广东省深圳市龙华第二实验教育集团2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年广东省深圳市龙华第二实验教育集团九年级（上）期中 数学试卷 一.选择题（每小题3分，共10小题，共30分） 1．（3分）下列哪种影子不是中心投影（　　） A．阳光下房屋的影子 B．晚上在房间内墙上的手影 C．都市霓虹灯形成的影子 D．皮影戏中的影子 2．（3分）若x＝1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0的一个根，则m的值是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 3．（3分）端午节是我国四大传统节日之一，吃粽子是端午节的传统习俗，端午节这天小颖的妈妈买了2只红豆粽和4只红枣粽，这些粽子除了内部馅料不同外其他均相同．小颖从中随意选一个，她选到红豆粽的概率是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）下列性质中，矩形具有而菱形不一定具有的是（　　） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角相等 5．（3分）如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为CD的中点，若OE＝3，则菱形的周长为（　　） A．12 B．16 C．20 D．24 6．（3分）如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，S＝3，则△ABC的面积为（　　） A．15 B．12 C．9 D．6 7．（3分）如图，正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一点，且AE＝AB，连接BE，DE，则∠CDE的度数为（　　） A．20° B．22.5° C．25° D．30° 8．（3分）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为23万元，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是（　　） A．23（1﹣x）2＝18.63 B．18.63（1+x）2＝23 C．18.63（1﹣x）2＝23 D．23（1﹣2x）＝18.63 9．（3分）如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从点A处沿AO所在的直线行走14m到点B时，人影长度（　　） A．变长3.5m B．变长2.5m C．变短3.5m D．变短2.5m 10．（3分）如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形拼接而成，连结HF交DE于点M．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 二.填空题（每小题3分，共5小题，共15分） 11．（3分）方程x（x﹣3）＝0的解为　 　． 12．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，ED：EC＝2：3，若△DEF的面积是4，则△ABF的面积是 　 　． 13．（3分）在一个不透明的袋子中放有10个白球，若干个红球，这些球除颜色外完全相同．每次把球充分搅匀后，任意摸出一个球记下颜色，再放回袋中．通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.25左右，则红球约有 　 　个． 14．（3分）如图，正方形ABCD的边长为3cm，以直线AB为轴，将正方形旋转一周，所得几何体的左视图的面积是 　 　． 15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，连接BD，点M，N分别是边BC，DC上的动点，连接MN，将△CMN沿MN折叠，使点C的对应点P始终落在BD上，当△PBM为直角三角形时，线段MC的长为　 　． 三.解答题（共7小题，共55分） 16．（9分）解下列方程： （1）x2＝6x； （2）2x2﹣3x﹣2＝0； （3）x2﹣1＝3x+3． 17．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的三个顶点的坐标分别为A（6，3），O（0，0），B（0，6）． （1）以原点O为位似中心，在第一象限内将△AOB缩小得到△A1OB1，相似比为，请画出△A1OB1； （2）直接写出点A1的坐标（ 　 　，　 　）； （3）求出△A1OB1的面积． 18．（7分）为了帮助学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质、健全人格、锤炼意志，从2024年1月1日起，深圳市义务教育阶段学校每天开设一节体育课．为了更好地开展体育课，了解学生最喜欢的体育活动项目，某校针对以下4种体育项目：A．足球；B．乒乓球；C．．篮球；D．游泳．随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图（如图 （1），图 （2）），请回答下列问题： （1）这次被调查的学生共有　 　人；并补全条形统计图； （2）在扇形图中，扇形“C”所对应的圆心角等于　 　度； （3）学校共有3600名学生，请根据调查数据估计选择“游泳”的学生人数有　 　人． （4）学校决定成立“足球”“乒乓球”“篮球”“游泳”四个兴趣社团．若小亮、小明随机选取四个社团中的一个，请利用列表或画树状图的方法，求他们选择同一社团的概率． 19．（8分）如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于点F． （1）证明△ABE∽△DFA； （2）若AB＝3，AD＝6，BE＝4，求DF的长． 20．（8分）某商场于今年年初以每件60元的进价购进一批商品．当商品售价为每件80元时，一月份销售64件，二、三月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月底的销售量达到100件，设二、三这两个月的销售量月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的销售量月平均增长率； （2）从四月份起，在三月份销量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，该商品每降价0.5元，销售量增加5件．为尽可能让利顾客，赢得市场，问：该商品售价定为多少时，商场当月获利2160元？ 21．（7分）小华想利用太阳光测量楼AB的高，他带着尺子来到楼下，发现地面和对面斜坡（坡角为45°）上都有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：先测得在此时刻1.5m高的物体垂直于地面放置时，影长是1m；楼AB落在地面上的影长AD＝20m，落在斜坡上的影长CD＝12m，请你帮小华求出楼AB的高． 22．（10分）已知△ABC和△DEC都为等腰三角形，AB＝AC，DE＝DC，∠BAC＝∠EDC＝n°． （1）当n＝60时， ①如图1，当点D在AC上时，请直接写出BE与AD的数量关系：　 　； ②如图2，当点D不在AC上时，判断线段BE与AD的数量关系，并说明理由； （2）当n＝90时， ①如图3，探究线段BE与AD的数量关系，并说明理由； ②当BE∥AC，AB＝3，AD＝1时，请直接写出DC的长． 2024-2025学年广东省深圳市龙华第二实验教育集团九年级（上）期中 数学试卷 参考答案与试题解析 一.选择题（每小题3分，共10小题，共30分） 1．（3分）下列哪种影子不是中心投影（　　） A．阳光下房屋的影子 B．晚上在房间内墙上的手影 C．都市霓虹灯形成的影子 D．皮影戏中的影子 【分析】由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影，由此即可判断． 【解答】解：晚上在房间内墙上的手影，都市冤虹灯形成的影子，皮影戏中的影子，是中心投影， 阳光下房屋的影子是平行投影，不是中心投影． 故选：A． 【点评】本题考查中心投影，关键是掌握中心投影定义． 2．（3分）若x＝1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0的一个根，则m的值是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 【分析】把x＝1代入方程x2+mx﹣3＝0，得出一个关于m的方程，解方程即可． 【解答】解：把x＝1代入方程x2+mx﹣3＝0得：1+m﹣3＝0， 解得：m＝2． 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，关键是能根据题意得出一个关于m的方程． 3．（3分）端午节是我国四大传统节日之一，吃粽子是端午节的传统习俗，端午节这天小颖的妈妈买了2只红豆粽和4只红枣粽，这些粽子除了内部馅料不同外其他均相同．小颖从中随意选一个，她选到红豆粽的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】让红豆粽的总个数除以粽子的总个数即为小颖吃到红豆粽的概率． 【解答】解：∵妈妈买了2只红豆粽和4只红枣粽， ∴P（红豆粽）＝＝． 故选：B． 【点评】本题考查了统计与概率中概率的求法．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 4．（3分）下列性质中，矩形具有而菱形不一定具有的是（　　） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角相等 【分析】由矩形和菱形的性质可求解． 【解答】解：∵矩形的对角线互相平分且相等，对角相等，菱形的对角线互相垂直平分，对角相等， ∴矩形具有而菱形不一定具有的是对角线相等， 故选：A． 【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，掌握矩形和菱形的性质是解题的关键． 5．（3分）如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为CD的中点，若OE＝3，则菱形的周长为（　　） A．12 B．16 C．20 D．24 【分析】根据菱形的性质结合三角形中位线定理求解即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，E为CD的中点， ∴OD＝OB，DE＝CE， ∴OE是△DBC的中位线， ∴BC＝2OE＝6， ∴菱形的周长为4×6＝24， 故选：D． 【点评】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，熟记菱形的性质，三角形中位线定理是解题的关键． 6．（3分）如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，S＝3，则△ABC的面积为（　　） A．15 B．12 C．9 D．6 【分析】根据位似变换的概念得到△ABC≌△A1B1C1，BC∥B1C1，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 【解答】解：∵△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形， ∴△ABC≌△A1B1C1，BC∥B1C1， ∴△OBC≌△OB1C1， ∴＝＝， ∴＝（）2， ∵S＝3， ∴△ABC的面积＝3×4＝12， 故选：B． 【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握位似的两个图形必须是相似形、相似三角形的性质是解题的关键． 7．（3分）如图，正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一点，且AE＝AB，连接BE，DE，则∠CDE的度数为（　　） A．20° B．22.5° C．25° D．30° 【分析】根据∠CDE＝90°﹣∠ADE，求出∠ADE即可解决问题． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠ADC＝90°，∠DAC＝45°， ∵AE＝AB， ∴AD＝AE， ∴∠ADE＝∠AED＝67.5°， ∴∠CDE＝90°﹣67.5°＝22.5°， 故选：B． 【点评】本题考查正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 8．（3分）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为23万元，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是（　　） A．23（1﹣x）2＝18.63 B．18.63（1+x）2＝23 C．18.63（1﹣x）2＝23 D．23（1﹣2x）＝18.63 【分析】利用该款燃油汽车今年4月份的售价＝该款燃油汽车今年2月份的售价×（1﹣该款汽车这两月售价的月平均降价率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：23（1﹣x）2＝18.63． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 9．（3分）如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从点A处沿AO所在的直线行走14m到点B时，人影长度（　　） A．变长3.5m B．变长2.5m C．变短3.5m D．变短2.5m 【分析】小明在不同的位置时，均可构成两个相似三角形，可利用相似比求人影长度的变化． 【解答】解：设小明在A处时影长为x，AO长为a，B处时影长为y． ∵AC∥OP，BD∥OP， ∴△ACM∽△OPM，△BDN∽△OPN， ∴，， 则， ∴x＝； ， ∴y＝， ∴x﹣y＝3.5， 故变短了3.5米． 故选：C． 【点评】此题考查相似三角形对应边成比例，应注意题中三角形的变化． 10．（3分）如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形拼接而成，连结HF交DE于点M．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】延长CB，DE，交于点N，设AH＝1，AE＝2，依据△ADE∽△BNE，即可得出BN＝1.5；再根据△DHM∽△NFM，即可得到的值． 【解答】解：如图所示，延长CB，DE，交于点N，设AH＝1，AE＝2， ∵正方形ABCD由四个全等的直角三角形拼接而成， ∴BE＝1，DH＝BF＝2， ∵AD∥BN， ∴△ADE∽△BNE， ∴＝，即＝， ∴BN＝1.5， ∵DH∥NF， ∴△DHM∽△NFM， ∴＝＝＝， 故选：C． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解决问题的关键是延长CB，DE，构造两对“8”字模型相似三角形，利用相似三角形的对应边成比例进行计算． 二.填空题（每小题3分，共5小题，共15分） 11．（3分）方程x（x﹣3）＝0的解为　x1＝0，x2＝3　． 【分析】根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 【解答】解：x（x﹣3）＝0， 可得x＝0或x﹣3＝0， 解得：x1＝0，x2＝3． 故答案为：x1＝0，x2＝3 【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 12．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，ED：EC＝2：3，若△DEF的面积是4，则△ABF的面积是 　25　． 【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，AB＝CD，即可证得△DEF∽△BAF，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求得答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴△DEF∽△BAF， ∵DE：EC＝2：3， ∴DE：CD＝DE：AB＝2：5， ∵△DEF的面积是4， ∴＝＝， ∴S△DEF：S△ABF＝4：25， ∴S△ABF＝25． 故答案为：25． 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 13．（3分）在一个不透明的袋子中放有10个白球，若干个红球，这些球除颜色外完全相同．每次把球充分搅匀后，任意摸出一个球记下颜色，再放回袋中．通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.25左右，则红球约有 　30　个． 【分析】根据用频率估计概率可知：摸到白球的概率为0.25，根据概率公式即可求出小球的总数，从而求出红球的个数． 【解答】解：∵通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.25左右， ∴摸到白球的概率为0.25， ∴小球的总数约为：10÷0.25＝40（个）， 则红球的个数为：40﹣10＝30（个）． 故答案为：30． 【点评】本题考查的是用频率估计概率，正确记忆概率公式是解题关键． 14．（3分）如图，正方形ABCD的边长为3cm，以直线AB为轴，将正方形旋转一周，所得几何体的左视图的面积是 　18cm2　． 【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中． 【解答】解：正方形ABCD的边长为3cm，以直线AB为轴，将正方形旋转一周，所得几何体为半径为3圆柱体， 该圆柱体的左视图为矩形； 矩形的两边长分别为3cm和6cm，故矩形的面积为18cm2． 故答案为：18cm2． 【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图，考查了学生细心观察能力和计算能力，属于基础题． 15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，连接BD，点M，N分别是边BC，DC上的动点，连接MN，将△CMN沿MN折叠，使点C的对应点P始终落在BD上，当△PBM为直角三角形时，线段MC的长为　或　． 【分析】分两种情形：如图1中，当∠PMB＝90°时，四边形PMCN是正方形，设CM＝PM＝PN＝CN＝x．如图2中，当∠BPM＝90°时，点N与D重合，设MC＝MP＝y．分别求解即可． 【解答】解：如图1中，当∠PMB＝90°时，四边形PMCN是正方形，设CM＝PM＝PN＝CN＝x． ∵PM∥CD， ∴＝， ∴＝， ∴x＝， ∴CM＝． 如图2中，当∠BPM＝90°时，点N与D重合，设MC＝MP＝y． ∵CD＝8，BC＝6，∠C＝90°， ∴BD＝＝＝10， ∵PD＝CD＝8， ∴PB＝BD﹣PD＝10﹣8＝2， ∵BM2＝PB2+PM2， ∴（6﹣y）2＝22+y2， ∴y＝， ∴CM＝， 综上所述，CM的值为或． 故答案为：或． 【点评】本题考查矩形的性质，解直角三角形，翻折变换等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 三.解答题（共7小题，共55分） 16．（9分）解下列方程： （1）x2＝6x； （2）2x2﹣3x﹣2＝0； （3）x2﹣1＝3x+3． 【分析】（1）先移项，再利用因式分解法求解即可； （2）利用解一元二次方程﹣公式法进行计算，即可解答； （3）利用解一元二次方程﹣因式分解法进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）x2＝6x， x2﹣6x＝0， x（x﹣6）＝0， x＝0或x﹣6＝0， x1＝0，x2＝6； （2）2x2﹣3x﹣2＝0， Δ＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣2）＝9+16＝25＞0， ∴x＝＝， ∴x1＝2，x2＝﹣； （3）x2﹣1＝3x+3， （x+1）（x﹣1）＝3（x+1）， （x+1）（x﹣1）﹣3（x+1）＝0， （x+1）（x﹣1﹣3）＝0， （x+1）（x﹣4）＝0， x+1＝0或x﹣4＝0， x1＝﹣1，x2＝4． 【点评】此题考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法及公式法是解本题的关键． 17．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的三个顶点的坐标分别为A（6，3），O（0，0），B（0，6）． （1）以原点O为位似中心，在第一象限内将△AOB缩小得到△A1OB1，相似比为，请画出△A1OB1； （2）直接写出点A1的坐标（ 　3　，　　）； （3）求出△A1OB1的面积． 【分析】（1）根据位似的性质作图即可． （2）由位似的性质可得出答案． （3）利用三角形的面积公式计算即可． 【解答】解：（1）如图，△A1OB1即为所求. （2）∵以原点O为位似中心，将△AOB缩小得到△A1OB1，相似比为，A（6，3）， ∴点A1的坐标为（3，）． 故答案为：3；． （3）△A1OB1的面积为． 【点评】本题考查作图﹣位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． 18．（7分）为了帮助学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质、健全人格、锤炼意志，从2024年1月1日起，深圳市义务教育阶段学校每天开设一节体育课．为了更好地开展体育课，了解学生最喜欢的体育活动项目，某校针对以下4种体育项目：A．足球；B．乒乓球；C．．篮球；D．游泳．随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图（如图 （1），图 （2）），请回答下列问题： （1）这次被调查的学生共有　60　人；并补全条形统计图； （2）在扇形图中，扇形“C”所对应的圆心角等于　108　度； （3）学校共有3600名学生，请根据调查数据估计选择“游泳”的学生人数有　720　人． （4）学校决定成立“足球”“乒乓球”“篮球”“游泳”四个兴趣社团．若小亮、小明随机选取四个社团中的一个，请利用列表或画树状图的方法，求他们选择同一社团的概率． 【分析】（1）用B组的人数除以其所占的百分比即可求得总人数，然后再求出C组的人数，最后补全条形统计图即可； （2）360°乘以C组所占的比例即可； （3）用学生总数乘以D组所占的比例即可； （4）先列表确定所有等可能结果数和满足题意的结果数，然后运用概率公式计算即可． 【解答】解：（1）本次调查的总人数为：80÷40%＝200（人）， 则C组的学生数为：200﹣20﹣80﹣40＝60（人）． 补全条形统计图如下： 故答案为：60； （2）扇形“C”所对应的圆心角等于． 故答案为：108． （3）估计选择“游泳”的学生人数有（人）． 答：估计选择“游泳”的学生人数有720人， 故答案为：720． （4）列表如下： A B C D A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D） 共有16种等可能的结果，其中他们选择同一社团的结果有4种， ∴他们选择同一社团的概率为． 【点评】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合、求圆心角、用样本估计整体、列表法求概率等知识点，从统计图中获取所需信息成为解题的关键． 19．（8分）如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于点F． （1）证明△ABE∽△DFA； （2）若AB＝3，AD＝6，BE＝4，求DF的长． 【分析】（1）利用矩形和直角三角形的性质得到∠AEB＝∠EAD、∠ADF＝∠EAB，从而证得两个三角形相似． （2）首先利用勾股定理求得线段AE的长，然后利用相似三角形的性质：对应边成比例即可求得DF的长． 【解答】（1）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠B＝90°， ∴∠AEB＝∠DAE， ∵DF⊥AE， ∴∠DAF+∠ADF＝∠DAF+∠EAB＝90°， ∴∠ADF＝∠EAB， ∴△ABE∽△DFA； （2）∵AB＝3，BE＝4， ∴由勾股定理得AE＝5， ∵△ABE∽△DFA， ∴即：， ∴DF＝3.6． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理及矩形的性质的知识，综合性比较强，但难度不是很大． 20．（8分）某商场于今年年初以每件60元的进价购进一批商品．当商品售价为每件80元时，一月份销售64件，二、三月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月底的销售量达到100件，设二、三这两个月的销售量月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的销售量月平均增长率； （2）从四月份起，在三月份销量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，该商品每降价0.5元，销售量增加5件．为尽可能让利顾客，赢得市场，问：该商品售价定为多少时，商场当月获利2160元？ 【分析】（1）设二、三这两个月的销售量月平均增长率为x，利用三月份的销售量＝一月份的销售量×（1+二、三这两个月的销售量月平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设该商品售价定为y元，则每件的销售利润为（y﹣60）元，当月的销售量为（900﹣10y）件，利用总利润＝每件的销售利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，再结合“要尽可能让利顾客，赢得市场”，即可得出该商品售价应定为72元． 【解答】解：（1）设二、三这两个月的销售量月平均增长率为x， 依题意得：64（1+x）2＝100， 解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去）． 答：二、三这两个月的销售量月平均增长率为25%． （2）设该商品售价定为y元，则每件的销售利润为（y﹣60）元，当月的销售量为100+5×＝（900﹣10y）件， 依题意得：（y﹣60）（900﹣10y）＝2160， 整理得：y2﹣150y+5616＝0， 解得：y1＝72，y2＝78， 又∵要尽可能让利顾客，赢得市场， ∴y＝72． 答：该商品售价定为72元时，商场当月获利2160元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 21．（7分）小华想利用太阳光测量楼AB的高，他带着尺子来到楼下，发现地面和对面斜坡（坡角为45°）上都有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：先测得在此时刻1.5m高的物体垂直于地面放置时，影长是1m；楼AB落在地面上的影长AD＝20m，落在斜坡上的影长CD＝12m，请你帮小华求出楼AB的高． 【分析】根据题意作出合适的辅助线，即可求得AB的长，本题得以解决． 【解答】解：作CF⊥AD交AD的延长线于点F，作CM⊥AB于点M， 则∠CFD＝90°， ∵∠CFD＝90°，∠CDF＝45°，CD＝12m， ∴DF＝CF＝6m， ∵测得在此时刻1.2m高的物体垂直于地面放置时，影长是1m，AD＝20m， ∴CM＝AF＝AD+DF＝（20+6）m， ∴， 解得：BM＝（30+9）m， ∴AB＝BM+AM＝30+9+6＝（30+15）m， 答：楼AB的高是（30+15）m． 【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数解答． 22．（10分）已知△ABC和△DEC都为等腰三角形，AB＝AC，DE＝DC，∠BAC＝∠EDC＝n°． （1）当n＝60时， ①如图1，当点D在AC上时，请直接写出BE与AD的数量关系：　BE＝AD　； ②如图2，当点D不在AC上时，判断线段BE与AD的数量关系，并说明理由； （2）当n＝90时， ①如图3，探究线段BE与AD的数量关系，并说明理由； ②当BE∥AC，AB＝3，AD＝1时，请直接写出DC的长． 【分析】（1）①根据题意当n＝60时，△ABC和△DEC均为等边三角形，根据线段之间的关系易推出BE＝AD； ②通过SAS求证△ACD≌△BCE，即可找到线段BE与AD的数量关系； （2）①根据已知条件，利用两边对应成比例且夹角相等求证△DCA∽△ECB即可找到线段BE与AD的数量关系； ②分两种情形：当点D在△ABC外部，根据已知条件，利用两角对应相等求证△EFB∽△CFA，再利用相似比结合勾股定理即可算出EF的长，进而表示出EC的长即可求出DC的长．当点D在△ABC内部时，当点D在△ABC内部时，过点DH⊥AC于点H，根据已知条件得出DH和CH，在△CDH中，根据勾股定理求出CD的值，综上可得结论． 【解答】解：（1）①当n＝60时，△ABC和△DEC均为等边三角形， ∴BC＝AC，EC＝DC， 又∵BE＝BC﹣EC， AD＝AC﹣DC， ∴BE＝AD， 故答案为：BE＝AD； ②BE＝AD，理由如下： 当点D不在AC上时， ∵∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝60°，∠DCE＝∠BCE+∠DCB＝60°， ∴∠ACD＝∠BCE， 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE； （2）①BE＝AD，理由如下： 当n＝90时，在等腰直角三角形DEC中：＝sin45， 在等腰直角三角形ABC中：＝， ∵∠ACB＝∠ACE+∠ECB＝45°，∠DCE＝∠ACE+∠DCA＝45°， ∴∠ECB＝∠DCA 在△DCA和△ECB中， ， ∴△DCA∽△ECB， ∴， ∴BE＝， ②DC＝5或，理由如下： 当点D在△ABC外部时，设EC与AB交于点F，如图所示： ∵AB＝3，AD＝1 由上可知：AC＝AB＝3，BE＝＝， 又∵BE∥AC， ∴∠EBF＝∠CAF＝90°， 而∠EFB＝∠CFA， ∴△EFB∽△CFA， ∴＝＝， ∴AF＝3BF，而AB＝BF+AF＝3， ∴BF＝＝， 在Rt△EBF中：EF＝＝＝， 又∵CF＝3EF＝3×＝， ∴EC＝EF+CF＝＝5（或EC＝4EF＝5）， 在等腰直角三角形DEC中，DC＝EC•cos45°＝5×＝5． 当点D在△ABC内部时，过点D作DH⊥AC于H ∵AC＝3，AD＝1，∠DAC＝45° ∴AH＝DH＝，CH＝AC﹣AH＝， ∴CD＝＝＝， 综上所述，满足条件的CD的值为5或． 【点评】本题属于三角形综合大题，考查三角形基本性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，本题熟练掌握三角形的基本性质，能根据题意从易到难逐步推理，能在题干中找到相应条件求证三角形全等或相似是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$