精品解析：山东省菏泽市2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题（B）

2024-2025学年度第一学期期中考试 高三数学试题（B） 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知集合，且中至多有一个奇数，则这样的集合共有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 2. 若（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，.若与是共线向量，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的方程有3个不同的根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 把函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若在上是减函数，则实数的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，且满足，，则（ ） A. 4 B. 8 C. 14 D. 16 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若函数的图象经过点，则（ ） A. 点为函数图象的对称中心 B. 最小正周期为 C. 在区间上的值域为 D. 的单调增区间为 10. 如图，已知中，，，是的中点，动点在以为直径的半圆弧上.则（ ） A. B. 最小值为-2 C. 在上的投影向量为 D. 若最大值为 11. 已知函数的定义域为，满足，且为偶函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于点对称 B. 是周期为4的周期函数 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某公司新开发生产一种产品可获得的利润（单位：万元）与投入使用时间（单位：年）满足，当投入使用_____年时，此产品的年平均利润最大. 13. 如图所示，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为，与的夹角为，若，则_____. 14. 若，则实数的最大值为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角，，所对的边分别为，，，向量，，且. （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长. 16. 根据要求完成下列问题： （1）已知命题，命题，且是必要不充分条件，求实数的取值范围； （2）请根据矩形图表信息，用，，，表示出不等式（其中，，，都为正数）并给出它的代数证明. 17 已知函数. （1）求出在上的值域； （2）已知函数，求在定义域上的零点个数. 18. 定义向量的“亲密函数”为.设向量的“亲密函数”为. （1）求的单调递增区间； （2）若方程有三个连续的实数根，，，且，，求实数的值； （3）已知为锐角三角形，，，为的内角，，的对边，，且，求面积的取值范围. 19. 若函数在上存在，使得，则称为在区间上的“奇点”，若存在、，使得，，则称是上的“双奇点函数”，其中、也称为在上的奇点. （1）已知函数是区间上双奇点函数，求实数的取值范围； （2）已知函数，； （i）当时，若为在区间上的“奇点”，证明：； （ii）求证：对任意的，在区间上存在唯一“奇点”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第一学期期中考试 高三数学试题（B） 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知集合，且中至多有一个奇数，则这样的集合共有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】D 【解析】 【分析】分中只有一个奇数和没有奇数，再结合条件，即可求解. 【详解】若中只有一个奇数，则集合可以是， 若中没有奇数，则或，所以符合条件的集合共有6个， 故选：D. 2. 若（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得，然后可得答案. 【详解】. 故选：B 3. 已知向量，.若与是共线向量，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平面向量共线坐标表示可得答案. 【详解】因与共线，且，. 则. 故选：C 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由诱导公式得到，进而由诱导公式和二倍角公式求出答案. 【详解】， . 故选：C 5. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性排除A，根据特殊区间函数的符号排除CD. 【详解】因为，所以函数为偶函数，图象关于轴对称，故排除A； 当时，，故排除C； 当时，，故排除D. 故选：B 6. 若关于方程有3个不同的根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】问题转化为有3个不同的根，令，，利用导数求出的单调性和极值，数形结合求解. 【详解】由方程有3个不同的根，即有3个不同的根， 令，， 则， 令，解得或，令，解得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 且，，作出图象如下： 所以，即. 故选：B. 7. 把函数图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若在上是减函数，则实数的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平移规则可得，再由余弦函数单调性限定得出不等式即可得结果. 【详解】把的图象向左平移个单位长度得到函数，可得； 当时，，若在上减函数， 可得，因此，解得， 即实数的最大值为. 故选：A 8. 已知函数的定义域为，且满足，，则（ ） A. 4 B. 8 C. 14 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】依题意利用赋值法代入计算即可得出结果. 【详解】根据题意令，则，可得， 再令，则，可得. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若函数的图象经过点，则（ ） A. 点为函数图象的对称中心 B. 的最小正周期为 C. 在区间上的值域为 D. 的单调增区间为 【答案】ABC 【解析】 【分析】先根据图象过点计算解析式，再结合正切函数的图象与性质一一判定选项即可. 【详解】将代入得， 所以， 对于A，显然，故A正确； 对于B，易知函数的最小正周期，故B正确； 对于C，当时，则，则，故C正确； 对于D，令， 即函数的单调递增区间为：，故D错误. 故选：ABC 10. 如图，已知中，，，是的中点，动点在以为直径的半圆弧上.则（ ） A. B. 最小值为-2 C. 在上的投影向量为 D. 若的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由已知是的中点，易得，可判断A；根据投影向量的定义可判断C；以M为原点，直线AC为轴建立直角坐标系，设，则，写出各点坐标，表示各向量的坐标，用向量的坐标运算及三角恒等变形可判断C、D. 【详解】以M为原点，直线AC为轴建立直角坐标系（如图）， 设，则，在中，，，是的中点， 所以， ，则 ，，，， 所以，，， 对于A：因为是的中点，所以，故A正确； 对于B： 因为，所以，当时，取得最小值， 所以最小值为，故B正确； 对于C：在上的投影向量为，故C错误； 对于D：因为所以， 则，当时，取最大值.故D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数的定义域为，满足，且为偶函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于点对称 B. 是周期为4的周期函数 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】分析函数的性质，确定各选项的正确与否，即可得到答案. 【详解】由可知，函数的图象关于点对称，故A正确； 由为偶函数，所以. 由； 由； 所以，故函数是周期为4的周期函数，故B正确； 因为，故C错误； 在中，令，得；令得，又，所以；令得：. 又函数是周期为4的周期函数， 所以，故D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数基本性质的综合应用，关键是理解奇偶函数的性质的外延，还要掌握一些常见的结论. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某公司新开发生产一种产品可获得的利润（单位：万元）与投入使用时间（单位：年）满足，当投入使用_____年时，此产品的年平均利润最大. 【答案】3 【解析】 【分析】求出年平均利润的关系式，再利用基本不等式求解即得. 【详解】当时，年平均利润，当且仅当时取等号， 所以当投入使用3年时，此产品的年平均利润取最大值10万元. 故答案为：3 13. 如图所示，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为，与的夹角为，若，则_____. 【答案】3 【解析】 【分析】根据，得到，再结合数量积的概念可求的三角函数. 【详解】由. 所以， 又，且，所以，， 所以. 故答案为：3 14. 若，则实数的最大值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由题可得，然后由导数知识求出最值可得答案. 【详解】. 因函数均在上单调递增，则在上单调递增. 又，则. 构造函数，则. ，则在递减，在上递增. 则，故. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角，，所对的边分别为，，，向量，，且. （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量平行得出，再由余弦定理得解； （2）由三角形面积公式及余弦定理求出即可得解. 【小问1详解】 由，得， 整理得， 所以由余弦定理，得， 因为，所以； 【小问2详解】 由题意得， 所以. 因为，， 由余弦定理得， 所以. 所以的周长为. 16. 根据要求完成下列问题： （1）已知命题，命题，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围； （2）请根据矩形图表信息，用，，，表示出不等式（其中，，，都为正数）并给出它的代数证明. 【答案】（1） （2），证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出命题对应的集合，设命题对应集合，由逆否命题的关系得到，讨论的取值得到集合，然后得到的不等式，求得的取值范围； （2）由勾股定理和三角形三边关系得到，将不等式两边方法后由作差法证明不等式成立 【小问1详解】 命题，解得， 设命题表示集合， 设命题表示集合， ∵且是的必要不充分条件 ∴命题是命题的必要不充分条件，所以， ，即， 当时，，，符合要求， 当时，解得， ，解得，经检验符合要求， 当时，解得， ，解得，经检验符合要求， 综上所述，实数的取值范围为； 【小问2详解】 不等式可表示为， 证明如下： ， 又因为， 所以， 因为，，，都为正数，所以 所以 即， 即原式得证. 17. 已知函数. （1）求出在上的值域； （2）已知函数，求在定义域上的零点个数. 【答案】（1） （2）2个零点 【解析】 【分析】（1）由题可得的解，即可得在上的单调性，即可得值域； （2）由题可得在时无零点，然后令，由单调性结合零点存在性定理可得单调性，最后再由零点存在性定理可得答案. 【小问1详解】 ， 因为，由得到， 由，得到或， 所以单调性如下表所示： - - 0 + 0 - - 0 极小值 极大值 0 即的值域为； 【小问2详解】 ， ， 当时，，，所以， 所以函数单调递减，所以，此时函数无零点； 当时，设，则， 所以在单调递增，即在单调递增， ，， 因此在，即在上有唯一零点，记零点为，即， 在上，，单调递减， 在上，，单调递增， 又，，， 所以在有一个零点，在上有一个零点， 综上所述，在定义域上有2个零点. 【点睛】关键点睛：对于零点问题，可转化为函数图像与直线交点个数问题，也可结合单调性与零点存在性定理讨论. 18. 定义向量的“亲密函数”为.设向量的“亲密函数”为. （1）求的单调递增区间； （2）若方程有三个连续的实数根，，，且，，求实数的值； （3）已知为锐角三角形，，，为的内角，，的对边，，且，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件及辅助角公式得，再利用的图象与性质，即可求解； （2）利用的图象与性质，结合条件得到，代入，再分为奇偶，即可求解； （3）根据利用正弦定理得，从而有，结合条件得，即可求解. 【小问1详解】 由题知， 令，，解得，， 所以的单调递增区间为. 【小问2详解】 因为，故， 根据正弦函数图象， 且可知，，且，， 得到，且， 又，故，故， 则，所以， 当时，，解得， 当时，即，解得， 所以实数的值为或. 【小问3详解】 由（1）知，，即， 在锐角中，，则，即， 由正弦定理，得， 因此， 由，得，则，于是， 所以面积的取值范围为. 19. 若函数在上存在，使得，则称为在区间上的“奇点”，若存在、，使得，，则称是上的“双奇点函数”，其中、也称为在上的奇点. （1）已知函数是区间上的双奇点函数，求实数的取值范围； （2）已知函数，； （i）当时，若为在区间上的“奇点”，证明：； （ii）求证：对任意的，在区间上存在唯一“奇点”. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据“奇点”的定义分析可知，方程在有两解，令，根据二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围； （2）（i）根据“奇点”的定义以及已知条件推导出，将要证的不等式变形为，即，令，可变形为，然后构造函数，利用导数分析该函数的单调性，即可证得结论成立； （ii）令，构造函数，根据单调性得出函数值的范围结合零点存在定理即可证明. 【小问1详解】 因为，则， 由， 所以有两解，即在有两解， 令，所以， 解得：. 【小问2详解】 （i）因为，， 当时，，则， 因为，，所以，，即， 要证，即证，即， 令，因为，所以，设， 所以，所以在上单调递增， 所以，所以，即证. （ii）令， 即， 因为，，所以， 所以在区间是单调递减的， 因为， 令，所以，所以， 设，所以， 当时，；当时，. 即在上单调递减，上单调递增， 所以，即， 因为，，所以； 同理， 因为，，所以，即， 所以，所以， 因为，且在区间是单调递减， 所以在区间上存在唯一零点， 即对任意的，在区间上的“奇点”是唯一的. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$