26.2 第5课时 二次函数y=ax²＋bx＋c(a≠0)的图象和性质-【指南针·课堂优化】2024-2025学年九年级下册数学（华东师大版 2012）

超南什·谋堂优化·九年概下需·敏学参考答案(HB》 --22y-+2 暴5课时二火两最3=2十m十静0) 便棠精切 的国象和性境 2f-1.4. 10口1直线2的函教表达式为y=一十L 【例】y-+号-2y=+ 健抛物悦的表达式为一一 课前优窄 1当其点M,￥.f,Y为属点的平行月边形是 ■NN时，特种前线C同左该利右平移4个单位国 1y=-+2 业品-×后×号单 上内下-会（会如）会会 程合条件的花物间 厚学期峰 L(g,1) 12中 一击或小一名增大一会增大一会减小 1辉以kM,N,N为预点的平行得边形是N3 13口装物视对应的函霞关系行式为y=口一1 封：移格骑就先左成尚右平#个单位科下不B玉10，由-一子+号十五 课室精读 个单位-6得行合养作的抛传线(， 位城的标为，感C的市标为平，学到 ”上面的四种平移，均可周到材金条种的国物线 【例2】i=+n 第4檬时二求品数y一a(x-)3+kn才刚 1=-f-+1+1=-t-+ 专露一二次函数的图象与半母系数的关系 必等：=1时，矩帮A风D的国共有最大值，最大值是 岭图象和性情 (国集开口向下，医出M的南标为？.，对%地屋直校一 承前饮学 厚半和莲 表前收学 2,属数的量大售为 上下y轴左右正且度一两十食有 1-一-日+且 1自上月下4=4h1上 11女当=0时-y=14 票堂精斜 潭外桶库 城小增大编大诚小 翻象与y装的义长标为(0,1)： 【例】王路的有可0得个，用由期. 承堂精诗 1日2.A1》4D (4略 和字释练 【例1】育下2,0w+1,011-行+8) 5.)=-4r一y+15-gx-a一1周 山师2时y随r的增大南增大：背林，y商：的赠D土D <344)=7 大食减小， 果外精塘 s”-+r+44&1 即学母修 障学知信 L.1D天D天I4.B系C4.B无.D C D IB 1D上A310》+A 34y=r-t2y=r-2+ L,21-1,-1x=-1-4A LXP 1.3 【酬】w=d-1d-4由2 第看谋时二次品杜的最值 (3y=2r+r-4. 【m1(-1, 即学饵练 承堂精济 核1M=一=云2DP1一8，一4发2，一， 8y=子十u 卧学即体 课外精越 40 【酬】一子，六1r=1时-8 1.1y少++1.2mt-子L C 1,D2D人DkD5.之-3<-含一8最小一2 系(1的略 即学得路 (2)当y<1时，的重直植用量<一8厦> 在-气，一+2日+r2一吉+3 172h 达1清42路一©顾大教为号 3平华G刚廉所对虚的满数表达式为 【制】(1当一时，y有都小制，推域=一 飞y-一14坐-在，0刚 --r-以+8 不程在最大值： 41y--★-子 段1：=L 课外精修 2)当1产1群，4量=爱-2×3-3=01 2<1N1, 2现物线为3=产产一十子吸 1,日2表b4A 当1-以时m-r-是×1-小一一a 养8课时二试通最解决实移问隐中的最值简恩 5.1=22,大92>t4=1005,0 即学博峰 y=-十x-1 理登猪调 (0,)56-1<0段1C<9 盏+4 0月4>，-1w时-m 4.27.成情k1不u16 漆外精蓝 【例】y-一子十6，自变量：的取顾0则为0 当aC,一1直n>3时，为 1.C2D人AkC5.3&71.u-4 且1y=-r+出+5 9.1.0)[2,-3 K 4m 3.in ns-0·AE--号t---y+ D点u的学标米4，级一1》.十12直01-1X (3心函数的话象自左半样立个单位，两南下平格子个单 象)气上=1时，y的备大靠备上 ,04.当一时5有最大值，最大维为风 L8一2-么2r地 位荐到y=子中山中4的国象 当1世一1时-方饰是小值是一人 厚￥即国 1第十月公司所使利是1指一1n5=5对元 孩10--是+ 但门整物区的对岸的为直位x一， 1,1s=rt-4r=-42十2r0g<1, 12D N1.0.口9,1 2①州上=4时：化据存帮大西积兴2：4气 11门=一：抛物线的因称轴为直线g=一1 2等-A山-(-子+】 P点第生标为2， 工y=a(-}=-+ D存在，点”的里B为一1，一 -u-w+4 2自变量r的取值道网是目 由超造厚答案湖.观胞闻象可得，点 12a=2成。g-1 “当云2时￥他7朝增大南减小 (8补当x期时，子有最大值，日最大黄为2%a 材超动同顶点处时：△A因的博积 1门49，最大值为17 【例】该角定角为45万元时才差使部天的利国”最大： 品大 W0r<4: (3的菌为1或一5， 454=号山GM .当S随r的带大自减小明士的痕直鹰用为C 其大自为名5方无：减果度建价为3，方元时才密使每天 第？深时康二次品餐的表悲式 11,1y=2-十1， 的“轴售农人“最大，其经大耸为2厅元 -号×4×4- 2△CP非的自积为 玉翰性学 即学即峰 人a+e十w2a64F,≠) 此时一1，一4 >于<1.40 (2当睛售单价为门4时，商坏象得制风撞大，苗大料制是 155 156指雨什·课堂优化·花年纸下册·数学(HS) B组（能力提升） 12.如图，已知二次函数y=a(x 第⑤课时二次函数 一h)2十k在坐标平面上的图 (10.8) (0,5 y=a2十bx+c(a≠0)的图象和性质 象经过(0,5)、(10,8)两点，若 a<0,0<h<10,则h可能为 0h10 笔课前优学 ( l.二次函数y=a.x2十bx+c(a≠0)的性质 A.1 B.3 C.5 D.7 我们可以用配方法将y=a.x2十bx十c化为y= 13.如图，抛物线y=(x十1)2十k与x轴交于A、B两 a(+会)+a。产，因此可以由y=a红一h护+大 点，与y轴交于点C(0,一3) Aa (1)求抛物线的对称轴及k的值. 的性质得到y=a.x2十bx+c(a≠0)的性质，如 下表： (2)抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得 PA十PC的值最小？若存在，求此时点P的 a的取值 a>0 a<0 坐标. 开口方向 (3)点M是抛物线上的一动点，且在第三象限.当 点M运动到何处时，△AMB的面积最大？求 对称轴 直线 出△AMB的最大面积及此时点M的坐标. 顶点坐标 抛物线有最低点，当 抛物线有最高点，当x 最值 时，y有最 时，y有最大 小值，y最小恤 Aac-b 值.y大自-c—位 x 时，y随 I< 时，y随 增减性 x的增大而 t 的增大而 I> 时，y随 r> 时，y随x x的增大而 的增大而 注意： (1)探究一般式y=ax2十bx十c的性质往往是化成顶 点式来研究，注意配方的熟练运用 (2)一般式的顶点坐标公式要熟记. (3)画二次函数的大致图象时一般要注意求出与坐标 轴的交，点、对称轴及顶点坐标 (4)比较函数值的大小，应根据二次函数的对称性把 两个点放在对称轴的同侧，然后利用函数的增减 性即可比较大小.一定要记住：若a>0,越靠近对 称轴y值越小：若a<0,越靠近对称轴y值越大. 2.抛物线y=a.x2十b.x+c(a≠0)大致图象画法 (1)将y=a.x2十bx十c化为y=a(x一h)2十k的形 式，求出顶点(h,k)和对称轴直线x=h: (2)在坐标系中画出对称轴直线x=h和顶点 (h,k): (3)在直线x=h的一侧描出三个点，并作它们关于 对称轴的对称点： (4)从左到右用平滑曲线连结七个点，并向两端 延伸. ·18 第26章二决画数 2.(1)二次函数y=x2+2x的顶点坐标为 、课堂精讲 ,对称轴是直线 知识点1二次函数y=a.x2十bx十c的图象与性质 (2)二次函数y=一3x2+m.x十4的对称轴是直线 x=一1，则m的值为 【例】已知二次函数y=+2x十1.解答下列向 3.(2021·深圳)二次函数y=ax2十hx+1的图象与 题： 一次函数y=2a:x十b在同一平面直角坐标系中的 (1)将它配方为y=a(x一h)2+k的形式： 图象可能是 (2)写出其图象的开口方向、顶点M的坐标、对称轴 和函数的最值： (3)求出其图象与y轴的交点坐标： (4)作出函数的图象： (5)写出当x为何值时，y随x的增大而增大？当x 知识点2二次函数y=a.x2十bx十c的图象的平移 为何值时，y随x的增大而减小？ 【例2】如图，将抛物线：y=a.x2一2x十a一4(a为 【思路点拨】先用描点法作出函数的图象，再根据二 常数)向左并向上平移，使顶点为Q的对应点Q,抛 次函数的性质解题 物线（与x轴的右交点P及其对应点P'分别在两坐 标轴上，求抛物线1与x轴的交点E的对应点的 坐标. 【思路点拨】求出原抛物线的表达式，从而确定E、PQ 的坐标，再确定平移的规律，从而求出点E的对应点的坐 标 规律和方法 在画二次函数y=a.x2十hx十c(a≠0)的图】 :象时，列表并不是以原点O为中心向左右两边 对称取值，而是先将其化为y=a(x一h)2十k(a ≠0)的形式，然后运用列表法以顶点为中心对 称向左右两边取值 C规律和方法… 即学即练 本题考查了二次函数图象与几何变换. L.将二次函数y=x一8.x-9化为y=a(.x一h)2十k :般式y=ax十bx十c平移可先化成y=a(x一 的形式为 ( :h)2十k再按“左加右减，上加下减”原则进行 A.y=(x-4)2+7 B.y=(x-4)2-25 平移， C.y=(x+4)2+7 D.y=(.x+4)2-25 ·19 指面针·课堂钱化·花年纸下册·数举(HS) 即学即练 2.(2022·广州)如图，抛物线y=a.x十bx十c(a≠0) 4.(2022·通辽)在平面直角坐标系中，将二次函数 的对称轴为直线x=一2，下列结论正确的是 y=(x一1)2十1的图象向左平移1个单位长度，再 向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为 A.a<0 B.c>0 A.y=(x-2)-1 B.y=(x-2)2+3 C.当x<一2时，y随x的增大 C.y=x2+1 D.y=x2-1 而减小 5已知二次函数y=名女-r+是 D.当x>一2时，y随x的增大 而减小 (1)在给定的直角坐标系中，画出这个函数的大致 图象； 3.(2022·绍兴)已知抛物线y=x2十m.x的对称轴为 (2)根据图象，写出当y<0时，x的取值范围： 直线x=2,则关于x的方程x2+mx=5的根是 (3)若将此图象沿x轴向右平移3个单位，请写出 () 平移后图象所对应的函数表达式。 A.0,4 B.1,5 C.1.-5 D.-1,5 4.二次函数y=m.x2一4x十m有最小值一3，则m等 于 () A.1 B.-4 C.1或-4 D.-1或4 二、填空题 5.如图是二次函数y=一x2十4x十5的图象，根据图 象回答下列问题： .4.3-21012345 (1)对称轴为直线 ,顶点坐标为 ,函 数有最 值为 (2)当 时，y随x的增大而增大：当 时，y随x的增大而减小： (3)与x轴的交点坐标为 ,与y 总课外精练 轴的交点坐标为 A组（基础过关） (4)当0≤x<3时，函数y的取值范围为 一、选择题 (5)当0<y<5时，自变量x的取值范围为 .(202·泸州)驰物线y=一2r+r+1经平移 6.(2024·牡丹江)将抛物线y=a.x2十bx十3向下平 后，不可能得到的抛物线是 ( 移5个单位长度后，经过点（一2,4），则6a-3b一7 A.y--getx 7.若抛物线y=x2一6.x十c一2的顶点到x轴的距离 By=-女-4 是3，则c的值为 Cy=-2r+2021x-202 8.(2022·盐城)若点P(m,n)在二次函数y=x2十2.x 十2的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的 D.y=-x2+x+1 取值范围是 ·20· 第26章二决画数 三，解答题 10.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4,P 9.如果二次函数的二次项系数为1，则此二次函数可 为BC边上的动点（与B、C不重合），PD∥AB,交 表示为y=x十p.x十q,我们称[p,q]为此函数的 AC于点D,连接AP,设CP=x,△ADP的面 特征数，如函数y=x2+2.x+3的特征数是[2,3]. 积为S. (1)若一个函数的特征数为[一2,1]，则此函数图象 (1)用含x的代数式表示AD的长； 的顶点坐标为 (2)求S与x的函数表达式，并求当S随x的增大 (2)探究下列问题： 而减小时x的取值范围. ①若一个函数的特征数为[4，一1]，将此函数的 图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单 位，则得到的图象对应的函数的特征数为 ②若一个函数的特征数为[2,3]，问此函数的图 象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的 函数的特征数为[3,4幻？ 11.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2十bx十 c经过点（一1,8），并与x轴交于A、B两点，且点 B的坐标为(3,0). (1)求抛物线的表达式： (2)若抛物线与y轴交于点C,顶点为点P,求 △CPB的面积. ·21· 指雨什·课堂优化·花年盘下册·数学(HS》 B组（能力提升） 12.(2024·成都)在平面直角坐标系xOy中，A(x1, 专题一二次函数的图象与 y),B(,),C(x,)是二次函数y=一x2十 字母系数的关系 4x一1图象上三点.若0<x1<1,x2>4,则y 必（填“>”或“<"）：若对于m<x1<m十1， m+1<x2<m+2,m+2<x3<m+3,存在y< 笔课前优学 二次函数y=a.x2十bx十c(a≠0)的图象的特征 为<2，则m的取值范围是 与系数a,b、c及b2一4ac(a≠0)的符号之间的关系 13(2024·新楼)如图，抛物线y=2x 项目 字母的符号 图象的特征 字母 一4.x十6与y轴交于点A,与x轴交 a>0 开口向 于点B,线段CD在抛物线的对称轴 a 4<0 开口向 上移动（点C在点D下方），且CD=3.当AD十BC b=0 对称轴为 的值最小时，点C的坐标为 b ab-0 对称轴在y轴 侧 14.已知抛物线C:y=一x2十bx+c经过A(-3,0) ab<0 对称轴在y轴 侧 和B(0,3)两点，将这条抛物线的顶点记为M,它 c=0 经过原点 的对称轴与x轴的交点记为N. c>0 与y轴的 半轴相交 (1)求抛物线C的表达式： e<0 与y轴的 半轴相交 (2)求点M的坐标： 与x轴有 交点（即顶点在 (3)将抛物线C平移到抛物线C,抛物线C的顶点 -Aac=0 r轴上) 记为M,它的对称轴与x轴的交点记为N.如 -4ac -Aac>0 与x轴有 交点 果以点M、N、M、N为顶点的四边形是面积为 B-Aac<0 与x轴有 交点 16的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移？ 为什么？ 课堂精讲 知识点 二次函数y=a.x2+hx十c(a≠0)的图象 与a、b、c的关系 【例1】已知二次函数y=a.x2十bx十c(a≠b)的图象 如图所示，它与x轴的两个交点分别为（一1,0），(3 0),对于下列命题： ①b-2a=0:②abc<0: ③a-2b+4e<0:④8a十c>0. 其中正确的有哪几个？说明理由？ ·22·