精品解析：内蒙古呼和浩特市第四中学2024-2025学年上学期九年级期中质量监测数学试卷

呼市四中2024-2025学年第一学期期中质量监测 初三数学 一、选择题（共23分，其中1题到7题，每小题3分，8题2分） 1. 下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】A、最小旋转角度==120°； B、最小旋转角度==90°； C、最小旋转角度==180°； D、最小旋转角度==72°； 综上可得：顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是A． 故选：A． 【点睛】旋转对称图形． 2. 下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B．方程的最高次数是3次，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C．符合定义，是一元二次方程，故本选项符合题意； D.当时，方程 不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 3. 已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是（　　） A. ﹣7 B. 7 C. 3 D. ﹣3 【答案】A 【解析】 【分析】根据根与系数的关系即可求出答案． 【详解】解：设另一个根为x，则 x+2＝﹣5， 解得x＝﹣7． 故选：A． 【点睛】此题主要考查一元二次方程根与系数的关系，正确理解一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 4. 如图，四边形内接于，连接，，是的直径，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理，熟记在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键． 根据圆周角定理得到，，再根据直角三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故选：C． 5. 如图，的图象如图所示，那么关于x的一元二次方程的根的情况（ ） A. 有两个不等实根 B. 有两个相等实根 C. 有两个异号实根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】由图可知的根的情况即图中图象中纵坐标是3的点的个数，据此即可判断． 【详解】解：∵函数的顶点的纵坐标为3， ∴直线与函数图象只有一个交点， ∴方程的根为两个相等的实数根． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的知识，关键是通过看图象直线与抛物线的交点个数． 6. 如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角是的扇形，则此扇形围成的圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接OB、OC和BC，过点O作OD⊥BC于点D，然后根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半、等边三角形判定和垂径定理可得∠BOC=2∠BAC=120°，△ABC为等边三角形，BC=2BD，然后根据锐角三角函数即可求出BD，从而求出BC和AB，然后根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：连接OB、OC和BC，过点O作OD⊥BC于点D 由题意可得：OB=OC=20cm，∠BAC=60°，AB=AC ∴∠BOC=2∠BAC=120°，△ABC为等边三角形，BC=2BD ∴∠OBC=∠OCB=（180°－∠BOC）=30°，AB=AC=BC 在Rt△OBD中，BD=OB·cos∠OBD=cm ∴BC=2BD=cm ∴AB=BC=cm ∴圆锥的侧面积=S扇形BAC= 故选A． 【点睛】此题考查的是圆周角定理、垂径定理、等边三角形的判定及性质、锐角三角函数和求圆锥侧面积，掌握圆周角定理、垂径定理、等边三角形的判定及性质、锐角三角函数和扇形的面积公式是解决此题的关键． 7. 若一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与一次函数的图象，由一次函数的图象判断出， ，再判断二次函数的图象特征，进而求解． 【详解】解：由一次函数的图象可得：，， ∴二次函数图象的对称轴是直线，与轴的交点在正半轴， ∴二次函数的图象可能为： 8. 如图，二次函数的图象与轴交于点，两点，对称轴是直线，下列结论中，正确结论的序号为（ ） ①；②点的坐标是；③；④对于任意实数，都有． A. ①② B. ②③ C. ②③④ D. ②④ 【答案】C 【解析】 【分析】通过抛物线开口方向，对称轴，抛物线与轴交点可判断①、②、③，通过时抛物线取得最大值判断，进而求解．本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是灵活运用二次函数图象和性质． 【详解】解：抛物线开口向下， ，①错误， 、关于对称轴对称， ∴， 则， 故②正确， 二次函数的对称轴为直线， ， ， 把代入， 得， ， 整理得：， 故③正确， 二次函数的对称轴为直线， 当时，抛物线取得最大值为， 当时，， ， 即， 故④正确． 所有正确结论的序号为②③④． 故选：C． 二、填空题（共23分，其中9题到15题，每小题3分，16题2分） 9. 有一个人患了感冒，经过两轮传染后共有49人患了感冒，按照这样的传染速度，经过三轮后患了感冒的人数为__________人． 【答案】343 【解析】 【分析】根据两轮传染后患了感冒的人数=1+第一次被传染的人数+第二次被传染的人数，求出一个人可以传染的人数，即可进行求解． 【详解】解：设一个人可以传染x个人， ， 解得：，（舍）， ∴经过三轮后患了感冒的人数为：（人）， 故答案为：343． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系列出方程求解． 10. 如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点A，点B，点A的坐标为，点M是第三象限内弧上的一点，，则的半径为 ______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形性质、含30度角的直角三角形的性质、坐标与图形性质等知识点． 根据圆内接四边形性质求出，再根据含30度角的直角三角形的性质求出，然后根据圆的基本知识即可得出答案． 【详解】解：∵A、B、M、O四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∵点A的坐标为， ∴， ∵在中，，，， ∴， 为的直径， ∴的半径为5， 故答案为：5． 11. 如图，正方形的边长为，为边上一点，．绕着点逆时针旋转后与重合，连结，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、勾股定理，熟练掌握旋转的性质、正方形的性质、勾股定理是解题的关键． 根据正方形的性质、勾股定理，计算，根据旋转的性质，得出，，推出，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵正方形的边长为3，为边上一点，， ∴，， ∴， ∵绕着点逆时针旋转后与重合， ∴，， ∴,即， ∴， 故答案为：． 12. 将二次函数的图象，沿x轴翻折后得到的新抛物线的解析式为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线的翻折问题．先求出原抛物线的顶点坐标为，可得沿x轴翻折所得抛物线的顶点坐标为，即可求解． 【详解】解：， ∴原抛物线的顶点坐标为， ∴沿x轴翻折所得抛物线的顶点坐标为， ∴沿x轴翻折所得抛物线表达式为． 故答案为：. 13. 如果三点，和在抛物线的图象上，则，，之间的大小关系是______．（用“<”连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线的对称轴和开口方向，以及各点到对称轴的距离即可作出判断． 【详解】解：由题意得：抛物线的对称轴为直线， ∵，，且抛物线开口向下， ∴； 故答案为：． 14. 已知点，是函数图象上两点，则当时，函数值________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的性质，解答本题的关键是求解抛物线的对称轴．根据题意可以求得抛物线的对称轴，可得，从而可以求得相应的y的值． 【详解】解：∵点，是函数图象上两点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴当时， ∴， 故答案为：． 15. 如图，是的直径，点D是的中点，过点D作于点E，延长交于点F，若，的直径为10，则长为________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系，勾股定理；根据垂径定理求出，得到，证明，可得，利用勾股定理求出的长，再求出长，即可得到答案． 【详解】解：连接，如图： ，是的直径， ，， 为的中点， ， ， ， 的直径为10， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， 故答案为：8． 16. 如图，抛物线交x轴正半轴于点A，交y轴于点B，线段轴交抛物线于点，则的面积是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数综合，涉及二次函数图像与性质、抛物线与坐标轴交点、图像上对称点坐标、三角形面积等知识，根据，得到，由二次函数图像与性质求出、，计算出的面积即可得到答案，熟练掌握二次函数图像与性质是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示，轴， ， ，则， ， 抛物线交轴正半轴于点，交轴于点， ，对称轴为直线， 轴， ，则， ， 故答案为：． 三、解答题（共54分） 17. 用适当的方法解下列方程 （1）； （2）； （3）． 【答案】（1），； （2），； （3），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的方法，选择正确的方法解方程是解题的关键． （1）移项，提公因式，用因式分解法解方程； （2）用直接开平方法解方程； （3）先求得的值，再用公式法解方程． 【小问1详解】 解：， 移项得， 因式分解得， ∴，， 解得，； 【小问2详解】 解：， 整理得， 开方得， ∴，， 解得，； 【小问3详解】 解：， ∵，，， ， ∴， ∴，． 18. 已知、是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根 （1）直接写出m的取值范围 （2）若满足，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的两个不相等的实数根，得，即可列式作答； （2）结合一元二次方程根与系数的关系，得和，因为，所以，解得，，结合，即可作答； 【小问1详解】 解：∵一元二次方程的两个不相等的实数根 ∴， 即； 【小问2详解】 解：∵，且， ∴ 整理得， 解得：， ∵由（1）知， ∴ 检验：当时，，即； 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，以及根据一元二次方程根的情况求参数等内容，正确掌握，是解题的关键． 19. 如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上 （1）画△ABC关于原点成中心对称的 （2）画出△ABC向右平移4个单位长度的． （3）若与的对称中心是点P，则点P的坐标为 ． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2）如图，即为所求． （3） 【解析】 【分析】（1）根据中心对称的性质作图即可． （2）根据平移的性质作图即可． （3）连接，交点即为与的对称中心，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，连接，交点即为与的对称中心， ∴点P的坐标为（2，0）． 故答案为：（2，0）． 【点睛】本题考查作中心对称图形，图形的平移，找对称中心，熟练掌握平移和中心对称的性质是解答本题的关键． 20. 如图，已知抛物线经过两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当时，直接写出的取值范围； （3）点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）由题意，根据抛物线的交点式表示解析式，再将交点式转化为顶点式即可得到答案； （2）由抛物线的图象与性质可知，当时，在对称轴处取最小值，再比较当与时的函数值即可得到的取值范围； （3）由平面直角坐标系中三角形面积得到，解方程得或，分类将其代入抛物线解析式解一元二次方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：抛物线经过两点， 抛物线解析式为， 则抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：由（1）知，抛物线的解析式为， 抛物线开口向上，对称轴为， 当时，在对称轴处取最小值，则； 当时，；当时，； 当时，的取值范围是； 【小问3详解】 解：如图所示： ， ， ， ， ， 解得或， 当时，代入抛物线的解析式为，得， 解得或， 则此时点的坐标为或； 当时，代入抛物线的解析式为，得， 此方程无解； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及求二次函数解析式、二次函数图象与性质、求函数值的范围、平面直角坐标系中三角形面积、直接开平方法解一元二次方程，熟记二次函数图象与性质，数形结合是解决问题的关键． 21. 某村为了提高广大农户的生活水平，经过市场调查，决定推广种植某特色水果． 该水果每千克成本为20元，每千克售价需超过成本，但不高于50元，某农户日销售量（千克）与售价（元/千克）之间存在一次函数关系，部分图象如图所示，设该水果的日销售利润为元． （1）分别求出与，与之间的函数解析式； （2）该农户决定从每天的销售利润中拿出100元设立“救助基金”，以帮助其他邻居共同致富，若捐款后该农户的剩余利润是900 元，求此时水果的售价； （3）若该水果的日销量不低于90千克，当售价单价定为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少元． 【答案】（1）； （2）该食品的售价为30元/千克 （3）售价为35元时，每天获利最大为1350元 【解析】 【分析】（1）设与的函数关系式为：，代入，，可求得和；根据利润（售价进价）销量，可表示出； （2）根据利润（售价进价）销量，列出一元二次方程，然后解方程即可求得答案，注意售价的范围是否满足要求； （3）根据该水果的日销量不低于90千克，可求得，由可知，该图象开口向下，对称轴为直线，从而判断出时，有最大值，将代入，可求得答案． 【小问1详解】 解：设与的函数关系式为：， 把，代入得， 解得， 与的函数关系式为： 即 【小问2详解】 解：由题意得，， 整理得， 解得， 答：此时水果的售价为30元/千克； 【小问3详解】 解：， 解得， ， ，对称轴为直线， ∴该图象开口向下， 在时，随的增大而增大， 时，取最大值，此时（元）， 答：售价为35元时，每天获利最大为1350元． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数与利润问题，二次函数的最值问题，一元二次方程与利润问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 22. 如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，如图， ∵为直径， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）连接，如图，根据圆周角定理得到，即，求得，得到，根据切线的判定定理得到是的切线； （2）根据勾股定理得到，求得，根据切线的性质得到，根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，是的直径， ∴是的切线， ∵是的切线； ∴， ∵， ∴， 解得． 23. 如图1，四边形是边长为4的正方形，两对角线交点为O，有两个动点E、F同时从点A出发，点E以每秒1个单位长度的速度沿边从A向点B运动，点F以每秒2个单位长度的速度沿折线方向运动，当其中一点到达终点时另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒，的面积为，的面积为． （1）请直接写出、关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围． （2）在图2给定的平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，并写出函数的一条性质． （3）结合函数图象，求出和面积相等时的t的值． 【答案】（1）关于t的函数表达式为，关于t的函数表达式为 （2） 解：如图，即为所求函数的图象， 函数的一条性质为：时，y随t的增大而减小，或时，y随t的增大而增大； （3）或3 【解析】 【分析】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，三角形的面积，动点问题，函数图象，解决本题的关键是结合图象得到函数的性质． （1）分两种情况讨论：当点F在上时，当点F在上时，分别求出三角形的面积； （2）结合（1）画出函数图象，进而可以写出该函数的性质； （3）结合函数图象，即可写出和面积相等时的t的值． 【小问1详解】 解：根据题意可知：当点F在上时，， ∴， ∵四边形是边长为4的正方形，O是正方形的中心， ∴的面积为， ∵， ∴， ∴的面积为， 当点F在上时，， ∴的面积为， ∵， ∴； 综上所述：关于t的函数表达式为，关于t的函数表达式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当时，令，则， 解得：或（不符合题意，舍去）， 由函数图象可知：当和面积相等时，或3． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 呼市四中2024-2025学年第一学期期中质量监测 初三数学 一、选择题（共23分，其中1题到7题，每小题3分，8题2分） 1. 下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是（　　） A. ﹣7 B. 7 C. 3 D. ﹣3 4. 如图，四边形内接于，连接，，是的直径，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 5. 如图，的图象如图所示，那么关于x的一元二次方程的根的情况（ ） A. 有两个不等实根 B. 有两个相等实根 C. 有两个异号实根 D. 没有实数根 6. 如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角是的扇形，则此扇形围成的圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 7. 若一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，二次函数的图象与轴交于点，两点，对称轴是直线，下列结论中，正确结论的序号为（ ） ①；②点的坐标是；③；④对于任意实数，都有． A. ①② B. ②③ C. ②③④ D. ②④ 二、填空题（共23分，其中9题到15题，每小题3分，16题2分） 9. 有一个人患了感冒，经过两轮传染后共有49人患了感冒，按照这样的传染速度，经过三轮后患了感冒的人数为__________人． 10. 如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点A，点B，点A的坐标为，点M是第三象限内弧上的一点，，则的半径为 ______． 11. 如图，正方形的边长为，为边上一点，．绕着点逆时针旋转后与重合，连结，则___________． 12. 将二次函数的图象，沿x轴翻折后得到的新抛物线的解析式为_____． 13. 如果三点，和在抛物线的图象上，则，，之间的大小关系是______．（用“<”连接） 14. 已知点，是函数图象上两点，则当时，函数值________． 15. 如图，是的直径，点D是的中点，过点D作于点E，延长交于点F，若，的直径为10，则长为________． 16. 如图，抛物线交x轴正半轴于点A，交y轴于点B，线段轴交抛物线于点，则的面积是_______． 三、解答题（共54分） 17. 用适当的方法解下列方程 （1）； （2）； （3）． 18. 已知、是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根 （1）直接写出m的取值范围 （2）若满足，求m的值． 19. 如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上 （1）画△ABC关于原点成中心对称的 （2）画出△ABC向右平移4个单位长度的． （3）若与的对称中心是点P，则点P的坐标为 ． 20. 如图，已知抛物线经过两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当时，直接写出的取值范围； （3）点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标． 21. 某村为了提高广大农户的生活水平，经过市场调查，决定推广种植某特色水果． 该水果每千克成本为20元，每千克售价需超过成本，但不高于50元，某农户日销售量（千克）与售价（元/千克）之间存在一次函数关系，部分图象如图所示，设该水果的日销售利润为元． （1）分别求出与，与之间的函数解析式； （2）该农户决定从每天的销售利润中拿出100元设立“救助基金”，以帮助其他邻居共同致富，若捐款后该农户的剩余利润是900 元，求此时水果的售价； （3）若该水果的日销量不低于90千克，当售价单价定为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少元． 22. 如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 23. 如图1，四边形是边长为4的正方形，两对角线交点为O，有两个动点E、F同时从点A出发，点E以每秒1个单位长度的速度沿边从A向点B运动，点F以每秒2个单位长度的速度沿折线方向运动，当其中一点到达终点时另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒，的面积为，的面积为． （1）请直接写出、关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围． （2）在图2给定的平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，并写出函数的一条性质． （3）结合函数图象，求出和面积相等时的t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $