精品解析：福建省泉州市四校联考2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024~2025学年上学期期中联考 初三年数学试卷 （满分：150分；考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 下列根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 若和最简二次根式是同类二次根式，则m的值为（ ） A. B. C. D. 3. 电影《长安三万里》于2023年7月8日上映，第一天票房约1亿，第三天票房约2.4亿，若每天票房按相同的增长率增长，设增长率为x，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 4. 是成比例线段，其中，则线段的长可能为（ ） A. B. C. D. 5. 若两个相似三角形周长的比为，则这两个三角形的面积比是（ ） A. B. C. D. 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在四边形中，，点在上，交于点，若，，则的长为（ ） A. 6 B. 3 C. 5 D. 9 8. 若的两个实数根为1和，那么关于的一元二次方程的解为（ ） A. B. C. 或 D. 或 9. 如图，在中，，，D为上一点，且，在上取一点E，若以A、D、E为顶点的三角形与相似，则的长为（　　） A. 8 B. C. 8或 D. 8或 10. 探讨关于x的一元二次方程总有实数根的条件，下面三名同学给出建议：甲：a，b同号；乙：；丙：．其中符合条件的是（ ） A. 甲，乙，丙都正确 B. 只有甲不正确 C. 甲，乙，丙都不正确 D. 只有乙正确 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________． 12. 若，则_________． 13. 比较大小：______（填“，，”）． 14. 已知一元二次方程有一个根为1，则k的值为__________． 15. 如图，是的中线，点E是的中点，延长交于点F，若，则的长为_________． 16. 如图，在等腰直角中，，D为的中点，点E、F分别在、上，且满足，若，则_________． 三、解答题：本题共9小题，共86分． 17. 计算： （1） （2） 18. 解方程： （1） （2） 19. 如图，D，E分别是的边上的点，．求证：． 20. 被称为“活态古城”的泉州已成为新晋网红城市，西街是具有浓厚历史底蕴的文化街区，现在已成为网红打卡地．据报道，2024年泉州国庆假期接待游客665.58万人次，其中泉州西街的游客人数表现出色，共接待了59.94万人次，与去年同期相比增长．这一数字充分展示了泉州西街在国庆期间的旅游热度和游客吸引力．街上某商店适时推出了特色蟳埔女针织包，每个包的成本为10元．根据销售经验，每个包定价为25元时，平均每天可售出400个．若每个包的售价每降低1元，平均每天可多售出20个．设每个包降价x元．请解答以下问题： （1）填空：每天可售出蟳埔女针织包_________个（用含x的代数式表示）； （2）若该商店想通过售出这批蟳埔女针织包每天获得5880元的利润，应降价多少元？ 21. 已知关于的方程． （1）求证：无论为何值，原方程都有实数根； （2）若该方程的两实数根为一直角三角形的两条直角边长，且，求值及该直角三角形的斜边． 22. 如图，M是三条角平分线的交点，过M作，分别交、于D，E两点． （1）求证：． （2）设，试判断关于x的方程根的情况并说明理由． 23. （1）如图1，在中，，P为的边上不与重合的点．请在图1用无刻度直尺和圆规在边上求作点Q，使得（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）的条件下，如图2，若P为中点，且，求的长． 24. 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则，所以，把，代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）． （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为__________________； （2）已知关于y的一元二次方程的根（，有两个不等于零的实数根）分别是某个已知一元二次方程的根的倒数，求该已知的一元二次方程． （3）已知关于x的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数且它的两个根都为整数． 25. 在正方形中，点F是对角线的中点，点G为边上一点，连接．在上取一点E，连接，． （1）若． ①求：的大小； ②求证：． （2）四边形是矩形，在的延长向上，连接，若，且，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年上学期期中联考 初三年数学试卷 （满分：150分；考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 下列根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式，理解最简二次根式的定义：被开方数中不含字母，且所有因式的幂的指数都小于2的二次根式．被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含有能开的尽方的因式；被开方数不含分母． 能化简的先进行化简，再利用最简二次根式的定义来进行判定求解． 【详解】解：A．，它不是最简二次根式，此项不符合题意； B．，它不是最简二次根式，此项不符合题意； C．不能再化简了，故它是最简二次根式，此项符合题意； D．，它不是最简二次根式，此项不符合题意． 故选：C． 2. 若和最简二次根式是同类二次根式，则m的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，注意：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．根据同类二次根式的定义得，求出m的值即可． 【详解】解：由题意得：， ， 故选：B． 3. 电影《长安三万里》于2023年7月8日上映，第一天票房约1亿，第三天票房约2.4亿，若每天票房按相同的增长率增长，设增长率为x，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由该地第一天的票房及以后每天的增长率，可得出第二、三天的票房，根据三天后票房收入累计达2.4亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】根据题意，第二天的票房为：， 则第三天的票房为：， 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题列出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 4. 是成比例线段，其中，则线段的长可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例线段的定义．如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．根据定义，将，及的值代入即可求得． 【详解】解：已知，，，是成比例线段， 根据比例线段的定义得：， 代入， 解得：， 则． 故选：A． 5. 若两个相似三角形周长的比为，则这两个三角形的面积比是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方，由此即可计算． 【详解】解：两个相似三角形的周长比为， 两个相似三角形的相似比为， 这两个相似三角形的面积比为． 故选：D． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算．根据二次根式的运算法则，逐一进行计算，判断即可． 【详解】解：A、，选项错误； B、，选项错误； C、，选项正确； D、不能合并，选项错误； 故选C． 7. 如图，在四边形中，，点在上，交于点，若，，则的长为（ ） A. 6 B. 3 C. 5 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．根据平行线分线段成比例即可解答． 【详解】解：∵在四边形中，，， ∴， ∴， 即， 解得， 故选：A． 8. 若的两个实数根为1和，那么关于的一元二次方程的解为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】令可将方程化成可得或，由此即可得． 【详解】解：令， 则方程可化成为方程， ∵方程的两个实数根为1和， 方程的两个实数根为1和， 或， 解得或， 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题关键． 9. 如图，在中，，，D为上一点，且，在上取一点E，若以A、D、E为顶点的三角形与相似，则的长为（　　） A. 8 B. C. 8或 D. 8或 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，本题应分两种情况进行讨论，①；②；可根据各相似三角形得出比例关系式求出的长即可． 【详解】解：当时，如图1， ， ，，， ， ， ； 当时，如图2， ， ，，， ， ． 综上，的长为8或． 故选：C． 10. 探讨关于x的一元二次方程总有实数根的条件，下面三名同学给出建议：甲：a，b同号；乙：；丙：．其中符合条件的是（ ） A. 甲，乙，丙都正确 B. 只有甲不正确 C. 甲，乙，丙都不正确 D. 只有乙正确 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式求解，然后根据各种说法的条件逐项验证即可． 【详解】解：关于x的一元二次方程根的判别式为：， 甲：当a，b同号时，若两数均为负数，就不能确保的符号为正，不符合题意； 乙：当时，得到，从而，总有实数根，符合题意； 丙：当时，得到，从而，总有实数根，符合题意； 综上所述，甲的建议不能满足题意、乙和丙的建议满足题意， 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程有实数根的条件，根据题中所给条件，结合一元二次方程根的判别式讨论是解决问题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数需为非负数，据此列出一元一次不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：在实数范围内有意义， 解得． 12. 若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的基本性质，分式的求值，设，，，然后代入化简即可． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴， 故答案为：． 13. 比较大小：______（填“，，”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，利用平方法将无理数的大小转化为有理数的大小比较成为解题的关键． 将无理数的大小转化为有理数的大小比较即可． 【详解】解：∵，，， ∴． 14. 已知一元二次方程有一个根为1，则k的值为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据一元二次方程解得的定义将代入方程计算即可； 【详解】解：∴一元二次方程有一个根为1， ∴， ， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了一元二次方程解得的定义，能够使得方程两边成立的未知数的值是方程的解，熟练掌握方程解的定义是解题的关键． 15. 如图，是的中线，点E是的中点，延长交于点F，若，则的长为_________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，平行线分线段成比例，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．取的中点H，连接，即可得出是的中位线，由中位线定理即可得出 ，由平行线分线段成比例即可得出，即可得出点F是的中点，进而可得出． 【详解】解：取的中点H，连接， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴． ∴点F是的中点， ∴， ∴， 故答案为：2． 16. 如图，在等腰直角中，，D为的中点，点E、F分别在、上，且满足，若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，三角形内角和定理．延长至，使，连接，作于，设，得，然后证明，得，然后证明是等腰直角三角形，设，得，得，再根据勾股定理求出，进而可以解决问题． 【详解】解：延长至，使，连接，作于， 设， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在等腰直角中，，为的中点，， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 设， ， ，， ， ， ， 在中，根据勾股定理得：， ， 或（舍去）， ，， ． 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共86分． 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先把各二次根式化简，然后合并同类二次根式即可； （2）先根据二次根式的除法和乘法法则运算，再把各二次根式化简，然后合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，配方法解一元二次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程的各种解法是解题的关键． （1）将方程稍加整理，然后用直接开平方法解方程即可； （2）将方程稍加整理，然后用配方法解方程即可． 【小问1详解】 解：， 整理，得：， 两边开平方，得：， ，； 【小问2详解】 解：， ， ， 配方，得：， 即：， 两边开平方，得：， ，． 19. 如图，D，E分别是的边上的点，．求证：． 【答案】 证明：， 又 ． 【解析】 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，邻补角的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．通过，证明，结合，证明，再根据三角形相似，对应边成比例，得证． 【详解】略 20. 被称为“活态古城”的泉州已成为新晋网红城市，西街是具有浓厚历史底蕴的文化街区，现在已成为网红打卡地．据报道，2024年泉州国庆假期接待游客665.58万人次，其中泉州西街的游客人数表现出色，共接待了59.94万人次，与去年同期相比增长．这一数字充分展示了泉州西街在国庆期间的旅游热度和游客吸引力．街上某商店适时推出了特色蟳埔女针织包，每个包的成本为10元．根据销售经验，每个包定价为25元时，平均每天可售出400个．若每个包的售价每降低1元，平均每天可多售出20个．设每个包降价x元．请解答以下问题： （1）填空：每天可售出蟳埔女针织包_________个（用含x的代数式表示）； （2）若该商店想通过售出这批蟳埔女针织包每天获得5880元的利润，应降价多少元？ 【答案】（1） （2）每把扇子应降价1元 【解析】 【分析】本题主要考查了用代数式表示式，一元二次方程的应用等知识． （1）设每个包降价x元，这可多销售，再加上平均每天可售出400个即可得出答案． （2）根据每个包的利润乘以数量等于总利润列出关于x的 一元二次方程，求解并舍去负值即可得出答案． 【小问1详解】 解：设每个包降价x元，可多销售（个）， ∴降价x元后，每天可售出蟳埔女针织包个． 【小问2详解】 解：依题意得：， ， 解得：， 经检验，不符合题意，舍去 ， 答：每把扇子应降价1元． 21. 已知关于的方程． （1）求证：无论为何值，原方程都有实数根； （2）若该方程的两实数根为一直角三角形的两条直角边长，且，求值及该直角三角形的斜边． 【答案】（1） 证明：根据题意得：， 无论为何值，总有，即， 无论为何值，原方程都有实数根． （2），该直角三角形的斜边为 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程中根的判别式以及根与系数的关系，掌握根的判别式与根种类的对应关系以及根与系数关系是关键． （1）先计算，然后进行因式分解，判断，即可说明无论为何值，原方程都有实数根． （2）利用计算出代入即可求出的值，再利用斜边即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据题意得， ， ， 解得， ，， 斜边． 22. 如图，M是三条角平分线的交点，过M作，分别交、于D，E两点． （1）求证：． （2）设，试判断关于x的方程根的情况并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵M是三条角平分线的交点， ，，， ， ， ， ， ， ， ； （2） 方程有两个相等的实数根，理由如下： ， ， ， ， 由（1）得， ， ， ， ，即， ， ∴方程有两个相等的实数根． 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定与性质和全等三角形判定与性质． （1）先证，进而得，再由，，即可得； （2）先由得，再由，得，再根据相似三角形的性质得，进而得，即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. （1）如图1，在中，，P为的边上不与重合的点．请在图1用无刻度直尺和圆规在边上求作点Q，使得（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）的条件下，如图2，若P为中点，且，求的长． 【答案】（1）如图所示，点Q即为所求作； （2） 【解析】 【分析】（1）根据，得，得，由，得； （2）过P作于点H，证明，得到，证明，，求得。即得． 【详解】解：（1）以点C为圆心，长为半径画弧，交延长线于点D，连接交于点Q，点Q即为所求作； （2）如图，过P作于点H， ， ， ， ， ∵P是的中点， ∴， ， ，， ， ∴， ， 在中，． 【点睛】本题主要考查了尺规作图．熟练掌握作线段等于已知线段，线段垂直平分线性质，三角形中位线性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，是解题的关键． 24. 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则，所以，把，代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）． （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为__________________； （2）已知关于y的一元二次方程的根（，有两个不等于零的实数根）分别是某个已知一元二次方程的根的倒数，求该已知的一元二次方程． （3）已知关于x的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数且它的两个根都为整数． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）设所求方程的根为y，根据题意可得，所以，把代入方程，即可得出答案； （2）设原方程的根为x，则，所以，代入方程，得，再用反证法证明即可； （3）设所求方程的根为y，则，所以，代入原方程，得，由方程有两个实数根可得，于是可得，进而可得，用公式法解一元二次方程可得，由根是整数可知为偶数且为完全平方数，因而可得或，代入方程即可得出答案． 【小问1详解】 解：设所求方程的根为y，根据题意可得： ， ， 把代入方程， 得：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设原方程的根为x，则，所以， 代入方程，得： ， 去分母，得：， 若，则有：， 即：， 于是，方程有一个根为0，这不合题意， ， 原方程为：； 【小问3详解】 解：设所求方程的根为y，则，所以， 代入原方程，得：， 去分母，得：， ， ， 又， ， ， 根是整数， 为偶数且为完全平方数， 或， 所求方程为： ，即：， 或，即：． 【点睛】本题主要考查了相反数的应用，等式的性质，一元二次方程的解，倒数，等式的性质，提公因式法分解因式，反证法，根据一元二次方程根的情况求参数，公式法解一元二次方程等知识点，深刻理解“换根法”并能加以运用是解题的关键． 25. 在正方形中，点F是对角线的中点，点G为边上一点，连接．在上取一点E，连接，． （1）若． ①求：的大小； ②求证：． （2）四边形是矩形，在的延长向上，连接，若，且，求的长． 【答案】（1）①135度； ②证明：， ， 法1：如图，将绕点C逆时针旋转得， 则，连接，倍长至N，连接， F为中点， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形，由勾股定理得，， ． 又， ； 法2：如图，过B作的垂线交延长线于点H，连接，． ， 为等腰直角三角形， ， 在等腰直角三角形中，F为中点， 等腰直角三角形， ， 为直角三角形，F为中点， ， ． 又， ， ， ， ， 即． （2）6 【解析】 【分析】（1）①由题意易得，则有，然后问题可求解；②将绕点C顺时针旋转得，连接，倍长至N，连接，由题意易得，则有，然后可得，进而根据全等三角形的性质可进行求解； （2）过B作的平行线交的延长线于I，由题意易得，则有，然后可得，进而根据相似三角形的性质与全等三角形的性质可进行求解． 【小问1详解】 解：①四边形是正方形， ， ， ， ， ， ； ②略 【小问2详解】 解：如图，过B作的平行线交的延长线于I， ， ， ， ， ， ， ， F为中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的性质与判定，旋转的性质及相似三角形的性质与判定，解题的关键是熟记知识点和正确作出辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $