4.2.1 等差数列的概念（第2课时）（导学案）-【上好课】高二数学选择性必修第二册同步高效课堂（人教A版2019）

第四章数列 4.2等差数列 4.2.1等差数列的概念（第2课时） 一、教学目标 ①掌握等差数列的重要性质，并应用，培养学生逻辑推理，数学运算素养； ②能够根据等差数列的性质进行运算. 二、重点难点 重点：等差数列性质及其应用 难点：等差数列性质的推理. 三、教学过程 环节一：创设情境，导入新课 在大自然中，美无处不在，雄伟的高山，潺潺的溪流，茂密的森林.同样，数学也可以给人以美的感受.我们来看下面这个例子：如图，某仓库有一堆钢管，最上面有四根，下面每一层比它的上一层多一根，记最上层钢管数为，往下每一层的钢管数依次记为， 则，，，，，. 师：假设我们把这堆钢管倒过来放置，如下图，你能从中发现什么规律吗? 易知数列是等差数列，那么这种规律性是否具有一般性呢？本节课，我们将学习等差数列的概念和通项公式的实际应用，进而探究等差数列的性质 环节二：情境问题，探究应用 情境问题一： 例1.某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，每经过一年其价值就会减少（为正常数）万元．已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废．请确定的取值范围． 问题1：如何根据实际意义建立数列模型?题目条件中包含哪些不等关系?利用什么公式列不等式? 问题情境二： 例2.已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列． （1）求数列的通项公式． （2）是不是数列的项?若是，它是的第几项?若不是，说明理由． 问题2：如何确定新的等差数列的首项和公差?判断一个数是否为某数列中的项的方法是什么? 思考： （1）如果插入个数，那么的公差是多少？ （2）对于第（2）小题，你还有其他解决方法吗？ 问题情境三： 例3：已知数列是等差数列，，且．求证：． 思考： 1）由的表达式，你能发现它们之间的关系么？ 等差数列通项公式需要基本量和,该公式是用等差数列的某一项和公差表达第项，即，变形可得. 2）例3是等差数列的一条性质，图4.2-2是它的一种情形．你能从几何角度解释等差数列的这一性质吗？ 练习： 课本17页练习第1、2、3题 练习（第17页） 1．某体育场一角看台的座位是这样排列的：第1排有15个座位，从第2排起每一排都比前一排多2个座位．你能用表示第排的座位数吗?第10排有多少个座位? 2．画出数列的图象，并求通过图象上所有点的直线的斜率． 3．在等差数列中，，且，求． 环节四：新知再认识，能力提升 题型一：利用等差数列的性质计算 例：（1）已知数列，为等差数列，且公差分别为，，则数列的公差为（ ） A． B． C． D． （2）已知数列为等差数列，且公差为. 1）若，，求的值； 2）若，，求公差. 方法规律：等差数列等差中项的应用 等差数列的性质 (1)在等差数列中,,且,则. (2)若为公差为的等差数列,则是公差为的等差数列. (3)若为公差为的等差数列,则是公差为的等差数列. (4)若是等差数列,公差为,则也是等差数列,公差为 (5)若分别是以为公差的等差数列,则是以为公差的等差数列. (6)若是等差数列,公差为,则,组成公差为的等差数列. 变式训练： 1．设数列，是项数相同的等差数列，若，，，则数列的第37项为（    ） A．1 B．0 C．100 D．3700 2．已知在等差数列中，，，则（ ） A．30 B．32 C．34 D．36 3．在等差数列中，已知，，求的值． 题型二：灵活设元求解等差数列. 例. （1）已知四个数成等差数列且是递增数列，这四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列； （2）已知等差数列是递增数列，且其前三项之和为21，前三项之积为231，求数列的通项公式． 规律方法 等差数列项的常见设法 (1)通项法：设数列的通项公式，即设. (2)对称项设法： 当等差数列的项数为奇数时，可设中间一项为，再以公差为向两边分别设项：…，，…； 当等差数列的项数为偶数时，可设中间两项分别为，再以公差为向两边分别设项：…，，…. 对称项设法的优点是：若有个数构成等差数列，利用对称项设法设出这个数列，则其各项和为. 变式训练： 已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数. 环节五：凝练升华，课堂小结 问题4：回顾本节课的学习内容，回答下列问题： 本节课学习了数列的哪些性质，你有什么体会？ 环节六：布置作业，应用迁移 巩固作业：教科书第25页习题4.2第5、6、8题 巩固作业答案： 5.已知一个多边形的周长等于，所有各边的长成等差数列，最大的边长为，公差为、求这个多边形的边数． 6. 已知数列，都是等差数列，且，，，求数列的前100项和． 8. 已知两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列．求这个新数列的各项之和． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 第四章数列 4.2等差数列 4.2.1等差数列的概念（第2课时） 一、教学目标 ①掌握等差数列的重要性质，并应用，培养学生逻辑推理，数学运算素养； ②能够根据等差数列的性质进行运算. 二、重点难点 重点：等差数列性质及其应用 难点：等差数列性质的推理. 三、教学过程 环节一：创设情境，导入新课 在大自然中，美无处不在，雄伟的高山，潺潺的溪流，茂密的森林.同样，数学也可以给人以美的感受.我们来看下面这个例子：如图，某仓库有一堆钢管，最上面有四根，下面每一层比它的上一层多一根，记最上层钢管数为，往下每一层的钢管数依次记为， 则，，，，，. 师：假设我们把这堆钢管倒过来放置，如下图，你能从中发现什么规律吗? 易知数列是等差数列，那么这种规律性是否具有一般性呢？本节课，我们将学习等差数列的概念和通项公式的实际应用，进而探究等差数列的性质 环节二：情境问题，探究应用 情境问题一： 例1.某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，每经过一年其价值就会减少（为正常数）万元．已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废．请确定的取值范围． 问题1：如何根据实际意义建立数列模型?题目条件中包含哪些不等关系?利用什么公式列不等式? 分析：这台设备使用年后的价值构成一个数列，由题意可知，10年之内（含10年)，这台设备的价值应不小于万元；而10年后，这台设备的价值应小于11万元．可以利用的通项公式列不等式求解. 解：设使用年后，这台设备的价值为万元，则可得数列． 由已知条件，得： 由于是与无关的常数， 所以数列是一个公差为的等差数列． 因为购进设备的价值为220万元， 所以， 于是 根据题意，得： ， 即： 解这个不等式组，得： 所以，的取值范围为. 问题情境二： 例2.已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列． （1）求数列的通项公式． （2）是不是数列的项?若是，它是的第几项?若不是，说明理由． 问题2：如何确定新的等差数列的首项和公差?判断一个数是否为某数列中的项的方法是什么? 分析：（1）是一个确定的数列，只要把表示为中的项，就可以利用等差数列的定义得出的通项公式； （2）设中的第项是中的第项，根据条件可以求出与的关系式，由此即可判断是否为的项. 解：（1）设数列的公差为． 由题意可知，，， 于是， 因为，所以，所以， 所以 ． 所以，数列的通项公式是 （2）数列的各项依次是数列的第1，5，9，13，…项，这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列，则． 令，解得 ． 所以，是数列的第8项． 思考： （1）如果插入个数，那么的公差是多少？ （2）对于第（2）小题，你还有其他解决方法吗？ 问题情境三： 例3：已知数列是等差数列，，且．求证：． 分析：（1）只要根据等差数列的定义写出，再利用已知条件即可得证． 证明：（1）设数列的公差为，则 所以 因为，所以 思考： 1）由的表达式，你能发现它们之间的关系么？ 等差数列通项公式需要基本量和,该公式是用等差数列的某一项和公差表达第项，即，变形可得. 2）例3是等差数列的一条性质，图4.2-2是它的一种情形．你能从几何角度解释等差数列的这一性质吗？ 练习： 课本17页练习第1、2、3题 练习（第17页） 1．某体育场一角看台的座位是这样排列的：第1排有15个座位，从第2排起每一排都比前一排多2个座位．你能用表示第排的座位数吗?第10排有多少个座位? 1．解析：由条件可知，每排的座位数看成等差数列，首项，，则， ．综上可知，，第10排的座位数个． 2．画出数列的图象，并求通过图象上所有点的直线的斜率． 2．解析：由，其图象如下 由图可知，通过图象上所有点的直线的斜率为． 3．在等差数列中，，且，求． 3．解析：（方法一）设等差数列的公差为， ，两式相减得，，， ． （方法二）是等差数列，， ，，． 环节四：新知再认识，能力提升 题型一：利用等差数列的性质计算 例：（1）已知数列，为等差数列，且公差分别为，，则数列的公差为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用即可整理求得公差. 【详解】，为等差数列，为等差，设其公差为， 则. 故选：D. （2）已知数列为等差数列，且公差为. 1）若，，求的值； 2）若，，求公差. 【答案】（1）；（2）3或. 【分析】（1）由题意，根据等差数列的通项公式建立方程组可求得数列的首项和公差，由此可求得答案； （2）根据等差数列的性质得，由此可得，由等差数列的性质可求得答案. 【详解】解：（1）由题意得，解得，故. 所以. （2）由，得，∴. 由，解得或，∴或. 所以公差为3或. 方法规律：等差数列等差中项的应用 等差数列的性质 (1)在等差数列中,,且,则. (2)若为公差为的等差数列,则是公差为的等差数列. (3)若为公差为的等差数列,则是公差为的等差数列. (4)若是等差数列,公差为,则也是等差数列,公差为 (5)若分别是以为公差的等差数列,则是以为公差的等差数列. (6)若是等差数列,公差为,则,组成公差为的等差数列. 变式训练： 1．设数列，是项数相同的等差数列，若，，，则数列的第37项为（    ） A．1 B．0 C．100 D．3700 【答案】C 【详解】根据题意，， 又数列，是项数相同的等差数列， 所以数列是常数列， 所以数列的第37项为100. 故选：C. 2．已知在等差数列中，，，则（ ） A．30 B．32 C．34 D．36 【答案】B 【详解】设等差数列的公差为， 由题得，， 两式相减得. 所以. 故选：B 3．在等差数列中，已知，，求的值． 【答案】. 【详解】解：设等差数列的公差为， ， ， . 则. 题型二：灵活设元求解等差数列. 例. （1）已知四个数成等差数列且是递增数列，这四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列； （2）已知等差数列是递增数列，且其前三项之和为21，前三项之积为231，求数列的通项公式． 【答案】（1）或；（2）. 【详解】（1）设这四个数分别为，，，，则 ， 又该数列是递增数列，所以，所以，， 所以此等差数列为或． （2）设等差数列的公差为，则其前三项分别为，，， 则，解得或． 因为数列为递增数列，所以， 所以等差数列的通项公式为． 规律方法 等差数列项的常见设法 (1)通项法：设数列的通项公式，即设. (2)对称项设法： 当等差数列的项数为奇数时，可设中间一项为，再以公差为向两边分别设项：…，，…； 当等差数列的项数为偶数时，可设中间两项分别为，再以公差为向两边分别设项：…，，…. 对称项设法的优点是：若有个数构成等差数列，利用对称项设法设出这个数列，则其各项和为. 变式训练： 已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数. 解：法一：设此等差数列的首项为，公差为， 根据题意，得， 化简得：，解得或， 所以这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2. 法二：设这四个数为，则由题意得 ，即， 解得或， 所以这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2. 环节五：凝练升华，课堂小结 问题4：回顾本节课的学习内容，回答下列问题： 本节课学习了数列的哪些性质，你有什么体会？ 环节六：布置作业，应用迁移 巩固作业：教科书第25页习题4.2第5、6、8题 巩固作业答案： 5.已知一个多边形的周长等于，所有各边的长成等差数列，最大的边长为，公差为、求这个多边形的边数． 【答案】4 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式及求和公式，建立方程求得多边形的边数. 【详解】由题意可知：，， 则， 即，得 解得：或（舍去） 故这个多边形的边数为4. 6. 已知数列，都是等差数列，且，，，求数列的前100项和． 【答案】6000 【解析】 【分析】通过，都是等差数列，则也是等差数列，直接利用等差数列前项和公式求出数列的前100项和即可． 【详解】解：因为数列，都是等差数列，所以也是等差数列，又，，， 则数列的前100项和为：． 8. 已知两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列．求这个新数列的各项之和． 【答案】1472 【解析】 【分析】根据题意求出两个数列，相同的项组成的数列，求出项数，然后求出它们的和即可. 【详解】有两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200， 由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，2，14，26，38，50，…，182是两个数列的相同项. 共有个，也是等差数列， 它们的和为， 这个新数列的各项之和为1472 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$