27.1 第4课时 圆周角-【指南针·课堂优化】2024-2025学年九年级下册数学（华东师大版 2012）

超南什·谋堂优化·九年概下需·敏学参考答案(HB》 上卡餐视段直径ABD新氧优爱∠C. 4∠D面血1∠DE■r, 1平这条烈平计经所对的调条国摩直干路条延 H∠ADE=∠UKC ∠T,∠8 ·∠xW-1∠食M.r-x 平台在所时的利弟属 AB=,∠A8=∠H, 素空防殊 课空精汗 ∠用=∠0.÷∠A刚=∠Af 【例】C 【例2】证明，接CE(王AB, 【例】(1不=v= 即学焊感 ∠∠段4：∠段)∠M 2n∠B- 证明，"P平是∠D∠0P=∠了 1.2.h 义深-(.∠9=∠A里，∠M0=∠ OC=OP,品∠P=∠ 眼1△AC是等睫百角三角形.再路 【例】B AD-AE “∠a-∠是，品 42×T). 即学抑括 饵学即修 p1∴0rLM.二r-i 1,1明：U是直经 &A4.C +M里：∠0-∠w,-R.:-全 掌每结 ∠AEB,AEL 【例3】∠A=2 球=，溶=活 上.A之A人这个国边形是变师：理由响 =C=男 零字同练 5.正.=D,下-四 【酬】不形某取紧2信练 又Ar=平 线D&A出-2AD 点AC'=d,E=DF,ME=HF 即学理修 ∴.同边形A降是平行P四边 深外精炼 点AE=四，△M△因F. 4C5.1am成7mm 叉女一A比四边愿AH是菱港 1c2.C3+0 -∠n 黄货鞋性模料通计底销 系@0_半径相等线位A、C,AC需n.在 《25n,5m兰 澜外糖修 康外精修 A由.B到心角 1,D2.AAD+C支①ek3,5成5明 Li2点D4H5.5mk42.1224 21任明：是接 6.2/7.207 K 发17 A山是S的直径，∠A用可衡 K25减w5 年，明：连接AF 乳I明：过点O作(ELAB于点E.侧（军DE1E=E AB-M8D-D 象AC的较为 0证明：目)一(，p许制是（具，审的中点， AB=UF,÷∠B-∠AF省 5-长 C(2 :山形A国D有平行国边色.∴A0度 AC- 队经4D 夏∠0=∠ ,∠AG=∠B,∠AI=∠E4F 1k-8-&7 1》∠AD=r, △，N☑△a(ss: ∠AE∠EF,E=E an情在调伊的中径为护m 2性用：博，建长： ∴.∠A=∠ 款正.(1选情P联 “料边用A风)是调内战四也用 PAPB ”∠A=∠0 11.目44D-17(20=名 i∠N=∠A. 品∠代E=∠A a=字4.0=.c=地 12.4山.售 又片∠A害=∠山 CD分利昆卡径1,4山的中当，c40 14直C的保标为2，， :∠APE-∠Tm. 又∠1=∠2， 在△△0中 第十采时国两角 ,下度 ∴.△4@△THAAS》,.A片=E (C=0, 漂前发掌 过直D作DG安GO 1L证明，1)连接01，用.F,周4发 ∠=∠代 上国点在因上相交土和等一半 于点0，i连接 边丽A线D是正方形，AD细 作=久 表置相等有角提4丘补内对角 p0度.》一G ∠A=∠雀T-r, △X△Yx1C=T 事堂精饼 , 民△A△M1k.4)=(美 ,△aAP,∠)=∠2 【例】∠UD= 出料边形D是周内陵国边那 (白正方形1冰的当长为， HO1m4期，∠1=∠且品∠A+∠HD 即学厚练 ∠DE=∠AU 12C 1 H ∴∠PEF=∠P呼gPE=F 1.75上0玉引45 已量下 1419- 3.A严+P的小值品2.2CAB 【酬】(1E,”∠1”∠D .罩京.∠=∠求 心长给大销为√0一（号）一是司 4.E别：莲培C,成'C,D是An偷三等分点， 1∠1s∠C, .∠X-∠A01, .AC-D=0∴.C-(D= 品∠C=∠D,风B③ Y∠AFE-∠A,∠AX-∠A 第上课时国的时得性 又I∠ADB=, 2)可0的直径为三 ∠AFE=∠MA, 课前以学 ∠N-∠0D+∠D出-a 印学甲然 HAE-,△AEFA△GLAAS 1.规转对将自身物直轻 OL出，∠， 2相等阳尊相等圆心角有条置简条瓦臂条蕊的点 .∠的8=2程4=5， 不相。细 心艇 ∠A=∠C+∠AU=. 1(3,ED= 27.2与圆有关的位置关系 点阳等 在△C中，(0H=C 品∠C=∠ 蛋堂精滑 ∠x-∠8，∠4-∠ 第【课时充考周的仕荒美系 【到1】∠-'-T一37 ∠kD--亚-m, Al-AC 闲前伏字 即学焊越 ∠A目=∠w人AE=, C2.不月一直线上 1A2 同理国科非=，本-F=B 山2=子 木.三角男的内耳斜边的中或外理 1证明：连接(2，世D是工的中点：（一军 课外练 健堂精标 第3课时叠径家见 【例】41D当山在心c内. 0-5,DLAn.∠么2- 课前优学 1A26玉A4心5四4号元.时系应 WDE8AB,品∠EO=18-∠1M=r 上，的作对释维 象()明：：库边银A度D是©0的座接等连野 2©C悔单轻r鹤取整用是正C3 150第27章 B组（能力提升） 12.如图，∠C=90°，以AC为半径的⊙C与AB相交 第④课时 圆周角 于点D.若AC=3,CB=4,则BD= 笔课前优学 L.圆周角的定义： 圆周角： ,并且两边都与圆 的 角叫做圆周角. 2.圆周角定理 ) 0 第12题图 第13题图 定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 13.如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是 ,都等于这条弧所对的圆心角的 (3,a)(a>3),半径为3，函数y=x的图象被⊙P 注意：圆心角和圆周角的区别与联系： 截得的弦AB的长为42，则a的值是 圆心角 圆周角 A.4 B.3+√2 顶点在圆心处 顶点在圆上 C.32 D.3+√3 区别 在同圆中，一条弧 在同圆中，一条弧所对的圆周 14.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(20， 所对的圆心角唯一 角有无数个 0),点B的坐标是(16,0)，点C、D在以OA为直径 的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，求 联系 两边都和圆相 点C的坐标. 3.圆周角定理引出的重要结论 推论： (1)在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的 (2)半圆（或直径）所对的圆周角是 (3)90°的圆周角所对的弦是 4.圆的内接四边形性质 圆的内接四边形对角 ,一个外角等于它 的 兰课堂精讲 知识点]运用圆周角定理计算角的大小 【例1】如图所示，⊙O的两条 弦AB、CD的延长线相交于圆外 一点P,若∠P=40°，AC的度数 73 为116，求∠BAD的度数. 【思路点拔】由题意知要求∠BAD的度数，需求 ∠ADC,而∠ADC是AC所对的圆周角，由定理知要 求圆周角∠ADC,需转换求圆心角∠AOC 规律和方法…… 求圆周角的大小时，作出对应的圆心角是】 常用辅助线，把圆周角转换到圆心角，再进一步 转换到其他角或孤的度敏求解 ·69 指面针·课堂钱化·花年纸下册·数举(HS) 即学即练 规律和方法 L.(2024·南充)如图，AB是⊙O的直径，位于AB两 圆周角定理及推论常用于证角等或角的转！ 侧的.点C,D均在⊙O上，∠BOC=30°，则∠ADC 换：当条件中有直径时，往往作出直径所对的圆： 度 周角构造出直角三角形，为进一步解题创造 :条件 : 即学即练 5.(2024·牡丹江)如图，四边形ABCD是⊙O的内接 B 第1题图 第2 四边形，AB是⊙O的直径，若∠BEC=20°，则 2.(2024·山东)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若 ∠ADC的度数为 () OA∥CB,∠ACB=25°，则∠CAB A.100 B.110 C.120° D.130° 3.(2024·赤峰)如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的 弦，半径OC⊥AB,连接CD,交OB于点E,∠BOC C" =42°，则∠OED的度数是 A.61 B.63 C.65 D.67 第5题图 第6题图 6.(2022·通辽市)如图，由边长为1的小正方形构成 D 的网格中，点A,B,C都在格点上，以AB为直径的 圆经过点C,D,则cos∠ADC的值为 第3题图 第4题图 4.(2024·黑龙江)如图，△ABC内接于⊙O,AD是直 7.已知△ABC,以AB为直径的⊙O分别交AC于D, 径，若∠B=25°，则∠CAD= BC于E,连接ED,若ED=EC 知识点☑运用圆周角定理及推论完成相关的计算 (1)求证：AB=AC: 或证明 (2)若AB=4,BC=23,求CD的长. 【例2】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点 E,点P在⊙O上，∠1=∠C. (1)求证：CB∥PD: (2若BC=3,smP=号，求O0的直径. ·70· 第27章國 色课外精练 7.(2024·巴中)如图，四边形ABCD为⊙O的内接四 边形.若四边形ABCO为菱形，则∠ADC的大小为 A组（基础过关） 一、选择题 1.(2024·宜宾)如图，AB是⊙O的直径，若∠CDB= 60°，则∠ABC的度数等于 A.30° B.45 C.60 D.90° 第7题图 第8题图 8.如图，△ABC内接于⊙O,∠CAB=30°，∠CBA 45°，CD⊥AB于点D,若⊙O的半径为2，则CD的 长为 第1题图 第2题图 三、解答题 2.(2024·重庆)如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交 9.(2022·咸海)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四 ⊙O于点C,点D是⊙O上一点，连接BD,CD.若 边形，连接AC,BD,延长CD至点E. ∠D=28°，则∠OAB的度数为 ( A.28° B.34° C.56 D.62 (1)若AB=AC,求证：∠ADB=∠ADE: (2)若BC=3,⊙O的半径为2，求sin∠BAC. 3.(2024·广元)如图，已知四边形ABCD是⊙O的内 接四边形，E为AD延长线上一点，∠AOC=128°， 则∠CDE等于 A.64° B.60 C.54 D.52 D 第3题图 第4题图 4.如图，矩形OABC的边OA,OC分别在x轴、y轴的 正半轴上，点D在OA的延长线上，若A(2,0),D (4,0),以O为圆心、OD长为半径的弧经过点B,交 y轴正半轴于点E,连接DE,BE,则∠BED的度 数是 ( A.15° B.22.5° C.30 D.45 二，填空题 5.(2024·连云港)如图，AB是圆的直径，∠1、∠2、 ∠3、∠4的顶点均在AB上方的圆弧上，∠1、∠4 的一边分别经过点A,B,则∠1十∠2十∠3十∠4 0 第5题图 第6题图 6.(2022·日照)一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得 到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示 的测量，测得AB=12cm,BC=5cm,则圆形镜面的 半径为 cm. ·71… 指雨什·课堂优化·九年纸下册·数学(HS) 10.(2022·广东)如图，四边形ABCD内接于⊙O,11.如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的圆 AC为⊙O的直径，∠ADB=∠CDB. 交AC于点D,交BC于点E,延长AE至点F,使 (1)试判断△ABC的形状，并给出证明： EF=AE,连结FB.FC (2)若AB=√2，AD=1,求CD的长度. (1)求证：四边形ABEF是菱形 D (2)若AD=3,BE=√5，求半圆和菱形ABFC的 面积. D ·72· 第27章围 12.(2022·呼和浩特)如图，在△ABC中，AB=AC,15.(2024·浙江)如图，在圆内接四边形ABCD中，AD 以AB为直径的⊙O交BC于点D,交线段CA的 <AC,∠ADC<∠BAD,延长AD至点E,使AE 延长线于点E,连接BE. =AC,延长BA至点F,连结EF,使∠AFE (1)求证：BD=CD: =∠ADC. (2)若tanC=号，BD=4,求AE的长. (1)若∠AFE=60°，CD为直径，求∠ABD的度数. (2)求证：①EF∥BC: ②EF=BD. B组（能力提升） 13.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC 90°，E为对角线AC的中点，连接BE、ED、BD,若 ∠BAD=58°，则∠EBD的度数为度. 14.(2024海南)如图，AD是半圆O的直径，点B、C 在半圆上，且AB=BC=CD,点P在CD上，若 ∠PCB=130°，则∠PBA等于 ( 9 D A.105° B.100° C.90 D.70° ·73.