27.4 正多边形和圆-【指南针·课堂优化】2024-2025学年九年级下册数学（华东师大版 2012）

指南计·课堂优化·九年级下丽·数学(HS) 27.4 正多边形和圆 #<课前优学 即学即练 1.(1)正十五边形共有 1.正多边形的性质;任何正多边形都有一个 条对称轴;正十二边形 圆和 圆. 的一个内角是它的一个中心角的 倍; 2.正多边形的有关概念; (2)已知⊙O的半径为6cm,则: ①它的内接正三角形的边心距为 圆或 圆的 (1)中心:正多边形的 cm,半径 圆心. cm,它的外切正三角形的边长为 圆的半径. (2)半径:正多边形 cm. (3)边心距:正多边形 圆的半径. ②它的内接正四边形的边心距为 cm. (4)中心角:正多边形每一条边所对的外接圆的 周长为 cm,它的外切正四边形的面积 为 cm{ (5)正,边形的半径和边心距把正”边形分成2 2.如图,已知正六边形ABCDEF内接于O.图中阴 个全等的直角三角形. 影部分的面积为12/③,求 O的半径 3.正多边形和圆的关系:把圆分成n(n>2)等份,依次 连接各分点所得的多边形是这个圆的内接 0 _课堂精讲 知识点1 与正多边形有关的计算 例1】 如图,已知正△ABC的半 径为R,求△ABC的边长a,周长 P,边心距,和面积S. 【思路点拨】 过顶点A作底边BC 上的高AD,连接OC 知识点 正多边形规律性问题的综合应用 【例2】 如图,点M,N分别是O的内接正三角形 ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、...正n边形 的边AB,BC上的点,且.BM一CN,连接OM.ON 图1 规律和方法............... 图3 图4 在解决与正多边形有关的计算时,往往要 (1)求图1中的MON的度数; (2)在图2中,MON的度数为 构造由半径,边心距和边的一半组成的直角三 ,在图3中. 1角形,综合运用垂径定理和勾股定理进行解答, MON的度数为 .......................... (3)试探索 MON的度数与正n边形的边数n之间 .106. 第271 的关系,(直接写出答案) 2.如图,在⊙O中,OA=AB,OC1AB交O于点C 【思路点拨】 连接OB.OC.通过证/BOMCON 则下列结论错误的是 ) 得到 BOM= CON,进一步可证得 MON A. 弦AB的长等于圆内接正六边形的边长 BOC,将问题转化成正多边形的中心角 B. 弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长 C.AC-BC D. /BAC-30” 3.(2024·雅安)如图,O的周长为8x.正六边形 ABCDEF内接于⊙O,则△OAB的面积为( ) B.4/③ A.4 C.6 D.6③ 规律和方法...................... B 第3题图 第4题图 通过三角形全等进行角度的等量转化,并; 4.(2022·青岛)如图:正六边形ABCDEF内接于 :注意从特殊到一般的类比推演。 O.点M在AB上,则CME的度数为 ) .................... A.30* B.36* C.45 D.60{ 即学即练 二、填空题 3.如图,点G,H分别是正六边形ABCDEF的边BC. 5.(2024·镇江)如图,AB是O的内接正n边形的一 CD上的点,且BG=CH,AG交BH于点P. 边,点C在O上, ACB=18{,则=_. (1)求证:△ABG△BCH; (2)求APH的度数 第5题图 第6题图 6.(2024·宿迁)如图,已知正六边形ABCDEF的边长 为2,以点E为圆心,EF长为半径作圆,则该圆被 正六边形截得的DF的长为 7.(2024·广元)点F是正五边形ABCDE的边DE的 中点,连接BF并延长与CD的延长线交于点G,则 /BGC的度数为 1___ 课外精练 A组(基础过关 一、选择题 1.(2024·甘孜州)如图:正六边形ABCDEF内接于 第7题图 第8题图 O,OA-1,则AB的长为 ) 8.(2022·绵阳)在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕 B③ 式中,一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一 A.2 C.1 家”的主题,让世界观众感受了中国人的浪漫,如 1 图,将“雪花”图案(边长为4的正六边形ABCDEF 放在平面直角坐标系中,若AB与x轴垂直,顶点A 的坐标为(2,一3),则顶点C的坐标为 , B 第1题图 第2题图 .107. 指南针·课堂优化·九年级下潜·数学(HS) 三、解答题 B组(能力提升) 9.图①是我们常见的地砖上的图案,其中包含了一种 11.(2024·东营)我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算 特殊的平面图形--正八边形。 术注》中提到著名的“割圆术”,即利用圆的内接正 多边形逼近圆的方法来近似估算,指出“割之弥 细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周 合体,而无所失矣”,“割圆术”孕育了微积分思想 他用这种思想得到了圆周率π的近似值为 3.1416.如图,O的半径为1,运用“割圆术”,以 图① 图 圆内接正六边形的面积近似估计O的面积,可 (1)如图②,AE是⊙O的直径,用直尺和圆规作⊙0 得n的估计值为3{3 323.,若用圆内接正八边形的面积 的内接正八边形ABCDEFGH(不写作法,保留 作图痕迹); 近似估计0的面积,可得的估计值为 (2)在(1)的前提下,连接OD,已知OA一5,若扇形 OAD(/AOD 180})是一个圆锥的侧面,求这 个圆锥底面圆的半径 12.(2022·金华)如图1,正五边形ABCDE内接于 0.阅读以下作图过程,并回答下列问题 作法如图2. 1.作直径AF 2. 以F为圆心,FO为半径作圆张,与O交于点 M.N. 3. 连接AM,MN.NA. (1)求ABC的度数; (2)△AMN是正三角形吗?请说明理由; (3)从点A开始,以DN长为半径,在。O上依次 截取点,再依次连接这些分点,得到正”边形, 10.如图,正六边形ABCDEF内接于O,BE是0 求:的值. 的直径,连接BF,延长BA,过F作FG BA,垂 足为G. (1)求证:FG是。O的切线; (2)已知FG一23,求图中阴影部分的面积 。1 圈2 .108.超南针·谋堂优化·九年概下需·载学参考答案(5》 ∠世∠EAE=AE 厚￥学即国 ∠U站=w,DL WPT是⊙0的线∠？■了 位- 1.62. 又FAB=AC,,》=DC, ,∠1+∠P℃A=. 人.(1证明时 ∠JP=∠A, ABcO的直轻，二∠C君一， 象外精适 g2=1m=4, BD-DE.D-DE..nD-DC “,∠24非= 1.C2,0人，A4C5.25k47,106K1-正1 【例21降 象11)，连接D,0,角月上AB干H, AE的长入 "=1.∠1=∠3.∠A=∠ 厚举和通 15C1k17,4石，1国 2)当△A阅与△1化的国积相等时：动点Q用径过的强 :△AC为9能三角形，)是我边以的中点： 4.A OLU0半分∠LAC, 5.⊙的直积为 27.3圆中的计算问题 长为停学a健学m C@)相1点D.0, 百W州⊥ARH4AB是0)的切模： (巴丙期之间的关系为∠EF=r-会， 幂1保时感长和扇形的面树 以ea= 由a∠-爱-吉 知∠时-g一多∠AG 承前饮学 41路 10(1)E.清接D 明∠D5一龙是悦身： 1带上瑞 -5-w=6灯-当 :AB为⊙0的0线.0工， 同理国年，今字北染两个内角鱼是经角，请以△T是氢 承章精清 第2课时国使的侧面展开图 ∠(A=∠B=年， 身三角思 腰前优单 误外精懂 【倒】国线给长是.室+安+n- ,∠A=. L.n2.030kC5.如6.1r时2名2 学得练 L.前得性长国长子很=成R+ ∠十∠《-1. 米.(2,3) 1.02.1812 健堂精捷 V∠AD+∠YDr1N, ,P=23,PA=1 天)d.:AD半分∠从， 【例1密型线克 ∴∠W=∠AD AB-34- AD∠AA. 障学和懂 ∠D=∠A2.∠=学∠AD, ∠山=∠ 2自ED的半程为& 旅峰1山，ADE年醇名 10:玉号3.04多62 A∠LD年∠BD西 1L1证，△AF△F中， 以1证明：“直是△山C脚内心 =(星 ∠1=∠7， 出品的长一名 【例】零件的素面权5一1C(, 厚学0体 ∠D=∠R 净= :G平分∠A球.÷∠1-李∠， 【钢】5物-气w普夏 4.12g21874写 课外精峰 ÷△NF△a气RS ∠AB球=∠Aw.∴∠1=∠， 即学焊感 I.C 2D 3.C 4.B 5.2 aF=∠F 世∠3a∠2.∠1=∠3，G8k Ac s.D A(1∠nC-, ,℃有©O相切.二看⊥T 程正可，喜1是联的内心，：∠5=∠线： 我(1AE为©)的规线平由毫， (3:D=20f-10m… ∠《F-∠AF=国 ”∠4=∠7十∠1=∠a+∠G 日)用警部分的自积与4，万一生 pO⊥AF p∠4=∠D∴4=2N: 课外所练 ÷,-字·摆·D一5 ,情是©的撞， 3图41 e玉AAn4A复言#61调71是+音： 一×制X0-0的一250m ∴AF是⊙的规线， 4延写(1雀接(，4 ”C=0,A41队，∠《君=∠DE 复4)蛙：：AD,球A 生，(1周懂的体线长能信学位之北为？年 aD档长为对而一青 在△E爬△[军中 边形AD为平行四边形： (2∠且1C山， 12.D∠8=-4∠Aa3=13 (x=(0 ∠B=∠ (3到惨的期自积为x×1对4=1因原r3. ∠Ee∠Ed∠E- ∠OIE=∠E, ∠A-∠且∠AI半-∠D山 我8O的丰径身&了m 帮m店 ∠A∠ACF, 《2这个圆H用本块的表图！为3线料十，3 fn而备一 .△仪△A:∠（羊=∠球 CAF 11,4011235 134147+月 E是包的线： E区晚长1= ∠DE=,品2fxEm, 以社话个每B尚底熙5-X-名王 J 1线1⊙P的直径长=k=AB=12: 组门刻.A道整半圆O的直2 0略 ”(是c0的中挂.若为巨)的切线 ∠CB4, 《2不德在全料©中纳出一个国作为底该型此响总横成一个 an∠ur-盖 青馆.再由略 =小的坐标3一24一2减日十豆，4十臣 ,P是早周0的周国，∠P=r 》无正早经R为值，蓄不管在拿有心中雪由一个柄作为 第3课时期域长宽理 专题三图中常见辅动线的作法 二∠AB=∠P, 盛目与武绿电围成→个铜值.界由路 表前性学 厚∠uD+度x=∠aP+Yx 上则野三内自平计性的 1,A玉可表1可4D501.78B为U ∠A=∠aR 27.4正多边形和圆 承堂精洋 o211非11.33 白∠P约拔数是期 课前优学 【例1】(1△PED的网长为14 441证明：端结A 门两而落分的南积是：一名行 1养接内切工外花内切外技内切国心角 42)∠= ”A为5O的直， L门旺蓬核 E山用 163 164 指南针·课堂优化·九年饭下导·载学参考答发(H8) 限室得诗 矣1)证项网 好弹的录后半径，从中任意项是的口和烟弹的柔合平径量经博 静一个棒本 28.3借助调查做决策 红期西器分的国阻-府一 即学雪线 课堂精国 口学超 报证第，：压- 4.的杆香00个灯离的用寿食特个灯用【1】()甲：5乙：303)廷 L1551m185E24区14 ∠风下=∠F 东合0十灯湘的伦用与命0 3早均数为10的.中位酸为静.众数为a 2.@0的学登为1 :∠AU=0. 【例3】B (4到将，丙限明中适率是上升趋给，视明限传特经量异，属然指 【例2】1》∠棉-1a.空r2 ∠A十∠Fw-r:∠F+∠K下= 即学海括 好尾过的：们风克不是围大，耳裤度精霍（荐第不事一 ∠N-y ∠A=k 再学醇蓝 即学年蓝 aE-5,DE-器 课外得纸 12 LA1.C1u4D系d06@ 141)日5和2力杯中样的牌者成能较好 3(1整明：：六边形A属T为王气边虑， 1h.)∠通=3r ?.直总体样本轴样到收《运国 A指-国 田么r情红的搭的长的话一号 线小点体，适柱下轮的直径：体，每个军轮的直径：样本，轴眼 34-号[m-防+m一5y十场一×2 ∠A=∠=15 的00个轮的直轻，样本容量1风 在△A与△.H中， 章末训练题 (息伟，我校九华学生完或课外作数的时闲：个珠：每名几 4-寸×(0-0r+网一心y×:十（节-P+ A- 1.C之A玉D4D5.CaC1.B8H.6m ∠A=∠C 甲本：这回名几年假-学生完成深外作的时到：样本容量： 度，=T 报时山.制肉减相交2裤B4行 世<南 △AMB△WH 1反11)E=2径EM(2证明障 4,(不合话，表国有的儿自鞋有条作上.财几山网因此其在始见 对中影代表风建干塘较为总定 (2APH=13 un-8n-8n-}:-9 同某韩群到水不具有代表拉 【例1】州兰更令人登对低公同的数验蒸蒂目上：它门两表房 调外相修 (2合逼，g是一偶#样的法：具有代表性 的数据相同：南个图以轴上到一单位长度新表示：的变文不风，为 k)AE=及(2延明精. 真查成闻的频斜程度同，量人以不用仿感说 LC 2D AB4D&0k97.1wR日-2点，3 (合适，这是一随框地棒的为法，其有代表性 1.11)证调略(2任明降口E=空 (4不合活，一个学授初中生有兰个，是一学生不 厚学目体 具用仕少这钢雅就面两倚华径为号 K【使考】如阁1，日设点D在GO内，据长AD交⊙)于点F 有代表性 3号公司 进接E.则∠AH=∠CH. 44)5人，周障 号∠AB量ADE情外角，∠A>∠B 2)小为相作的烧计图里为真现、清楚地反映优家海特：产 tL,25 士∠AB83∠k 28.2用样本估计总体 生情觉的四是小明制作的饺计阳银物的起站量是1 2.(1∠AB=a 立与并∠卷=∠A0面并臂，附日点D息不在.⊙0内， 国室精读 )参加，感个维话的人数比较. 期以点》膜不在⊙O内，虫不⊙0外，点D在o0上， 【例】1中4 (2△LN是E三角用，用由精山1w的菌是丘 44a0×易-mt名 专露四求圆中期影部分面积的方法 【攻阳1证璃略一号 目学军体 LD 2B 果粹精压 1.12A304C系通①6不企道 LA玉：天A号-9B≤专+8 第28章样本与总体 【例2】1》料，2)7略 1)减校人年量共有学生阳人：年果全路参加达武湖其，测以 1,发全西年满意度优计选项总们不到的网 k这个围的情性是不合透岭，此胃情人的5觉是甲厚牌电规枫 书多Aa-1宁2一km-a 以.」格蝌可查传意义 成情身A显的学下大的有排人. 即学理据 的帅图母是乙品理电规板销因慧的5，无辉甲昌商电浅 课前代学 机的前售量仪是亡昌牌电说积销再家的里值， 第27章《圆》知识培构与中考链接 3.表行 1D430 象1)0剂略2 妃够太 5山山样本容量为+12列=就 LD21净f3C4.1,55.rm石成2Cw8 课登情讲 平均数为1岁，中公数为14复，众数为1后岁： 3州好物端1能绑生与1名女牛的领拳为位一 在相受 【%1】B 计镜校中前在占岁及其上信学生人数为 组网为甲平均每华增长2元：乙平同年年槽长4元：所以乙种 7,(11整明A山基©)的直整， 军学厚莲 1用×墙十=凯 品弹消的前样增长比较快图象翰人的8觉不章，8觉 ÷∠C事=，厚∠害+∠顶E=. 1.n2D 摩增长的里续：在绘时，线的单位长度要线一 ADBE. 【例】.总是这一提崔的使用专命，个体是其中每个灯 LD2B3.A4D813&200.2083×3 11.A A∠A在E=∠D,∠KE=∠ 图的税用春命，从中物取的0只灯准的债用寿命是总练的一 线1腾(2114.14五 1141310 X“∠R=∠AED.∠AED+∠D-, 样本， (估计这种宝副产仙在该秀度内半均材关的植售前是 2)成模区一军共军节的用水的地数身红6到吨 去∠nK=,即A0A民 1.储万元 瓜要查诗水龙头义要发适情的家道共有3户 N是丰轻，：D是⊙的切收 峰缓子生耳天的稀配时间.丸甲微人个周中军好各编5名个星 C2报之=名 共0名学生的每天配叶词是0体的一个榨本. ,110m2怡好利的州一男一女的照率为号-专 第8章样本与总体)知识结构与中考选接 (1达同论为尊直角三危，略.2)= 总体是某种号的的角钱事，个体是好制种型的 (什接校克被优学生人数为×水= 165 166