精品解析：福建省浦城第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

2024-2025学年第一学期期中考试高二数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 命题人：叶美 审核人：吴成章 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.） 1. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 2. 椭圆的长短轴之和为18，焦距为6，则椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. 或 D. 3. 已知点在平面内，且平面外一点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 若圆与圆有且仅有一条公切线，则（ ） A. B. 1 C. D. 0 5. 在空间直角坐标系中，平面的法向量为，已知，则到平面的距离等于 (　 ) A. 4 B. 2 C. 3 D. 1 6. 椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上一点，若的周长为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，下列命题正确的是（ ） A. 若到距离之和为，则点的轨迹为椭圆 B. 若到距离之差为，则点的轨迹为双曲线 C. 椭圆上任意一点（长轴端点除外）与连线斜率之积是 D. 渐近线为且过点的双曲线的焦点是 8. 斜率为1的直线与椭圆相交于A，B两点，则的最大值为（　　） A. 2 B. C. D. 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知双曲线，则（ ） A. 的取值范围是 B. 的焦点可在轴上也可在轴上 C. 的焦距为6 D. 的离心率的取值范围为 10. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角的取值范围为 B. “”是“点到直线距离为3”的充要条件 C. 直线恒过定点 D. 直线与直线平行 11. 在空间直角坐标系中，有以下两条公认事实： （1）过点，且以为方向向量的空间直线l的方程为； （2）过点，且为法向量的平面的方程为． 现已知平面，，，，则（ ）． A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点，圆，则圆上的点到的距离最大值为________. 13. 已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为______． 14. 已知直线与椭圆交于两点，弦的中点为，则直线的方程为__________. 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知正三棱锥如图所示，其中，，点D在平面内的投影为点E，点F为线段上靠近B的三等分点. （1）若，求的值； （2）求的值. 16. 已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆A相交于 （1）求圆的方程； （2）当时，求直线的方程． 17. 如图，在三棱锥P－ABC中，底面是边长为4的正三角形，PA＝2，PA⊥底面ABC，点E，F分别为AC，PC的中点. （1）求证：平面BEF⊥平面PAC； （2）在线段PB上是否存在点G，使得直线AG与平面PBC所成角的正弦值为？若存在，确定点G的位置；若不存在，请说明理由. 18. 已知双曲线C：的右焦点为，且C的一条渐近线恰好与直线垂直. （1）求C的方程； （2）直线l：与C的右支交于A，B两点，点D在C上，且轴.求证：直线BD过点F. 19. 已知椭圆C：的离心率为，焦距为2． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线l：（）与椭圆C相交于A，B两点，且． ①求证：的面积为定值； ②椭圆C上是否存在一点P，使得四边形OAPB为平行四边形？若存在，求出点P横坐标的取值范围；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期期中考试高二数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 命题人：叶美 审核人：吴成章 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.） 1. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】先求出和的坐标，再由列方程可求得结果. 【详解】因为，， 所以， ， 因为， 所以，解得， 故选：C 2. 椭圆的长短轴之和为18，焦距为6，则椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知列方程结合计算得出再结合椭圆的交点所在轴即可判断. 【详解】因为, 又因为， 所以, , 解得, 椭圆焦点在x轴时，椭圆的标准方程为：; 椭圆焦点在y轴时，椭圆的标准方程为：. 故选：C. 3. 已知点在平面内，且平面外一点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的共面定理计算即可. 【详解】由点在平面内，可知， 又， 所以，三项相加可得. 故选：B. 4. 若圆与圆有且仅有一条公切线，则（ ） A. B. 1 C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】公切线的条数确定两圆的位置关系，进而得到圆心距和两圆的半径之间的关系，计算即可. 【详解】由题意得，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 又两圆有且仅有一条公切线，则两圆的位置关系为内切，所以，即，解得． 故选：C. 5. 在空间直角坐标系中，平面的法向量为，已知，则到平面的距离等于 (　 ) A. 4 B. 2 C. 3 D. 1 【答案】B 【解析】 【详解】设点到平面的距离为，则，，选B 考点：点到平面的距离的计算. 6. 椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上一点，若的周长为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆方程可得，再结合三角形周长，得，进而可得离心率. 【详解】因为，所以. 因为的周长为，所以，所以， 所以椭圆的离心率为， 故选：B. 7. 已知，下列命题正确的是（ ） A. 若到距离之和为，则点的轨迹为椭圆 B. 若到距离之差为，则点的轨迹为双曲线 C. 椭圆上任意一点（长轴端点除外）与连线斜率之积是 D. 渐近线为且过点的双曲线的焦点是 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用椭圆定义和双曲线定义，直线的斜率，渐近线的应用逐个判断选项即可. 【详解】对于A，若到距离之和为， 即， 则点的轨迹为线段，A错误； 对于B，若到距离之差为， 即，又， 则点的轨迹为双曲线的一支，故B错误； 对于C，椭圆上任意一点（长轴端点除外）与连线斜率之积： ，C正确； 对于D，渐近线为且过点的双曲线方程为， 双曲线过点，则， 故双曲线方程为， 故焦点坐标为和，故D错误. 故选：C 8. 斜率为1的直线与椭圆相交于A，B两点，则的最大值为（　　） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设直线方程，与椭圆联立，利用弦长公式表示弦长，再求最值即可 【详解】设A，B两点的坐标分别为，直线l的方程为y＝x＋t， 由消去y，得5x2＋8tx＋4（t2－1）＝0， 则x1＋x2＝，x1x2＝， ∴|AB|＝|x1－x2|＝ ＝＝·， 当t＝0时，|AB|max＝． 故选：C. 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知双曲线，则（ ） A. 的取值范围是 B. 的焦点可在轴上也可在轴上 C. 的焦距为6 D. 的离心率的取值范围为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据双曲线方程的特征，易于求得，判断方程中分母的符号即可判断A,B项，计算易得C项，先算出离心率的表达式，再根据的范围，即可确定的范围. 【详解】对于A，表示双曲线，，解得，故A正确； 对于B，由A项可得，故，的焦点只能在轴上，故B错误； 对于C，设的半焦距为，则，，即焦距为，故C正确； 对于D，离心率，，，的取值范围是，故D错误． 故选：AC. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角的取值范围为 B. “”是“点到直线距离为3”的充要条件 C. 直线恒过定点 D. 直线与直线平行 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用直线斜率与倾斜角的关系判断A；利用点到直线的距离与充分不必要条件判断B，求出直线过定点坐标即可判断C，将直线方程化成斜截式，即可判断D. 【详解】对于A：设直线的倾斜角为， 则，又，所以的取值范围是，故A正确； 对于B：由点到直线的距离为3，可得， 解得或， 所以“”是“点到直线的距离为”的充分不必要条件，故B错误； 对于C：直线，即，令，可得， 所以直线恒过定点，故C正确； 对于D：直线，即，斜率为，过点， 直线的斜率为，过点， 所以直线与直线平行， 即直线与直线平行，故D正确. 故选：ACD 11. 在空间直角坐标系中，有以下两条公认事实： （1）过点，且以为方向向量的空间直线l的方程为； （2）过点，且为法向量的平面的方程为． 现已知平面，，，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据公认事实求出直线的方向向量和平面的法向量，用空间向量判断它们之间的位置关系即得. 【详解】平面的法向量为， 对于，则，即：， 故经过点，方向向量为，则，即， 故，即A正确，D错误； 对于，即，故经过点，方向向量为， 因点满足平面，即与有公共点，故B错误； 对于，可知经过点，方向向量为， 因，可得，即或， 但点不满足平面，即，故，故C正确. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点，圆，则圆上的点到的距离最大值为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的方程可得圆心和半径，由圆的几何性质可知最大值为. 【详解】由圆方程知：圆心，半径， 圆上的点到的距离最大值为. 故答案为：. 13. 已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的定义转化为可求解. 【详解】设右焦点为，则，则， 依题意有， ，（当在线段与双曲线的交点时，取等号）． 故的最小值为9. 故答案为：. 14. 已知直线与椭圆交于两点，弦的中点为，则直线的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】点差法求出直线的斜率，点斜式得直线方程. 【详解】设点，点为弦的中点，有， 将两点代入椭圆方程，得， 两式作差得，整理得 得直线的斜率为，直线的方程为，即. 经检验符合题意.A 故答案为：. 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知正三棱锥如图所示，其中，，点D在平面内的投影为点E，点F为线段上靠近B的三等分点. （1）若，求的值； （2）求的值. 【答案】（1），，； （2） 【解析】 【分析】（1）先根据空间向量得线性运算将用表示，再根据空间向量基本定理即可得解； （2）先利用余弦定理求出，再根据数量积的运算律即可得解. 【小问1详解】 ， 又， ∴，，； 【小问2详解】 由余弦定理得， 易知； 故 ， ∴． 16. 已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆A相交于 （1）求圆的方程； （2）当时，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】(1)由题意知点到直线距离公式可确定圆A半径，带入到圆的标准方程可求得圆的方程； (2) 过A做，由垂径定理可知圆心到直线，设出直线，可分为斜率存在和斜率不存在两种情况，解之可得直线方程 【小问1详解】 易知到直线的距离为圆A半径r， 所以， 则圆A方程为 【小问2详解】 过A做,由垂径定理可知，且， 在中由勾股定理易知 当动直线斜率不存在时，设直线的方程为， 经检验圆心到直线的距离为，且根据勾股定理可知， 显然合题意， 当动直线斜率存在时，过点，设方程为：， 由到距离为知得， 代入解之可得， 所以或为所求方程． 17. 如图，在三棱锥P－ABC中，底面是边长为4的正三角形，PA＝2，PA⊥底面ABC，点E，F分别为AC，PC的中点. （1）求证：平面BEF⊥平面PAC； （2）在线段PB上是否存在点G，使得直线AG与平面PBC所成角的正弦值为？若存在，确定点G的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） ∵AB＝BC，E为AC的中点，∴BE⊥AC. 又PA⊥平面ABC，BE⊂平面ABC，∴PA⊥BE. ∵PA∩AC＝A，∴BE⊥平面PAC. ∵BE⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面PAC. （2） 存在.由（1）及已知得PA⊥BE，PA⊥AC， ∵点E，F分别为AC，PC的中点， ∴EF∥PA，∴EF⊥BE，EF⊥AC. 又BE⊥AC，∴EB，EC，EF两两垂直. 分别以的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，如图， 则，，，. 设，， 所以， 设平面PBC的法向量为， 则，即， 令，则，， ∴， 由已知得，即，即，，解得或，由，故. 所以存在满足条件的点G，点G为PB的中点. 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定，证明BE⊥AC，PA⊥BE即可； （2）以的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，再根据线面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 已知双曲线C：的右焦点为，且C的一条渐近线恰好与直线垂直. （1）求C的方程； （2）直线l：与C的右支交于A，B两点，点D在C上，且轴.求证：直线BD过点F. 【答案】（1） （2） 由题意可知直线l的斜率存在且不为0，所以， 设，，则，由（1）可知，双曲线C的渐近线为， 又直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，则，即. 联立，消去x得， 则，得， ，，则， 又，所以，， 所以， 所以，又，有公共点F，所以B，F，D三点共线， 所以直线BD过点F. 【解析】 【分析】（1）根据焦点坐标及渐近线的斜率列式求解即可； （2）设点的坐标，联立直线与双曲线方程，韦达定理，根据向量共线坐标运算得三点共线，即证. 【小问1详解】 由焦点坐标为得，所以， 又双曲线C：的一条渐近线恰好与直线垂直， 得即，所以， 所以双曲线C的方程为，即. 【小问2详解】 略 19. 已知椭圆C：的离心率为，焦距为2． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线l：（）与椭圆C相交于A，B两点，且． ①求证：的面积为定值； ②椭圆C上是否存在一点P，使得四边形OAPB为平行四边形？若存在，求出点P横坐标的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）① 证明：由消去y，化简得：， 设，，则， ，， 故， 因为，所以， 所以， 坐标原点到直线l的距离为， 所以的面积为， 故的面积为定值． ②不存在，理由如下： 假设存在椭圆上的点P，使得OAPB为平行四边形，则， 设，则， 又因为，即，得， 与矛盾， 故椭圆上不存在点P，使得OAPB为平行四边形． 【解析】 【分析】（1）根据椭圆焦距和离心率的概念求解即可； （2）联立椭圆方程与直线方程消去y后，利用韦达定理和得出，表示出的面积并化简可证明的面积为定值；假设存在椭圆上的点P，使得OAPB为平行四边形，借助表示出点P坐标代入椭圆方程可得出，与矛盾，从而得出结论． 【小问1详解】 由题意知，焦距，故，又，故， 所以，故椭圆C的方程为． 【小问2详解】 ①略 ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $