圆锥曲线与方程专题训练-2025届高三数学一轮复习

圆锥曲线与方程专题训练-2025年高考数学一轮复习 一．选择题（共8小题） 1．（2024秋•清苑区期中）已知双曲线的渐近线与圆（x﹣2）2+y2＝1相切，则a的值是（　　） A． B． C．1 D． 2．（2024秋•盐都区校级期中）已知焦点在x轴上的椭圆的长轴长为，则其离心率为（　　） A． B． C． D． 3．（2024•雨花区校级模拟）已知点A（x0，y0）是抛物线y2＝2px（p＞0）上一点，且它在第一象限内，焦点为F，O坐标原点，若|AF|＝，|AO|＝2，则此抛物线的准线方程为（　　） A．x＝﹣4 B．x＝﹣3 C．x＝﹣2 D．x＝﹣1 4．（2024春•滁州期末）双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，右支上一点P满足PF1⊥PF2，直线l平分∠F1PF2，过点F1，F2作直线l的垂线，垂足分别为A，B．设O为坐标原点，则△OAB的面积为（　　） A． B． C．10 D． 5．（2024秋•靖远县校级期中）抛物线y2＝8x上的点到其准线的距离与到直线y＝2x+3的距离之和的最小值为（　　） A． B． C． D． 6．（2024秋•西宁期中）已知过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F作斜率为的直线l，l与C的一个交点A位于第四象限，且l与C的准线交于点B，若|BF|＝8，则|AF|＝（　　） A． B．2 C． D．3 7．（2024•江西模拟）已知椭圆的上顶点为P，离心率为，过其左焦点倾斜角为30°的直线l交椭圆E于A，B两点，若△PAB的周长为16，则E的方程为（　　） A． B． C． D． 8．（2024秋•青羊区校级期中）设F为抛物线Γ：y2＝4x的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交曲线Γ于A，B两点（B在第一象限，A在第四象限），O为坐标原点，过A作Γ的准线的垂线，垂足为M，则的值为（　　） A． B． C．2 D．3 二．多选题（共3小题） （多选）9．（2024秋•盐城期中）曲线，下列结论正确的有（　　） A．若曲线C表示椭圆，则﹣2＜k＜2且k不等于0 B．若曲线C表示双曲线，则焦距是定值 C．若，则短轴长为 D．若k＝3，则渐近线为 （多选）10．（2024秋•新疆期中）已知椭圆C：＝1，则（　　） A．椭圆C的长轴长为 B．椭圆C的一个焦点为 C．椭圆C的短半轴长为6 D．椭圆C的离心率为 （多选）11．（2024•鲤城区模拟）已知双曲线C：的一条渐近线方程为，上、下焦点分别为F1，F2，则（　　） A．C的方程为 B．C的离心率为2 C．若点A（x0，y0）为双曲线C上支上的任意一点，P（2，0），则|PA|+|AF2|的最小值为 D．若点为双曲线C上支上的一点，则△MF1F2的内切圆面积为2π 三．填空题（共3小题） 12．（2024秋•杭州期中）已知椭圆的左、右焦点到直线l：x﹣y﹣4＝0的距离之和为，则E离心率取值范围是 　 　． 13．（2024•浦东新区校级三模）过抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线交E于点A，B，交E的准线l于点C，AD⊥l，点D为垂足．若F是AC的中点，且|AF|＝3，则|AB|＝　 　． 14．（2024•西藏模拟）设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，A为左顶点，过点F1的直线与双曲线C的左、右两支分别交于点N，M（点M在第一象限）．若，则双曲线C的离心率e＝　 　，cos∠F1MF2＝　 　． 四．解答题（共5小题） 15．（2024秋•盐都区校级期中）已知焦点在x轴上的双曲线C过点，其焦点到渐近线的距离为1． （1）求双曲线C的标准方程； （2）已知直线l：x＝my+1与双曲线C的右支交于A，B两点，点E与点A关于x轴对称，求证：直线BE过定点，并求出定点的坐标． 16．（2024秋•杭州期中）在直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M在抛物线C上，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为． （1）求C的方程； （2）若点（﹣1，1）关于直线y＝kx对称的点在C上，求k的值． 17．（2023秋•朝阳区期末）已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的左顶点为A，上顶点为B，原点O到直线AB的距离为，△AOB的面积为1． （Ⅰ）求椭圆E的方程； （Ⅱ）过点P（﹣2，1）的直线l与椭圆E交于不同的两点C，D，过点C作x轴的垂线分别与直线AD，AB交于点M，N．判断点N是否为线段CM的中点，说明理由． 18．（2024秋•徐汇区校级期中）如图，已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x，点在双曲线C上，A、B为双曲线C的左、右顶点，P为双曲线C右支上的动点，直线AP和直线x＝1交于点N，直线NB交双曲线C的右支于点Q． （1）求双曲线C的方程； （2）若点P在第一象限，且满足，求△PQN的面积； （3）探究直线PQ是否过定点，若过定点，求出该定点坐标，并说明理由． 19．（2024秋•虹口区校级期中）如图所示，由椭圆C1：＝1（a＞b＞0）和椭圆C2：＝1（b＞t＞0）组合而成的曲线Γ，由图形特点，这里称曲线Γ为“猫眼曲线”．特别地，若两个椭圆的离心率相等，则称其为“优美猫眼曲线”． （1）已知猫眼曲线Γ满足a，b，t成等比数列，试判断该曲线是否为“优美猫眼曲线”； （2）在曲线Γ中，若a＝2，b＝，t＝1，斜率为k（k≠0）的直线l不经过坐标原点，且l与椭圆C1相交所得弦的中点为M，与椭圆C2相交所得弦的中点为N，证明：直线OM，ON的斜率之比为定值； （3）在（2）的条件下，若直线l的斜率k＝，且l与椭圆C2相切，与椭圆C1相交于A，B两点，Q为椭圆C1上异于A，B的任意一点，求△ABQ面积的最大值． 圆锥曲线与方程专题训练-2025年高考数学一轮复习 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2024秋•清苑区期中）已知双曲线的渐近线与圆（x﹣2）2+y2＝1相切，则a的值是（　　） A． B． C．1 D． 【解答】解：双曲线的渐近线方程为， 圆（x﹣2）2+y2＝1的圆心为（2，0），半径为1． 由渐近线与圆（x﹣2）2+y2＝1相切，可得． 故选：A． 2．（2024秋•盐都区校级期中）已知焦点在x轴上的椭圆的长轴长为，则其离心率为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：椭圆的长轴长为，即， 得，又b2＝4， ∴， ∴椭圆C的离心率． 故选：D． 3．（2024•雨花区校级模拟）已知点A（x0，y0）是抛物线y2＝2px（p＞0）上一点，且它在第一象限内，焦点为F，O坐标原点，若|AF|＝，|AO|＝2，则此抛物线的准线方程为（　　） A．x＝﹣4 B．x＝﹣3 C．x＝﹣2 D．x＝﹣1 【解答】解：因为x0+＝，所以x0＝p，y0＝p． 又|AO|＝2， 因为p2+（p）2＝12， 所以p＝2，准线方程为x＝﹣1． 故选：D． 4．（2024春•滁州期末）双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，右支上一点P满足PF1⊥PF2，直线l平分∠F1PF2，过点F1，F2作直线l的垂线，垂足分别为A，B．设O为坐标原点，则△OAB的面积为（　　） A． B． C．10 D． 【解答】解：由双曲线 的离心率为， 得e＝， 解得a2＝20， 设直线F1A交PF2的延长线于Q，直线F2B交PF1于N， 则PA⊥F1Q，PB⊥F2N， 由PA平分∠F1PF2，且∠F1PF2＝90°， 所以∠PF1Q＝∠PQF1＝∠PF2N＝∠PNF2＝45°， 则， ， 因为A，B分别为线段F1Q，F2N的中点，而O是F1F2的中点， 于是OA∥PQ，OB∥PF1，∠OAB＝∠APQ＝45°＝∠APF1＝∠OBA， 即∠AOB＝90°， ， 所以△OAB的面积为． 故选：C． 5．（2024秋•靖远县校级期中）抛物线y2＝8x上的点到其准线的距离与到直线y＝2x+3的距离之和的最小值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：已知抛物线的方程为y2＝8x， 则其焦点坐标为F（2，0），准线方程为x＝﹣2， 设抛物线上的点M到其准线的距离为|MM′|，点M到直线y＝2x+3的距离为|MN|， 由抛物线的定义可知|MM′|＝|MF|， 则|MM′|+|MN|＝|MF|+|MN|， 其最小值为焦点F（2，0）到直线y＝2x+3的距离， 结合点到直线的距离公式可得：＝， 即抛物线y2＝8x上的点到其准线的距离与到直线y＝2x+3的距离之和的最小值为． 故选：D． 6．（2024秋•西宁期中）已知过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F作斜率为的直线l，l与C的一个交点A位于第四象限，且l与C的准线交于点B，若|BF|＝8，则|AF|＝（　　） A． B．2 C． D．3 【解答】解：已知过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F作斜率为的直线l，l与C的一个交点A位于第四象限，且l与C的准线交于点B，且|BF|＝8， 如图，过点A作准线的垂线，垂足为D， 则|AD|＝|AF|，， 所以， 设|AD|＝|AF|＝m， 则|AB|＝3m， 所以|BF|＝m+3m＝8， 解得|AF|＝m＝2． 故选：B． 7．（2024•江西模拟）已知椭圆的上顶点为P，离心率为，过其左焦点倾斜角为30°的直线l交椭圆E于A，B两点，若△PAB的周长为16，则E的方程为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：因为椭圆的离心率e＝＝，可得a＝2c， 所以a2＝4c2，即b2+c2＝4c2，可得b＝c， 则点P（0，c），右焦点F2（c，0），所以＝＝﹣， 由题意可得直线AB的斜率k＝tan30°＝， 所以k•＝﹣1，即PF2⊥AB， 由题意设直线AB的方程为y＝（x+c）， 直线PF2的方程为y＝﹣x+c， 设直线AB与直线PF2的交点为M， 联立，可得x＝，y＝c， 则M（，c），可得M为PF2的中点，所以直线AB为线段PF2的中垂线， 即|PA|＝|AF2|，|PB|＝|BF2|， △PAB的周长为|PA|+|PB|+|AB|＝|AF2|+|AB|+|BF2|＝4a＝16，可得a＝4， 所以c＝a＝2，b＝c＝2， 所以椭圆的方程为：+＝1． 故选：C． 8．（2024秋•青羊区校级期中）设F为抛物线Γ：y2＝4x的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交曲线Γ于A，B两点（B在第一象限，A在第四象限），O为坐标原点，过A作Γ的准线的垂线，垂足为M，则的值为（　　） A． B． C．2 D．3 【解答】解：已知F为抛物线Γ：y2＝4x的焦点， 则F（1，0），Γ：y2＝4x的准线方程为x＝﹣1， 过F且倾斜角为60°的直线方程为， 联立， 消y可得：3x2﹣10x+3＝0， 设A（x1，y1），B（x2，y2），x2＞x1， 则， 故， 故， 故， 又， 则， 故． 故选：D． 二．多选题（共3小题） （多选）9．（2024秋•盐城期中）曲线，下列结论正确的有（　　） A．若曲线C表示椭圆，则﹣2＜k＜2且k不等于0 B．若曲线C表示双曲线，则焦距是定值 C．若，则短轴长为 D．若k＝3，则渐近线为 【解答】解：对于A，曲线， 曲线C表示椭圆， 则，解得﹣2＜k＜2且k不等于0，故A正确； 对于B，曲线C表示双曲线， 则c2＝2+k+k﹣2＝2k，c＝， 故2c不为定值，故B错误； 对于C，， 则曲线C：， 故，解得b＝， 所以短轴长为，故C正确； 对于D，若k＝3， 则曲线C：， 故a＝，b＝1， 所以渐近线为，故D正确． 故选：ACD． （多选）10．（2024秋•新疆期中）已知椭圆C：＝1，则（　　） A．椭圆C的长轴长为 B．椭圆C的一个焦点为 C．椭圆C的短半轴长为6 D．椭圆C的离心率为 【解答】解：椭圆C的焦点在y轴上，， 则椭圆C的长轴长为，焦点坐标为， 短半轴长为3，离心率． 故选：AD． （多选）11．（2024•鲤城区模拟）已知双曲线C：的一条渐近线方程为，上、下焦点分别为F1，F2，则（　　） A．C的方程为 B．C的离心率为2 C．若点A（x0，y0）为双曲线C上支上的任意一点，P（2，0），则|PA|+|AF2|的最小值为 D．若点为双曲线C上支上的一点，则△MF1F2的内切圆面积为2π 【解答】解：由于双曲线的渐近线方程为y＝±ax， 所以， 故双曲线C的方程为3y2﹣x2＝1，故A错误； 由，b2＝1， 则得， 所以的离心率为2，故B正确； 由于|PA|+|AF2|＝|PA|+|AF1|+2a≥，故C正确； 由点 为双曲线上支上的一点可得△MF1F2的面积为且， 故△MF1F2的周长， 由于△MF1F2的内切圆r满足，所以， 故△MF1F2的内切圆面积为，故D错误． 故选：BC． 三．填空题（共3小题） 12．（2024秋•杭州期中）已知椭圆的左、右焦点到直线l：x﹣y﹣4＝0的距离之和为，则E离心率取值范围是 　　． 【解答】解：椭圆左右焦点坐标分别为（，0）、（，0）， 由题意可得：， 即， 由绝对值的几何意义可知，在数轴上到﹣4与4的距离和为8， 故，整理得48≤b2＜64， ∴． 故答案为：． 13．（2024•浦东新区校级三模）过抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线交E于点A，B，交E的准线l于点C，AD⊥l，点D为垂足．若F是AC的中点，且|AF|＝3，则|AB|＝　4　． 【解答】解：可设A在第一象限，且为A（m，n），n2＝2pm，m＞0，n＞0， 由F（，0），F是AC的中点，可得C（p﹣m，﹣n）， 而C在抛物线的准线l：x＝﹣上，可得p﹣m＝﹣， 又|AF|＝m+＝3， 解得p＝，m＝，n＝＝， 即有A（，），F（，0）， 直线AB的斜率为＝， 即有直线AB的方程为y＝（x﹣）， 代入抛物线方程y2＝3x，可得3（x2﹣x+）＝3x， 解得x＝或， 则|AB|＝•|﹣|＝4． 故答案为：4． 14．（2024•西藏模拟）设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，A为左顶点，过点F1的直线与双曲线C的左、右两支分别交于点N，M（点M在第一象限）．若，则双曲线C的离心率e＝　2　，cos∠F1MF2＝　　． 【解答】解：如图， 由题意，知A（﹣a，0），设双曲线C的焦距为2c，则F1（﹣c，0），F2（c，0）． 由，得MF2∥NA，且|MF2|＝4|NA|， 所以|F2A|＝3|AF1|，|MN|＝3|NF1|，所以c+a＝3（c﹣a），即c＝2a， 所以双曲线C的离心率． 连接NF2，设|MF2|＝m， 则． 在△F1NF2和△F1MF2中，由余弦定理的推论， 得， 化简整理，得， 所以在△F1MF2中，由余弦定理的推论， 得． 故答案为：2；． 四．解答题（共5小题） 15．（2024秋•盐都区校级期中）已知焦点在x轴上的双曲线C过点，其焦点到渐近线的距离为1． （1）求双曲线C的标准方程； （2）已知直线l：x＝my+1与双曲线C的右支交于A，B两点，点E与点A关于x轴对称，求证：直线BE过定点，并求出定点的坐标． 【解答】解：（1）由焦点在x轴上的双曲线C，可设双曲线的方程为﹣＝1（a＞0，b＞0）， 由双曲线过点，可得﹣＝1， 由焦点（±c，0）到渐近线bx±ay＝0的距离为1， 可得＝＝b＝1， 即有＝1+＝，解得a＝2， 故双曲线方程为． （2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），y2＞y1，则E（x1，﹣y1）， 将直线l与双曲线联立可得，消去x可得（m2﹣4）y2+2my﹣3＝0， 根据韦达定理可知， 所以， 则， x1＝my1+1，x2＝my2+1，所以， 解得，， 直线BE方程为， 将已知代入， 化简可得，所以直线BE过定点，定点为（4，0）． 16．（2024秋•杭州期中）在直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M在抛物线C上，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为． （1）求C的方程； （2）若点（﹣1，1）关于直线y＝kx对称的点在C上，求k的值． 【解答】解：（1）在直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M在抛物线C上，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为． 则其半径为， 且△OFM外接圆的圆心一定在OF的垂直平分线上， 其中焦点，准线方程为， 所以圆心的横坐标为，则圆心到准线的距离为， 即， 所以C的方程为y2＝x． （2）设点（﹣1，1）关于直线y＝kx对称的点为（a，b）， 则两点连线的中点坐标在直线y＝kx上， 即， 化简可得b＝k（a﹣1）﹣1①， 由对称性又可知，（﹣1，1）和（a，b）所在直线与y＝kx垂直， 则②， 联立①②可得，， 解得， 所以， 又因为（a，b）在抛物线y2＝x上， 则b2＝a， 即， 即k4+4k2﹣4k3+1﹣2（k2﹣2k）＝（k2+1）（k2+2k﹣1）， 即3k3﹣k2﹣k﹣1＝0， 所以（3k2+2k+1）（k﹣1）＝0， 所以k﹣1＝0， 即k＝1． 17．（2023秋•朝阳区期末）已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的左顶点为A，上顶点为B，原点O到直线AB的距离为，△AOB的面积为1． （Ⅰ）求椭圆E的方程； （Ⅱ）过点P（﹣2，1）的直线l与椭圆E交于不同的两点C，D，过点C作x轴的垂线分别与直线AD，AB交于点M，N．判断点N是否为线段CM的中点，说明理由． 【解答】解：（Ⅰ）易知， 因为△AOB的面积为1， 所以， 因为点O到直线AB的距离为， 所以＝1， 此时， 解得， 则椭圆E的方程为； （Ⅱ）易知直线l的斜率存在， 不妨设直线l的方程为y﹣1＝k（x+2）， 即y＝k（x+2）+1， 联立，消去y并整理得（1+4k2）x2+（16k2+8k）x+16k2+16k＝0， 此时Δ＝（16k2+8k）2﹣4（1+4k2）（16k2+16k）＝﹣64k＞0， 解得k＜0， 不妨设C（x1，y1），D（x2，y2）， 由韦达定理得， 因为直线AD的方程为， 令x＝x1， 解得， 直线AB的方程为， 令x＝x1， 解得， 要证点N为线段CM的中点， 需证， 即证， 因为＝ ＝2k+＝2k+ ＝2k+＝2k+1﹣2k＝1． 所以点N为线段CM的中点． 18．（2024秋•徐汇区校级期中）如图，已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x，点在双曲线C上，A、B为双曲线C的左、右顶点，P为双曲线C右支上的动点，直线AP和直线x＝1交于点N，直线NB交双曲线C的右支于点Q． （1）求双曲线C的方程； （2）若点P在第一象限，且满足，求△PQN的面积； （3）探究直线PQ是否过定点，若过定点，求出该定点坐标，并说明理由． 【解答】解：（1）因为双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x， 点在双曲线C上， 所以，解得：， 所以双曲线C的方程为：； （2）由（1）知，A（﹣2，0），点N在直线x＝1上，又，即N是线段AP的中点， 所以P点横坐标为4，又点P在第一象限， 代入双曲线得P（4，6），所以N（1，3），又B（2，0）， 所以直线NB的方程为：3x+y﹣6＝0， 联立，解得：， 所以Q（4，﹣6），又P（4，6），N（1，3）， 则△PQN的面积； （3）直线PQ过定点（4，0），理由如下： 当直线PQ的斜率不为0时，设直线PQ的方程为x＝my+n，P（x1，y1），Q（x2，y2）， 联立，整理得（3m2﹣1）y2+6mny+3n2﹣12＝0， 则Δ＝36m2n2﹣4（3m2﹣1）（3n2﹣12）＞0，即12m2+n2﹣4＞0， 所以，， 直线，所以， 又N，B，Q三点共线， 所以kBQ＝kNB，即， 即y2（x1+2）+3y1（x2﹣2）＝0， 即y2（my1+n+2）+3y1（my2+n﹣2）＝0， 因为（3n2﹣12）（y1+y2）＝﹣6mny1y2， 所以， 代入上式得（n﹣2）（n﹣4）y1﹣（n﹣4）（n+2）y2＝0， 所以n＝4，所以PQ过定点（4，0）， 显然，当直线PQ的斜率为零时，直线PQ过点（4，0）， 综上，直线PQ过定点（4，0）． 19．（2024秋•虹口区校级期中）如图所示，由椭圆C1：＝1（a＞b＞0）和椭圆C2：＝1（b＞t＞0）组合而成的曲线Γ，由图形特点，这里称曲线Γ为“猫眼曲线”．特别地，若两个椭圆的离心率相等，则称其为“优美猫眼曲线”． （1）已知猫眼曲线Γ满足a，b，t成等比数列，试判断该曲线是否为“优美猫眼曲线”； （2）在曲线Γ中，若a＝2，b＝，t＝1，斜率为k（k≠0）的直线l不经过坐标原点，且l与椭圆C1相交所得弦的中点为M，与椭圆C2相交所得弦的中点为N，证明：直线OM，ON的斜率之比为定值； （3）在（2）的条件下，若直线l的斜率k＝，且l与椭圆C2相切，与椭圆C1相交于A，B两点，Q为椭圆C1上异于A，B的任意一点，求△ABQ面积的最大值． 【解答】解：（1）因为a，b，t成等比数列， 所以， 此时椭圆C2的离心率， 所以椭圆C1的离心率， 因为， 所以e1＝e2， 则该曲线是“优美猫眼曲线”； （2）证明：设直线l的方程为y＝kx+m， 联立，消去y并整理得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4＝0， 此时， 所以， 则M， 所以， 同理得， 所以为定值； （3）设直线l的方程为， 联立，消去y并整理得， 因为直线l与椭圆C2相切， 所以Δ＝8m2﹣16（m2﹣2）＝0， 解得m＝±2， 不妨取m＝2， 此时直线l的方程， 联立，消去y并整理得， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 由韦达定理得，， 所以， 设， 设点Q到直线的距离为d， 则（tanφ＝2，， 当， 即时，d取得最大值，最大值为． 则△ABQ面积最大值S＝． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$