精品解析：重庆市杨家坪中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题

重庆市杨家坪中学2024-2025学年高2027届 高一上期第一次月考数学试题 命题人:余龙举 审题人:李涓 杨绪燕 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{2，3，5，6}，集合B＝{1，3，4，6}，则集合A∩(∁UB)＝（ ） A. {2，5} B. {3，6} C. {2，5，6} D. {2，3，5，6} 【答案】A 【解析】 【分析】先求出∁UB，再求A∩(∁UB)即可. 【详解】解：由已知∁UB＝{2，5}， 所以A∩(∁UB) ＝{2，5}. 故选：A. 【点睛】本题考查集合的交集和补集的运算，是基础题. 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据0的0次幂无意义，分母不为0和偶次根式下不小于0列出不等式组，解出即可. 【详解】要使函数有意义，需满足，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：D. 3. 命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出的最小值，然后根据集合的包含关系可得. 【详解】当时，，所以， 所以命题“，”为真命题的充要条件是， 所以充分不必要条件是的真子集. 故选：C 4. 已知，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用换元法求函数解析式，注意函数的定义域即可. 【详解】令， 由， 则，即. 故选：C. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性排除两个选项，再结合特殊的函数值排除一个选项后得正确结论． 【详解】由题可得函数定义域为，且，故函数为奇函数，故排除BD， 由，，故C错误， 故选：A. 6. 幂函数在上是减函数，则实数的值为（ ） A. 2或 B. C. 2 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数解析式的特征，以及幂函数的性质，即可求解的值. 【详解】由题意可知，，解得：或， 当时，，函数在上是减函数，成立， 当时，，函数在上是增函数，不成立， 所以. 故选：B 7. 设函数，则不等式的解集是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出，再结合函数解析式分两段得到不等式组，解得即可. 【详解】因为，所以， 不等式等价于或， 解得或或， 所以不等式的解集为. 故选：B 8. 已知是定义域为R的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇偶函数构造方程组求出的解析式，再根据题意得到在单调递增，分类讨论即可求解． 【详解】由题意可得， 因为是奇函数，是偶函数， 所以， 联立，解得， 又因为对于任意的，都有成立， 所以，即成立， 构造， 所以由上述过程可得在单调递增， 若，则对称轴，解得； 若，则在单调递增，满足题意； 若，则对称轴恒成立； 综上，． 故选：B 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】举例说明判断AC；利用不等式性质推理判断BD. 【详解】对于AC，取，满足，而，，AC错误； 对于B，由，得，而，则，B正确； 对于D，由，得，则，D正确. 故选：BD 10. 下列命题正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 与是同一个函数 C. 函数的值域为 D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题可判断A；求出两个函数的定义域可判断B；利用换元法令，求出的值域可判断C；根据抽象函数定义域的求法可判断D.. 【详解】对于A，命题“，”的否定是“，”，故A正确； 对于B，函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不一样，所以两个函数不是同一个函数，故B错误； 对于C，函数的定义域为， 函数，令，则， 所以，所以函数的值域为，故C错误； 对于D，若函数的定义域为，可得，则函数的定义域为，故D正确. 故选：AD. 11. 一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍跟随区间”；特别地，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”.下列结论正确的是（ ） A. 若为的跟随区间，则 B. 函数不存在跟随区间 C. 是函数的一个跟随区间 D. 二次函数存在“倍跟随区间” 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项中，由二次函数单调性可知值域为，由跟随区间定义可构造方程求得，知A错误；B选项中，假设存在跟随区间，由单调性可知为的两根，根据方程无解可知B正确；C选项中，根据在上的值域为可知C正确；D选项中，在时，根据单调性可知是方程的两根，解方程求得，知D正确. 【详解】对于A，在上单调递增，的值域为， ，解得：（舍）或，A错误； 对于B，在，上单调递增， 若存在跟随区间，则，即为方程的两根， 即，无解，不存在跟随区间，B正确； 对于C，， 当时，；又，，， 在上的值域为，即是的一个跟随区间，C正确； 对于D，若存在“倍跟随区间”，则其值域为； 当时，在上单调递增，， 则是方程的两根，解得：或，即，， 是的一个“倍跟随区间”，D正确. 故选：BCD. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 若直角三角形斜边长等于cm，则直角三角形面积的最大值为_____. 【答案】25 【解析】 【分析】利用基本不等式可求面积的最大值. 【详解】设两条直角边的边长分别为，则， 故即，当且仅当时等号成立， 故直角三角形面积的最大值为， 故答案为： 13. 函数的定义域为，值域为，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得且对称轴为，再结合二次函数的图像，即可得到结果. 【详解】因为函数图象开口向上，且对称轴为，， 令，即，解得或， 所以，即的取值范围是. 故答案为： 14. 已知函数满足对任意，都有成立，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】由可知为单调递增函数,故利用分段函数的单调性需要满足的关系式进行列式求解. 【详解】由可知为单调递增函数,故中 有与均为增函数,且在处的值小于.可得 故答案为 【点睛】分段函数单调递增,需满足在各自区间上单调递增,且在分段处的函数值也满足单调性. 四、解答题（5道试题，共77分） 15. 已知集合 （1）若，求； （2）在①，②，③中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据并集的概念求出答案； （2）选①②③均可得到，从而得到不等式组，求出答案. 【小问1详解】 时，， 故； 【小问2详解】 选①，，则， 由于，故， 故，解得， 故实数的取值范围是； 选②，，故， 由于，故， 故，解得， 故实数的取值范围是； 选③，，故， 由于，故， 故，解得， 故实数的取值范围是. 16. 已知，命题恒成立；命题存在，使得． （1）若p为真命题，求m的最大值； （2）若p，q有且只有一个真命题，求实数m的取值范围． 【答案】（1）3 （2）或 【解析】 【分析】（1）恒成立问题转化为最值问题； （2）p，q有且只有一个真命题，即一真一假. 【小问1详解】 ∵∴，解得， 故实数m的取值范围是， ∴m的最大值为3； 【小问2详解】 当q为真命题时，则，解得， ∵p，q有且只有一个真命题， 当p真q假时，，解得； 当p假q真时，，解得； ∴或 17. 某呼吸机生产企业计划投资固定成本500万元引进先进设备，用于生产救治新冠患者的无创呼吸机，需要投入成本（单位：万元）与年产量（单位：百台）的函数关系式为，据以往出口市场价格，每台呼吸机的售价为3万元，且依据国外疫情情况，预测该年度生产的无创呼吸机能全部售完. （1）求年利润（单位：万元）关于年产量的函数解析式（利润销售额投入成本固定成本）； （2）当年产量为多少时，年利润最大？并求出最大年利润. 【答案】（1） （2）当年产量为台时，年利润最大，且最大年利润为万元 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，分，两种情况讨论，即可求解． （2）当时，通过二次函数的配方法可得，取得最大值，当时，结合均值不等式公式可得，取得最大值，即可求解． 【小问1详解】 当时 ， 当时， ， 所以. 【小问2详解】 当时 ， 当时，取得最大值， 当时， ， 当且仅当，即时等号成立， 因为，所以当时，取得最大值， 综上，当年产量为台时，年利润最大，且最大年利润为万元． 18. 已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f（x）＝x2+4x+1． （1）求f（x）的解析式； （2）当x∈[t，t+1]（t＞0）时，求f（x）的最大值g（t），并求函数g（t）的最小值． 【答案】（1） （2），的最小值为 【解析】 【分析】（1）由已知偶函数定义结合已知区间上函数解析式即可求解； （2）由已知函数，结合对称轴与已知区间的位置关系，分类讨论可求． 【小问1详解】 若，则，则， 为偶函数，则， 故. 【小问2详解】 当时，，开口向上，对称轴， 当时，，函数最小值为； 当时，，函数最小值大于. 故，. 19. 若函数 （1）当时，求的解集； （2）设，若时，的最大值为3，求a的值； （3）若时，总，对，使得恒成立，求实数b的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）或. 【解析】 【分析】（1）应用不含参一元二次不等式解法求解集； （2）根据题设有，，讨论其对称轴的位置并结合函数区间最值列方程求参数即可； （3）令有，问题化为，对使恒成立，结合一次函数、二次函数性质求左侧最值，进而求参数范围. 【小问1详解】 由题设，即，解集为； 【小问2详解】 由，，其开口向上且对称轴为， 若时，，此时，满足； 若时，，不满足； 综上，； 【小问3详解】 由题设， 又，令，故， 问题化为，对使恒成立， 由调换主元为一次函数，而， 所以在上单调递减，故只需在上， 而，故只需在上， 所以，可得或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市杨家坪中学2024-2025学年高2027届 高一上期第一次月考数学试题 命题人:余龙举 审题人:李涓 杨绪燕 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{2，3，5，6}，集合B＝{1，3，4，6}，则集合A∩(∁UB)＝（ ） A. {2，5} B. {3，6} C. {2，5，6} D. {2，3，5，6} 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 3. 命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 幂函数在上是减函数，则实数的值为（ ） A. 2或 B. C. 2 D. 或 7. 设函数，则不等式的解集是（   ） A. B. C. D. 8. 已知是定义域为R的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列命题正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 与是同一个函数 C. 函数的值域为 D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 11. 一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍跟随区间”；特别地，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”.下列结论正确的是（ ） A. 若为的跟随区间，则 B. 函数不存在跟随区间 C. 是函数的一个跟随区间 D. 二次函数存在“倍跟随区间” 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 若直角三角形斜边长等于cm，则直角三角形面积的最大值为_____. 13. 函数的定义域为，值域为，则的取值范围是______. 14. 已知函数满足对任意，都有成立，则实数的取值范围是________． 四、解答题（5道试题，共77分） 15. 已知集合 （1）若，求； （2）在①，②，③中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围． 16. 已知，命题恒成立；命题存在，使得． （1）若p为真命题，求m的最大值； （2）若p，q有且只有一个真命题，求实数m的取值范围． 17. 某呼吸机生产企业计划投资固定成本500万元引进先进设备，用于生产救治新冠患者的无创呼吸机，需要投入成本（单位：万元）与年产量（单位：百台）的函数关系式为，据以往出口市场价格，每台呼吸机的售价为3万元，且依据国外疫情情况，预测该年度生产的无创呼吸机能全部售完. （1）求年利润（单位：万元）关于年产量的函数解析式（利润销售额投入成本固定成本）； （2）当年产量为多少时，年利润最大？并求出最大年利润. 18. 已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f（x）＝x2+4x+1． （1）求f（x）的解析式； （2）当x∈[t，t+1]（t＞0）时，求f（x）的最大值g（t），并求函数g（t）的最小值． 19. 若函数 （1）当时，求的解集； （2）设，若时，的最大值为3，求a的值； （3）若时，总，对，使得恒成立，求实数b的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $