5.4应用二元一次方程组--增支节出讲练结合 2024-2025学年北师大版数学八年级上册

5.4应用二元一次方程组--增支节出 知识点 列二元一次方程组解决增收节支问题 1.利润问题 ①销售额=售价×销量； ②总利润=总销售额-总成本=单件的利润×销量=(售价-进价)×销量； ③利润率=利润x100%; ④打折后的价格 =原价： (打n折销售). 2.增长(降低)率问题 ①增长(降低)率=增(减)量×100%; ②增长(减少)后的数量=基数×(1±增长(降低)率). 题型1 列二元一次方程组解决利润问题 典例①某商场购进一批商品后，按每件商品的进价加价40%作为售价.现该商场决定进行优惠促销活动，并由顾客抽奖确定其折扣.已知某顾客购买甲、乙两件商品，分别抽到八折和九折的折扣，共付款364元，若甲、乙两件商品的原售价之和为420元，则甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元? 题型2 列二元一次方程组解决增长(降低)率问题 典例②2023年9月26 日正式开园的合肥园博园汇聚了31个国内展园和7个国际展园，展示了中国传统园林和世界各地的园林艺术.自开园以来，受到广大市民和全国游客的热烈欢迎，成为又一打卡地.园博园有A，B两个入口，据统计某日A入口比B入口入园游客多1.2万人.第二天 A 入口入园游客增加了10%，B入口入园游客减少了10%，当天A，B入口入园游客总人数增加了3%，试求第二天A，B入口入园游客的人数各是多少万人. 巩固练习 一选择题： 1．我市某九年一贯制学校共有学生3000人，计划一年后初中在校生增加8%，小学在校生增加11%，这样全校在校生将增加10%，设这所学校现初中在校生x人,小学在校生y人,由题意可列方程组（     ） A． B． C． D． 2．甲、乙两人在400米的环形跑道上练习跑步，如果同时同地反向跑25秒后相遇；如果同向跑，甲先跑10米，乙80秒可追上甲．设甲的速度为x米/秒，乙的速度为y米/秒，则方程组为（    ） A． B． C． D． 3．某工厂去年的利润（总收入总支出）为200万元，今年总收入比去年增加了，总支出比去年减少了，今年的利润为780万元，今年的总收入、总支出各是多少万元?设今年的总收入为万元，总支出为万元，可以列出方程组（    ） A． B． C． D． 4．客车和货车分别在两条平行的铁轨上行驶，客车长米，货车长米如果两车相向而行，那么从两车车头相遇到车尾离开共需秒钟；如果客车从后面追货车，那么从客车车头追上货车车尾到客车车尾离开货车车头共需分秒，假设客车和货车每秒钟分别行驶和米，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．晓华家去年结余20000元，今年可结余43000元，并且今年收入比去年高15%，支出比去年低10%，则去年的收入与支出各是 元、 元. 6．篮球联赛中，每场都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．某队在14场比赛中得到22分，那么这个队胜负场数分别是多少？设胜场，负场．根据题意可得方程组为 （列出方程组即可，不求解）． 7．甲、乙两人在400米的环形跑道上练习竞走，已知甲的速度比乙的速度快，当他们从某处同时出发背向行走时，每60秒相遇一次；同向行走时，每隔8分钟相遇一次．设甲的速度为x米/秒，乙的速度为y米/秒，则可列方程组为 ． 8．小明在某商店买商品A、B共三次只有一次购买时，商品A、B同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品A、B的数量及费用如下表： 购买商品A的数量（个） 购买商品B的数量（个） 购买总费用（元） 第一次购买 6 5 1140 第二次购买 3 7 1110 第三次购买 9 8 1062 若A、B的折扣相同，则商店折扣是 折. 三、解答题 9．为提高病人免疫力，某医院精选甲、乙两种食物为病人配制营养餐．已知每克甲种食物中铁的含量是蛋白质的2倍，每克乙种食物中铁的含量是蛋白质的． (1)设每克甲种食物中含蛋白质x个单位，每克乙种食物中含蛋白质y个单位，请用含x，y的式子填表： 每克甲种食物 每克乙种食物 蛋白质的含量/单位 x y 铁的含量/单位 _____________ _____________ (2) 如果病人每餐需要175个单位的蛋白质和200个单位的铁，每餐需要甲、乙两种食物分别为140克，150克，求每克甲种食物中含蛋白质、铁各多少个单位． 10． 今年“五一”小长假期间，某市外来与外出旅游的总人数为287万人，分别比去年同期增长和，去年同期外来旅游比外出旅游的人数多20万人．求该市今年外来和外出旅游的人数． 11． 泰安某茶叶店经销泰山女儿茶，第一次购进了A种茶30盒，B种茶20盒，共花费6000元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了20%，该店又购进了A种茶20盒，B种茶15盒，共花费5100元．求第一次购进的A、B两种茶每盒的价格． 12．商场为了促销商品，将55英寸和40英寸的彩电分别以九折和八五折出售.“五一”期间进一步加大了优惠促销的力度，在原来促销价格的基础上，55英寸彩电每台降价400元，40英寸彩电每台降价125元，这样与原价（非促销价）相比，正好每台都降价了20%，已知“五一”期间共销售这两种彩电96台，获得252000元的销售额.试问“五一”期间商场销售55英寸和40英寸彩电各多少台？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．A 【难度】0.65 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】根据定量可以找到两个等量关系：现在初中在校人数+现在小学在校人数=3000；一年后初中在校增加的人数加一年后小学在校增加的人数=一年后全校学生增加的人数，列出方程即可解答 【详解】设这所学校现初中在校生x人,小学在校生y人, 则 故选A 【点睛】此题考查二元一次方程组的应用，解题关键在于列出方程 2．C 【难度】0.85 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设甲的速度为x米/秒，乙的速度为y米/秒，根据同时同地反向跑25秒后相遇可得方程，根据同向跑，甲先跑10米，乙80秒可追上甲可得方程，据此列出方程组即可． 【详解】解：设甲的速度为x米/秒，乙的速度为y米/秒， 由题意得，， 故选：C． 3．A 【难度】0.85 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题主要考查根据实际问题中的条件列方程组，根据：①去年总产值-去年总支出=200，②今年总产值-今年总支出=780，可列方程组． 【详解】解：已知今年的总收入x万元、总支出y万元，根据题意，得 ， 故选：A． 4．A 【难度】0.85 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】根据题意和题目中的数据，可知，，然后即可列出相应的方程组，本题得以解决． 【详解】解：分秒秒， 由题意可得， ， 故选：A． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组． 5． 100000 80000 【难度】0.85 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设去年收入是x元，则今年收入就是（1＋15%）x元，设去年支出是y元，则今年支出就是（1−10%）y元，据此可列方程：x−y＝20000，（1＋15%）x−（1−10%）y＝43000，据此解出方程组即可解答． 【详解】设去年收入是x元，则今年收入就是（1＋15%）x元，设去年支出是y元，则今年支出就是（1−10%）y元， 则解得 所以去年的收入为100000元，支出为80000元. 【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找到合适的等量关系，列出相应的方程组． 6． 【难度】0.85 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题考查了二元一次方程租的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，即可列出方程组． 【详解】解：设胜场，负场． 根据题意可得方程组为：， 故答案为：． 7． 【难度】0.85 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】甲的速度为x米/秒，乙的速度为y米/秒，背向行走时，每60秒相遇一次，即60秒两人的路程之和为400米，同向行走时，每隔8分钟相遇一次，即每隔8分钟甲比乙多走400米，由此列出方程组即可． 【详解】解：设甲的速度为x米/秒，乙的速度为y米/秒， 由题意得，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 8．6 【难度】0.65 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设A的标价为x元，B的标价为y元，根据第二次购买的总价为1110元建立方程组求出A、B的标价；然后设商店是打a折出售，由打折销售的数量关系建立方程求出其解即可． 【详解】解：设A的标价为x元，B的标价为y元， 由题意，得, 解得：， 所以，A的标价为90元，B的标价为120元． 设商店是打a折出售这两种商品，由题意得，（9×90+8×120）×=1062， 解得：a=6． 答：商店是打6折出售这两种商品的． 故答案是：6． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，打折销售的数量关系的运用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解． 9．(1)， (2)含蛋白质0.5个单位，铁1个单位 【难度】0.85 【知识点】列代数式、其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）根据题意列出代数式即可求解； （2）根据题意列出方程组求解即可． 【详解】（1）∵设每克甲种食物含蛋白质x个单位，每克乙种食物含蛋白质y个单位，每克甲种食物的铁含量是蛋白质含量的2倍，每克乙种食物的铁含量是蛋白质含量的， ∴每克甲种食物铁含量为个单位，每克乙种食物铁含量为个单位，填表如下： 每克甲种食物 每克乙种食物 蛋白质含量（单位） x y 铁含量（单位） （2）根据题意得： ， 解得. ∴， ∴每克甲种食物含蛋白质个单位、铁1个单位． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解． 10．该市今年外来旅游的人数为162万人，外出旅游的人数为125万人． 【难度】0.85 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设去年同期外来旅游的人数为x万人，外出旅游的人数为y万人，根据“去年同期外来旅游比外出旅游的人数多20万人，且今年‘五一’小长假期间外来与外出旅游的总人数为287万人”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入（1+35%）x，（1+25%）y中即可求出结论． 【详解】解：设去年同期外来旅游的人数为x万人，外出旅游的人数为y万人， 依题意得： ， 解得：， ∴（1+35%）x=（1+35%）×120=162， （1+25%）y=（1+25%）×100=125． 答：该市今年外来旅游的人数为162万人，外出旅游的人数为125万人． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组． 11．A种茶每盒100元，B种茶每盒150元 【难度】0.65 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设第一次购进A种茶每盒x元，B种茶每盒y元，根据第一次购进了A种茶30盒，B种茶20盒，共花费6000元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了20%，该店又购进了A种茶20盒，B种茶15盒，共花费5100元列出方程组求解即可． 【详解】解：设第一次购进A种茶每盒x元，B种茶每盒y元， 根据题意，得 解，得 A种茶每盒100元，B种茶每盒150元． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，正确设出未知数列出方程组求解是解题的关键． 12．“五一”期间该商场销售55英寸彩电50台，40英寸彩电46台. 【难度】0.65 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设55英寸彩电每台原价为m元，40英寸彩电每台原价为n元，分别列出方程求出电视原价，得到“五一”期间各自的售价，然后根据“共销售这两种彩电96台，获得252000元的销售额”列出二元一次方程组，求解即可. 【详解】设55英寸彩电每台原价为m元，40英寸彩电每台原价为n元. 根据题意，得，解得. ，解得. 所以55英寸彩电每台原价为4000元，40英寸彩电每台原价为2500元， 所以“五一”期间55英寸彩电的单价为3200元，40英寸彩电的单价为2000元. 设“五一”期间该商场销售55英寸彩电x台，40英寸彩电y台. 由题意得：解得 所以“五一”期间该商场销售55英寸彩电50台，40英寸彩电46台. 【点睛】本题考查了利用二元一次方程组解决现实生活中的问题，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$