26.3 第2课时 二次函数与一元二次方程(不等式)-【指南针·课堂优化】2024-2025学年九年级下册数学（华东师大版 2012）

指南针·课堂优化·壳年纸下册·数举(S) 第2课时 轴有一个交，点：②当函数为二次函数时，利用方一4a 二次函数 与0的大小关系解答 与一元二次方程（不等式） 笔课前优学 L.二次函数y=ax2十bx十c(a≠0)的图象与x轴交 点的横坐标是一元二次方程a.x2十bx十c=0(a≠ 0)的根. 2.二次函数y=a.x2+hx十c(a≠0)的图象与x轴的 交点有三种情况： (1)抛物线与x轴有两个交点时，一元二次方程a.x 十b.x十c=0有两个不相等的实数根，则 b-4ac>0: (2)抛物线与x轴有一个交点时，一元二次方程ax 十hx十c=0有两个相等的实数根，则b一4ac =0: (3)抛物线与x轴没有交点时，一元二次方程 a.x2+bx+c=0没有实数根，则6一4ac<0. 3.不解方程，通过y=ax十bx十c(a≠0)的图象能判 C规律和方法) 断方程a:x2十bx十c=0(a≠0)解的情况与不等式 此题考查了抛物线与x轴的交点、一次 a.x2+bx十c≤0(a≠0)或a.x2+hr+c≥0(a≠0) 函数与x轴的交，点，是典型的分类讨论思想的 的解集. 应用 4.求抛物线y=a.x2十b.x十c与直线y=kx十m的交 。。 y=ax2+bx+c 即学即练 点坐标就是求方程组 的解。 y=kx+m 1.已知抛物线y=a.x2一2x+1(a≠0)与x轴没有交 5.抛物线与一元二次方程两根的关系 点，那么该抛物线的顶点所在的象限是 () 如图所示，抛物线y=a.x2十hx十c(a≠0)与x轴交 A.第四象限 B.第三象限 于A(1,0)、B(2,0),则x1、x2为一元二次方程 a.x2十br十c=0两实根，于是有： C.第二象限 D.第一象限 ①西十n=-b 2.若二次函数y=一x2十2x十k的部分 图象如图所示，则关于x的一元二次方 @n=合： 程一x+十2x十k=0的一个解x=3, ®AB=合 则另一个解2= 3.(2021·成都)在平面直角坐标系xOy中，若抛物线 、课堂精讲 y=x2+2x十k与x轴只有一个交点，则k= 知识点1二次函数与一元二次方程 知识点☑二次函数与二次不等式 【例1】已知函数y=m.x2一6.x十1(m是常数). 【例2】已知抛物线y=3x一8x+4. (1)求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上 (1)求抛物线与坐标轴的交点坐标： 的一个定点： (2)画出函数大致图象，根据图象回答下列问题： 当x取何值时，y=0?y>0?y<0? (2)若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值. 【思路点拨】(1)根据在坐标轴上的点的坐标特征确 【思路点拨】(1)根据表达式可知，当x=0时，y的 定抛物线与两坐标轴的交点，(2)画草图时注意抛物 值与m的取值无关，故可知不论m为何值，函数y= 线的顶点，对称轴及与坐标轴的交点的大致位置·抛 m2一6.x十1的图象都经过y轴上一个定点. 物线被x轴分为三部分，在x轴上方所有点的横坐 (2)应分两种情况讨论：①当函数为一次函数时，与x标的集合便是不等式ax2十bx十c>0的解集，在x轴 ·40· 第26章二决画数 下方图象上所有点的横坐标的集合是不等式a.x2十 知识点③抛物线与直线的交点问题 bx十c<0的解集. 【例3】已知直线l:y=kx十1与抛物线y= x2-4x. (1)求证：直线1与该抛物线总有两个交点： (2)设直线1与该抛物线两交点为A、B,O为原点，当 k=一2时，求△OAB的面积. ⊙规律和方法了 抛物线与x轴的交点的纵坐标为0，即函数 :值为0，所以交点的横坐标就是相对应的一元二 :次方程a.x十bx十c=0的解，利用图象解不等 式时正确画图，读图是求解的关键. 》*《客 即学即练 4.如图是二次函数y=a.x2十bx十c(a≠0)的部分图 象，由图象可知不等式ax2十bx十c>0的解集是 ( 25 规律和方法* A.-1<x<5 B.x>5 两函数图象的交点个数转化为两函数表 C.x<-1且x>5 D.x<-1或x>5 消去一元 达式联立所得，方程组的解的组数特化为 5.(1)已知二次函数y=az2+hx十c(a≠0)的图象如图 二次方程的根的情况，当△>0时，两个函数的 所示，这个二次函数的关系式是 图象有两个不同的交点：当△=0时，两函数的： 当x= 时，y=3;当x 图象只有一个交点：当△<0时，两函数的图象 :没有交点 时，y>0. (2)抛物线y=一+3x十4与x轴的交点坐标为 即学即练 ;当 时， 6.已知抛物线y1=x2-3x一4与直线y2=一2x +2. y<0. (1)求两个函数图象的交点坐标： (2)x为何值时，”<，>？ 第5题(1)图 ·41 指面针·课堂钱化·花年纸下册·数举(HS) 总课外精练 8.当0≤x≤3时，直线y=a与抛物线y=(x一1)月 一3有交点，则a的取值范围是 A组（基础过关） 9.已知二次函数y=a.x2+bx一3自变量x的部分取 一、选择题 值和对应的函数值y如下表： 1.若二次函数y=a.x2十1(a≠0)的图象经过点 (一2,0)，则关于x的方程a(x一2)2+1=0 -2-1 0 1 2 3 (a≠0)的实数根为 ( 5 0 -3 一4 -3 0 A.x1=0,x2=4 B.x1=-2,x9=6 则在实数范围内能使得y一5>0成立的x的取值 Cm=多w=号 5 D.0=一4，x2=0 范围是 三、解答题 2.如图，已知抛物线y=a.x十c(a≠0)与直线y=kx 10.二次函数y=a.x2十bx十c(a≠0)的图象如图所 +m交于A(一3，)，B(1,2)两点，则关于x的不 示，根据图象解答下列问题： 等式ax2十c≥一kx十m的解集是 (1)写出方程a.x2十x十c=0的两个根： A.x≤-3或x≥1 (2)写出不等式ax+bx+c>0的解集： B.x≤-1或x≥3 (3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值 C.-3≤x≤1 范围； D.-1≤x≤3 (4)若方程a.x2+bx+c=k有两个不相等的实数 3.(2024·泸州)已知二次函数y=a.x2十(2a-3)x十 根，求k的取值范围 a一1(x是自变量)的图象经过第一、二、四象限，则 实数a的取值范围为 A.1<a<号 R0<a<号 c0<a<号 D.1a< 4.二次函数y=a.2+bx(a≠0)的 图象如图所示，若一元二次方程 a.x2十hr十m=0(a≠0)有实数 根，则m的最大值为 ( A.-3 B.3 C.-6 D.9 二，填空题 5.如图，抛物线y=ax2十c(a≠0) 与直线y=mx十n(m≠0)交于 A(一1，)，B(3,q)两点，则不等 式a.x一mx十c>n的解集为 :不等式a.x 十nx十c>n的解集是 6.(2024·济宁)将抛物线y=x一6.x十12向下平移k 个单位长度.若平移后得到的抛物线与x轴有公共 点，则k的取值范围是 7.若二次函数y=a.x2十r十c(a<0)的图象经过点 (2,0),且其对称轴为直线x一一1，则使函数值 y>O成立的x的取值范围是 ·42· 第26章二决画数 11.已知：抛物线y=x2+bx+c经过点(2，一3)和 B组（能力提升） (4,5) 12.(2024·通辽)关于抛物线y=x2一2mx十m2十m (1)求抛物线的表达式及顶点坐标； 一4(m是常数)，下列结论正确的是 (填 (2)将抛物线沿x轴翻折，得到图象G,求图象G 写所有正确结论的序号). 的表达式： ①当m=0时，抛物线的对称轴是y轴： (3)在(2)的条件下，当一2<x<2时，直线y=m ②若此抛物线与x轴只有一个公共点，则m= 与该图象有一个公共点，求m的值或取值 -4: 范围. ③若点A(m一2，y),B(m+1,为)在抛物线上，则 y<为； ④无论m为何值，抛物线的顶点到直线y=x的 距离都等于22. 13.“如果二次函数y=ar2十br十c(a≠0)的图象与x轴 有两个交点，那么一元二次方程ax十bx十c=0 (a≠0)有两个不相等的实数根.”请根据你对这句话 的理解，解决下面问题：若m、(m<)是关于x的方 程1一(x一a)(x一b)=0的两根，且a<b,则a、b、m、 n的大小关系是 () A.m<a<b<n B.a<m<n< C.a<m<b< D.m<a<n< 14.(2024·赤峰)如图，是某公园的一种水上娱乐项 目.数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了 深入研究.下面是该小组绘制的水滑道截面图，如 图1，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞 出后落入水池，以地面所在的水平线为x轴，过腾 空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点， 建立平面直角坐标系.他们把水滑道和人腾空飞 出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分. 根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下 三个问题，请你解决 /米 v/米 B 0 Dx/米 x/米 图】 图2 (1)如图1，点B与地面的距离为2米，水滑道最低 点C与地面的距离为名米，点C到点B的水平距 离为3米，则水滑道ACB所在抛物线的解析式为 ·43 指雨什·课堂优化·花年纸下册·数学(HS) (2)如图1，腾空点B与对面水池边缘的水平距离 (3)为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加 OE=12米，人腾空后的落点D与水池边缘的安 固.如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水 全距离DE不少于3米.若某人腾空后的路径形 滑道距地面4米的点M处竖直支撑的钢架MN, 成的抛物线BD恰好与抛物线ACB关于点B成 另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架BM, 中心对称 现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了 ①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线 美观，要求这条钢架与BM平行，且与水滑道有唯 BD的解析式： 一公共点，一端固定在钢架MN上，另一端固定在地 ②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？ 面上.请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）. 请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不 计)： y/米 x/米 .44指南针·课堂优化·九年级下册·数学象考答案( 700完. -13+ 12.①11.A 线画表式)-- - (2以福动的水平距声为了来时,这动员与小山般的是 1.B 1.C 3.D4C545 647.88.171 直离为1和. n(). (11工无的利泪W元与降无之间的通数关为 (2③线1析式,-一-2+ (③ -0+0+000. $--(.-36A$nD 点D在为 -----(-×- ?时,工了天的赴到为0 第2课时 二次品数与一元二次方程(不等式) (这条晃的长度为?T来 ②那为路价;时,工每无的是大,是大为100死 11不论最同,遍所象与总 谋踏讲 专题二 二次函数与几候的综合问器 (%元 ②路- 【1】(-0附-1 “-() 1---8. .不为,语一一十1的是过y上 1.(1物线的析式y--: (n的取的是- ②这喝个位之0的题高为8.tm (止些是到,利到是万 -01 (23描是是;时词夜大利,最上是7万% (2-,数y-一6十1的与一有一个 2<命时,火落地点与发射点的水平题肉超 34% 11-一 点 t 15 0时,数y一”一+1的图与,只在一2(1抱的表达式为一- (2标-)大 12(1-+2 个交点,则方经一一十1一口有高个等的实数根,一 (2-)(在,理:为士 (2P标10 4. (-}-n-初- 在M的标yn) 3(1A本的选价为21元,B起每本的选美分 上,数y一两”-4十1的医象与;只石一个交点,叫 A.01y/2- (Pi0-4.i 的为或. (③③ 每无的挂为一 哪学 为A起在为别70站,天料时大,跟大1.D2.-131 (2存,路 -1T-1-T-1-n 意未续题 11元。 --. 【例3111抱线与v数的空点为(.与上的点发 1.D 2.B 3.C 4D5.C6B 2.A 8A 9.C10 26.3 实践与探索 4---: (2o)(:0 13121-1或3 1 1② 大. 第I课时 用二次品问 (2图路,-吨,~时y-: 81--1-. 字t 此cn(一). 。时。 (2将装构线名间右1个位长度,评房下路2个章 【1】(1境1在注大-一”2 ,由。 陶即选 在度,式为-一,点在点。 *长为nn 6点一 4A $(y-~ 1m 学t $y--10-10 1c1 (-时.P-是大n 17.(1)一次数式是y与,的数关式为了一一 (-二次七十--的为-1- 3-七- 1-1成一 ②存在:P的了0 【%】]-r! ,_一” ①y--. (大地郎为 (2)为铅单始为13无或2元时,该产是是夜得的 士ō (存在点B.得入现汇”达,点D的标为(1.5 一十-1-0. _(). (3)为勃单为25无时,该严品每月在沿的析洞量大,是 为0后 1C2A3B4C5136 708是 (t. 故直线1与该抛线有两个交点. :为20万i. 0的-5 (1式为,--7子 (2 18(04②A的() 学即 --r-). (2物线高的坐标(子). (1指与线的空点为一与一 (2o视的高度是2 2存,理: -1 1(1--+。 -0 二-1。 1(1-次确数的听式为--1, (2采跨单的定为以元时,所技日结售科朋超大,最大 课精 0% 是0 1.A 2C3A 41 8(1物现幅1.1 (-) 5-1晚-→1 的二 第27章 围 11.(11车高%51 67--119- . 1n (-1( 27.1 回的认识 (2的侧高为3--21来. 11(1D物的析式,-一---1-4 第26章(二次函数》知识结构与中考 12.B 第1深时 的本元素 的的院点枢为士.一 13.(过C.的画表达式) 182C3→n 课代章 -+2-线- 1.定 长 四段 r 157 158