第五章 走进几何世界 重难点检测卷-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

第五章 走进几何世界 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共28题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（24-25七年级上·江苏徐州·开学考试）一种圆柱形的罐头，它的侧面有一张商标纸，沿着高把商标纸剪开（如图）展开后是（   ）．      A．平行四边形 B．三角形 C．梯形 D．长方形 2．（23-24七年级下·江苏南京·开学考试）如图，与A相对的面是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2024·云南·中考真题）某图书馆的一个装饰品是由几个几何体组合成的．其中一个几何体的三视图（主视图也称正视图，左视图也称侧视图）如图所示，这个几何体是（   ） A．正方体 B．圆柱 C．圆锥 D．长方体 4．（2024·辽宁大连·三模）如图是一个正方体纸盒的展开图，正方体的各面标有数字1，2，3，，A，B，相对面上的两个数互为相反数，则（    ） A． B． C．1 D．2 5．（24-25七年级上·全国·随堂练习）小鑫正对相同的长方体快递盒进行包装，如图1单个盒子的表面积为，如图2三个盒子叠一起的表面积为，则如图3四个盒子叠一起的表面积是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·江苏无锡·二模）某三棱柱的三种视图如图所示，俯视图的面积是左视图面积的倍，左视图中矩形的边长，则主视图的面积为（    ） A． B．6 C．8 D．12 7．（2024·江苏镇江·二模）一个不透明立方体的6个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，任意两对面上所写的两个数字之和为7，将这样的几个立方体按照相接触两个面上的数字之和为8，摆放成一个几何体，这个几何体的三视图如图所示，图中所标注的是部分面上所见的数字，则★所代表的数是 （    ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．（2024九年级下·浙江·专题练习）如图是一个正方体纸盒的表面展开图，在其中的三个正方形a，b，c内分别填入适当的数，使得折成正方体后相对面上的两数满足下列条件：①a面上的数与它对面的数互为倒数；②b面上的数等于它对面的数的绝对值；③c面上的数与它对面的数互为相反数．下列选项正确的是（    ）    A． B． C． D． 9．（23-24七年级上·广东中山·阶段练习）一个小正方体的六个面分别标有数字，将它按如图所示的方式顺时针滚动，每滚动算一次，则滚动第次时，小正方体朝下一面标有的数字是（    ）    A． B． C． D． 10．（2024·河北邯郸·模拟预测）用相同尺寸的长方形纸板制作一个无盖的长方体纸盒．先在纸板上画出其表面展开图（需剪掉阴影部分），两种裁剪方案如图1和图2所示，图中A，B，C均为正方形： 下列说法正确的是（　　） A．方案 1中的 B．方案2中的 C．方案1所得的长方体纸盒的容积小于方案 2所得的长方体纸盒的容积 D．方案1所得的长方体纸盒的底面积与方案2所得的长方体纸盒的底面积相同 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（24-25七年级上·全国·课后作业）在下面的四个立体图形中，主视图是长方形的有 ．（填序号） 12．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图是一个几何体的三视图，根据图中所标数据，该几何体的体积为 ． 13．（24-25七年级上·江西鹰潭·期中）一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，如图分别是从它的正面、上面看到的形状图，该几何体的小立方体个数可能是 ． 14．（24-25七年级上·河南郑州·期中）日常生活中，常用骰子做游戏决定随机结果，如图1是一枚骰子的平面展开图．在一张不透明的桌子上，按图2方式将两个质地均匀、完全相同的正方体骰子搭成一个几何体，则该几何体能被看到的点数之和最大是 ，最小是 ． 15．（湖北省武汉外国语学校2024-2025学年上学期七年级期中考试数学试卷）工艺玩具厂师傅要把14个棱长为的正方体摆在地面上成如图形状，然后他把露出的表面都喷涂上不同的颜色，则被他喷涂上颜色部分的面积为 ． 16．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期中）如图是正方体的展开图，已知图中平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数之和相等，则的值为 ． 17．（24-25七年级上·四川成都·期中）一个几何体由若干大小相同的小正方体搭成，如图分别是从它的正面、上面看到的形状图，若组成这个几何体的小正方体最多需要m个，最少需要n个，则 ． 18．（22-23七年级上·山东青岛·期中）如图，模块①由15个棱长为1的小正方体构成，模块②一⑥均由4个棱长为1的小正方体构成，现在从模块②一⑥中选出三个模块放到模块①上，与模块①组成一个棱长为3的大正方体，则符合上述要求的三个模块序号是 ． 三、解答题（10小题，共64分） 19．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图是小红同学用8个相同的小正方体搭成的几何体，请你在下面相应的位置画出该几何体的三视图． 20．（24-25七年级上·全国·课后作业）一个几何体的平面展开图如图所示． (1)说出这个几何体的名称； (2)求这个几何体的体积．（π取3.14） 21．（24-25七年级上·江西九江·期中）生活中常见的易拉罐的形状都是圆柱（如图①），它的上下底面是相同大小的两个圆，侧面展开图是一个长方形（如图②），现已知一个圆柱的铝制易拉罐甲，其上、下底面周长为，高为（结果保留π） (1)求易拉罐甲的底面半径和体积： (2)若有一不同的易拉罐乙，它的侧面展开图与易拉罐甲相同，求易拉罐乙的容积． 22．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图是一个正方体的表面展开图，请回答下列问题： (1)与面C相对的是面___________，与面A相对的是面___________； (2)若，且相对两个面所表示的代数式的和都相等，求E、F分别表示的代数式． 23．（24-25七年级上·江西抚州·期中）如图所示是一个几何体的表面展开图． (1)该几何体的名称是______，其底面半径为______； (2)根据图中所给信息，求该几何体的表面积和体积（结果保留）． 24．（24-25七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图1，在平整的地面上，用8个棱长都为1cm的小正方体堆成一个几何体．    (1)请在图2中画出从正面、左面和上面看到的这个几何体的形状图： (2)如果现在你还有一些大小相同的小正方体，要求保持从正面和左面看到的图形都不变，最多可以再添加________个小正方体： (3)图1中8个小正方体搭成的几何体的表面积（包含与地面接触的部分）是________． 25．（24-25七年级上·重庆·期中）下面是一个正方体纸盒． (1)如图1，将正方体沿图中粗线所在的棱剪开，你认为________号图形是这个正方体的展开图形； (2)如图2，若先将正方体纸盒的上半部分都涂上颜色，在（1）题中你所选中的展开图形中，将涂色部分补充完整． (3)如图3，将若干个棱长为1的小正方体，拼成一个大正方体，将大正方体的六个面都涂上颜色，此时各个面都没有涂色的小正方体有729个，求拼成的大正方体的边长是多少？ 26．（24-25七年级上·河南郑州·期中）综合与实践 主题：制作盒子． 情境：在学校的劳技课上，老师要求同学们利用手头的材料制作一个长方体盒子，用于存放学习用品． 素材：一块长方形硬纸板和热熔胶． 步骤1：把这块长方形硬纸板的四个角（虚线）都剪去一个长方形（如图1）； 步骤2：再折叠成一个长方体盒子（如图2），用热熔胶把边粘起来． 问题解决：图2是形状为长方体的某种包装盒，它的，其展开图如图1所示（不包含包装盒的黏合处）． (1)设该包装盒的长为6分米，则展开图中的长度为______分米； (2)若该包装盒的长为a分米，求该包装盒的体积； (3)若的长度为45分米，现对该包装盒外表面涂色（含底面），且每平方分米涂料的价格为元，求整个包装盒外表面涂色的费用是多少元？ 27．（24-25七年级上·辽宁铁岭·期中）【问题情境】 《制作无盖的长方体纸盒》是北师大版七上的课题学习，某综合实践小组在学习了这一课后，开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【问题解决】 （1）如图所示图形中，是无盖正方体的表面展开图的是 ．（填序号） （2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1）为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．回答下列问题： ①图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面周长为多少cm? ②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．则该长方体纸盒的体积为多少？ 【问题进阶】 （3）若一个无盖长方体的长、宽、高分别为6、4、3，它缺一个长为6、宽为4的长方形底面，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，请直接写出长方体表面展开图的最大外围周长． 28．（24-25七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体的顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： 【观察总结】 （1）五种简单多面体的顶点数（）、面数（）、棱数（）如下表： 多面体 顶点数（） 面数（） 棱数（） 三棱锥 4 4 6 长方体 8 6 12 五棱柱 10 7 15 八面体 6 8 12 十二面体 20 12 30 猜想顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在的关系式是________（用所给的字母表达）； 【简单应用】 （2）能否组成一个有条棱、个面、个顶点的多面体？请说明理由． （3）一个正二十面体有条棱，则它的顶点数是________． 【实践探究】 （4）学校校园文化节，七年级数学实践小组同学制作了各种各样的多面体作品． ①一个多面体作品，只有个顶点，并且过每个顶点都有条棱，则这个多面体的面数是________； ②一个多面体作品如图所示，每个面的形状是正三角形或正五边形，每条棱都是正三角形和正五边形的公共边，则该多面体作品正三角形比正五边形的面数多________个． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 走进几何世界 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共28题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（24-25七年级上·江苏徐州·开学考试）一种圆柱形的罐头，它的侧面有一张商标纸，沿着高把商标纸剪开（如图）展开后是（   ）．      A．平行四边形 B．三角形 C．梯形 D．长方形 【答案】D 【分析】本题考查圆柱的侧面展开图与圆柱的关系，熟记常见几何体的侧面展开图是关键．根据圆柱的特征，将圆柱分别沿高展开得到长方形，沿除高外的任何直线展开都可得到展开图是平行四边形． 【详解】解：将圆柱侧面沿高展开，得到一个长方形，而长方形是特殊的平行四边形，沿除高之外的任何一条不同于高的直线展开都会得到平行四边形， 所以沿着高把商标纸剪开展开后是长方形；． 故选：D． 2．（23-24七年级下·江苏南京·开学考试）如图，与A相对的面是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了正方体展开图的相对面，解题的关键是掌握正方体展开图相对面的特征：隔一个或成Z字端． 【详解】解：A和3在同一排，且中间只隔一个面， 所以与A相对的面是3． 故答案为：C． 3．（2024·云南·中考真题）某图书馆的一个装饰品是由几个几何体组合成的．其中一个几何体的三视图（主视图也称正视图，左视图也称侧视图）如图所示，这个几何体是（   ） A．正方体 B．圆柱 C．圆锥 D．长方体 【答案】D 【分析】本题考查了几何体的三视图，熟悉各类几何体的三视图是解决本题的关键．根据长方体三视图的特点确定结果． 【详解】解：根据三视图的特点：几何体的三视图都是长方形，确定该几何体为长方体． 故选：D． 4．（2024·辽宁大连·三模）如图是一个正方体纸盒的展开图，正方体的各面标有数字1，2，3，，A，B，相对面上的两个数互为相反数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，相反数的定义，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点，利用相反数的定义即可求出A的值． 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， ∴A与2是相对面， ∴． 故选：B． 5．（24-25七年级上·全国·随堂练习）小鑫正对相同的长方体快递盒进行包装，如图1单个盒子的表面积为，如图2三个盒子叠一起的表面积为，则如图3四个盒子叠一起的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查几何体的表面积，能用a，b，c表示出三个图中几何体的表面积及巧用整体思想是解题的关键．根据图1和图2的表面积，可得出关于a，b，c的两个等式，再用a，b，c表示出图3的表面积，利用整体思想即可解决问题． 【详解】解：由题知，设图1中，相邻三个面面积分别为a，b，c， 因为图1的表面积为， 所以， 则①． 因为图2的表面积为， 所以， 则②． 由①②得， ． 又因为图3的表面积可表示为， 则． 故选：C． 6．（2024·江苏无锡·二模）某三棱柱的三种视图如图所示，俯视图的面积是左视图面积的倍，左视图中矩形的边长，则主视图的面积为（    ） A． B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题考查三视图边长关系，熟练掌握“长对正、高平齐、宽相等”，通过三视图准确得到相应图形的边长是解决问题的关键．根据三视图关系可知，主视图、俯视图与左视图的长相等，由左视图中矩形的边长，俯视图的面积是左视图面积的倍，可知主视图的宽为，由主视图与左视图关系可知，主视图三角形的高为，从而利用三角形面积公式即可得到主视图的面积为． 【详解】解：主视图、俯视图与左视图的长相等，若左视图中矩形的边长，俯视图的面积是左视图面积的倍， 主视图的宽为， 主视图与左视图关系知主视图三角形的高为， 主视图的面积为， 故选：B． 7．（2024·江苏镇江·二模）一个不透明立方体的6个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，任意两对面上所写的两个数字之和为7，将这样的几个立方体按照相接触两个面上的数字之和为8，摆放成一个几何体，这个几何体的三视图如图所示，图中所标注的是部分面上所见的数字，则★所代表的数是 （    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了由三视图判断几何体．根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，从三视图中2开始，结合主视图可得到下层正面为6的正方体左右两面的数字为3与4，进而可确定此正方体上下两面是2与5，再底面是5与2两种情况考虑，从下往上即可得出★所代表的数． 【详解】解：由题意可以还原这个立体图形的形状， 左视图中2的对面是5；紧临的是3，其对面是4；再接下来是4，其对面是3； 主视图中小正方体正面是6，后面是1；左面是是4，右面是是3；上下两面就是2、5相对； 当底面是5，上面为2，紧临的是6，其对面是1；接触的两个面上的数字之和为8，则★应为7，不可能； 故底面只能是2，上面是5，紧临的是3，其对面是4；接下来紧临的还是4，★为其对面， 所以是3； 故选：B． 8．（2024九年级下·浙江·专题练习）如图是一个正方体纸盒的表面展开图，在其中的三个正方形a，b，c内分别填入适当的数，使得折成正方体后相对面上的两数满足下列条件：①a面上的数与它对面的数互为倒数；②b面上的数等于它对面的数的绝对值；③c面上的数与它对面的数互为相反数．下列选项正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字和实数运算，倒数，绝对值，相反数的定义，根据正方体展开图的特征可以求出“a”的对面是，“b”的对面是，“c”的对面是2，进而求出a，b，c的值． 【详解】解：由图形可知“a”的对面是，“b”的对面是，“c”的对面是2， ∵a面上的数与它对面的数互为倒数， ，故选项A错误； ∵b面上的数等于它对面上的数的绝对值， ； ∵c面上的数与它对面的数互为相反数， ， 故选：C． 9．（23-24七年级上·广东中山·阶段练习）一个小正方体的六个面分别标有数字，将它按如图所示的方式顺时针滚动，每滚动算一次，则滚动第次时，小正方体朝下一面标有的数字是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的数字，先找出正方体相对面的数字，然后从数字找规律即可解答，从数字找到规律是解题的关键． 【详解】解：由图可知：和相对，和相对，和相对， 将正方体沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动算一次， 正方体朝下一面的点数依次为且依次循环， ∵， ∴滚动第次后，骰子朝下一面的点数是， 故选：． 10．（2024·河北邯郸·模拟预测）用相同尺寸的长方形纸板制作一个无盖的长方体纸盒．先在纸板上画出其表面展开图（需剪掉阴影部分），两种裁剪方案如图1和图2所示，图中A，B，C均为正方形： 下列说法正确的是（　　） A．方案 1中的 B．方案2中的 C．方案1所得的长方体纸盒的容积小于方案 2所得的长方体纸盒的容积 D．方案1所得的长方体纸盒的底面积与方案2所得的长方体纸盒的底面积相同 【答案】C 【分析】本题考查图形的展开与折叠，考查学生的运算能力、推理能力、空间观念．分别求出a和b的值，方案1和方案2的容积即可得到答案． 【详解】解：方案1：，故A选项错误， 所折成的无盖长方体的底面积为． 容积为． 方案2：，故B选项错误， 所折成的无盖长方体的底面积为． 容积为． ∴方案1所得的长方体纸盒的容积小于方案 2所得的长方体纸盒的容积， 故选：C． 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（24-25七年级上·全国·课后作业）在下面的四个立体图形中，主视图是长方形的有 ．（填序号） 【答案】②③ 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，熟练掌握从正面看得到的图形是主视图是解决本题的关键，根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】解：①球的主视图是圆，不符合题意； ②圆柱的主视图是长方形，符合题意； ③四棱柱的主视图是中间有两条虚线的长方形，符合题意； ④三棱柱的主视图是三角形，不符合题意． 所以主视图是长方形的是②③． 故答案为：②③． 12．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图是一个几何体的三视图，根据图中所标数据，该几何体的体积为 ． 【答案】 【分析】此题考查由三视图判断几何体，掌握柱体的侧面都是长方形是解决问题的关键．根据主视图和左视图是长方形，俯视图是半圆，可得到此几何体为半圆柱；再用半圆的面积乘高，即为体积． 【详解】解：由形状图可知这个立体图形为半个圆柱， 所以该几何体的体积． 故答案为： 13．（24-25七年级上·江西鹰潭·期中）一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，如图分别是从它的正面、上面看到的形状图，该几何体的小立方体个数可能是 ． 【答案】6或7或8 【分析】本题考查从不同方向看几何体，根据从正面、上面看到的形状图，求出摆放最多时和最少时的正方体的个数，进而可求解． 【详解】解：根据从正面、上面看到的形状图，可以得出最多时和最少时的摆放情形，如图： 该几何体最少需要6块小立方体，最多需要8块小立方体， 故该几何体的小立方体个数可能是6或7或8， 故答案为：6或7或8． 14．（24-25七年级上·河南郑州·期中）日常生活中，常用骰子做游戏决定随机结果，如图1是一枚骰子的平面展开图．在一张不透明的桌子上，按图2方式将两个质地均匀、完全相同的正方体骰子搭成一个几何体，则该几何体能被看到的点数之和最大是 ，最小是 ． 【答案】 36 20 【分析】根据题意，得1和6相对，2和5相对，3和4相对，根据题意，分类计算即可. 本题考查了几何体的展开图，相对问题，数字和最值计算，熟练掌握展开图的意义是解题的关键. 【详解】解：根据题意，得1和6相对，2和5相对，3和4相对， 左边的立方体底面看不见，右面看不见，右边的立方体，底面看不见，左面看不见， 要想看见面和最大，只需看不见的四个面和最小，此时， 故看见的面上的数字和最大为， 故答案为：36； 要想看见面和最小，只需看不见的四个面和最大，此时， 故看见的面上的数字和最小为， 故答案为：20. 15．（湖北省武汉外国语学校2024-2025学年上学期七年级期中考试数学试卷）工艺玩具厂师傅要把14个棱长为的正方体摆在地面上成如图形状，然后他把露出的表面都喷涂上不同的颜色，则被他喷涂上颜色部分的面积为 ． 【答案】33 【分析】本题主要考查了求简单几何体的表面积，根据题意得到分三层，每一层再分侧面与上表面两部分是解题的关键．根据题意可得分三层，每一层再分侧面与上表面两部分求出表面积，然后相加即可得解． 【详解】解：最上层，侧面积为4，上表面面积为1，总面积为， 中间一层，侧面积为，上表面面积为，总面积为， 最下层，侧面积为，上表面面积为，总面积为， 所以被他涂上颜色部分的面积为：． 故答案为：33． 16．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期中）如图是正方体的展开图，已知图中平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数之和相等，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方体的表面展开图，需要知道相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点即可得出的值．本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题． 【详解】解：由正方体的展开图可得与3相对，y与相对，与2相对， ∵相对面上的两个数之和相等， ∴， 解得， 故， ∴． 故答案为：． 17．（24-25七年级上·四川成都·期中）一个几何体由若干大小相同的小正方体搭成，如图分别是从它的正面、上面看到的形状图，若组成这个几何体的小正方体最多需要m个，最少需要n个，则 ． 【答案】 【分析】本题考查由从不同方向看的图形判定该几何体图形的小正方体的个数；结合从正面看与从上面看的图形，分别在从上面看的图上标注某个位置上放置的小正方体的最多与最少的个数，从而可得答案． 【详解】解：如图，从上面看放置的小正方体最多与最小的情形（最小的情况的放置方式不唯一） 最多有：（个），最少有：（个）， 所以， 故答案为：． 18．（22-23七年级上·山东青岛·期中）如图，模块①由15个棱长为1的小正方体构成，模块②一⑥均由4个棱长为1的小正方体构成，现在从模块②一⑥中选出三个模块放到模块①上，与模块①组成一个棱长为3的大正方体，则符合上述要求的三个模块序号是 ． 【答案】④⑤⑥ 【分析】观察所给的模块，结合构成的棱长为3的大正方体的特征即可求解． 【详解】解：由图形可知，模块⑥补模块①上面的左上角，模块⑤补模块①上面的右下角，模块④补模块①上面的⑥⑤之间，使得模块①成为一个棱长为3的大正方体． 故能够完成任务的为模块④，⑤，⑥． 故答案为：④⑤⑥（答案不唯一）． 【点睛】考查了认识立体图形，本题类似七巧板的游戏，考查了拼接图形，可以培养学生动手能力，展开学生的丰富想象力． 三、解答题（10小题，共64分） 19．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图是小红同学用8个相同的小正方体搭成的几何体，请你在下面相应的位置画出该几何体的三视图． 【答案】见解析 【分析】本题考查实物体的三视图．在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．本题画几何体的三视图时应注意小正方形的数目及位置．读图可得，从正面看有3列，每列小正方形数目分别为3，2，1；从左面看有3列，每列小正方形数目分别为3，1，1；从上面看有3列，每列小正方形数目分别为3，1，1，依此画出图形即可． 【详解】解：如图， 20．（24-25七年级上·全国·课后作业）一个几何体的平面展开图如图所示． (1)说出这个几何体的名称； (2)求这个几何体的体积．（π取3.14） 【答案】(1)圆柱 (2) 【分析】本题主要考查了几何体的展开图，圆柱的体积公式， （1）根据圆柱体的展开图解答； （2）求出圆柱的底面半径，然后利用圆柱的体积公式列式计算即可得解． 【详解】（1）解：因为几何体的侧面展开图是长方形，两底面是圆形，所以这个几何体是圆柱． （2）其体积为． 21．（24-25七年级上·江西九江·期中）生活中常见的易拉罐的形状都是圆柱（如图①），它的上下底面是相同大小的两个圆，侧面展开图是一个长方形（如图②），现已知一个圆柱的铝制易拉罐甲，其上、下底面周长为，高为（结果保留π） (1)求易拉罐甲的底面半径和体积： (2)若有一不同的易拉罐乙，它的侧面展开图与易拉罐甲相同，求易拉罐乙的容积． 【答案】(1)，体积为 (2)容积为 【分析】本题主要考查圆柱的体积公式，熟练掌握圆柱的体积公式是解题的关键； （1）根据题中所给数据结合圆柱的体积公式可进行求解； （2）根据（1）可直接进行求解． 【详解】（1）解：由题意得： ， ∴体积为； （2）解：∵易拉罐乙的侧面展开图与易拉罐甲相同， ∴易拉罐乙侧面展开图的长为，高为， ∴易拉罐乙的容积为． 22．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图是一个正方体的表面展开图，请回答下列问题： (1)与面C相对的是面___________，与面A相对的是面___________； (2)若，且相对两个面所表示的代数式的和都相等，求E、F分别表示的代数式． 【答案】(1)E ， D (2)，． 【分析】本题主要考查了正方体的展开与折叠，整式的加减法法则， 对于（1），分别确定六个面的字母，即可得出答案； 对于（2），根据，再根据整式的加减法法则计算即可． 【详解】（1）若以面“D”为底，则左边为面“C”，右边为面“E”，前面是面“F”，后面是面“B”，上方是面“A”，可知与面C相对的是面“E”，与面“A”相对的是面“D”. 故答案为：E ，D； （2）由题意知，，所以， ． 23．（24-25七年级上·江西抚州·期中）如图所示是一个几何体的表面展开图． (1)该几何体的名称是______，其底面半径为______； (2)根据图中所给信息，求该几何体的表面积和体积（结果保留）． 【答案】(1)圆柱； (2)表面积为；体积为． 【分析】本题主要考查了几何体的展开图； （1）依据展开图中有长方形和两个全等的圆，即可得出结论； （2）依据圆柱的表面积和体积计算公式，即可得到该几何体的侧面积和体积． 【详解】（1）解：该几何体的名称是圆柱，其底面半径为1， 故答案为：圆柱；1； （2）该几何体的表面积为 该几何体的体积． 24．（24-25七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图1，在平整的地面上，用8个棱长都为1cm的小正方体堆成一个几何体．    (1)请在图2中画出从正面、左面和上面看到的这个几何体的形状图： (2)如果现在你还有一些大小相同的小正方体，要求保持从正面和左面看到的图形都不变，最多可以再添加________个小正方体： (3)图1中8个小正方体搭成的几何体的表面积（包含与地面接触的部分）是________． 【答案】(1)见解析 (2)5 (3) 【分析】此题考查了作三视图，几何体的表面积等知识，熟练掌握三视图和几何体的基本知识是解题的关键． （1）根据根据三视图的定义分别画出从正面看，从左面看，从上面看的图即可； （2）根据题意，结合从左面看的图，从正面看的图将多余的小正方体补进去即可； （3）根据立体图形的表面积求解方法进行计算即可． 【详解】（1）解：如图所示：    （2）解：结合题意，小正方体可以加在第一排的第一列和第三列第一层的空缺处各1个，第三排第一列处2个，第二列第一层1个，则最多可以再添加5个正方体． 故答案为：5． （3）解：根据小正方体的棱长都为，可知每个面的小正方形面积为，从对立体图形的观察可知，暴漏在外的面一共由32个，则几何体的表面积是． 故答案为：32． 25．（24-25七年级上·重庆·期中）下面是一个正方体纸盒． (1)如图1，将正方体沿图中粗线所在的棱剪开，你认为________号图形是这个正方体的展开图形； (2)如图2，若先将正方体纸盒的上半部分都涂上颜色，在（1）题中你所选中的展开图形中，将涂色部分补充完整． (3)如图3，将若干个棱长为1的小正方体，拼成一个大正方体，将大正方体的六个面都涂上颜色，此时各个面都没有涂色的小正方体有729个，求拼成的大正方体的边长是多少？ 【答案】(1)③ (2)见解析 (3)11 【分析】本题主要考查的是正方体的展开图，有理数乘方的应用等知识，解题的关键是： （1）根据正方体表面展开图的特征进行判断即可； （2）根据正方体表面展开图的特征进行补图即可； （3）根据“各个面都没有涂色的小正方体有个”可求出原大正方体去掉外面一层正方体后所得正方体的边长，即可求解． 【详解】（1）解：将正方体沿图中粗线所在的棱剪开，则展开图为： 故答案为：③； （2）解：如图， （3）解：∵， ∴大正方体的边长为， 答：大正方体的边长为． 26．（24-25七年级上·河南郑州·期中）综合与实践 主题：制作盒子． 情境：在学校的劳技课上，老师要求同学们利用手头的材料制作一个长方体盒子，用于存放学习用品． 素材：一块长方形硬纸板和热熔胶． 步骤1：把这块长方形硬纸板的四个角（虚线）都剪去一个长方形（如图1）； 步骤2：再折叠成一个长方体盒子（如图2），用热熔胶把边粘起来． 问题解决：图2是形状为长方体的某种包装盒，它的，其展开图如图1所示（不包含包装盒的黏合处）． (1)设该包装盒的长为6分米，则展开图中的长度为______分米； (2)若该包装盒的长为a分米，求该包装盒的体积； (3)若的长度为45分米，现对该包装盒外表面涂色（含底面），且每平方分米涂料的价格为元，求整个包装盒外表面涂色的费用是多少元？ 【答案】(1)18 (2) (3)101.25元 【分析】（1）根据，设长为，则宽为，高为，结合 包装盒的长为6分米，得到，根据题意，得展开图中的长度为，代入解答即可； （2）根据，设长为，则宽为，高为，结合 包装盒的长为分米，得到，解得，继而得到，宽，高，计算体积即可； （3）根据，设长为，则宽为，高为，根据题意，得展开图中的长度为，结合的长度为45分米，得到，确定长，宽，高，根据表面积计算公式解答即可． 【详解】（1）解：根据，不妨设长为，则宽为，高为， ∵包装盒的长为6分米， ∴， 解得， 根据题意，得展开图中的长度为， 故（分米）， 故答案为：18． （2）解：根据，设长为，则宽为，高为， ∵包装盒的长为分米， ∴ ， 解得， ∴宽为，高为， ∴长方体的体积为：（立方分米）． （3）解：根据，设长为，则宽为，高为，根据题意，得展开图中的长度为， ∵的长度为45分米， ∴， 解得， ∴ 长为，宽为，高为， 故长方体的表面积为： （平分分米）， 故整个包装盒外表面涂色的费用是：（元）． 【点睛】本题考查了几何体的展开图，几何体的体积，表面积，生活应用，熟练掌握几何体的展开，计算是解题的关键． 27．（24-25七年级上·辽宁铁岭·期中）【问题情境】 《制作无盖的长方体纸盒》是北师大版七上的课题学习，某综合实践小组在学习了这一课后，开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【问题解决】 （1）如图所示图形中，是无盖正方体的表面展开图的是 ．（填序号） （2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1）为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．回答下列问题： ①图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面周长为多少cm? ②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．则该长方体纸盒的体积为多少？ 【问题进阶】 （3）若一个无盖长方体的长、宽、高分别为6、4、3，它缺一个长为6、宽为4的长方形底面，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，请直接写出长方体表面展开图的最大外围周长． 【答案】（1）①③④；（2）①长方体纸盒的底面周长为；②长方体纸盒的体积为；（3） 【分析】本题考查简单几何体的展开图，熟练根据简单几何的展开图得出长方体的长宽高是解题的关键． （1）根据无盖正方体纸盒的面数和构成求解； （2）①根据正方形周长公式即可得解； ②根据长方体的体积公式即可得解； （3）根据边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，露出外围的边都是长边，边长最短的都剪，边长最长的不剪，露出外围的边都是短边，据此可得答案． 【详解】（1）根据展开图的折叠， ②只能折成4个面，①③④才能折成一个无盖正方体纸盒， 故答案为：①③④； （2）①长方体纸盒的底面周长为：； ②长方体纸盒的长：， ∵正方形纸板的边长由空白的两个小长方形的宽和空白的两个大长方形的宽组成， ∴宽， ∴该长方体纸盒的体积为：； （3）如图所示， ∴该长方体表面展开图的最大外围周长为：． 28．（24-25七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体的顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： 【观察总结】 （1）五种简单多面体的顶点数（）、面数（）、棱数（）如下表： 多面体 顶点数（） 面数（） 棱数（） 三棱锥 4 4 6 长方体 8 6 12 五棱柱 10 7 15 八面体 6 8 12 十二面体 20 12 30 猜想顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在的关系式是________（用所给的字母表达）； 【简单应用】 （2）能否组成一个有条棱、个面、个顶点的多面体？请说明理由． （3）一个正二十面体有条棱，则它的顶点数是________． 【实践探究】 （4）学校校园文化节，七年级数学实践小组同学制作了各种各样的多面体作品． ①一个多面体作品，只有个顶点，并且过每个顶点都有条棱，则这个多面体的面数是________； ②一个多面体作品如图所示，每个面的形状是正三角形或正五边形，每条棱都是正三角形和正五边形的公共边，则该多面体作品正三角形比正五边形的面数多________个． 【答案】（1），（2）不能，理由见解析；（3）12；（4）①14；②8 【分析】本题考查了顶点数、面数、棱数之间的关系及灵活运用，得出欧拉公式并根据公式计算和列方程是解题的关键． （1）观察（1）中顶点数、面数、棱数可得答案； （2）根据点数、面数、棱数之间的关系即可判断； （3）根据点数、面数、棱数之间的关系求解即可； （4）①根据点数、面数、棱数之间的关系求解即可；②设正五边形块，则正三边形块，则由上面的规律数可以看出，棱数，而顶点数，列出方程即可． 【详解】解：（1）∵，，…， ∴顶点数、面数、棱数（E）之间存在的关系式是， 故答案为：； （2）不能； ∵， ∴不能组成一个有条棱、个面、个顶点的多面体； （3）一个正二十面体有条棱，则它的顶点数是（个）， 故答案为：12； （4）①一个多面体作品，只有个顶点，并且过每个顶点都有条棱，则它的棱数为（条），它的面数为， 故答案为：14； ②设正五边形块，则正三边形块，棱数，而顶点数，由题意得 ， 解得， 所以正五边形为12块，正三边形为20块． ． 故答案为：8． 学科网（北京）股份有限公司 $$