4.2.1 等差数列的概念（第2课时）（教学设计）-【上好课】高二数学选择性必修第二册同步高效课堂（人教A版2019）

第四章数列 4.2等差数列 4.2.1等差数列的概念（第2课时） 一、教材分析 (1)内容的本质 等差数列是一种具有特殊变化规律的数列，是定义在正整数集上的线性离散型函数，是反映运算规律的基本数学模型，在现实生活中有着广泛应用.等差数列的通项公式与前n项和公式是等差数列的重要性质.公式的探究与推导，是以等差数列的特征性质为依据(即在等差数列中，若且,则，以下特称“对称性”),这是从概念到性质再到应用的过程.实际上，公式推导过程中，方法的探寻要有根有据，这个根据就是数列的“等差性”和“对称性”,由此找到了前n项的“平均数”,从而实现了由加法到乘法的化归，也就是把不同数相加转化为相同数(即平均数)的自相加.一个数列如果没有“等差”这个特性，就不能直接用这种方法实现转化.可见，“把不同数的求和转化为相同数的求和”的运算方法，既是“倒序相加法”产生的基本线索，又是等差数列求和方法的认知基础，由“等差”所决定的运算中的规律性就是等差数列的本质特征。 (2)知识的上下位关系 等差数列是学生了解数列的概念和表示方法后学习的第一种特殊数列，本节内容既是研究等比数列的类比原型，又是今后研究级数的预备知识.等差数列的概念，既能强化学生对数列概念的进一步理解，加深其对数列作为特殊函数的本质认知，又能为特殊数列的研究提供方向，具有学习方式和思维方法上的引领作用.因此，等差数列具有承上启下的显著特点. (3)内容蕴含的数学思想和方法 等差数列的研究经历了“抽象一归纳—演绎一类比一应用”等一系列过程，蕴含了一些重要的数学思想方法.首先，等差数列概念的引入部分，突出了由对特殊数列各项关系、运算、性质的研究推广到对一般数列相应问题的研究，体现了由特殊到一般的数学思想；在等差数列概念的生成过程中，通过观察、猜想、验证、归纳、概括、总结等过程，最终抽象出等差数列概念的文字描述、符号表达、图形含义，强调了归纳思想的具体应用；类比函数的概念、性质研究等差数列的相应问题，特别是类比一次函数的单调性研究等差数列的单调性，蕴含着丰富的类比思想.其次，等差数列通项公式和等差数列前n项和公式的推导，历经了从“首尾配对法到分类讨论法再到倒序相加法”的认知过程，这个过程本身既是一种方法论的再现过程，又是领悟其中所蕴含的特殊与一般、化归与转化、分类与整合和数形结合等数学思想方法的心理过程，更是学会探索数学公式的思维过程. (4)内容的育人价值 首先，等差数列的研究过程充分体现了研究一个数学对象的基本路径，即“事实→概念→性质→应用”,有助于学生体会数学的整体性.其次，等差数列内容渗透了多元数学史素材，丰富本单元的文化内涵，有利于提升学生的人文素养.以等差数列的前n项和公式为例，从史学层面看，倒序相加法是历史上遗留下来的经典方法，高斯算法及其相关事迹的介绍，不仅可以再现数学家的“火热思考”,还可以激发学生研究数学的热情，使其感受前人严谨的治学精神；从美学层面看，等差数列前n项和公式的结构特征与图形表征的对称性、简洁性和直观性，都体现了对数学美的追求，蕴含着数学的美育价值；从哲学层面看，倒序相加法很好地解决了“化多为少”和“化繁为简”的问题，体现了数学的辩证思维.因此，等差数列的学习能有效提升学生抽象、归纳、类比研究问题的能力，发展学生的数学抽象、数学运算和逻辑推理素养. 二、学情分析 (1)认知基础 类比研究函数的思路，学习了数列的概念后，就要对一些具有特殊变化规律的数列进行研究，这是学生对数列知识的认知路径.在学习等差数列之前，学生已经了解了数列的概念、表示方法以及通项公式和数列的前n项和的概念，知道“数列是一种特殊的函数”,这些知识经验能够帮助学生分析等差数列的变化规律. (2)认知困难 ①在代数的学习中，我们常常通过运算来发现规律，运算规律的发现是等差数列概念生成、等差数列前n项和公式推导的关键，但学生对于通过运算发现代数规律的意识不强，难以用数学符号语言刻画“等差”规律. ②在归纳概括出等差数列的概念后，如何应用等差数列的概念去推导等差数列的通项公式成为本节学习的第二个难点. ③通过等差数列通项公式与一次函数的解析式的结构特征的类比，发现等差数列与一次函数的共性与差异是本节学习的第三个难点.教材中给出了“思考”,目的是让学生从数形结合的角度进一步认识到等差数列的通项公式与一次函数之间的关系，逐步深化学生对等差数列概念的理解，有利于后续进行判断，也可以更好地把握等差数列的性质. ④如何把高斯的首尾配对法自然地过渡到倒序相加法，是学生遇到的第四个难点.高斯方法是将与首尾两端等距离的两项配对，当n为偶数时，当然没有问题，而当n为奇数时，中间一项无“对”可凑，这既是首尾配对的局限性，也是一个难点所在.尽管这两种方法的共性本质都是如何“化不同为相同”,但两者的运算方法又有着形式上的差异，即首尾配对要分奇偶，而倒序相加则可一步到位.正是这种差异，导致了推导公式的一个“老大难”问题：怎么想到用倒序相加的?因此，怎样让推导过程能相对自然地呈现成为学生理解推导过程合理性的一个关键. (3)应对策略 ①要创设合理的情境，让学生自然观察生活中的等差现象，主动发现等差数列的等差特性.在情境中发现等差规律、提炼等差关系、抽象等差概念、完善符号语言，突破第一个难点. ②要铺设好问题，引导学生大胆猜想、主动论证等差数列的通项公式.从定义出发，借助等差数列的等差特性，通过叠加或迭代建立第n项与首项的直接联系，进而发现确定等差数列的基本量，突破第二个难点. ③要通过类比确定一次函数的要素得出确定等差数列的要素(首项、公差),既要重视用基本量思想充分认识的几何意义，还要借助信息技术直观类比等差数列的图象与一次函数的图象，体会任意两点(两项)确定一条直线(一个等差数列)的思路，感悟代数与几何的整体性，有效突破第三个难点. ④要提高认知站位，即把等差数列的通项公式和前n项和公式看成等差数列的重要性质，设计一条探究等差数列前n项和公式的路径突破第四个难点。 1）紧扣“两个对称”的相似性：一是要紧扣等差数列的“对称性”,让学生通过发掘高斯算法的本质，领会等差数列的“对称性”是支持“化不同为相同”的依据；二是要紧扣几何图形的“对称性”,通过类比梯形面积公式的推导方法，追溯毕达哥拉斯学派直观“形数”的研究启示，让学生体会“倒置”一个全等的图形，构造几何图形的“对称性”是将不规则图形化为规则图形的依据。借助这两个对称性质的相似性，就可以把几何图形中的“倒置平移”与等差数列中的“倒序相加”对应起来，从而引导学生经历等差数列前n项和公式的再创造过程。 2）明确“三种方法”的差异性：一是明确高斯巧算用的是首尾配对法，而不是倒序相加法；二是明确首尾配对的局限性，分类讨论的必要性以及倒序相加的优越性，从而将这三种方法有机地融入到探究活动之中，形成自然衔接；三是明确从需要分类到不需分类，其过渡的关键是如何想到要从“倒推变形”中获得启发. 三、教学目标 （一）课程标准要求 ①通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义。 ②探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系。 ③能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题。 ④体会等差数列与一元一次函数的关系。 （二）课时目标要求 ①掌握等差数列的重要性质，并应用，培养学生逻辑推理，数学运算素养； ②能够根据等差数列的性质进行运算. 四、重点难点 教学重点：等差数列性质及其应用 教学难点：等差数列性质的推理. 五、教学过程 环节一：创设情境，导入新课 在大自然中，美无处不在，雄伟的高山，潺潺的溪流，茂密的森林.同样，数学也可以给人以美的感受.我们来看下面这个例子：如图，某仓库有一堆钢管，最上面有四根，下面每一层比它的上一层多一根，记最上层钢管数为，往下每一层的钢管数依次记为， 则，，，，，. 师：假设我们把这堆钢管倒过来放置，如下图，你能从中发现什么规律吗? 师生活动：每一层的钢管数量一样多，用数学符号表示为：. 易知数列是等差数列，那么这种规律性是否具有一般性呢？本节课，我们将学习等差数列的概念和通项公式的实际应用，进而探究等差数列的性质 设计意图：引导学生在复习旧知识的同时又联想出新的问题，进而激起学生求知的欲望. 环节二：情境问题，探究应用 情境问题一： 例1.某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，每经过一年其价值就会减少（为正常数）万元．已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废．请确定的取值范围． 问题1：如何根据实际意义建立数列模型?题目条件中包含哪些不等关系?利用什么公式列不等式? 分析：这台设备使用年后的价值构成一个数列，由题意可知，10年之内（含10年)，这台设备的价值应不小于万元；而10年后，这台设备的价值应小于11万元．可以利用的通项公式列不等式求解. 解：设使用年后，这台设备的价值为万元，则可得数列． 由已知条件，得： 由于是与无关的常数， 所以数列是一个公差为的等差数列． 因为购进设备的价值为220万元， 所以， 于是 根据题意，得： ， 即： 解这个不等式组，得： 所以，的取值范围为. 设计意图：通过用等差数列解决实际问题，培养学生发现问题和解决问题的能力，提高数学建模核心素养. 问题情境二： 例2.已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列． （1）求数列的通项公式． （2）是不是数列的项?若是，它是的第几项?若不是，说明理由． 问题2：如何确定新的等差数列的首项和公差?判断一个数是否为某数列中的项的方法是什么? 分析：（1）是一个确定的数列，只要把表示为中的项，就可以利用等差数列的定义得出的通项公式； （2）设中的第项是中的第项，根据条件可以求出与的关系式，由此即可判断是否为的项. 解：（1）设数列的公差为． 由题意可知，，， 于是， 因为，所以，所以， 所以 ． 所以，数列的通项公式是 （2）数列的各项依次是数列的第1，5，9，13，…项，这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列，则． 令，解得 ． 所以，是数列的第8项． 思考： （1）如果插入个数，那么的公差是多少？ （2）对于第（2）小题，你还有其他解决方法吗？ 师生活动：（1）设数列的公差为． 由题意可知，，， 于是， 因为，所以，所以， （2）由第（1）知，所以， 因为， 所以，令，解得， 所以，是数列的第8项． 问题情境三： 例3：已知数列是等差数列，，且．求证：． 分析：（1）只要根据等差数列的定义写出，再利用已知条件即可得证． 证明：（1）设数列的公差为，则 所以 因为，所以 思考： 1）由的表达式，你能发现它们之间的关系么？ 师生活动：由易得. 所以，，这也是等差数列的重要性质. 等差数列通项公式需要基本量和,该公式是用等差数列的某一项和公差表达第项，即，变形可得. 2）例3是等差数列的一条性质，图4.2-2是它的一种情形．你能从几何角度解释等差数列的这一性质吗？ 师生活动： （1）等差数列的图象是点组成的集合，这些点均匀分布在同一条直线上， 所以，点在同一条直线上； （2）设点与点的中点为，点与点的中点为， 因为，所以点与点重合， 所以它们的纵坐标相等，即， 所以.特别地，当时，. 设计意图：以例题形式归纳出等差数列的一条重要性 质，培养学生的逻辑推理能力.引导学生从几何角度解释 这一性质，培养学生直观想象的核心素养和多角度研究问 题的思维品质. 练习： 课本17页练习第1、2、3题 练习（第17页） 1．某体育场一角看台的座位是这样排列的：第1排有15个座位，从第2排起每一排都比前一排多2个座位．你能用表示第排的座位数吗?第10排有多少个座位? 1．解析：由条件可知，每排的座位数看成等差数列，首项，，则， ．综上可知，，第10排的座位数个． 2．画出数列的图象，并求通过图象上所有点的直线的斜率． 2．解析：由，其图象如下 由图可知，通过图象上所有点的直线的斜率为． 3．在等差数列中，，且，求． 3．解析：（方法一）设等差数列的公差为， ，两式相减得，，， ． （方法二）是等差数列，， ，，． 环节四：新知再认识，能力提升 题型一：利用等差数列的性质计算 例：（1）已知数列，为等差数列，且公差分别为，，则数列的公差为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用即可整理求得公差. 【详解】，为等差数列，为等差，设其公差为， 则. 故选：D. （2）已知数列为等差数列，且公差为. 1）若，，求的值； 2）若，，求公差. 【答案】（1）；（2）3或. 【分析】（1）由题意，根据等差数列的通项公式建立方程组可求得数列的首项和公差，由此可求得答案； （2）根据等差数列的性质得，由此可得，由等差数列的性质可求得答案. 【详解】解：（1）由题意得，解得，故. 所以. （2）由，得，∴. 由，解得或，∴或. 所以公差为3或. 方法规律：等差数列等差中项的应用 等差数列的性质 (1)在等差数列中,,且,则. (2)若为公差为的等差数列,则是公差为的等差数列. (3)若为公差为的等差数列,则是公差为的等差数列. (4)若是等差数列,公差为,则也是等差数列,公差为 (5)若分别是以为公差的等差数列,则是以为公差的等差数列. (6)若是等差数列,公差为,则,组成公差为的等差数列. 变式训练： 1．设数列，是项数相同的等差数列，若，，，则数列的第37项为（    ） A．1 B．0 C．100 D．3700 【答案】C 【详解】根据题意，， 又数列，是项数相同的等差数列， 所以数列是常数列， 所以数列的第37项为100. 故选：C. 2．已知在等差数列中，，，则（ ） A．30 B．32 C．34 D．36 【答案】B 【详解】设等差数列的公差为， 由题得，， 两式相减得. 所以. 故选：B 3．在等差数列中，已知，，求的值． 【答案】. 【详解】解：设等差数列的公差为， ， ， . 则. 题型二：灵活设元求解等差数列. 例. （1）已知四个数成等差数列且是递增数列，这四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列； （2）已知等差数列是递增数列，且其前三项之和为21，前三项之积为231，求数列的通项公式． 【答案】（1）或；（2）. 【详解】（1）设这四个数分别为，，，，则 ， 又该数列是递增数列，所以，所以，， 所以此等差数列为或． （2）设等差数列的公差为，则其前三项分别为，，， 则，解得或． 因为数列为递增数列，所以， 所以等差数列的通项公式为． 规律方法 等差数列项的常见设法 (1)通项法：设数列的通项公式，即设. (2)对称项设法： 当等差数列的项数为奇数时，可设中间一项为，再以公差为向两边分别设项：…，，…； 当等差数列的项数为偶数时，可设中间两项分别为，再以公差为向两边分别设项：…，，…. 对称项设法的优点是：若有个数构成等差数列，利用对称项设法设出这个数列，则其各项和为. 变式训练： 已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数. 解：法一：设此等差数列的首项为，公差为， 根据题意，得， 化简得：，解得或， 所以这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2. 法二：设这四个数为，则由题意得 ，即， 解得或， 所以这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2. 环节五：凝练升华，课堂小结 问题4：回顾本节课的学习内容，回答下列问题： 本节课学习了数列的哪些性质，你有什么体会？ 师生活动：在学生独立回顾、思考总结的基础上进行班级交流，然后教师点评、总结. 设计意图：通过知识小结，明确学习内容，强调知识要点. 环节六：布置作业，应用迁移 巩固作业：教科书第25页习题4.2第5、6、8题 巩固作业答案： 5.已知一个多边形的周长等于，所有各边的长成等差数列，最大的边长为，公差为、求这个多边形的边数． 【答案】4 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式及求和公式，建立方程求得多边形的边数. 【详解】由题意可知：，， 则， 即，得 解得：或（舍去） 故这个多边形的边数为4. 6. 已知数列，都是等差数列，且，，，求数列的前100项和． 【答案】6000 【解析】 【分析】通过，都是等差数列，则也是等差数列，直接利用等差数列前项和公式求出数列的前100项和即可． 【详解】解：因为数列，都是等差数列，所以也是等差数列，又，，， 则数列的前100项和为：． 8. 已知两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列．求这个新数列的各项之和． 【答案】1472 【解析】 【分析】根据题意求出两个数列，相同的项组成的数列，求出项数，然后求出它们的和即可. 【详解】有两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200， 由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，2，14，26，38，50，…，182是两个数列的相同项. 共有个，也是等差数列， 它们的和为， 这个新数列的各项之和为1472 环节七板书设计 4.2.1等差数列性质 1.等差数列的性质 例1. 2.等差数列的灵活设元问题： 例2 例3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$