精品解析：重庆市第十八中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

重庆市第十八中学2024-2025学年（上）中期学习能力摸底 高一数学试题 考试说明：1.考试时间120分钟2.试题总分150分3.试卷页数2页 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效. 3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最小值为”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 下列函数中，值域为的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知幂函数，且，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 给定函数.，，，用表示，中的较小者，记为，则的最大值为（ ） A. -6 B. 2 C. 4 D. 6 7. 函数满足：，，，当时，，，则的解集为（ ） A. B. C. D. 8. “定义在上的函数为奇函数”的充要条件为“的图像关于坐标原点对称”，该结论可以推广为“为奇函数”的充要条件为“的图像关于对称”，则函数的对称中心为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 下列各组函数表示同一个函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C 若，，则 D. 若，则 11. 已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在上单调递减，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则__________. 13. 已知函数，若，则实数取值范围是__________. 14. 若正实数，满足，则的最小值是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）若，求； （2）若是的必要不充分条件，求的取值范围. 16. 已知是上的奇函数. （1）求的值，并用定义证明：在上单调递减； （2）若在上恒成立，求的取值范围. 17. 校本选修课是中学课程创新中的重要一环，某校生物组计划向学校申请面积为的矩形空地建造试验田，试验田为三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔，三块矩形区域的前、后与空地边沿各保留宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右边沿保留宽的通道，如图.设矩形空地长为，三块种植植物的矩形区域（如下图中阴影部分所示）的总面积为. （1）求关于的函数关系式： （2）求的最大值，及此时长的值. 18. 不动点原理是数学上一个重要的原理，也叫压缩映像原理，用初等数学可以简单的理解为：对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点.已知二次函数 （1）若时，讨论不动点的个数； （2）若，，为两个相异的不动点，且，，求的最小值. 19 已知函数对任意，，恒有，且当时，，. （1）证明：函数为奇函数； （2）求的值； （3），时，成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆市第十八中学2024-2025学年（上）中期学习能力摸底 高一数学试题 考试说明：1.考试时间120分钟2.试题总分150分3.试卷页数2页 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效. 3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称命题的否定为特称命题判断即可. 【详解】命题“，”的否定是“，”. 故选：B 2. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用集合的并补运算求集合. 【详解】由题设，故. 故选：C 3. 已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最小值为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据单调性定义得到充分性，举反例得到不必要，得到答案. 【详解】若函数在上单调递增，则函数在上最小值为，充分性； 函数在上的最小值为，则不一定有函数在上单调递增，如在上不单调，最小值为，不必要. 故选：A. 4. 下列函数中，值域为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数、分式型函数等单调性及基本不等式求各函数在给定区间上的值域. 【详解】A：在上递减，在上递增，值域为，错； B：在上递增，值域为，错； C：在取等号，结合对勾函数性质知，在上的值域为，错； D：在上递增，故值域为，对. 故选：D 5. 已知幂函数，且，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由不等式性质比较相关自变量大小，根据幂函数的单调性比较函数值大小 【详解】由，则，又在上单调递增， 所以. 故选：A 6. 给定函数.，，，用表示，中的较小者，记为，则的最大值为（ ） A. -6 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】先利用条件可求得，进而可求的最大值. 【详解】由，得，解得或， 由，得，解得， 又， 所以， 当时，，所以， 当时，，所以， 当时，，所以， 所以的最大值为. 故选：C. 7. 函数满足：，，，当时，，，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件判断函数的奇偶性和单调性，作出示意图，结合图象利用符号法解不等式即可. 【详解】因，所以在上为偶函数， 又，当时，，所以在上单调递增， 又因为，所以，示意图如图： 由图象可知：时，，，则； 时，，，则； 时，，，则； 时，，，则； 时，，，则. 综上，的解集为. 故选：B. 8. “定义在上的函数为奇函数”的充要条件为“的图像关于坐标原点对称”，该结论可以推广为“为奇函数”的充要条件为“的图像关于对称”，则函数的对称中心为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由奇函数的定义列出方程，代入计算即可得到结果. 【详解】， 由奇函数的定义可知，，所以， 所以有， 整理得：，所以有, 解得：，，所以的对称中心为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 下列各组函数表示同一个函数的是（ ） A. ， B. ， C ， D. ， 【答案】AD 【解析】 【分析】根据“定义域和对应关系相同即为同一函数”逐项进行判断，就可以得到答案. 【详解】对于A，的定义域为，定义域为， 所以与定义域相同，对应关系相同，所以与同一个函数，故A正确； 对于B，的定义域为，的定义域为， 所以与定义域相同，对应关系不相同，所以与不是同一个函数，故B不正确； 对于C，的定义域为，的定义域为， 所以与定义域不相同，对应关系相同，所以与不同一个函数，故C不正确； 对于的定义域为，的定义域为， 所以与定义域相同，对应关系相同，所以与同一个函数，故D正确. 故选：AD. 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对A，举反例判断即可；对B，根据分式的性质判断即可；对C，举反例判断即可；对D，根据不等式性质判断即可. 【详解】对A，若，则，故A错误； 对B，若，则，故，故B正确； 对C，若，，则，故C错误； 对D，若，则，，即，故D正确. 故选：BD 11. 已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在上单调递减，则下列说法正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意得出，在上的单调性，结合函数的单调性，逐项判断，即可求解. 【详解】因为是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且两函数在上单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，因为是定义在上的奇函数，所以. 对于A，由在上单调递减，得，故，故A正确； 对于B，，因为在上单调递增，所以，又在上单调递减，故，故B正确； 对于C选项，因为在上单调递减，故，又在上单调递减，故，故C正确； 对于D选项，在上单调递增，故，但不确定的大小关系，无法比较，故D错误. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用函数为奇函数可得，利用解析式可求得即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以. 故答案为：. 13. 已知函数，若，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】通过分析在与两个区间段内的单调性知，在上单调递增，将抽象不等式转化为具体不等式，即可求出实数的取值范围. 【详解】因为时，单调递增，且， 因为时，单调递增，且， 所以在上单调递增， 因为，所以， 所以或，所以实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 若正实数，满足，则的最小值是__________. 【答案】4 【解析】 【分析】设，得到，假设得到矛盾，即有，结合且，将目标式化为，最后应用基本不等式求最小值. 【详解】设，则，即， 若，则，而，仅当时等号成立， 所以，显然与矛盾，所以， 由上，由，即，则， 所以 ，当且仅当时等号成立， 所以，，即，时，目标式最小值为4. 故答案为：4 【点睛】关键点点睛：应用换元法，结合基本不等式得到，再由将目标式整理只为含的表达式为关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）若，求； （2）若是的必要不充分条件，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求解分式不等式可得，再代入求解交集即可； （2）根据题意可得，再根据是否为空集与集合区间端点列不等式求解即可. 【小问1详解】 则且，解得，故. 若则， 【小问2详解】 若是的必要不充分条件则， 若，则，解得， 若，则且等号不同时成立，解得. 综上有的取值范围为 16. 已知是上的奇函数. （1）求的值，并用定义证明：在上单调递减； （2）若在上恒成立，求的取值范围. 【答案】（1），证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数性质，结合已知条件可解；根据单调性的证明步骤逐步证明即可； （2）转化为在上恒成立，求在的最小值即可. 【小问1详解】 由题意可知：，得：，经验证得，当时，为奇函数； 所以，对，不妨设， ， 因为，所以，， 则，即， 因此在上单调递减. 【小问2详解】 在上恒成立，即在上恒成立， 所以， 因为在上单调递减，且为上的奇函数， 所以为上单调递减， 所以，所以. 17. 校本选修课是中学课程创新中的重要一环，某校生物组计划向学校申请面积为的矩形空地建造试验田，试验田为三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔，三块矩形区域的前、后与空地边沿各保留宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右边沿保留宽的通道，如图.设矩形空地长为，三块种植植物的矩形区域（如下图中阴影部分所示）的总面积为. （1）求关于的函数关系式： （2）求的最大值，及此时长的值. 【答案】（1） （2）的最大值为，此时长为 【解析】 【分析】（1）根据题意表示出空地宽为，再表示出关于的函数式； （2）根据基本不等式求解. 【小问1详解】 由题知空地宽为，则； 【小问2详解】 因为，所以， 当且仅当时等号成立，所以， 所以的最大值为，此时长为. 18. 不动点原理是数学上一个重要的原理，也叫压缩映像原理，用初等数学可以简单的理解为：对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点.已知二次函数 （1）若时，讨论不动点的个数； （2）若，，为两个相异的不动点，且，，求的最小值. 【答案】（1）答案见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题设可得，利用判别式讨论其根的个数，即可得答案； （2）由题设有有两个不等的正根，应用韦达定理代入目标式得到关于的表达式，最后应用基本不等式求最小值，注意取值条件. 【小问1详解】 由题设，令，整理得， 所以， 当或时，，此时有两个不同的不动点； 当或时，，此时有一个不动点； 当时，，此时没有不动点； 【小问2详解】 由题设，令，整理得， 且， 所以，，又，，则， 则 ， 当且仅当时等号成立， 所以目标式最小值为. 19. 已知函数对任意，，恒有，且当时，，. （1）证明：函数为奇函数； （2）求的值； （3），时，成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过赋值法及奇偶性的定义即可证明. （2）令得，再结合抽象函数法则化简求值即可. （3）先根据单调性的定义得在上单调递减，然后利用恒成立法则把问题转化为在上恒成立，分情况讨论二次函数的对称轴，利用函数的单调性求得最值即可求解. 【小问1详解】 因为，都有， 所以令，有，解得. 令，有， 所以，所以为奇函数. 【小问2详解】 令时，有，所以， . 【小问3详解】 不妨设，因为时，，所以， 所以，所以在上单调递减. 因为在上单调递减，所以时，， ，时，， 即时，恒成立， 即在上恒成立，又对称轴为， ①当，即时，在上单调递增， 则，解得，此时无解； ②当，即时，， 解得，此时； ③当，即时，在上单调递减， 则，解得，此时无解； 综上实数的取值范围为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$