专题8.2 函数与数学模型（11大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（苏教版2019必修第一册）

专题8.1 二分法与求方程近似解 知识点一 三种增长函数模型的比较 (1)指数函数和幂函数． 一般地，对于指数函数y＝ax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有ax＞xn. (2)对数函数和幂函数． 对于对数函数y＝logax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，在区间(0，＋∞)上，随着x的增大，logax增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样，尽管在x的一定变化范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有logax＜xn. (3)指数函数、对数函数和幂函数． 在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函数，但它们增长的速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有logax＜xn＜ax几种函数模型的应用 知识点二 几类不同增长的函数模型的应用 (1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)； (2)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)； (3)指数函数模型：y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，且b≠1)； (4)对数函数模型：y＝mlogax＋n(a>0，且a≠1，m≠0)； (5)幂函数模型：y＝axn＋b(a≠0)； (6)分段函数模型 知识点三 函数应用问题解法 ①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； ②建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； ③求模：求解数学模型，得出数学结论； ④还原：将数学问题还原为实际问题的意义． 题型一 函数模型的增长差异 解题技巧提炼 三种函数模型的增长规律： (1)对于幂函数y＝xn，当x＞0，n＞0时，y＝xn才是增函数，当n越大时，增长速度越快． (2)指数函数与对数函数的递增前提是a＞1，又它们的图象关于y＝x对称，从而可知，当a越大，y＝ax增长越快；当a越小，y＝logax增长越快，一般来说，ax＞logax(x＞0，a＞1)． (3)指数函数与幂函数，当x＞0，n＞0，a＞1时，可能开始时有xn＞ax，但因指数函数是爆炸型函数，当x大于某一个确定值x0后，就一定有ax＞xn. 1．（24-25高一上·江苏南京·期中）某工程需要向一个容器内源源不断地注入某种液体，有三种方案可以选择，这三种方案的注入量随时间变化如下图所示：        横轴为时间（单位：小时），纵轴为注入量，根据以上信息，若使注入量最多，下列说法中错误的是（  ） A．注入时间在小时以内（含小时），采用方案一 B．注入时间恰为小时，不采用方案三 C．注入时间恰为小时，采用方案二 D．注入时间恰为小时，采用方案二 2．（24-25高一上·全国·课前预习）下列函数中，增长速度越来越慢的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）下面对函数与在区间上的衰减情况的说法中正确的是（    ） A．的衰减速度越来越慢，的衰减速度越来越快 B．的衰减速度越来越快，的衰减速度越来越慢 C．的衰减速度越来越慢，的衰减速度越来越慢 D．的衰减速度越来越快，的衰减速度越来越快 4．（24-25高三上·山东菏泽·期中）自然界中许多流体是牛顿流体，其中水、酒精等大多数纯液体、轻质油、低分子化合物溶液以及低速流动的气体等均为牛顿流体；高分子聚合物的浓溶液和悬浮液等一般为非牛顿流体，非牛顿流体在实际生活和生产中有很多广泛的应用，如工业制造业常利用某些高分子聚合物做成“液体防弹衣”，已知牛顿流体符合牛顿黏性定律，即在一定温度和剪切速率范围内黏度值是保持恒定的：，其中为剪切应力，为黏度，为剪切速率；而当液体的剪切应力和剪切速率存在非线性关系时液体就称为非牛顿流体．其中宾汉流体（也叫塑性流体），是一种粘塑性材料，是非牛顿流体中比较特殊的一种，其在低应力下表现为刚体，但在高应力下表现为粘性流体（即粘度恒定），以牙膏为例，当我们挤压它的力较小时，它就表现为固体，而当力达到一个临界值，它就会变成流体，从开口流出．如图是测得的某几种液体的流变曲线，则其中属于牙膏和液体防弹衣所用液体的曲线分别是（   ） A．①和④ B．③和④ C．③和② D．①和② 5．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数且，给出下列结论： ①当时，，函数的图象恒在函数的图象上方； ②，当时，恒有； ③，方程，都有解． 其中正确结论的序号是 ． 题型二 选择合适的函数模型 解题技巧提炼 这类问题是对数据进行函数模拟，选择最符合客观实际的模拟函数．一般思路为：先画出散点图，然后作出模拟函数的图象，选择适当的几种函数模型后，再加以验证．函数模型的建立是最大的难点，另外运算量较大，须借助计算器或计算机进行数据处理，函数模型的可靠性与合理性既需要数据检验，又必须符合实际． 6．（2024高二下·浙江杭州·学业考试）有一组实验数据如表，则体现这组数据的最佳函数模型是（ ）   2 3 4 5 6 1.40 2.56 5.31 11 21.30 A． B． C． D． 7．（23-24高一上·贵州安顺·期末）人类已经进入大数据时代.目前，数据量已经从TB（1TB=1024GB）级别跃升到PB（1PB=1024TB），EB（1EB=1024PB）乃至ZB（1ZB=1024EB）级别.国际数据公司（IDC）的研究结果表明，2008年起全球每年产生的数据量如下表所示： 年份 2008 2009 2010 2011 … 2020 数据量（ZB） 0.49 0.8 1.2 1.82 … 80 (1)设2008年为第一年，为较好地描述2008年起第年全球生产的数据量（单位：ZB）与的关系，根据上述信息，试从（，且），，（，且）三种函数模型中选择一个，应该选哪一个更合适?（不用说明理由）； (2)根据（1）中所选的函数模型，若选取2009年和2020年的数据量来估计模型中的参数，预计到哪一年，全球生产的数据量将达到2020年的100倍? 8．（23-24高一下·河北保定·开学考试）已知某批药品在2023年治愈效果的普姆克系数（单位：）与月份）的部分统计数据如下表： 月 10 11 12 普姆克系数 10240 20480 40960 (1)根据上表数据，从下列两个函数模型①，②中选取一个恰当的函数模型描述该批药品在2023年治愈效果的普姆克系数与月份之间的关系，并写出这个函数解析式； (2)用（1）中的函数模型，试问哪几个月该批药品治愈效果的普姆克系数在内？ 题型三 一次函数模型的应用问题 解题技巧提炼 在现实生活中，很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0)．确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法． 9．（2022秋·广东佛山·高一佛山市三水区三水中学校考阶段练习）某商场在国庆期间举办促销活动，规定：顾客购物总金额不超过400元，不享受折扣；若顾客的购物总金额超过400元，则超过400元部分分两档享受折扣优惠，折扣率如下表所示： 可享受折扣优惠的金额 折扣率 不超过400元部分 超过400元部分 若某顾客获得65元折扣优惠，则此顾客实际所付金额为（    ） A．935元 B．1000元 C．1035元 D．1100元 10.（多选）（2023秋·高一课时练习）（多选）甲、乙两人在一次赛跑中，路程y与时间x的函数关系如下图所示，则下列说法不正确的是（    ）    A．甲比乙先出发 B．乙比甲跑的路程多 C．甲、乙两人的速度相同 D．甲先到达终点 题型四 二次函数模型的应用问题 解题技巧提炼 1.在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位．根据实际情况，列出函数解析式，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最大、最小等问题． 2.一定要密切注意实际问题中函数的定义域，否则极易出错． 11．（24-25高一上·江西上饶·阶段练习）你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩，已知某种烟花距地面的高度h（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的关系式为，则烟花爆裂的高度是（   ） A．56.6米 B．57.6米 C．58.6米 D．59.6米 12．（2023·全国·高一专题练习）某小型服装厂生产一种风衣，日销货量件（单位：件）（∈N*）与货价p（单位：元/件）之间的关系为p＝160－2，生产x件所需成本C＝100＋30（单位：元），当工厂日获利不少于1 000元时，该厂日产量最少生产风衣的件数是 13．（24-25高一上·北京大兴·期中）已知经过年某汽车的总花费由购车费、维修费和其他费用组成，其中购车费用是22.5万元，使用年的维修费为万元，且每年的其他费用为0.8万元． (1)求经过2年该车的总花费为多少万元； (2)设经过年该车的年平均花费为万元，写出关于的函数解析式，并求的最小值． 14．（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）如图，宿迁市要在矩形地块上规划出一块矩形地块建造市民休闲中心，为了保护文物，市民休闲中心不能超越文物保护区的界线，经实地测量知，m，m，m，m，设. (1)试用表示； (2)问：怎样设计矩形市民休闲中心的长和宽，才能使其面积最大？最大面积是多少？ 题型五 指数函数模型的应用问题 解题技巧提炼 一般应用“待定系数法”，设f (x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b＞0，b≠1)，列，解. 15．（24-25高一上·福建厦门·期中）某化工厂生产一种溶质，按市场要求，杂质含量不能超过0.01%.若该溶质的半成品含杂质1%，且每过滤一次杂质含量减少为原来的，则要使产品达到市场要求，该溶质的半成品至少应过滤（    ） A．4次 B．5次 C．6次 D．7次 16．（22-23高一上·江苏扬州·阶段练习）恩格尔系数，国际上常用恩格尔系数来衡量一个地区家庭的富裕程度，恩格尔系数越低，人民生活越富裕. 某地区家庭2021年底恩格尔系数为50%，刚达到小康，预计从2022年起该地区家庭每年消费支出总额增加30%，食品消费支出总额增加20%，依据以上数据，预计该地区家庭恩格尔系数η满足达到富裕水平，至少经过（   ）年（参考数据：) A．3年 B．4年 C．5年 D．6年 17．（24-25高三上·山东济南·阶段练习）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中是一个随物体与空气的接触情况而定的正常数．现有的物体，放到的空气中冷却，后物体的温度是，已知，则的值大约为（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 题型六 对数函数模型的应用问题 解题技巧提炼 f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m≠0，a＞0，a≠1) 注意对数的恒等变形，确保自变量范围的正确性. 18．（23-24高一下·安徽芜湖·开学考试）青少年视力问题是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足关系式：，已知小明和小李视力的五分记录法的数据分别为4.3和a，记小明和小李视力的小数记录法的数据分别为，，则，则a的值可以是（    ）（参考数据：，） A．4.7 B．4.5 C．4.8 D．5.0 19．（24-25高三上·江苏泰州·期中）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出来的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为．黄海是我国东部中强地震多发区之一，2013年4月21日，黄海海域发生里氏5.0级地震，2015年8月6日黄海海域发生里氏4.0级地震，前一次地震所释放出来的能量约是后一次的（    ）倍．（精确到1） （参考数据：，，，） A．29 B．30 C．31 D．32 20.（2023秋·福建南平·高一统考期末）中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C取决于信道带宽W，经科学研究表明：C与W满足，其中T为信噪比.若不改变带宽W，而将信噪比T从499提升到1999，则C大约增加 .（结果保留一位小数） 参考数据：. 21.（2023秋·高一课时练习）在不考虑空气阻力的条件下，某飞行器的最大速度为v（单位：）和所携带的燃料的质量M（单位kg）与飞行器（除燃料外）的质量m（单位kg）的函数关系式近似满足．当携带的燃料的质量和飞行器（除燃料外）的质量相等时，v约等于，当携带的燃料的质量是飞行器（除燃料外）的质量3倍时，v约等于． (1)求a，b的值； (2)问携带的燃料的质量M（单位kg）与飞行器（除燃料外）的质量m（单位kg）之比满足什么条件时，该飞行器最大速度超过第二宇宙速度．（参考数据：） 题型七 幂函数模型的应用问题 解题技巧提炼 涉及幂函数型应用问题，往往利用幂函数性质或应用“换元法” 22．（2022·广西·模拟预测）异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（    ） A． B． C． D． 23．（21-22高一上·青海西宁·期末）为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文．现在加密密钥为，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“”，则解密后得到的明文是（    ） A． B． C．2 D． 24．（21-22高一上·全国·课后作业）某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为 (为常数)，其中x不超过5万元.已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年投入广告费用5万元，预计今年药品利润为 万元. 题型八 分式函数模型的应用问题 解题技巧提炼 分式函数模型的应用技巧 （1）利用“配凑法”，创造应用基本不等式的条件.注意“一正、二定、三相等”. （2）应用“对勾函数”的单调性. 25．（湖北省宜昌市协作体2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题）为宣传村镇特点，助力乡村振兴，设计专业的大学生小王应某村委会要求，设计一个长为米，宽为米的矩形广告牌，使得该广告牌的面积等于一个长为米，宽为1米的矩形的面积. (1)求关于的函数； (2)若村委会要求广告牌的面积最小，小王应如何设计该广告牌？ 26．（24-25高一上·广西桂林·期中）如图所示，学校要围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙时需要维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为的进出口，已知旧墙的维修费用为56元，新墙的造价为200元，设利用旧墙的长度为（单位：），修建此矩形场地的总费用为（单位：元）. (1)求关于的函数表达式； (2)试确定的值，使修建此矩形场地的总费用最小，并求出最小总费用. 题型九 分段函数模型的应用问题 解题技巧提炼 构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到分段合理，不漏不重．同时求分段函数的最值时，应在每一段上分别求出各自的最值．然后比较哪一个最大(小)取哪一个． 27．（24-25高一上·北京丰台·期中）2024年7月15日至18日，党的二十届三中全会在北京隆重举行，全会审议并通过了《中共中央关于进一步全面深化改革、推进中国式现代化的决定》（以下简称《决定》），《决定》中指出要完善基本公共服务制度体系，加强普惠性、基础性、兜底性民生建设，解决好人民最关心最直接最现实的利益问题，不断满足人民对美好生活的向往.居民用水作为民生建设的重要内容，愈发引起社会关注，现已知某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”.计费方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过15的部分 2.07元/ 超过15但不超过21.67的部分 4.07元/ 超过21.67的部分 6.07元/ 若某户居民希望本月缴纳的水费不超过元，则此户居民本月用水最多为（    ） A．19 B．20 C．21 D．22 28．（24-25高一上·吉林白城·期中）已知甲地下停车库的收费标准如下：（1）停车不超过1小时免费；（2）超过1小时且不超过3小时，收费5元；（3）超过3小时且不超过6小时，收费10元；（4）超过6小时且不超过9小时，收费15元；（5）超过9小时且不超过12小时，收费18元；（6）超过12小时且不超过24小时，收费24元．小林在2024年10月7日10：22将车停入甲车库，若他在当天18：30将车开出车库，则他需交的停车费为 ．乙地下停车库的收费标准如下：每小时2元，不到1小时按1小时计费．若小林将车停入乙车库（停车时长不超过24小时），要使得车停在乙车库比甲车库更优惠，则小林停车时长的最大值为 ． 题型十 给定函数模型的应用问题 解题技巧提炼 解答函数在实际问题中的应用题目，应认真读题、审题，弄清题意，明确题目中的数量关系，可充分借助图象，表格信息确定解析式，同时要特别注意定义域． 29．（24-25高一上·河北石家庄·期中）某机械厂生产一批零件，受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，其次品率p与日产量x（万件）之间满足关系：（其中m为小于12的正整数）．已知每生产1万件合格的零件该厂可以盈利30万元，但每生产1万件次品将亏损10万元，故厂方希望定出合适的日产量使得利润最大．（注：次品率＝次品数/生产量，如表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）． (1)将生产这批零件每天的盈利额y（万元）表示为日产量x（万件）的函数； (2)当日产量为多少时，该厂可获得最大利润？ 30．（24-25高一上·四川绵阳·期中）某文旅公司设计文创作品，批量生产并在旅游景区进行售卖．经市场调研发现，若在旅游季在文创作品的原材料上多投入万元，文创作品的销售量可增加千个，其中每千个的销售价格为万元，另外每生产1千个产品还需要投入其他成本0.5万元． (1)求该文旅公司在旅游季增加的利润与（单位：万元）之间的函数关系； (2)当为多少万元时，该公司在旅游季增加的利润最大？最大为多少万元？ 31．（24-25高一上·上海·随堂练习）“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设函数中，t表示达到某一英文打字水平（字/分）所需的学习时间（时），N表示每分钟打出的字数（字/分）. (1)计算要达到20字/分、40字/分水平所需要的学习时间；（精确到“时”） (2)利用（1）的结果，结合对数函数性质的分析，作出函数的大致图象. 32．（21-22高一·湖南·课后作业）某企业生产，两种产品，根据市场调查和预测，产品的利润（万元）与投资额（万元）成正比，其关系如图（1）所示；产品的利润（万元）与投资额（万元）的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示． (1)分别将，两种产品的利润表示为投资额的函数； (2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入，两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元（精确到1万元）？ 题型十一 建立拟合函数模型的应用问题 解题技巧提炼 求解函数应用问题的思路和方法，用示意图表示为： 33．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）某学校为了开展劳动教育，计划修建一个如图所示的总面积为750m2的矩形种植园.图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间三个矩形区域将种植辣椒、茄子、小白菜（其中区域的形状、大小完全相同）.设矩形种植园的一条边长为m，蔬菜种植的总面积为. (1)用含有的代数式表示，并写出的取值范围； (2)当的值为多少时，才能使蔬菜种植的总面积最大?最大面积是多少? 34．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）甲、乙两地相距，动车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过，已知动车每小时的运输成本（单位：元）是可变成本与固定成本之和，其中可变成本是速度的平方的倍，固定成本为元． (1)用速度v表示动车每小时的运输成本，并指出v的取值范围； (2)用速度v表示全程运输成本y； (3)求全程运输成本的最小值及此时动车的行驶速度． 35．（21-22高一上·福建漳州·期末）2021年10月26日下午，习近平总书记参观国家“十三五”科技成就展强调，坚定创新自信紧抓创新机遇，加快实现高水平科技自立自强.面向人民生命健康，重点展示一体化全身正电子发射磁共振成像装备，在红色“健康中国”四个大字衬托下，更显科技创新为人民健康“保驾护航”的意义.为促进科技创新，某医学影像设备设计公司决定将在2022年对研发新产品团队进行奖励，奖励方案如下：奖金（单位：万元）随收益（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过90万元，同时奖金不超过收益的，预计收益. (1)分别判断以下三个函数模型：，能否符合公司奖励方案的要求，并说明理由；（参考数据：） (2)已知函数模型符合公司奖励方案的要求，求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题8.1 二分法与求方程近似解 知识点一 三种增长函数模型的比较 (1)指数函数和幂函数． 一般地，对于指数函数y＝ax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有ax＞xn. (2)对数函数和幂函数． 对于对数函数y＝logax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，在区间(0，＋∞)上，随着x的增大，logax增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样，尽管在x的一定变化范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有logax＜xn. (3)指数函数、对数函数和幂函数． 在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函数，但它们增长的速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有logax＜xn＜ax几种函数模型的应用 知识点二 几类不同增长的函数模型的应用 (1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)； (2)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)； (3)指数函数模型：y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，且b≠1)； (4)对数函数模型：y＝mlogax＋n(a>0，且a≠1，m≠0)； (5)幂函数模型：y＝axn＋b(a≠0)； (6)分段函数模型 知识点三 函数应用问题解法 ①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； ②建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； ③求模：求解数学模型，得出数学结论； ④还原：将数学问题还原为实际问题的意义． 题型一 函数模型的增长差异 解题技巧提炼 三种函数模型的增长规律： (1)对于幂函数y＝xn，当x＞0，n＞0时，y＝xn才是增函数，当n越大时，增长速度越快． (2)指数函数与对数函数的递增前提是a＞1，又它们的图象关于y＝x对称，从而可知，当a越大，y＝ax增长越快；当a越小，y＝logax增长越快，一般来说，ax＞logax(x＞0，a＞1)． (3)指数函数与幂函数，当x＞0，n＞0，a＞1时，可能开始时有xn＞ax，但因指数函数是爆炸型函数，当x大于某一个确定值x0后，就一定有ax＞xn. 1．（24-25高一上·江苏南京·期中）某工程需要向一个容器内源源不断地注入某种液体，有三种方案可以选择，这三种方案的注入量随时间变化如下图所示：        横轴为时间（单位：小时），纵轴为注入量，根据以上信息，若使注入量最多，下列说法中错误的是（  ） A．注入时间在小时以内（含小时），采用方案一 B．注入时间恰为小时，不采用方案三 C．注入时间恰为小时，采用方案二 D．注入时间恰为小时，采用方案二 【答案】D 【知识点】指数、对数、幂函数模型的增长差异 【分析】结合图象逐一分析即可. 【详解】对A，由图可知，注入时间在小时以内（含小时）时，方案一的注入量都大于其他两种方案，故A正确，不符合题意； 对B，当注入时间恰为小时，由图可知，方案三的注入量都小于其他两个方案，故B正确，不符合题意； 对C，当注入时间恰为小时，方案二的注入量大于其他两个方案，故C正确，不符合题意； 对D，当注入时间大于8小时，由图可知方案三的注入量最大，故应选择方案三，D错误，符合题意. 故选：D 2．（24-25高一上·全国·课前预习）下列函数中，增长速度越来越慢的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】指数、对数、幂函数模型的增长差异 【分析】运用指数函数，对数函数，幂函数，一次函数的增长规律可解. 【详解】指数函数先慢后爆炸性增长，对数函数先快速增后慢慢增，幂函数一直再增，后面没有变慢，一次函数匀速增加. 故选：B. 3．（24-25高一上·全国·课后作业）下面对函数与在区间上的衰减情况的说法中正确的是（    ） A．的衰减速度越来越慢，的衰减速度越来越快 B．的衰减速度越来越快，的衰减速度越来越慢 C．的衰减速度越来越慢，的衰减速度越来越慢 D．的衰减速度越来越快，的衰减速度越来越快 【答案】C 【知识点】指数、对数、幂函数模型的增长差异 【分析】画出的图象，观察图象即可判断. 【详解】在平面直角坐标系中画出与的图象如图所示， 由图象可判断出衰减情况为衰减速度越来越慢，衰减速度越来越慢． 故选：C. 4．（24-25高三上·山东菏泽·期中）自然界中许多流体是牛顿流体，其中水、酒精等大多数纯液体、轻质油、低分子化合物溶液以及低速流动的气体等均为牛顿流体；高分子聚合物的浓溶液和悬浮液等一般为非牛顿流体，非牛顿流体在实际生活和生产中有很多广泛的应用，如工业制造业常利用某些高分子聚合物做成“液体防弹衣”，已知牛顿流体符合牛顿黏性定律，即在一定温度和剪切速率范围内黏度值是保持恒定的：，其中为剪切应力，为黏度，为剪切速率；而当液体的剪切应力和剪切速率存在非线性关系时液体就称为非牛顿流体．其中宾汉流体（也叫塑性流体），是一种粘塑性材料，是非牛顿流体中比较特殊的一种，其在低应力下表现为刚体，但在高应力下表现为粘性流体（即粘度恒定），以牙膏为例，当我们挤压它的力较小时，它就表现为固体，而当力达到一个临界值，它就会变成流体，从开口流出．如图是测得的某几种液体的流变曲线，则其中属于牙膏和液体防弹衣所用液体的曲线分别是（   ） A．①和④ B．③和④ C．③和② D．①和② 【答案】D 【知识点】根据实际问题增长率选择合适的函数模型 【分析】根据题意，利用数形结合的思想，结合线性与非线性关系，可得答案. 【详解】由题意得牛顿流体黏度恒定，即在曲线中，图象为直线，即③为牛顿流体，④和②为非牛顿流体， 由题意可知牙膏是特殊的非牛顿流体，但挤压力达到一定值时变成流体其粘度不变，即此时剪切应力与剪切速率成线性关系，故牙膏所对应的曲线为①， 而液体防弹衣所用液体本身属于非牛顿流体，且根据题意表述可知剪切应力随剪切速率的增大而增大且比正常条件下的牛顿流体所对应的剪切应力大，故液体防弹衣所用液体对应曲线为2． 故选:D． 5．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数且，给出下列结论： ①当时，，函数的图象恒在函数的图象上方； ②，当时，恒有； ③，方程，都有解． 其中正确结论的序号是 ． 【答案】②③ 【知识点】指数、对数、幂函数模型的增长差异 【分析】举例说明判断①；分类讨论，结合对数函数、幂函数的增长快慢判断②；作出函数图象，数形结合判断③即可得解. 【详解】对于①，取，则，，， ，此时，不满足函数的图象恒在函数的图象上方，①错误； 对于②，当时，在上，的图象在轴下方，的图象在轴上方，此时满足条件； 当时，对数函数和幂函数，在区间上，随着的增大， 增长得越来越慢，尽管在的一定变化范围内，可能会大于， 但由于的增长快于的增长，则总存在一个，当时，就会有成立，②正确； 对于③，，在同一坐标系中作出函数的大致图象，如图： 函数的图象两两都分别有交点， 所以方程，都有解，③正确． 所以正确结论的序号是②③. 故答案为：②③ 题型二 选择合适的函数模型 解题技巧提炼 这类问题是对数据进行函数模拟，选择最符合客观实际的模拟函数．一般思路为：先画出散点图，然后作出模拟函数的图象，选择适当的几种函数模型后，再加以验证．函数模型的建立是最大的难点，另外运算量较大，须借助计算器或计算机进行数据处理，函数模型的可靠性与合理性既需要数据检验，又必须符合实际． 6．（2024高二下·浙江杭州·学业考试）有一组实验数据如表，则体现这组数据的最佳函数模型是（ ）   2 3 4 5 6 1.40 2.56 5.31 11 21.30 A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据实际问题增长率选择合适的函数模型 【分析】根据数据判断函数的增长速度选择函数模型. 【详解】，，，， 通过所给数据可知，y随x的增大而增大，且增长的速度越来越快， AC选项函数增长的速度越来越慢，D选项函数增长的速度不变，B选项函数增长的速度越来越快，所以B正确. 故选：B. 7．（23-24高一上·贵州安顺·期末）人类已经进入大数据时代.目前，数据量已经从TB（1TB=1024GB）级别跃升到PB（1PB=1024TB），EB（1EB=1024PB）乃至ZB（1ZB=1024EB）级别.国际数据公司（IDC）的研究结果表明，2008年起全球每年产生的数据量如下表所示： 年份 2008 2009 2010 2011 … 2020 数据量（ZB） 0.49 0.8 1.2 1.82 … 80 (1)设2008年为第一年，为较好地描述2008年起第年全球生产的数据量（单位：ZB）与的关系，根据上述信息，试从（，且），，（，且）三种函数模型中选择一个，应该选哪一个更合适?（不用说明理由）； (2)根据（1）中所选的函数模型，若选取2009年和2020年的数据量来估计模型中的参数，预计到哪一年，全球生产的数据量将达到2020年的100倍? 【答案】(1)选择更合适 (2)2031年 【知识点】指数函数模型的应用（2）、根据实际问题增长率选择合适的函数模型 【分析】 （1）根据数据量随年份增长呈爆炸增长判断即可； （2）将2009年和2020年的数据量代入可得，再设在第年，全球生产的数据量将达到2020年的100倍，列式计算求解即可. 【详解】（1）由数据量随年份增长呈爆炸增长可得，选择更合适. （2）依题意，，故，即，代入可得，故. 设在第年，全球生产的数据量将达到2020年的100倍，则， 即，解得，此时为2031年. 即预计到2031年，全球生产的数据量将达到2020年的100倍. 8．（23-24高一下·河北保定·开学考试）已知某批药品在2023年治愈效果的普姆克系数（单位：）与月份）的部分统计数据如下表： 月 10 11 12 普姆克系数 10240 20480 40960 (1)根据上表数据，从下列两个函数模型①，②中选取一个恰当的函数模型描述该批药品在2023年治愈效果的普姆克系数与月份之间的关系，并写出这个函数解析式； (2)用（1）中的函数模型，试问哪几个月该批药品治愈效果的普姆克系数在内？ 【答案】(1)模型①，； (2)7月份，8月份，9月份. 【知识点】由指数函数的单调性解不等式、根据实际问题增长率选择合适的函数模型 【分析】（1）根据函数增长速度选择恰当模型，代点求解即可； （2）由题意列不等式，解指数不等式即可求解. 【详解】（1）因为函数模型①是指数型函数，其增长速度较快，函数模型②的增长速度较为缓慢， 所以根据表中数据，应选函数模型①更为恰当. 根据题意可得，当时，；当时，， 由，解得， 故该函数模型的解析式为. （2）函数在其定义域内单调递增， 令，得，又，所以， 故7月份，8月份，9月份这三个月该批药品治愈效果的普姆克系数在内. 题型三 一次函数模型的应用问题 解题技巧提炼 在现实生活中，很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0)．确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法． 9．（2022秋·广东佛山·高一佛山市三水区三水中学校考阶段练习）某商场在国庆期间举办促销活动，规定：顾客购物总金额不超过400元，不享受折扣；若顾客的购物总金额超过400元，则超过400元部分分两档享受折扣优惠，折扣率如下表所示： 可享受折扣优惠的金额 折扣率 不超过400元部分 超过400元部分 若某顾客获得65元折扣优惠，则此顾客实际所付金额为（    ） A．935元 B．1000元 C．1035元 D．1100元 【答案】C 【分析】判断该顾客购物总金额的范围，根据题意列方程求得总金额，减去享受的优惠金额，即为此顾客实际所付金额，即得答案. 【详解】当顾客的购物总金额超过400元不超过800元时， 享受折扣优惠的金额做多为元， 故该顾客购物总金额一定超过了800元，设为x元 ， 则 ，解得（元）， 则此顾客实际所付金额为元， 故选：C. 10.（多选）（2023秋·高一课时练习）（多选）甲、乙两人在一次赛跑中，路程y与时间x的函数关系如下图所示，则下列说法不正确的是（    ）    A．甲比乙先出发 B．乙比甲跑的路程多 C．甲、乙两人的速度相同 D．甲先到达终点 【答案】ABC 【分析】由图可知两人同时出发，路程相同，甲所用时间较少，即可判断得出结果. 【详解】根据图象可以看出，甲、乙两人同一时间从同一地点出发，两人路程一样， 显然甲所用时间短，两人速度不同，甲先到达终点； 所以只有D正确. 故选：ABC 题型四 二次函数模型的应用问题 解题技巧提炼 1.在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位．根据实际情况，列出函数解析式，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最大、最小等问题． 2.一定要密切注意实际问题中函数的定义域，否则极易出错． 11．（24-25高一上·江西上饶·阶段练习）你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩，已知某种烟花距地面的高度h（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的关系式为，则烟花爆裂的高度是（   ） A．56.6米 B．57.6米 C．58.6米 D．59.6米 【答案】B 【知识点】利用二次函数模型解决实际问题 【分析】利用配方法，求二次函数最大值即可. 【详解】依题意，，当且仅当时取等号， 所以烟花爆裂的高度是57.6米. 故选：B 12．（2023·全国·高一专题练习）某小型服装厂生产一种风衣，日销货量件（单位：件）（∈N*）与货价p（单位：元/件）之间的关系为p＝160－2，生产x件所需成本C＝100＋30（单位：元），当工厂日获利不少于1 000元时，该厂日产量最少生产风衣的件数是 【答案】10 【分析】由题意，设该厂月获利为元，获利=总收入-成本，即，求解二次不等式即可. 【详解】由题意，设该厂月获利为元，则： ， 当工厂日获利不少于1 000元时，即， 即， 解得：. 故该厂日产量最少生产风衣的件数是10. 故答案为：10 13．（24-25高一上·北京大兴·期中）已知经过年某汽车的总花费由购车费、维修费和其他费用组成，其中购车费用是22.5万元，使用年的维修费为万元，且每年的其他费用为0.8万元． (1)求经过2年该车的总花费为多少万元； (2)设经过年该车的年平均花费为万元，写出关于的函数解析式，并求的最小值． 【答案】(1)经过2年该车的总花费为万元； (2)，的最小值为万元 【知识点】利用二次函数模型解决实际问题、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）设总花费为万元，根据题意列出总费用的表达式，再将代入计算即可； （2）利用，再利用基本不等式求最值． 【详解】（1）解：设总花费为万元， 则， 当，（万元）， 答：经过2年该车的总花费为万元； （2）解：由题意得：， ，， 当且仅当：，即，等号成立， 故的最小值为万元． 14．（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）如图，宿迁市要在矩形地块上规划出一块矩形地块建造市民休闲中心，为了保护文物，市民休闲中心不能超越文物保护区的界线，经实地测量知，m，m，m，m，设. (1)试用表示； (2)问：怎样设计矩形市民休闲中心的长和宽，才能使其面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)， (2)长为，宽为，其面积最大，最大面积为 【知识点】利用二次函数模型解决实际问题、图形的性质 【分析】（1）根据题意，利用平行线分线段成比例即可得解； （2）利用（1）中结论得到关于的函数，利用二次函数的性质即可得解. 【详解】（1）依题意，因为， 则，， 因为，所以，即，得， 所以，则. （2）由（1）得， ， 当时，取得最大值，最大值为， 此时，，， 故当矩形市民休闲中心的长为，宽为时，其面积最大，最大面积为. 题型五 指数函数模型的应用问题 解题技巧提炼 一般应用“待定系数法”，设f (x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b＞0，b≠1)，列，解. 15．（24-25高一上·福建厦门·期中）某化工厂生产一种溶质，按市场要求，杂质含量不能超过0.01%.若该溶质的半成品含杂质1%，且每过滤一次杂质含量减少为原来的，则要使产品达到市场要求，该溶质的半成品至少应过滤（    ） A．4次 B．5次 C．6次 D．7次 【答案】B 【知识点】指数函数模型的应用（2）、由指数函数的单调性解不等式 【分析】根据已知条件列指数不等式，解之即可得解. 【详解】依题意，设原有溶质的半成品数量为，含杂质， 则经过次过滤，含杂质， 要使该溶质经过次过滤后杂质含量不超过0.01%， 则，即， 又，，所以. 故选：B 16．（22-23高一上·江苏扬州·阶段练习）恩格尔系数，国际上常用恩格尔系数来衡量一个地区家庭的富裕程度，恩格尔系数越低，人民生活越富裕. 某地区家庭2021年底恩格尔系数为50%，刚达到小康，预计从2022年起该地区家庭每年消费支出总额增加30%，食品消费支出总额增加20%，依据以上数据，预计该地区家庭恩格尔系数η满足达到富裕水平，至少经过（   ）年（参考数据：) A．3年 B．4年 C．5年 D．6年 【答案】B 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用、指数函数模型的应用（2） 【分析】设经过年达到富裕水平，有，结合指对数互化及对数运算性质求结果. 【详解】设经过年达到富裕水平，则有， 两边取对数，得年， 所以，至少要经过4年，该地区家庭恩格尔系数满足达到富裕水平. 故选：B 17．（24-25高三上·山东济南·阶段练习）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中是一个随物体与空气的接触情况而定的正常数．现有的物体，放到的空气中冷却，后物体的温度是，已知，则的值大约为（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 【答案】C 【知识点】对数的运算性质的应用、对数函数模型的应用（2） 【分析】根据题意列出等式，化简后即可求解. 【详解】由题意知是，， 代入公式，可得， 则，两边同时取对数得， 即，则，故C正确. 故选：C. 题型六 对数函数模型的应用问题 解题技巧提炼 f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m≠0，a＞0，a≠1) 注意对数的恒等变形，确保自变量范围的正确性. 18．（23-24高一下·安徽芜湖·开学考试）青少年视力问题是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足关系式：，已知小明和小李视力的五分记录法的数据分别为4.3和a，记小明和小李视力的小数记录法的数据分别为，，则，则a的值可以是（    ）（参考数据：，） A．4.7 B．4.5 C．4.8 D．5.0 【答案】A 【知识点】对数的运算性质的应用、对数函数模型的应用（2） 【分析】根据给定条件，建立方程，结合对数运算及对数函数单调性求解即得. 【详解】依题意，，则，即 由，得，因此，解得， 所以a的值可以是. 故选：A 19．（24-25高三上·江苏泰州·期中）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出来的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为．黄海是我国东部中强地震多发区之一，2013年4月21日，黄海海域发生里氏5.0级地震，2015年8月6日黄海海域发生里氏4.0级地震，前一次地震所释放出来的能量约是后一次的（    ）倍．（精确到1） （参考数据：，，，） A．29 B．30 C．31 D．32 【答案】D 【知识点】对数的运算性质的应用、对数函数模型的应用（2）、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】由题意得到方程组，相减后得到，结合给出的参考数据，得到. 【详解】由题意得， 两式相减得，而， 故， 故选：D 20.（2023秋·福建南平·高一统考期末）中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C取决于信道带宽W，经科学研究表明：C与W满足，其中T为信噪比.若不改变带宽W，而将信噪比T从499提升到1999，则C大约增加 .（结果保留一位小数） 参考数据：. 【答案】22.3 【分析】将与代入，作差后求增长率即可 【详解】当时，， 当时， 则， 所以C大约增加了， 即C大约增加了. 故答案为：22.3 21.（2023秋·高一课时练习）在不考虑空气阻力的条件下，某飞行器的最大速度为v（单位：）和所携带的燃料的质量M（单位kg）与飞行器（除燃料外）的质量m（单位kg）的函数关系式近似满足．当携带的燃料的质量和飞行器（除燃料外）的质量相等时，v约等于，当携带的燃料的质量是飞行器（除燃料外）的质量3倍时，v约等于． (1)求a，b的值； (2)问携带的燃料的质量M（单位kg）与飞行器（除燃料外）的质量m（单位kg）之比满足什么条件时，该飞行器最大速度超过第二宇宙速度．（参考数据：） 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）结合和，得到，解出，再计算即可； （2）根据，化简整理得到，由此得到，即可得到答案． 【详解】（1）当时，； 当时，； 解得，即， 解得或（舍去），则； （2）由， 即，即， 故， 即携带的燃料的质量与飞行器（除燃料外）的质量之比超过63时，该飞行器最大速度不小于第二宇宙速度． 题型七 幂函数模型的应用问题 解题技巧提炼 涉及幂函数型应用问题，往往利用幂函数性质或应用“换元法” 22．（2022·广西·模拟预测）异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】幂函数模型的应用 【分析】初始状态设为，变化后为，根据，的关系代入后可求解． 【详解】设初始状态为，则，， 又，，即， ，，，，． 故选：D． 23．（21-22高一上·青海西宁·期末）为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文．现在加密密钥为，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“”，则解密后得到的明文是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】幂函数模型的应用 【分析】根据题意中给出的解密密钥为，利用其加密、解密原理， 求出的值，解方程即可求解. 【详解】由题可知加密密钥为， 由已知可得，当时，， 所以，解得， 故，显然令，即， 解得，即． 故选：A. 24．（21-22高一上·全国·课后作业）某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为 (为常数)，其中x不超过5万元.已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年投入广告费用5万元，预计今年药品利润为 万元. 【答案】125 【知识点】幂函数模型的应用 【分析】利用代入法，结合指数幂的运算定义进行求解即可. 【详解】因为投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元， 所以，即 当今年投入广告费用5万元，预计今年药品利润为， 故答案为： 题型八 分式函数模型的应用问题 解题技巧提炼 分式函数模型的应用技巧 （1）利用“配凑法”，创造应用基本不等式的条件.注意“一正、二定、三相等”. （2）应用“对勾函数”的单调性. 25．（湖北省宜昌市协作体2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题）为宣传村镇特点，助力乡村振兴，设计专业的大学生小王应某村委会要求，设计一个长为米，宽为米的矩形广告牌，使得该广告牌的面积等于一个长为米，宽为1米的矩形的面积. (1)求关于的函数； (2)若村委会要求广告牌的面积最小，小王应如何设计该广告牌？ 【答案】(1) (2)小王设计的广告牌是长为10米，宽为米的矩形，满足村委会要求 【知识点】分式型函数模型的应用、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）由题意，根据矩形的面积公式，建立方程，整理为函数，可得答案； （2）利用基本不等式，整理为关于的不等式，可得答案. 【详解】（1）由题意可知，， 所以，又，所以， 所以. （2）法一：由，得， 解得，或（舍去），所以， 当且仅当时，取得等号. 故小王设计的广告牌是长为10米，宽为米的矩形，满足村委会要求. 法二：， 当且仅当，即时等号成立， 此时， 故小王设计的广告牌是长为10米，宽为米的矩形，满足村委会要求. 26．（24-25高一上·广西桂林·期中）如图所示，学校要围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙时需要维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为的进出口，已知旧墙的维修费用为56元，新墙的造价为200元，设利用旧墙的长度为（单位：），修建此矩形场地的总费用为（单位：元）. (1)求关于的函数表达式； (2)试确定的值，使修建此矩形场地的总费用最小，并求出最小总费用. 【答案】(1) (2)，最小总费用是12200元. 【知识点】分式型函数模型的应用、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）由面积求得矩形的另一边长，然后由新墙和旧墙计算费用得结论； （2）利用基本不等式求得最小值． 【详解】（1）由题意知，矩形的一边长为，另一边长为， 则 ， 故. （2）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故当利用旧墙的长度为时，修建此矩形场地的总费用最小，最小总费用是12200元. 题型九 分段函数模型的应用问题 解题技巧提炼 构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到分段合理，不漏不重．同时求分段函数的最值时，应在每一段上分别求出各自的最值．然后比较哪一个最大(小)取哪一个． 27．（24-25高一上·北京丰台·期中）2024年7月15日至18日，党的二十届三中全会在北京隆重举行，全会审议并通过了《中共中央关于进一步全面深化改革、推进中国式现代化的决定》（以下简称《决定》），《决定》中指出要完善基本公共服务制度体系，加强普惠性、基础性、兜底性民生建设，解决好人民最关心最直接最现实的利益问题，不断满足人民对美好生活的向往.居民用水作为民生建设的重要内容，愈发引起社会关注，现已知某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”.计费方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过15的部分 2.07元/ 超过15但不超过21.67的部分 4.07元/ 超过21.67的部分 6.07元/ 若某户居民希望本月缴纳的水费不超过元，则此户居民本月用水最多为（    ） A．19 B．20 C．21 D．22 【答案】B 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量、分段函数模型的应用 【分析】设用户的用水量为，缴纳的水费为元，分段求出关于的函数解析式，再令，解出的值，从而得解. 【详解】依题意，设用户的用水量为，缴纳的水费为元， 当时，， 当时，， 当时，， 综上，令，解得，则此户居民本月用水量为. 故选：B. 28．（24-25高一上·吉林白城·期中）已知甲地下停车库的收费标准如下：（1）停车不超过1小时免费；（2）超过1小时且不超过3小时，收费5元；（3）超过3小时且不超过6小时，收费10元；（4）超过6小时且不超过9小时，收费15元；（5）超过9小时且不超过12小时，收费18元；（6）超过12小时且不超过24小时，收费24元．小林在2024年10月7日10：22将车停入甲车库，若他在当天18：30将车开出车库，则他需交的停车费为 ．乙地下停车库的收费标准如下：每小时2元，不到1小时按1小时计费．若小林将车停入乙车库（停车时长不超过24小时），要使得车停在乙车库比甲车库更优惠，则小林停车时长的最大值为 ． 【答案】 15 7 【知识点】分段函数模型的应用 【分析】根据分段函数的知识解题即可. 【详解】小林在2024年10月7日10：22将车停入甲车库，在当天18：30将车开出车库， 则停车时长为8小时8分钟，满足超过6小时且不超过9小时，所以需交停车费15元； 设小林的停车时长为小时，则在乙车库需交停车费为元， 根据题意知当停车时长超过9小时后，乙车库停车比甲车库停车更贵， 当停车时长超过6小时且不超过9小时，要使得乙车库停车比甲车库停车更优惠， 则，解得， 所以小林的停车时长最大值为7小时. 故答案为：15；7. 题型十 给定函数模型的应用问题 解题技巧提炼 解答函数在实际问题中的应用题目，应认真读题、审题，弄清题意，明确题目中的数量关系，可充分借助图象，表格信息确定解析式，同时要特别注意定义域． 29．（24-25高一上·河北石家庄·期中）某机械厂生产一批零件，受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，其次品率p与日产量x（万件）之间满足关系：（其中m为小于12的正整数）．已知每生产1万件合格的零件该厂可以盈利30万元，但每生产1万件次品将亏损10万元，故厂方希望定出合适的日产量使得利润最大．（注：次品率＝次品数/生产量，如表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）． (1)将生产这批零件每天的盈利额y（万元）表示为日产量x（万件）的函数； (2)当日产量为多少时，该厂可获得最大利润？ 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】分段函数模型的应用、利用给定函数模型解决实际问题、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）由题意，再结合次品率与日产量（万件）之间的关系即可求解. （2）利用换元法并对进行分类讨论即可求解. 【详解】（1）由题意知， 当时，，故， 当时，，故， 所以盈利额y（万元）与日产量x（万件）间的函数关系为. （2）当时，每天的盈利额为0；只需求时的最大值， 设，则，且， 则， ①当，即时，， 当且仅当，即时，取最大值160，此时. ②当，即时，由在上单调递增， 故在上单调递减， 所以当，即时，取最大值. 综上所述，当时，日产量（万件）时，可获最大利润； 当时，日产量（万件）时，可获最大利润. 30．（24-25高一上·四川绵阳·期中）某文旅公司设计文创作品，批量生产并在旅游景区进行售卖．经市场调研发现，若在旅游季在文创作品的原材料上多投入万元，文创作品的销售量可增加千个，其中每千个的销售价格为万元，另外每生产1千个产品还需要投入其他成本0.5万元． (1)求该文旅公司在旅游季增加的利润与（单位：万元）之间的函数关系； (2)当为多少万元时，该公司在旅游季增加的利润最大？最大为多少万元？ 【答案】(1) (2)当（万元）时，该公司在旅游季增加的利润最大，最大为万元. 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、建立拟合函数模型解决实际问题 【分析】（1）由利润公式，结合与的函数关系式，分段写出函数解析式； （2）根据（1）的结果，分段求函数的最值，再比较即可求解. 【详解】（1）本季度增加的利润， 当时，， 当时，， 所以该公司增加的利润与（单位：万元）之间的函数关系式为； （2）， 当时，， 当，即时，等号成立， 当时，是减函数，当时，取得最大值16， 因为，所以当（万元）时，该公司在旅游季增加的利润最大，最大为万元. 31．（24-25高一上·上海·随堂练习）“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设函数中，t表示达到某一英文打字水平（字/分）所需的学习时间（时），N表示每分钟打出的字数（字/分）. (1)计算要达到20字/分、40字/分水平所需要的学习时间；（精确到“时”） (2)利用（1）的结果，结合对数函数性质的分析，作出函数的大致图象. 【答案】(1)16，37 (2)图象见解析 【知识点】画出具体函数图象、对数的运算、对数函数模型的应用（2） 【分析】（1）分别代入可得答案； （2）根据的单调性可得答案. 【详解】（1）， 所以要达到20字/分水平所需要16小时； ， 所以要达到40字/分水平所需要37小时； 所以，； （2）， 因为是减函数，所以是增函数， 当N接近于90时，接近0，无穷大， 当N等于0时，，可得大致图象如下图. 32．（21-22高一·湖南·课后作业）某企业生产，两种产品，根据市场调查和预测，产品的利润（万元）与投资额（万元）成正比，其关系如图（1）所示；产品的利润（万元）与投资额（万元）的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示． (1)分别将，两种产品的利润表示为投资额的函数； (2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入，两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元（精确到1万元）？ 【答案】(1)，； (2)当产品投入3.75万元，产品投入6.25万元，企业获得最大利润约为4万元． 【知识点】幂函数模型的应用、利用二次函数模型解决实际问题 【分析】（1）由已知给出的函数模型设出解析式，代入已知数据即可算出结果； （2）设产品投入万元，则产品投入万元，设企业的利润为万元，则有，再利用换元法转化为求二次函数在给定区间上的最值问题即可求解． 【详解】（1）设投资额为万元，产品的利润为万元，产品的利润为万元， 由题设，， 由图可知（1），所以，又（4），所以， 所以，； （2）设产品投入万元，则产品投入万元，设企业的利润为万元， ，， 令，则，， 所以当时，，此时， 所以当产品投入3.75万元，产品投入6.25万元，企业获得最大利润为万元，约为4万元． 题型十一 建立拟合函数模型的应用问题 解题技巧提炼 求解函数应用问题的思路和方法，用示意图表示为： 33．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）某学校为了开展劳动教育，计划修建一个如图所示的总面积为750m2的矩形种植园.图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间三个矩形区域将种植辣椒、茄子、小白菜（其中区域的形状、大小完全相同）.设矩形种植园的一条边长为m，蔬菜种植的总面积为. (1)用含有的代数式表示，并写出的取值范围； (2)当的值为多少时，才能使蔬菜种植的总面积最大?最大面积是多少? 【答案】(1)   (2)当时，种植蔬菜的总面积最大，最大面积为： 【知识点】建立拟合函数模型解决实际问题、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）由矩形面积得出关系式以及取值范围； （2）根据面积公式列出关系式，借助基本不等式得出最大值. 【详解】（1）矩形面积： ∴ ∵ ∴ ∴ （2）由（1）可知；，则 当且仅当，即时取等号， ∴当时，种植蔬菜的总面积最大，最大面积为：. 34．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）甲、乙两地相距，动车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过，已知动车每小时的运输成本（单位：元）是可变成本与固定成本之和，其中可变成本是速度的平方的倍，固定成本为元． (1)用速度v表示动车每小时的运输成本，并指出v的取值范围； (2)用速度v表示全程运输成本y； (3)求全程运输成本的最小值及此时动车的行驶速度． 【答案】(1)； (2)； (3)全程运输成本的最小值为元，此时动车的行驶速度为． 【知识点】建立拟合函数模型解决实际问题、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）利用每小时的运输成本是可变成本与固定成本之和可得结果； （2）全程运输成本等于每小时的运输成本与运输时间的乘积，列出表达式，化简得结果； （3）根据（2）得到的结果，利用基本不等式求最小值，分析等号成立的条件. 【详解】（1）由题意得，可变成本为，固定成本为元， ∴每小时的运输成本为. （2）由题意得，运输时间为， ∴. （3）由（2）得，， 当，即时，有最小值，最小值为. 35．（21-22高一上·福建漳州·期末）2021年10月26日下午，习近平总书记参观国家“十三五”科技成就展强调，坚定创新自信紧抓创新机遇，加快实现高水平科技自立自强.面向人民生命健康，重点展示一体化全身正电子发射磁共振成像装备，在红色“健康中国”四个大字衬托下，更显科技创新为人民健康“保驾护航”的意义.为促进科技创新，某医学影像设备设计公司决定将在2022年对研发新产品团队进行奖励，奖励方案如下：奖金（单位：万元）随收益（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过90万元，同时奖金不超过收益的，预计收益. (1)分别判断以下三个函数模型：，能否符合公司奖励方案的要求，并说明理由；（参考数据：） (2)已知函数模型符合公司奖励方案的要求，求实数的取值范围. 【答案】(1)函数模型能符合公司奖励方案的要求，理由见解析 (2) 【知识点】指数函数模型的应用（2）、对数函数模型的应用（2）、幂函数模型的应用、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）结合题中的两个标准对每一种模型分别验证即可； （2）根据题中的标准建立不等式组，解不等式组即可. 【详解】（1）函数模型，满足奖金随收益增加而增加， 因为， 所以当时，，即奖金超过90万，不满足要求； 函数模型，当时，，此时奖金超过收益的，不满足要求； 函数模型，满足奖金随收益增加而增加， 当时，，满足奖金不超过90万元， 又时，，满足奖金不超过收益的，函数模型能符合公司的要求. （2）函数模型， 因为奖金随收益增加而增加，所以， 当时，，解得， 当时，，解得， 当时，恒成立， 即， 又，当且仅当时等号成立， 所以， 综上所述，实数的取值范围是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$