27.2 第1课时 点与圆的位置关系-【指南针·课堂优化】2024-2025学年九年级下册数学（华东师大版 2012）

超南什·谋堂优化·九年概下需·敏学参考答案(HB》 上卡餐视段直径ABD新氧优爱∠C. 4∠D面血1∠DE■r, 1平这条烈平计经所对的调条国摩直干路条延 H∠ADE=∠UKC ∠T,∠8 ·∠xW-1∠食M.r-x 平台在所时的利弟属 AB=,∠A8=∠H, 素空防殊 课空精汗 ∠用=∠0.÷∠A刚=∠Af 【例】C 【例2】证明，接CE(王AB, 【例】(1不=v= 即学焊感 ∠∠段4：∠段)∠M 2n∠B- 证明，"P平是∠D∠0P=∠了 1.2.h 义深-(.∠9=∠A里，∠M0=∠ OC=OP,品∠P=∠ 眼1△AC是等睫百角三角形.再路 【例】B AD-AE “∠a-∠是，品 42×T). 即学抑括 饵学即修 p1∴0rLM.二r-i 1,1明：U是直经 &A4.C +M里：∠0-∠w,-R.:-全 掌每结 ∠AEB,AEL 【例3】∠A=2 球=，溶=活 上.A之A人这个国边形是变师：理由响 =C=男 零字同练 5.正.=D,下-四 【酬】不形某取紧2信练 又Ar=平 线D&A出-2AD 点AC'=d,E=DF,ME=HF 即学理修 ∴.同边形A降是平行P四边 深外精炼 点AE=四，△M△因F. 4C5.1am成7mm 叉女一A比四边愿AH是菱港 1c2.C3+0 -∠n 黄货鞋性模料通计底销 系@0_半径相等线位A、C,AC需n.在 《25n,5m兰 澜外糖修 康外精修 A由.B到心角 1,D2.AAD+C支①ek3,5成5明 Li2点D4H5.5mk42.1224 21任明：是接 6.2/7.207 K 发17 A山是S的直径，∠A用可衡 K25减w5 年，明：连接AF 乳I明：过点O作(ELAB于点E.侧（军DE1E=E AB-M8D-D 象AC的较为 0证明：目)一(，p许制是（具，审的中点， AB=UF,÷∠B-∠AF省 5-长 C(2 :山形A国D有平行国边色.∴A0度 AC- 队经4D 夏∠0=∠ ,∠AG=∠B,∠AI=∠E4F 1k-8-&7 1》∠AD=r, △，N☑△a(ss: ∠AE∠EF,E=E an情在调伊的中径为护m 2性用：博，建长： ∴.∠A=∠ 款正.(1选情P联 “料边用A风)是调内战四也用 PAPB ”∠A=∠0 11.目44D-17(20=名 i∠N=∠A. 品∠代E=∠A a=字4.0=.c=地 12.4山.售 又片∠A害=∠山 CD分利昆卡径1,4山的中当，c40 14直C的保标为2，， :∠APE-∠Tm. 又∠1=∠2， 在△△0中 第十采时国两角 ,下度 ∴.△4@△THAAS》,.A片=E (C=0, 漂前发掌 过直D作DG安GO 1L证明，1)连接01，用.F,周4发 ∠=∠代 上国点在因上相交土和等一半 于点0，i连接 边丽A线D是正方形，AD细 作=久 表置相等有角提4丘补内对角 p0度.》一G ∠A=∠雀T-r, △X△Yx1C=T 事堂精饼 , 民△A△M1k.4)=(美 ,△aAP,∠)=∠2 【例】∠UD= 出料边形D是周内陵国边那 (白正方形1冰的当长为， HO1m4期，∠1=∠且品∠A+∠HD 即学厚练 ∠DE=∠AU 12C 1 H ∴∠PEF=∠P呼gPE=F 1.75上0玉引45 已量下 1419- 3.A严+P的小值品2.2CAB 【酬】(1E,”∠1”∠D .罩京.∠=∠求 心长给大销为√0一（号）一是司 4.E别：莲培C,成'C,D是An偷三等分点， 1∠1s∠C, .∠X-∠A01, .AC-D=0∴.C-(D= 品∠C=∠D,风B③ Y∠AFE-∠A,∠AX-∠A 第上课时国的时得性 又I∠ADB=, 2)可0的直径为三 ∠AFE=∠MA, 课前以学 ∠N-∠0D+∠D出-a 印学甲然 HAE-,△AEFA△GLAAS 1.规转对将自身物直轻 OL出，∠， 2相等阳尊相等圆心角有条置简条瓦臂条蕊的点 .∠的8=2程4=5， 不相。细 心艇 ∠A=∠C+∠AU=. 1(3,ED= 27.2与圆有关的位置关系 点阳等 在△C中，(0H=C 品∠C=∠ 蛋堂精滑 ∠x-∠8，∠4-∠ 第【课时充考周的仕荒美系 【到1】∠-'-T一37 ∠kD--亚-m, Al-AC 闲前伏字 即学焊越 ∠A目=∠w人AE=, C2.不月一直线上 1A2 同理国科非=，本-F=B 山2=子 木.三角男的内耳斜边的中或外理 1证明：连接(2，世D是工的中点：（一军 课外练 健堂精标 第3课时叠径家见 【例】41D当山在心c内. 0-5,DLAn.∠么2- 课前优学 1A26玉A4心5四4号元.时系应 WDE8AB,品∠EO=18-∠1M=r 上，的作对释维 象()明：：库边银A度D是©0的座接等连野 2©C悔单轻r鹤取整用是正C3 150 指南针·课堂优化·九年饭下导·载学参考答发(H8) 即学超 号在菱服AB改D中特=，思=《CLDA酸=(D,于)证W:逐候W 5n=4·期=，00=5m AC=,∠重=f, 31点A在⊙D内.点A在回0外 2D冷Cm得C号 ,△B为尊题直角已角B,,∠CA=了。 点A在⊙静上 【御2】1痛：日)1中附车满的半轻为13m 二当<x<号时，©P与A所在直线相病： DABE=D球 .,∠T0=∠Ci=, 4E=非 EF,∠0+∠E0=, 原学军播 四9一制对一多， :4进为@0朝丰径， ,∠T)=w了E为o情切线 4.C,5D 【例】1反明：”AD为△A国外浅的直径A0L, 4球是⊙O的中经，⊙0归D框银 二4=安时，©P任A8所在直线用明： 任©0牌径2回 即学年场 ∴，D=T,DD L(1)装引道花A, 3非 2)B,EC三出在拉D为同心：D非长为半的网上，理出群 @当号<时.⊙严与AB所在直线用交 ABwC,∠&C13r 1411x-3P+y7=14 每学海练 12用月1且：或行减10 ∠0-∠=， +1+y+T8 。△AC外框据的半轻为孕 14(1)当⊙P与直线F=1用切时：点P的坐标为 A0=,∠0=∠B-w 2)①明略， ①存在. 演外精练 (6,号)减(-.-号) ∠D元=2∠Br, 其四一1，)周C,以多为丰轻的⊙P的方程为，十3 LB3A及B4C&2或276点”在30内 2)行一1<r5,⊙P与自线x是相壁 7.8m直2m G一1流x>路时，⊙P与直线年=2相离 六C是分心角国线： 十(y一Y=, 第2课时胡汽的性眉 4在川-一1.一量人 1n-1.1S1, (8⊙D价卡径D=28 果铜优学 2>国，⊙D有y轴图交 2(1i证，WAB为⊙O的直径， 。P的牛移为厚 A0⊥， 十属的单轻保直级直干团A原直千同心 2∠r<1时，⊙D与)结帮篇 课堂精讲 t.(41略2S=25g 32I,, 在△U的程a△x中DD 27.2.3切线 AD-AC 【到1】1用，连提小 1L的△A度的外据圆面积为子工 k△Am△k国Hlp与 2切©)tT,4r1Q 《WAC⊥Q.UT 22号队A 第1保时切抗的判定定 (2D君与⊙O相间，理自席 ”∠TC=∠Anh 保前优学 11明，”∠B:∠EAB所对的属是同其， 4.(u展-，21e0的状为 ∠EDW=∠E1B, 发月=04.乙A=∠n, 一合尊于中径羽外病重直这养单及 :花4D+∠1指-5. 5∠14T=∠T,■AT平分∠a0 第1银时直或与周的位是头系 课登情讲 [剂1】11星⊙的线-理由略 ∠EAD+∠Ei=4.厚∠D=4, 2c0的中为2 使前状学 晖学料修 L没有只有一个即线切意有两个线 (2到的样格为L5,C的轮为1 ?AB为直是，4∠AL第=，∠月=B 1.271A 2相交制转1周 【例】11调：连接0' An=G,∠I=∠G=', 入L璃障 【例1】1省F=2m时，水>，斯以cC与AB相离 G=g.∠0x-∠x ∠AB-, 42)1MN=2, 1=2m时，有=，所以⊙行A业材级 ∠孩=∠，∠DG=∠F :A作为©的直使，：与心)相国 【纲】)刻诗玻， 5)车-m时.有∠.所时⊙与山射交 球Am.二/AG=r g-2面 DL,0径过属心0 即学军格 ∠A十∠F, 演外转城 SAD-CD.A- L.B 1. C=,.∠A=∠AT L日2A1A4)客盖471k或 在△LP△P中， 1<1时，相受一4时，相切：4，相离 ∠，十∠k0=.∠O)=DC1( 4= 【例2】10513,1.2)."c-0,3,-力， 气汇是30的中挂，二深是⊙0的切线 8-2Gr5 PAPC L51.一位<2.y轴与8P相必 aF=果 生项略 op-or 2)H(2,39.”,(-2.-50 【铜月3可连接 适到路以em=李=子 1一2，且1|，“2输与©P商 “点C量正的中点我E L4安明，：证 P1是O的同成，，∠1P=城 门)不差，理由移 ∠=∠A .∠A=∠M5. 二.∠P=了，厚(L 和学无压 "以=n∠A=∠4Y ∠CA0+∠E+∠DA十∠Aw一1，且PT是o0的国 ∠CA=∠D,(T ∠CD∠CD, (3下=63. 置外料场 AELOF。 3∠CAD+I∠4=1J 国学程性 LB3.A&A4C&m61减nT4 x是3的中提，是)的线： 得∠D+∠H1E=r, 4《明：连晴已 Mw8,2成（一2） (2AF=6. ∠A0=∠CD+∠hE=, 1中为©的切线.x1》 男以)为周心，2m为平径的周菱鬼型边相离 【例+】证研：延长段突D干点F 01是⊙(？的半径，且ADL4, YCD LAD.AOCYAD. 当半经为2m叶，。0与流形国E都恒规 士在菱形A联D中， A0是⊙0的国线 ,∠B=∠E A81D,军⊥AL.4球 (2eU的卡格长为2高 161 162指南针·课堂优化·九年级下丽·数学(HS) 27.2 与圆有关的位置关系 第课时 (2)由(1)求得AC、BC、MC的长度即可确定C的半 点与圆的位置关系 径,的取值范围. #K课前优学# 1.点与圆的三种位置关系 若设点P到O的圆心O的距离为d,O的半径 为r.则 点在圆外:点P在⊙O外一d r. 点在圆上:点P在⊙O上一d r”. 点在圆内:点P在⊙O内一d 2.确定圆的条件 的三个点确定一个圆 3.三角形的外接圆 过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆,外接圆 的圆心叫三角形的外心. 注,外心和三角形三个顶点的距离相等 4.外心位置 锐角三角形的外心在 直角三角形的外心是 -规律和方法..................... 钝角三角形的外心在三角形的 (1)判定点与圈的位置关系,主要是把这些 5.三角形外接圆的作法 点到圆心的距离d与圆的半径,的大小加以比 (1)作三角形两边的垂直平分线,确定其交点; 较;当d ,时,点在圆内;当d一r时,点在圆 上:当d,时,点在圆外; (2)以该交点为圆心,以交点到三个顶点中任意一 (2)要使三点中至少有一点在圆内,且至少 点的距离为半径作圆 有一点在圆外,圆的半径应介于这三点到圆心 的距离的最小值与最大值之间. -课堂精讲 ......................................... 即学即练 知识点1; 判断点和圆的位置关系 1.已知圆O的直径是方程x-5x-24=0的根,且 【例1】已知在△ABC中,C-90{,AC=2,BC= 点A到圆心O的距离为6,则点A在 ) A.圆O上 3.AB的中点为M. B.圆O内 C.圆O外 D.无法确定 (1)以C为圆心,2为半径作⊙C.则点A、B、M与C 2.如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD-3,以顶点 的位置关系如何? D为圆心作半径为,的圆,若要求另外三个顶点 (2)若以C为圆心作⊙C,使A、B、M三点中至少有一 A、B、C中至少有一个点在圆内,且至少有一个 点在C内,且至少有一点在C外,则C的半 点在圆外,则,的取值范围是 径,的取值范围是什么? 【思路点拨】 (1)要判定点A、B、M与C的位置关 系,只要比较AC、BC、MC的长度与C的半径的大 小关系即可. .74. 第27章 3.如图,在△ABC中,AB=AC=5,D是BC的中点 即学即练 现在以D为圆心,以BD为半径作D,求 (1)BC一8时,点A与D的位置关系; 4.已知a、、c是△ABC的三边长,外接圆的圆心在 △ABC一条边上的是 (2)BC-6时,点A与D的位置关系 ) (3)BC-5/②时,点A与D的位置关系; A.a-15,b-12.c-12 B$ -5.6-12.c-12 C.-5.6-12.c-13 D.a-5,b-12,c-14 5.如图,在5×5的正方形网格中,一条圆狐经过A. B.C三点,那么这条圆狐所在圆的圆心是 ) P2A A.点P B. 点Q C. 点R D.点M 知识点3 与外接圆、外心相关的综合题 【例3】如图,AD为△ABC外接圆的直径,AD BC.垂足为点F,ABC的平分线交AD于点E,连 结BD,CD. 知识点2 与确定圆的条件相综合的问题 (1)求证:BD一CD: 【例2】 1如图,破残的圆形轮片上,弦AB的垂直平分 (2)请判断B,E,C三点是否在以D为圆心,DB长为 线交AB于点C,交弦AB于点D,已知AB-24cm 半径的圆上?并说明理由 CD-8cm. (1)求作此残片所在的圆(不写作法,保留作图痕迹) (2)求(1)中所作圆的半径 【思路点拨】 (1)只要做弦AC的中垂线与CD的交 点即可:(2)由作法在Rt\BOD)中据垂径定理及勾股 定理易解. -.规律和方法.......................... 本题主要考查过三点的圆与垂径定理的综。 合应用. .75. 指南针·课堂优化·九年级下册·数学(HS) 即学即练 4.(2024·广州)如图,O中,弦AB的长为4v3,点C 6.如图,在△ABC中,AB=AC=10,BC-12,求 在O上,OC1AB.ABC=30{}O所在的平 △ABC的外接圆半径 面内有一点P,若OP一5,则点P与O的位置关 系是 ( ) A. 点P在O上 B. 点P在O内 C. 点P在⊙O外 D. 无法确定 二、填空题 5.直角三角形的两边恰是一元二次方程^-7x+12 一0的两个实数根,则三角形外接圆的半径是 6.已知⊙O的半径为1,点P到圆心的距离为n,且方 程-2x+n=0有两个不相等的实数根,则点P 与O的位置关系是 7.(2021·张家界)如图,△ABC内接于⊙O,A= 50{},点D是BC的中点:连接OD.OB,OC,则 _BOD-___. 课外精练 A组(基础过关 一、选择题 1.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了,其中四块碎片 如图所示,为配到与原来大小一样的圆形玻璃,小 8.(2021·青海)点P是非圆上一点,若点P到⊙O上 明带到商店去的一块玻璃碎片应该是 的点的最小距离是4cm,最大距离是9cm,则O的 A.第①块 半径是 B. 第②块 三、解答题 C.第③块 3-1上是否存在一点P,使得以P D. 第④块 9.在直线y一 2.在数轴上,点A所表示的实数为3,点B所表示的 为圆心的圆经过已知两点A(-3,2),B(1,2)?若 实数为o,⊙A的半径为2,下列说法中不正确的是 存在,求出点P的坐标,并求出P的半径 ) A. 当a5时,点B在⊙A内 B. 当1<a<5时,点B在A内 C. 当a<1时,点B在A外 D. 当5时,点B在⊙A外 3.如图,△ABC是O的内接三角形,AB=BC BAC=30{*,AD是直径,AD=8,则AC的长为 1 ) A.4 B.4/③ C D.2/③ .76. 第27章 10.已知:在△ABC中,AB一AC 13.在锐角△ABC中,/A、B、C所对的边分别 (1)求作:△ABC的外接圆.(要求:尺规作图,保留 为a、、c,有以下结论: 作图痕迹,不写作法) (其中R为△ABC的外接圆半径)成立,在△ABC (2)若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离 中,若 A-75^*}, B=45^*,$c-4,则△ABC的外$ 为4,BC-6,求Soo. 接圆面积 ( ) A.16π 64π C.16π B. D.64 3 3 14.(2024·苏州)如图.△ABC中,AB=42,D为AB △ACD的外接圆. C (1)求BC的长; (2)求⊙O的半径 11.已知Rt/ABC的两直角边为和,目a,是方 程x-3x十1-0的两根,求Rt△ABC的外接圆 面积. B组(能力提升) 12.如图,数轴上半径为1的O从原点O开始以每 秒1个单位的速度向右运动,同时,距原点右边 个单位有一点P以每秒2个单位的速度向左运 动,经过 秒后,点P在O上. .77.