24.2.2.4 切线长定理 课件 2024—2025学年人教版数学九年级上册

第3课时 切线长定理 1.掌握切线长的定义及切线长定理.（重点） 2.初步学会运用切线长定理进行计算与证明.（难点） 3.理解三角形的内切圆、内心等概念。 4.并掌握作三角形内切圆的方法。 学习目标 1.切线的判定一般有三种方法： r d l (1)定义法：和圆有唯一的一个公共点 (2)距离法：d=r (3)判定定理:经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线。 O A P 知识回顾 常见的辅助线添加方法： ①有公共点，连半径，证垂直;②无公共点，作垂直，证半径. 2.切线的性质： 圆的切线垂直于经过切点的半径. 有切线时常用辅助线添加方法：遇切点，连半径，得垂直. o P l 如图，经过圆上一点P，作直线与已知圆相切，如何作？能够作几条？ 作法：1. 连接OP并延长，截取PF=OP. 2. 过点 P 作直线 l⊥OP. 则直线 l 即为所作. 知识回顾 如何过圆外一点作已知圆的切线呢？ F O. P 新知学习 如图，点P为⊙O外一点，如何过点P作直线与⊙O相切? 关键 找出以OP为斜边的直角三角形，并且让其直角顶点在⊙O上. O. P 如图，点P为⊙O外一点，如何过点P作直线与⊙O相切? B A 过圆外一点能够作圆的两条切线 作法： (1)连接OP. (2)以OP为直径作圆，设此圆 交⊙O于点A，B. (3)连接PA，PB. 则直线PA，PB即为所作. 直径所对的圆周角是直角 操作 知识点 O. P B A 切线长 切线上一点到切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长. 切线长和切线有什么区别？ 切线是直线，不能度量. 切线长是圆外一点到切点之间的线段长，可以度量． 1 2 过圆外一点能够作圆的两条切线 O，A，B，P四点共圆哦！ 新知学习 问题：如图，设PA,PB是☉O的两条切线， A，B是切点。沿直线PO将图形折叠，有什么发现？ O P A B 解：PA = PB，∠1=∠2.理由如下： 证明：连接OA，OB， ∵ PA切☉O于点A，PB切☉O于点B， ∴ OA⊥PA.OB⊥PB. ∵ OA = OB，OP = OP， ∴ Rt△OAP ≌ Rt△OBP(HL)， ∴ PA = PB，∠1=∠2. 1 2 探究2 切线长定理 问题3： 如图，和为 的两条切线，连接 ，将此图沿着直线 对折，则直线两旁的部分能 完全重合吗？你能证明吗？ 切线长定理：从圆外一点可以引圆的____条切线，它们的切线长 _______，这一点和圆心的连线______两条切线的夹角. 几何语言：，是的切线， __________，______________. 两 相等 平分 平分 9 问题4：若连接两切点，，交于点 .你还能得出什么新的结论? 解：OP垂直平分AB. 证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点 ∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB ∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线 ∴OP垂直平分AB. O. P A B M 想一想：若延长PO交⊙O于点C，连结CA、CB，你又能得出什么新的结论?并给出证明. ∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点， ∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB. 又 PC=PC. ∴ △PCA ≌ △PCB（SAS)， ∴AC=BC. 解：CA=CB O. P A B C 证明：延长PO交⊙O于点C，连接AC、BC， 。 P B A O （3）连结圆心和圆外一点 （2）连结两切点 （1）分别连结圆心和切点 常作辅助线方法 探究：PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，直线OP交⊙O于点D，E，交AB于点C. (1)写出图中所有的垂直关系 OA⊥PA, OB ⊥PB, AB⊥OP (2)写出图中与∠OAC相等的角 ∠OAD=∠OBD=∠APD=∠BPD B A P O C E D △AOP≌△BOP △AOD≌△BOD △ADP≌△BDP (4)写出图中所有的等腰三角形 △ABP, △AOB (3) 写出图中所有的全等三角形(大本第2题） 1.如图,PA、PB是⊙O的切线,切点分别为A、B两点,点C在⊙O上,如果∠ACB＝70°那么∠P的度数是　 ． 40° 练一练：求角度 2.如图PA、PB是⊙O的切线,切点分别为A、B,且∠APB=50°,点C是圆上的一点,则∠ACB的度数为 . ●O A B P 65° 或115° 3.如图，PA，PB是⊙O的两条切线A，B是切点C是AB上任意一点过点C画⊙C的切线分别交PA和PB于D，E两点已知PA=PB=5cm,则△PDE的周长为 . ⌒ ●O A B P E C D 10 cm 求长度 当有两条及以上的切线时，关键是运用切线长定理，将相等线段进行转化. 4．如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，切点分别是P，C，D.若AB＝10，AC＝6，则BD的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 B 课堂小结 过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角. ∵ PA、PB分别切☉O于A、B， ∴ PA = PB， ∠1=∠2. 几何语言： O P A B 1 2 切线长定理： 切线长 切线长定理 作用 图形的轴对称性 原理 提供了证线段和角相等的新方法 辅助线 分别连接圆心和切点； 连接两切点； 连接圆心和圆外一点. 探究3 三角形的内切圆 问题5:小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行 加工：裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？ 问题6:如果最大圆存在，它与三角形三边应有怎样的位置关系？ 问题7: 如何求作一个圆，使它与已知三角形的三边都相切？ （1）如果半径为的与的三边都相切，那么圆心 应满足 __________________；（2）在 的内部，如何找到满足条件的圆 心 呢？ 到三边的距离相等 19 问题8:请用尺规在图中作出 ，请简要写出作图步骤. (1)作∠ABC、∠ACB的平分线BM和CN,交点为I. (2)过点I作ID⊥BC,垂足为D. (3)以I为圆心,ID为半径作⊙I, ⊙I就是所求 练一练：分别作出锐角三角形,直角三角形,钝角三角形的内切圆,并说明它们内心的位置情况? 提示:先确定圆心和半径,尺规作图要保留作图痕迹. A B C A B C ● ● ● C A B ┐ 任意一个三角形的内心一定在三角形的内部。 小结：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的________,它的圆心是三 角形三条__________的交点，叫做三角形的______. （1）叫做的______圆，叫做 的______三角形； （2）三角形的内心是三角形的三条________线的交点,到三角形_____ 的距离相等； （3）内心都在三角形的内部吗？____. 内切圆 角平分线 内心 内切 外切 角平分 三边 是 ． o 外心(外接圆圆心):三角形三边垂直平分线的交点 外心到三角形三个顶点的距离相等。 三角形外接圆 三角形内切圆 ． o 内心(内切圆圆心):三角形三个内角平分线的交点 内心到三角形三边的距离相等。 A A B B C C 三角形与圆的位置关系 1.三角形的内心到三角形各个顶点的距离相等( ) 2.三角形的外心到三角形各边的距离相等 ( ) 3.等边三角形的内心和外心重合 ( ) 4.三角形的内心一定在三角形的内部( ) 5.菱形一定有内切圆( ) 6.矩形一定有内切圆( ) × × √ √ √ × 练一练 2．如图，点O是△ABC内切圆的圆心，已知∠ABC＝50°，∠BOC＝115°，则∠ACB的度数是(　　) A．70° B．80° C．85° D．90° B 3. 如图,在△ABC中,点O是内心, ①若∠ABC=50°, ∠ACB=70°,则∠BOC=_________； A B C O ②若∠A=80°,则∠BOC= ； ③若∠BOC=110°,则∠A= ； 130 ° 40 ° ④猜想∠A和∠BOC之间有什么数量关系？ 外心 120 ° 120° 160° 55° ∠BOC=90°+1/2∠A 2∠A 4.如图，在△ABC中，∠BIC＝125°，I是内心，O是外心，则∠BOC的度数为(　　) A．130°　　　　B．135° C．140° D．145° C 等边三角形与其内切圆的关系 A B C D E F 若内切圆的半径为2, 求三角形ABC的边长? r a 1．一个等边三角形的边长为2，则这个等边三角形的内切圆半径为(　　) A． B．1 C． D． C 已知:如图,⊙O是Rt△ABC的内切圆,∠C是直角,AC=3,BC=4. 求⊙O的半径r. ● A B C ● ┏ O ● ┗ ┓ D E F ┗ 直角三角形的三边长与其内切圆半径间的关系 A B C ● ┏ O b a c 已知:如图,△ABC的面积S=4cm2,周长等于10cm.求内切圆⊙O的半径r. ● A B C ● O ● ┗ ┓ O D E F ┗ 斜△的三边长及面积与其内切圆半径间的关系 C 3．如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F.若⊙O的半径为 ，△ABC的面积为45，且BC＝9，则AD＝________． 9 4．如图，⊙I为△ABC的内切圆，若BC＝6，AC＝8，AB＝10，则点A到⊙I上的最近点的距离为__________． 2－2 $$