4.2.1 等差数列的概念（第2课时）（教学课件）-【上好课】高二数学选择性必修第二册同步高效课堂（人教A版2019）

·选择性必修第一册· 第四章 数列 4.2.1等差数列 的概念(第2课时) 学习目标 （一）课程标准要求 ①通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义。 ②探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式 的关系。 ③能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题。 ④体会等差数列与一元一次函数的关系。 1 2 学习目标 通过从实际问题中识别等差关系，并建立等差数列模型解决问题，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力，提升数学建模核心素养. 通过体验等差数列性质的探索过程，体会知识形成过程的重要性，培养学生观察、分析、猜想、归纳和自主探究的能力，提升逻辑推理核心素养.掌握等差数列的重要性质，并应用，培养学生逻辑推理，数学运算素养. 引入新知 思考：假设我们把这堆钢管倒过来放置，如图2，你能从中发现什么规律吗? 引入新知 那么这种规律性是否具有一般性呢？本节课，我们将学习等差数列的概念和通项公式的实际应用，进而探究等差数列的性质。 新课探究 情境问题一： 例1：某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，每经过一年其价值就会减少 d（d 为正常数）万元．已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废．请确定 d 的取值范围． 问题1：如何根据实际意义建立数列模型?题目条件中包含哪些不等关系? 利用什么公式列不等式? 新课探究 分析 解析 新课探究 情境问题二： 问题2：如何确定新的等差数列 的首项和公差?判断一个数是否为某数列中的项的方法是什么? 新课探究 分析 解析 新课探究 思考： 如果插入数，那么的公差是多少？ 新课探究 分析 解析 新课探究 思考： 对于(2),你还有其他解法么？ 新课探究 思考： 对于第(2)小题的教材解法，你能否给出一个推广形式？ 其实这种解法蕴含的是等差数列的一个重要性质：若是等差数列，公差为，则，，，…()是公差为的等差数列． 证明：∵是等差数列，公差为，∴ ，， 即，，，…()是公差为的等差数列． ∴， 即. 新课探究 情境问题三： 分析 新课探究 证明 思考： 当公差 d = 0 时, 不一定成立; 当 d ≠ 0 时, 一定成立. 新课探究 思考： 新课探究 思考：例3是等差数列的一条性质（角标和性质），图4.2-2是它的一种情形． 你能从几何角度解释等差数列的这一性质吗？ 新课探究 角标和性质 若是等差数列，公差为，正整数满足， 则. 新课探究 随堂演练 解析 新课探究 随堂演练 解析 新课探究 随堂演练 解析 能力提升 题型一 利用等差数列的性质计算 例题 解析 能力提升 题型一 利用等差数列的性质计算 例题 解析 能力提升 题型一 利用等差数列的性质计算 例题 解析 能力提升 题型一 利用等差数列的性质计算 例题 解析 能力提升 题型一 利用等差数列的性质计算 方法总结 等差数列的性质 能力提升 题型一 利用等差数列的性质计算 方法总结 等差数列的性质 能力提升 题型一 利用等差数列的性质计算 变式训练 解析 能力提升 题型一 利用等差数列的性质计算 变式训练 解析 能力提升 题型一 利用等差数列的性质计算 变式训练 解析 能力提升 题型一 利用等差数列的性质计算 变式训练 解析 能力提升 题型二 灵活设元求解等差数列 例题 解析 能力提升 题型二 灵活设元求解等差数列 例题 解析 能力提升 题型二 灵活设元求解等差数列 方法总结 规律方法：等差数列项的常见设法 (2) 对称项设法： 能力提升 题型二 灵活设元求解等差数列 方法总结 规律方法：等差数列项的常见设法 (2) 对称项设法： 能力提升 题型二 灵活设元求解等差数列 变式训练 解析 能力提升 题型二 灵活设元求解等差数列 变式训练 解析 课堂小结 等差数列的 灵活设元问题 等差数列 的性质 性质2： 性质3： 性质1： 作业布置 巩固作业：教科书第25页习题4.2第5、6、8题 课后作业答案 教科书第25页习题4.2第5题 课后作业答案 教科书第25页习题4.2第6题 课后作业答案 教科书第25页习题4.2第8题 本课结束 感谢您的聆听 ·选择性必修第一册· 在大自然中，美无处不在，雄伟的高山，潺潺的溪流，茂密的森林.同样， 数学也可以给人以美的感受.我们来看下面这个例子：如图1，某仓库有一堆 钢管，最上面有四根，下面每一层比它的上一层多一根，记最上层钢管数为 ，往下每一层的钢管数依次记为，则，，， ，，. 数列是等差数列. 每一层的钢管数量一样多，用数学符号表示为：. 这台设备使用年后的价值构成一个数列，由题意可知，10年之内 （含10年)，这台设备的价值应不小于万元；而10年后， 这台设备的价值应小于11万元．可以利用的通项公式列不等式求解. 设使用年后，这台设备的价值为万元，则可得数列． 由已知条件，得:， 由于是与无关的常数，所以数列是一个公差为的等差数列． 因为购进设备的价值为220万元，所以， 于是 根据题意，得：，即： 解这个不等式组，得： 所以，的取值范围为. 例2：已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间 都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列． （1）求数列的通项公式． （2）是不是数列的项?若是，它是的第几项?若不是，说明理由． (1) 是一个确定的数列，只要把表示为中的项，就可以 利用等差数列的定义得出的通项公式； （1）设数列的公差为．由题意可知，，， 于是， 因为，所以，所以， 所以． 所以，数列的通项公式是 由题意可知，，，于是， 因为，所以，即， 所以数列的通项公式是： (2) 设中的第项是中的第项，根据条件可以求出与 的关系式，由此即可判断是否为的项. （2）数列的各项依次是数列的第1，5，9，13，…项， 这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列，则． 令，解得． 所以，是数列的第8项． （2）由第（1）知，所以， 因为，所以，令，解得， 所以，是数列的第8项． 例3：已知数列是等差数列，，且． 求证：． 只要根据等差数列的定义写出，再利用已知条件 即可得证． 设数列的公差为，则 所以， 因为， 所以 已知数列是等差数列，，且， 则成立么？ （1）由的表达式，你能发现它们之间的关系么？ 由，易得. 所以，，这也是等差数列的重要性质. 等差数列通项公式需要基本量和,该公式是用等差数列 的某一项和公差d表达第n项，即， 变形可得. (1)等差数列的图象是点组成的集合， 这些点均匀分布在同一条直线上，所以，点 在同一条直线上； (2)设点与点的中点为，点与点的中点为， 因为，所以点M与点N重合，所以它们的纵坐标相等，即， 所以.特别地，当时，. （2）等差数列的某一项和公差d表达第n项，即 ，变形可得. 1．某体育场一角看台的座位是这样排列的：第1排有15个座位，从第2排 起每一排都比前一排多2个座位．你能用表示第排的座位数吗? 第 10排有多少个座位? 由条件可知，每排的座位数看成等差数列，首项，， 则，． 综上可知，，第10排的座位数个． 2．画出数列的图象，并求通过图象上所有点 的直线的斜率． 由， 其图象如下由图可知，通过图象上 所有点的直线的斜率为． 3．在等差数列中，，且，求． （方法一）设等差数列的公差为， ，两式相减得， ，， ． （方法二）是等差数列，， ，，． 已知数列 ， 为等差数列，且公差分别为 ， ， 则数列 的公差为（ ） A． B． C． D． ， 为等差数列， 为等差数列，设其公差为 ， 则 . 故选：D. 已知数列 为等差数列，且公差为 . 1）若 ， ，求 的值； 2）若 ， ，求公差 . （方法一）由题意得 ，解得 ， 所以 . 已知数列 为等差数列，且公差为 . 1）若 ， ，求 的值； 2）若 ， ，求公差 . （方法二）由题意得 ， 所以 . 已知数列 为等差数列，且公差为 . 1）若 ， ，求 的值； 2）若 ， ，求公差 . （2）由 ，得 ，∴ . 由 ，解得 或 ， ∴ 或 . ∴公差 为3或 . (1)在等差数列中,,且,则. (2)若为公差为的等差数列,则是公差为的等差数列. (3)若为公差为的等差数列,则是公差为 的等差数列. (4)若是等差数列,公差为,则也是等差数列,公差为 (5)若分别是以为公差的等差数列,则是以 为公差的等差数列. (6)若是等差数列,公差为,则,组成 公差为的等差数列. 1. 设数列,是项数相同的等差数列，若，， ，则数列的第37项为（ ）. A．1 B．0 C．100 D．3700 根据题意，， 又数列，是项数相同的等差数列， 所以数列是常数列， 所以数列的第37项为100. 故选：C. 2．已知在等差数列中，，， 则（ ） A．30 B．32 C．34 D．36 设等差数列的公差为， 由题得，， 两式相减得. 所以. 故选：B （1）已知四个数成等差数列且是递增数列，这四个数的平方和为94， 首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列； 设这四个数分别为，，，， 则，即 所以此等差数列为或． 又该数列是递增数列，所以， 所以，， （2）已知等差数列是递增数列，且其前三项之和为21，前三 项之积为231，求数列的通项公式． 设等差数列的公差为，则其前三项分别为,,， 因为数列为递增数列，所以， 则， 解得或． 所以等差数列的通项公式为． (1) 通项法：设数列的通项公式，即设. 当等差数列的项数为奇数时，可设中间一项为，再以公差为 向两边分别设项：…，，…； 当等差数列的项数为偶数时，可设中间两项分别为， 再以公差为向两边分别设项：…，，…. 对称项设法的优点是：若有个数构成等差数列，利用对称项设法设出 这个数列，则其各项和为. 已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40， 求这四个数. 法一：设此等差数列的首项为，公差为， 根据题意，得， 化简得：，解得或， 所以这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2. 已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40， 求这四个数. 法二：设这四个数为，则由题意得 ， 即，解得或， 所以这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2. 5.已知一个多边形的周长等于158cm，所有各边的长成等差数列，最大的 边长为44cm，公差为3cm、求这个多边形的边数． 解：由题意可知：，， 则， 即， 得 解得或（舍去），故这个多边形的边数为4. 6. 已知数列，都是等差数列，且，，， 求数列的前100项和． 解：因为数列，都是等差数列，所以也是等差数列， 又，，， 则数列的前100项和为：． 8. 已知两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，将这两 个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列．求这个新数列的 各项之和． 解：有两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200， 由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列， 2，14，26，38，50，…，182是两个数列的相同项. 共有个，也是等差数列， 它们的和为，这个新数列的各项之和为1472 $$