27.1 第3课时 垂径定理-【指南针·课堂优化】2024-2025学年九年级下册数学（华东师大版 2012）

指南针·课堂优化·壳年纸下册·数举(S) 规律和方法 第③课时 垂径定理 垂径定理及其递定理可以用来证明两条孤 艺课前优学 相等或两条弦（线段）相等或两条直线垂直 1.圆的轴对称性 即学即练 圆是 图形，它的任意一条直径所在的直 1.如图所示，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24， 线都是它的 ON⊥AB,垂足为N,则ON= () 2.垂径定理及推论 A.5 B.7 C.9 D.11 (1)定理：垂直于弦的直径 ,并且 (2)推论：平分弦（不是直径）的直径 并且 注意： (1)①直径（过圆心的弦）：②垂直于弦：③平分弦 第1题图 第2题图 2.如图，⊙O的半径OA=6,以A为圆心，OA为半径 (不是直径)：④平分弦所对的优弧：⑤平分弦所 的弧交⊙O于B,C点，则BC= () 对的劣孤·以其中的两个为条件，一定能得出 其他三个作为结论. A.63 B.62 C.33 D.32 (2)解决圆有关弦的问题，经常过圆心作弦的垂线， 3.如图，⊙O中弦AB的长是半径OA的3倍，OC⊥ 以便应用垂径定理解题，一般利用弦心距、过弦 AB于点E,猜想四边形OACB是特殊的四边形吗？ 的端点的半径、孩长的一半构成直角三角形，将 说明理由. 计算线段的问题转化为解直角三角形的问题 兰课堂精讲 知识点】用垂径定理计算或证明 【例1】如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于 点E (1)当AB=10,CD=6时，求OE的长： (2)∠OCD的平分线交⊙O于点P,连结OP.求证： AP=BP. 【思路点拨】(1)已知OE⊥CD于E,利用垂径定理 即可求OE:(2)根据相等角之间的等量代换证CD∥ OP即可. 知识点☑垂径定理的实际应用 【例2】有一个拱桥是圆弧形，如图，它的跨度为 60m,拱高为18m,当洪水泛滥跨度小于30m时，要采 取紧急措施，若拱顶离水面只有4m时，问是否要采取 紧急措施？ ·66· 第27章國 【思路点拨】先建立几何模型，延长CD,则圆心O在6.有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽7.2m,拱顶高出水 CD延长线上，连OA,构建直角△AOD,由已知可求 面2.4m,如图所示，现有一竹排运送一货厢欲从桥 出半径OA;再在CD上截取CE=4m,过E作弦MN 下经过，已知货厢长10m,宽3m,高2m(竹排与水 ⊥CD,通过计算MN的长度和0m相比较，若小于 面持平)，问货厢能否顺利通过该桥？ 30m,则需采取紧急措施 总课外精练 A组（基础过关） 一、选择题 规律和方法… 1.(2024·新疆)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的 运用数学知识解决日常生活中一些实际问： 弦，AB⊥CD,垂足为E.若CD=8,OD=5,则BE 题时，应根据题意，找到数学模型，即题目所要： 的长为 () 解决的问题，相当于数学中的一个什么问题，只 有明确了数学模型，才能很好地运用数学知识 进行分析. 了即学即练 4.(2024·凉山州)数学活动课上，同学们要测一个如 A.1 B.2 C.3 D.4 图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案 2.如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点D, 是：在工件圆弧上任取两点A,B,连接AB,作AB DO的延长线交⊙O于点E.若AC=42,DE=4, 的垂直平分线CD交AB于点D,交AB于点C,测 则AB的长是 ( 出AB=40cm,CD=10cm,则圆形工件的半径为 A.1 B.√2 C.6 D.4 A.50cm B.35cm C.25cm D.20cm D 第2题图 第3题图 3.如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H, 第4题图 第5题图 已知os∠CDB=青，BD=5,则OH的长度为 5.如图，水平放置的圆形管道横截面圆半径为50cm, 现在水面宽度AB为60cm,当水面宽度为80cm 时，则水面比原来上涨的高度为 A号 C.1 D.6 ·67 指面针·课堂优化·花年纸下册·数举(HS) 4.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科 10.如图所示，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的 学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的 跨度AB=3m,弓形的高EF=1m,现计划安装玻 工作原理，如图1.筒车盛水桶的运行轨道是以轴 璃，请帮工程师求出AB所在圆O的半径r, 心O为圆心的圆，如图2.已知圆心O在水面上方， 且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长 为4米.若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦 AB所在直线的距离是 水面 图2 A.1米 B.(4-√7)米 C.2米 D.(4+7)米 二、填空题 5.如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直的两条弦， OD⊥AB于点D,OE⊥AC于点E,且AB=8cm, AC=6cm,那么⊙O的半径OA长为 D 11.如图，D是⊙O的弦BC的中点，A是⊙O上一点， 第5题图 第6题图 OA与BC交于点E,已知AO=8,BC=12. 6.如图，AB是⊙O的弦，AB长为8，P是⊙O上一个 (1)求线段OD的长： 动点（不与A、B重合），过点O作OC⊥AP于点C, (2)当EO=√2BE时，求ED的长， OD⊥PB于点D,则CD的长为 7.AB是⊙O的弦，OM⊥AB,垂足为M,连接OA.若 △AOM中有一个角是30°，OM=23,则弦AB的 长为 8.(2022·牡丹江)⊙O的直径CD=10,AB是⊙O 的弦，AB⊥CD,垂足为M,AB=8,则AC的长 为 三、解答题 9.已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB交小圆于点C,D(如图). (1)求证：AC=BD: (2)若大圆的半径R=10,小圆的半径r=8,且圆心 O到直线AB的距离为6，求AC的长. ·68·超南什·谋堂优化·九年概下需·敏学参考答案(HB》 上卡餐视段直径ABD新氧优爱∠C. 4∠D面血1∠DE■r, 1平这条烈平计经所对的调条国摩直干路条延 H∠ADE=∠UKC ∠T,∠8 ·∠xW-1∠食M.r-x 平台在所时的利弟属 AB=,∠A8=∠H, 素空防殊 课空精汗 ∠用=∠0.÷∠A刚=∠Af 【例】C 【例2】证明，接CE(王AB, 【例】(1不=v= 即学焊感 ∠∠段4：∠段)∠M 2n∠B- 证明，"P平是∠D∠0P=∠了 1.2.h 义深-(.∠9=∠A里，∠M0=∠ OC=OP,品∠P=∠ 眼1△AC是等睫百角三角形.再路 【例】B AD-AE “∠a-∠是，品 42×T). 即学抑括 饵学即修 p1∴0rLM.二r-i 1,1明：U是直经 &A4.C +M里：∠0-∠w,-R.:-全 掌每结 ∠AEB,AEL 【例3】∠A=2 球=，溶=活 上.A之A人这个国边形是变师：理由响 =C=男 零字同练 5.正.=D,下-四 【酬】不形某取紧2信练 又Ar=平 线D&A出-2AD 点AC'=d,E=DF,ME=HF 即学理修 ∴.同边形A降是平行P四边 深外精炼 点AE=四，△M△因F. 4C5.1am成7mm 叉女一A比四边愿AH是菱港 1c2.C3+0 -∠n 黄货鞋性模料通计底销 系@0_半径相等线位A、C,AC需n.在 《25n,5m兰 澜外糖修 康外精修 A由.B到心角 1,D2.AAD+C支①ek3,5成5明 Li2点D4H5.5mk42.1224 21任明：是接 6.2/7.207 K 发17 A山是S的直径，∠A用可衡 K25减w5 年，明：连接AF 乳I明：过点O作(ELAB于点E.侧（军DE1E=E AB-M8D-D 象AC的较为 0证明：目)一(，p许制是（具，审的中点， AB=UF,÷∠B-∠AF省 5-长 C(2 :山形A国D有平行国边色.∴A0度 AC- 队经4D 夏∠0=∠ ,∠AG=∠B,∠AI=∠E4F 1k-8-&7 1》∠AD=r, △，N☑△a(ss: ∠AE∠EF,E=E an情在调伊的中径为护m 2性用：博，建长： ∴.∠A=∠ 款正.(1选情P联 “料边用A风)是调内战四也用 PAPB ”∠A=∠0 11.目44D-17(20=名 i∠N=∠A. 品∠代E=∠A a=字4.0=.c=地 12.4山.售 又片∠A害=∠山 CD分利昆卡径1,4山的中当，c40 14直C的保标为2，， :∠APE-∠Tm. 又∠1=∠2， 在△△0中 第十采时国两角 ,下度 ∴.△4@△THAAS》,.A片=E (C=0, 漂前发掌 过直D作DG安GO 1L证明，1)连接01，用.F,周4发 ∠=∠代 上国点在因上相交土和等一半 于点0，i连接 边丽A线D是正方形，AD细 作=久 表置相等有角提4丘补内对角 p0度.》一G ∠A=∠雀T-r, △X△Yx1C=T 事堂精饼 , 民△A△M1k.4)=(美 ,△aAP,∠)=∠2 【例】∠UD= 出料边形D是周内陵国边那 (白正方形1冰的当长为， HO1m4期，∠1=∠且品∠A+∠HD 即学厚练 ∠DE=∠AU 12C 1 H ∴∠PEF=∠P呼gPE=F 1.75上0玉引45 已量下 1419- 3.A严+P的小值品2.2CAB 【酬】(1E,”∠1”∠D .罩京.∠=∠求 心长给大销为√0一（号）一是司 4.E别：莲培C,成'C,D是An偷三等分点， 1∠1s∠C, .∠X-∠A01, .AC-D=0∴.C-(D= 品∠C=∠D,风B③ Y∠AFE-∠A,∠AX-∠A 第上课时国的时得性 又I∠ADB=, 2)可0的直径为三 ∠AFE=∠MA, 课前以学 ∠N-∠0D+∠D出-a 印学甲然 HAE-,△AEFA△GLAAS 1.规转对将自身物直轻 OL出，∠， 2相等阳尊相等圆心角有条置简条瓦臂条蕊的点 .∠的8=2程4=5， 不相。细 心艇 ∠A=∠C+∠AU=. 1(3,ED= 27.2与圆有关的位置关系 点阳等 在△C中，(0H=C 品∠C=∠ 蛋堂精滑 ∠x-∠8，∠4-∠ 第【课时充考周的仕荒美系 【到1】∠-'-T一37 ∠kD--亚-m, Al-AC 闲前伏字 即学焊越 ∠A目=∠w人AE=, C2.不月一直线上 1A2 同理国科非=，本-F=B 山2=子 木.三角男的内耳斜边的中或外理 1证明：连接(2，世D是工的中点：（一军 课外练 健堂精标 第3课时叠径家见 【例】41D当山在心c内. 0-5,DLAn.∠么2- 课前优学 1A26玉A4心5四4号元.时系应 WDE8AB,品∠EO=18-∠1M=r 上，的作对释维 象()明：：库边银A度D是©0的座接等连野 2©C悔单轻r鹤取整用是正C3 150