3.2.2第1课时双曲线的简单几何性质同步练习-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019）选择性必修第一册

3.2.2　第1课时　双曲线的简单几何性质（同步练习） 一、选择题 1.双曲线－＝1的左焦点与右顶点之间的距离等于(　　) A.6 B.8 C.9 D.10 2.已知圆C：x2＋y2－10y＋21＝0与双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线相切，则该双曲线的离心率是(　　) A. B. C. D. 3.已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5,3)，则双曲线方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 4.已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 5.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，设左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2c，在C的右支上存在一点P，使得以F1F2，F2P为邻边的平行四边形为菱形，且直线PF1与圆(x－c)2＋y2＝c2相切，则该双曲线C的离心率为(　　) A. B. C. D．2 6.若a>1，则双曲线－y2＝1的离心率的取值范围是(　　) A.(，＋∞) B.(，2) C.(1，) D.(1,2) 7.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若双曲线上存在点P满足|PF1|∶|PF2|∶|F1F2|＝4∶6∶5，则该双曲线的离心率为(　　) A.2 B. C. D.5 8. (多选)已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则(　　) A.实轴长为8 B.虚轴长为4 C.焦距为6 D.离心率为 9.(多选)若双曲线C的一个焦点为F(5,0)，P是双曲线上一点，且渐近线方程为y＝±x，则下列结论正确的是 (　　) A.C的方程为－＝1 B.C的离心率为 C.焦点到渐近线的距离为3 D.|PF|的最小值为2 二、填空题 10.双曲线x2－＝1的一个焦点到一条渐近线的距离等于________ 11.若一双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为________________ 12.已知F为双曲线C：－＝1的左焦点，P，Q为双曲线C同一支上的两点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(，0)在线段PQ上，则△PQF的周长为______ 13.已知O为坐标原点，双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，从双曲线C的右焦点F引渐近线的垂线，垂足为A，若△AFO的面积为，则双曲线C的方程为________ 三、解答题 14.求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程． 15.求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为，且经过点M(－3,2)； (2)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3)． 参考答案及解析： 一、选择题 1.B 解析：由已知得左焦点的坐标为(－5,0)，右顶点的坐标为(3,0)，所以左焦点与右顶点之间的距离等于8. 2.C 解析：由双曲线－＝1(a>0，b>0)，可得其一条渐近线的方程为y＝x，即bx－ay＝0，又由圆C：x2＋y2－10y＋21＝0，可得圆心为C(0,5)，半径r＝2，则圆心到渐近线的距离为d＝＝，则＝2，可得e＝＝. 3.D 解析：由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，将点(5,3)代入方程，可得λ＝52－32＝16，所以双曲线方程为x2－y2＝16，即－＝1. 4.A 解析：由题意，得点P(2,1)在双曲线的渐近线y＝x上，∴＝，即a＝2b. 又2c＝10，∴c＝5.由a2＋b2＝c2，解得a2＝20，b2＝5.故所求双曲线方程为－＝1. 5.B 解析：由题意得|PF2|＝|F1F2|＝2c，设直线PF1与圆(x－c)2＋y2＝c2相切于点T，如图， 则PF1⊥TF2，|TF2|＝c，在Rt△F1TF2中，∠TF2F1＝60°⇒|PF1|＝2c， 则由双曲线的定义可得|PF2|＝|PF1|－2a＝2c－2a，所以2c＝2c－2a，解得e＝＝. 6.C　解析：由题意得双曲线的离心率e＝．即e2＝＝1＋． ∵a＞1，∴0＜＜1，∴1＜1＋＜2，∴1＜e＜．故选C． 7.B 解析：e＝＝＝. 8.ABD 解析：双曲线方程x2－8y2＝32化为标准方程为－＝1，可得a＝4，b＝2，c＝6，所以双曲线的实轴长为8，虚轴长为4，焦距为12，离心率为. 9.AD 解析：由双曲线C的一个焦点为F(5,0)，且渐近线方程为y＝±x，可得c＝5，焦点坐标在x轴上，所以＝，因为c＝5，所以b＝4，a＝3，所以C的方程为－＝1，A正确；离心率为e＝，B不正确；焦点到渐近线的距离为d＝＝4，C不正确；|PF|的最小值为c－a＝2，D正确． 二、填空题 10.答案： 解析：双曲线x2－＝1的一个焦点坐标是(2,0)，一条渐近线的方程为y＝x， 因此焦点到渐近线的距离d＝＝. 11.答案：－＝1 解析：椭圆4x2＋y2＝64可变形为＋＝1，a2＝64，c2＝64－16＝48， ∴焦点为(0,4)，(0，－4)，离心率e＝， 则双曲线的焦点在y轴上，c′＝4，e′＝＝，从而a′＝6，b′2＝12， 故所求双曲线的方程为－＝1. 12.答案：32 解析：根据题意，双曲线C：－＝1的左焦点F(－，0)， 所以点A(，0)是双曲线的右焦点，P，Q为双曲线C右支上的两点．虚轴长为6， 所以|PQ|＝12.双曲线图象如图． |PF|－|AP|＝2a＝4，① |QF|－|QA|＝2a＝4，② ①＋②得|PF|＋|QF|－|PQ|＝8，所以周长为|PF|＋|QF|＋|PQ|＝8＋2|PQ|＝32. 13.答案：－＝1　 解析：因为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，所以e2＝1＋＝，即b＝2a．又从C的右焦点F(c,0)引渐近线y＝x的垂线，则|AF|＝＝b，所以|AO|＝＝a，因为△AFO的面积为，所以ab＝，解得a＝，b＝2，所以双曲线C的方程为－＝1． 三、解答题 14.解：将9y2－4x2＝－36化为标准方程为－＝1，即－＝1， 所以a＝3，b＝2，c＝. 因此顶点坐标为A1(－3,0)，A2(3,0)，焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)， 实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x＝±x. 15.解：(1)设所求双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)． ∵e＝，∴e2＝＝＝1＋＝，∴＝. 由题意得解得∴所求双曲线的标准方程为－＝1. (2)由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)， ∵A(2，－3)在双曲线上，∴－(－3)2＝λ，即λ＝－8. ∴所求双曲线的标准方程为－＝1. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$