直 则不垂直平面，所以选项B,D不正确； 在正方体中，， 平面，所以， ，所以平面， 平面，所以， 且直线是异面直线， 所以选项C错误，选项A正确. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：熟练掌握正方体中的垂直、平行关系是解题的关键，如两条棱平行或垂直，同一个面对角线互相垂直，正方体的对角线与面的对角线是相交但不垂直或异面垂直关系. 6. 已知双曲线的焦距为4，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线方程得到，从而根据焦距得到方程，求出，求出答案. 【详解】双曲线中，， 又焦距为4，故，解得，故，解得， 所以的渐近线方程为. 故选：B 7. 已知圆与双曲线的一条渐近线交于两点，且，则该双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出圆心到双曲线渐近线的距离，再结合点到直线的距离公式求出的关系，即可得解. 【详解】圆的圆心为，半径， 双曲线的渐近线方程为，即， 因为， 所以圆心到双曲线的渐近线的距离， 所以，即，所以， 即该双曲线的离心率为. 故选：D. 8. 已知抛物线的焦点，准线为是上一点，是直线与的交点，若，则（ ） A. 4 B. C. 或 D. 或4 【答案】C 【解析】 【分析】由得或，利用平面向量坐标的线性运算可求出点的横坐标，再利用抛物线的焦半径公式可求得的值. 【详解】依题意，焦点，准线，设点,， 由得或， ， 当时，，即，则；    当时，，，即，则. .    综上所述，的值为或. 故选：C. 二、多项选择题：在每小题给出的四个选项中，有部分符合题目要求的，每小题6分，共18分. 9. 已知双曲线：的离心率为2，下列双曲线中与双曲线C的渐近线相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】求得双曲线的渐近线方程为，根据选项，结合双曲线的几何性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由双曲线：的离心率为，可得， 又由，解得，所以双曲线的渐近线方程为， 对于A中，双曲线，可得渐近线方程为，不符合题意； 对于B中，双曲线，可得渐近线方程为，符合题意； 对于C中，双曲线，可得渐近线方程为，符合题意； 对于D中，双曲线，可得渐近线方程为，符合题意. 故选：BCD. 10. 已知抛物线的焦点为的准线与轴交于点，过点的直线与交于两点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 直线和的斜率之和为0 C. 内切圆圆心不可能在轴上 D. 当直线的斜率为1时， 【答案】BD 【解析】 【分析】利用抛物线的定义可判定A，利用抛物线定义及三角形相似可判定B，由B及三角形内心的定义可判定C，利用弦长公式可判定D. 【详解】 由题意及抛物线定义可知，即，故A错误； 如图所示，过分别向横轴与准线作垂线，垂足分别为， 由抛物线定义可知，且， 易知，所以， 所以， 即直线和的倾斜角互补，故B正确； 由上知轴平分，由三角形内心的定义可知C错误； 易知，当直线的斜率为1时，此时，设横坐标分别为， 与抛物线方程联立有， 则， 故抛物线的焦点弦长为，故D正确. 故选：BD 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在C上，且的最大值为3，最小值为1，则（ ） A. 椭圆C的离心率为 B. 的周长为4 C. 若，则的面积为 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，根据题意可得，即可求解；对B，根据椭圆的定义判断即可；对C，根据余弦定理结合椭圆的定义判断即可；对D，根据余弦定理与椭圆的定义求解即可. 【详解】对A，由题意，，故，故A正确； 对B，的周长为，故B错误； 对C，若，则， 即，故，故，故C正确； 对D，由余弦定理 ，即，解得，故，故D正确； 故选：ACD 第II卷 注意事项：本卷共8题，共92分. 三、填空题:本大题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点为抛物线的焦点，则点坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】首先将抛物线化为标准方程，根据抛物线定义的4种形式，即可得出焦点的坐标. 【详解】由题意，抛物线的标准方程为：， 其焦点在轴的正半轴上，则，， 所以焦点坐标为. 故答案是：. 13. 若圆与圆关于直线对称，则圆的方程为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的方程可得圆心与半径，求得圆心连线的斜率与中点，结合题意，建立方程组，可得答案. 【详解】由圆，则圆心，半径， 设，由题意可得圆的半径为， 直线的斜率，线段的中点为， 由直线，则其斜率， 可得，解得，则， 圆. 故答案为：. 14. 过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与交于两点，与的渐近线交于两点，若，则的离心率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据焦点坐标可分别求得，，再由可得，可求出离心率. 【详解】易知右焦点坐标为， 将代入，得，则， 将代入渐近线方程得，则， 由于，故， 即，即， 则，解得． 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知直线l经过两点． （1）求直线l的方程； （2）若直线m与l平行且两直线间的距离为，求直线m的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由已知两点坐标求得斜率，根据点斜式方程，可得答案； （2）根据直线平行写出直线的一般式，结合平行线距离公式求得参数，可得答案. 【小问1详解】 由题意知直线l的斜率， 故所求直线方程为，即 【小问2详解】 由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为， 由两平行直线的距离公式得，即， 解得或，所以所求直线m的方程为或. 16. 已知抛物线的焦点F到准线的距离为2． （1）点P在抛物线上，且，求点P的坐标； （2）直线交抛物线于A，B两点，求． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据焦点到准线的距离求出，设，进而利用焦半径公式可得点P的坐标； （2）联立直线和抛物线方程，然后利用弦长公式求. 【小问1详解】 由已知，抛物线的焦点F到准线的距离为2， 则， 则抛物线方程为， 设，则， 将代入得，， 所以点P的坐标为或 【小问2详解】 联立，消去得， 17. 如图，在直三棱柱分别为的中点. （1）求证：平面平面； （2）求证：在棱上存在一点，使得平面平面. 【答案】（1） 在直三棱柱中， 因为平面，平面， 所以， 又因为，平面，平面，， 所以平面. 又因为平面， 所以平面平面. （2） 为的中点，证明如下： 取的中点，连接， 因为为的中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面， 因为， 所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面， 因为平面，平面，， 所以平面平面. 即存在的中点使得平面平面. 【解析】 【分析】（1）由直三棱柱侧棱与底面垂直可得，结合已知，得到平面，从根据面面垂直的判定定理即可证明； （2）取的中点，再利用线面平行的判定定理证明平面，平面， 由面面平行的判定定理即可求证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 平面直角坐标系中，曲线与两条坐标轴的三个交点都在圆上. （1）求圆的方程; （2）过点作圆的切线，求切线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）求出曲线与坐标轴的交点坐标，设出圆的一般方程，代入求解即可； （2）分类讨论，当斜率不存在时，直接验证即可；当斜率存在时，设直线方程，再由圆心到直线的距离解出即可. 【小问1详解】 由题意，令，则， 令，则， 所以曲线与坐标轴的三个交点为, 设圆的一般方程为, 则,解得, 所以圆的方程为. 【小问2详解】 由（1）可知，圆的标准方程为,圆心为,半径， 当过点的直线斜率不存在时， 即直线的方程为， 则圆心到直线的距离，满足条件； 当过点的直线斜率存在时， 设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离， 解得，故直线的方程为，即. 综上所示，切线的方程为或. 19. 已知椭圆的右焦点为，点在C上. （1）求C的离心率； （2）设恒过点D的直线交C于A，B两点，且D为AB的中点，求直线AB的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得到关于的方程组，从而得到椭圆方程，进而求得其离心率； （2）设，，直线与椭圆联立，由根与系数关系可得k，从而得直线AB的方程. 【小问1详解】 由题意得，解得，， 所以椭圆C的方程为， 故C的离心率； 【小问2详解】 设，， 联立，消去y得， 故， 由直线化为，恒过， 故，即，所以，解得， 此时二次方程为，满足题意， 故所求直线的方程为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海南省澄迈县思源高级中学2024-2025学年高二上学期期中质量检测数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，时间120分钟. 祝各位考生考试顺利！ 第I卷 注意事项：本卷共题，共58分. 一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.每小题5分，共40分. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 直线和直线，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知圆是圆上一动点，点为线段的中点，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 4. 若已知椭圆，长轴在轴上，若焦距为4，则等于（ ） A. 4 B. 5 C. 7 D. 8 5. 如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（ ） A. 直线与直线垂直，直线平面 B. 直线与直线平行，直线平面 C. 直线与直线相交，直线平面 D. 直线与直线异面，直线平面 6. 已知双曲线的焦距为4，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆与双曲线的一条渐近线交于两点，且，则该双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 8. 已知抛物线的焦点，准线为是上一点，是直线与的交点，若，则（ ） A. 4 B. C. 或 D. 或4 二、多项选择题：在每小题给出的四个选项中，有部分符合题目要求的，每小题6分，共18分. 9. 已知双曲线：的离心率为2，下列双曲线中与双曲线C的渐近线相同的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线的焦点为的准线与轴交于点，过点的直线与交于两点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 直线和的斜率之和为0 C. 内切圆圆心不可能在轴上 D. 当直线的斜率为1时， 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在C上，且的最大值为3，最小值为1，则（ ） A. 椭圆C的离心率为 B. 的周长为4 C. 若，则的面积为 D. 若，则 第II卷 注意事项：本卷共8题，共92分. 三、填空题:本大题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点为抛物线的焦点，则点坐标为_________． 13. 若圆与圆关于直线对称，则圆的方程为_____. 14. 过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与交于两点，与的渐近线交于两点，若，则的离心率为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知直线l经过两点． （1）求直线l的方程； （2）若直线m与l平行且两直线间的距离为，求直线m的方程． 16. 已知抛物线的焦点F到准线的距离为2． （1）点P在抛物线上，且，求点P的坐标； （2）直线交抛物线于A，B两点，求． 17. 如图，在直三棱柱分别为的中点. （1）求证：平面平面； （2）求证：在棱上存在一点，使得平面平面. 18. 平面直角坐标系中，曲线与两条坐标轴的三个交点都在圆上. （1）求圆的方程; （2）过点作圆的切线，求切线的方程. 19. 已知椭圆的右焦点为，点在C上. （1）求C的离心率； （2）设恒过点D的直线交C于A，B两点，且D为AB的中点，求直线AB的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $