山东省名校考试联盟2024-2025学年高一上学期期中检测数学试题

山东名校考试联盟 2024—2025学年高一年级上学期期中检测 数学试题 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列函数在其定义域上是减函数的是（ ） A． B． C． D． 2．设集合，则（ ） A． B． C． D． 3．已知幂函数，满足，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 4．在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 5．已知，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 6．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．设，用表示不超过的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如：．某校要召开学生代表大会，规定各班每8人推选一名代表，若某班人数除以8的余数大于5时该班再增选一名代表．那么各班可推选代表人数与该班人数之间的函数关系可表示为（ ） A． B． C． D． 7．若存在正实数满足，且使不等式有解，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．设集合，函数已知，且，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列函数中，在上的值域是的是（ ） A． B． C． D． 10．已知幂函数的图象经过点，则以下说法正确的是（ ） A．为偶函数 B．若，则 C． D．若，则 11．我们把有两个自变量的函数称为“二元函数”，已知关于实数的二元函数，则以下说法正确的是（ ） A． B．对任意的 C．若对任意实数，则实数的取值范围是 D．若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数的图象关于对称，且，则______． 13．已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集为______． 14．已知，且，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知，若，． （1）写出的一个充分不必要条件； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 16．（15分） 已知函数的图象过点，且满足． （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的最小值． 17．（15分） 已知甲产品在30天内（包括第30天），销售价格为12元/件，日销售量（单位：件）与第天的部分数据如下表所示： 5 15 18 22 26 30 35 45 48 48 44 40 给出下列三个函数模型：①；②；③． （1）请你根据上表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的函数关系，并求出该函数的解析式及定义域． （2）若乙产品在这30天内（包括第30天）的日销售收入（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足，根据（1）中所求函数求这30天内甲产品的日销售收入不少于乙产品的总天数． 18．（17分） 已知定义在上的函数，满足对任意的，都有．当时，，且． （1）求； （2）求证：在上是增函数； （3）解关于的不等式． 19．（17分） 已知集合，若数组，，满足： ①；②； 则称集合为“漂亮集合”，并称为的“配对数组”， （1）已知，若是的一个“配对数组”，写出的值； （2）判断是否是“漂亮集合”，并证明你的结论； （3）若集合是“漂亮集合”，证明：集合的“配对数组”为偶数个． 数学试题答案 1．【答案】B 【解析】对于A，的定义域为，且，而，所以A错误； 对于B，是幂函数，定义域为，因为，所以在其定义域是㓕函数，所以B正确； 对于C，是幂函数，定义域为，因为，所以在其定义域是增函数，所以C错误； 对于D，显然是定义在上的增函数，所以D错误． 2．【答案】 【解析】或，所以或，故选A． 3．【答案】A 【解析】因为是幂函数，所以，因此，所以是定义在上的增函数，又因为，所以，解得，故选A． 4．【答案】D 【解析】由和的图象可知，，因此开口向上，排除A、B，又因为对称轴，再排除C，故选 D． 5．【答案】D 【解析】，所以，选项A错误； ，所以，选项B错误； ，所以选项C错误； ，所以，选项D正确． 6．【答案】C 【解析】因为余数大于5进1，相当于大于等于6时进1，所以加2即可．故． 7．【答案】D 【解析】因为，所以，所以，当且仅当时取等号，所以，解得或． 8．【答案】C 【解析】结合函数图象，当时，则，又因为， 所以结合图象得． 9．【答案】AC 【解析】在上单调递增，所以，值域为，选项A正确； ，当时，，所以选项B错误； 在上单调递增，所以，值域为，选项C正确； 当时，，所以选项D错误． 10．【答案】ACD 【解析】令，代入，所以． 为偶函数，且为下凸函数，所以选项AC正确； ，所以选项B错误； ，因为，所以， 所以，故答案D正确． 11．【答案】BCD 【解析】，所以选项A错误； ，因为所以，所以选项B正解． ， 所以， 所以对任意实数恒成立， 所以，所以，故选项C正确； 存在，使，所以， 因为在为单调增函数， 所以，所以，所以，所以选项D正确． 12．【答案】1 【解析】方法一：结合图象可知，． 方法二：根据点对称的定义，可得． 方法三：设，由于函数的图象关于对称，从而为，的中点，由中点坐标公式，可得． 13．【答案】 【解析】由解集的形式可知2，3为对应方程的两根，且，从而，所以，即，解得． 14．【答案】 【解析】由，由于， 结合“对勾函数”的图象可知当，即时取得最小值． 15．【答案】（1）（不唯一）（2） 【解析】（1）由，得，解得， 命题q： 从而的一个充分不必要条件是 （答案不唯一，只要能写出集合的子集均能得分） （2）命题，即， 由于，从而， 令，由于是的必要不充分条件，从而， 所以解得所以． 当时，，满足． 综上可知，实数的取值范围是． 16．【答案】（1）；（2） 【解析】（1）函数满足， 则函数的图象关于对称，可得，解得， 即，又由函数的图象过点， 可得，解得， 所以函数的解析式为． （2）由（1）知，可得其图象开口向上，对称轴为， ①当时，可得在区间上单调递增， 所以； ②当时，可得在区间上单调递减， 在区间上单调递增，所以； （3）当时，可得在上单调递减， 所以， 综上，函数在上的最小值 17．【答案】 （1），定义域为 （2）11天 【解析】（1）由表格中的数据知，当时间增加时，先增后减， 而①③函数模型都描述的是单调函数，不符合该数据模型， 所以选择模型②：． 由，可得，解得， 所以．由解得． 所以，定义域为． 说明：选择正确模型函数得2分，求对解析式得4分，定义域1分． （2）因为甲产品的日销售收入不少于乙产品的日销售，所以， 所以， 所以， 所以，解得，因为， 所以这30天内甲产品的日销售收入不少于乙产品的总天数为11天． 说明：得到或或得2分，解出得4分，计算得到11得1分，最后答得1分． 18．【答案】（1）（2）略（3）略 【解析】（1）令，所以 （2）任取，且 因为 所以， 因为时，，所以， 所以，即， 所以在上是增函数． （3）， 所以， 则，因为， 所以．所以． 所以， 由（2）得在上是增函数， 所以，即，所以， 当时，解得； 当时，解得； 当时，解得或 当时，解得； 当时，解得或； 综上所述：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 19．【答案】（1）（2）不是（3）略 【解析】（1）根据条件②，，所以， 剩下的数字是3和5．根据条件①，得，由， 所以综上，． （2）写法一： ，若是“漂亮集合”， 则的任意一个配对数组的所有元素之和为 ， 设，定义， 由于满足条件（1），所以也满足条件①． 又因为对于， 所以也满足条件②．因此，也是“配对数组” 这样，对的每一个“配对数组”，通过上述操作， 总可以找到另一个“配对数组”与之对应 下面证明这种对应是唯一的： 一方面，因为， 所以； 另一方面，假设，因为，所以， 所以，与矛盾，所以与是不同的数组． 所以与产生了一一对应关系． 故集合的“配对数组”必有偶数个． 写法二： 由题设，对集合的任意一个“配对数组”（，作的对偶数组，其中，且，显然也是的一个“配对数组” 且如果，则．再证． 事实上，假如，则由，从而可得，矛盾． 从而，的所有“配对数组”可分成若干个对偶组，每组两个． 因此，的“配对数组”有偶数个． 学科网（北京）股份有限公司 $$