3.1.2椭圆的简单几何性质课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线的方程 3.1.2 椭圆的简单几何性质 （第一课时） 一 二 三 学习目标 掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质. 能利用椭圆的简单性质求标准方程. 能运用椭圆的简单几何性质分析和解决问题. 学习目标 复习回顾 1、椭圆的定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的动点的轨迹叫做椭圆。 2、椭圆的标准方程： 新课导入 探究：椭圆的几何性质 用椭圆的方程研究它的性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准 方程 范围 对称性 对称轴是___________，对称中心是_____________ 顶点坐标 轴长 长轴长＝______，短轴长＝______ 焦点坐标 焦距 x的范围:__________ y的范围:__________ x的范围:__________ y的范围:__________ 坐标原点 x轴，y轴 2c 2b 2a -b≤ x≤ b -a≤ y≤ a (±b ,0), (0,±a) (0,±c) 1 2 y o F F M x 新知探究 观察不同的椭圆 ( 如图 )，我们发现，椭圆的扁平程度不同，那么，用什么量可以刻画椭圆的扁平程度呢？ 新知探究 思考：下面椭圆的形状哪一个更圆，哪一个更扁？ 新知探究 椭圆的离心率 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比: 叫做离心率。 (1)离心率的范围： (2)离心率变化对椭圆形状有什么影响？ ∵a > c > 0，∴ 1 >e > 0 典例解析 例 求椭圆16x2+25y2=400的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率. 变式练习1 已知椭圆C1: ,设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等,且椭圆C2的焦点在y轴上. (1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率; (2)写出椭圆C2的方程,并研究其范围、对称性、顶点、离心率. 典例解析 ①范围:-8≤x≤8,-10≤y≤10; ②对称性:关于x轴、y轴、原点对称; ③顶点:长轴端点(0,10),(0,-10),短轴端点(-8,0),(8,0); 规律方法 确定椭圆几何性质的基本步骤 典例解析 【例2】 根据下列条件求椭圆的标准方程: (2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直,且焦距为8. 典例解析 典例解析 如图所示,△A1FA2为等腰直角三角形,OF为斜边A1A2的中线(高), 且|OF|=c,|A1A2|=2b, ∴c=b=4,∴a2=b2+c2=32. 变式训练2 （1）长轴长是短轴长的5倍,且经过点A(5,0).（2）离心率 ，焦距为12. 根据下列条件求椭圆的标准方程: 规律方法 利用待定系数法求椭圆标准方程的关注点 (1)基本思路是“选标准,定参数”,即先明确焦点的位置或分类讨论.一般步骤是:①确定焦点所在的坐标轴;②求出a2,b2的值;③写出标准方程. (2)在求解a2,b2时常用方程(组)思想,通常由已知条件与关系式a2=b2+c2,e= 等构造方程(组)加以求解. 课堂检测 课堂检测 课堂检测 课堂小结 1.椭圆的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率 2.性质的应用：由椭圆的性质求椭圆的标准方程， 根据椭圆的离心率大小可以判断椭圆形状的扁平情况 3.可以通过研究椭圆的方程研究椭圆的性质。 作业布置：P115页第2、3、4题 同学们，这节课你们收获了什么？ =1 ④离心率:e=. 解 (1)由椭圆C1:=1可得其长半轴长为a=10,短半轴长为b=8, 焦点坐标为(6,0),(-6,0),离心率e=. (2)椭圆C2:=1. (1)椭圆过点(3,0),离心率e=; 解 (1)若焦点在x轴上,则a=3, ∵e=,∴c=.∴b2=a2-c2=9-6=3. ∴椭圆的标准方程为=1. 若焦点在y轴上,则b=3, ∵e=,解得a2=27. ∴椭圆的标准方程为=1. 综上可知,椭圆的标准方程为=1或=1. 故所求椭圆的标准方程为=1. (2)设椭圆的标准方程为=1(a>b>0). $$