4.2.1等差数列的概念（第1课时）（分层作业）-【上好课】高二数学选择性必修第二册同步高效课堂（人教A版2019）

4.2.1等差数列的概念（第1课时） 一、基础巩固 1．下列数列是等差数列的是（   ） A．，，， B．1，，， C．1，，1，－1 D．0，0，0，0 2．已知实数是2和8的等差中项，则（   ） A． B．-4 C．4 D．5 3．下列数列的通项公式中，能得到为等差数列的是（    ） A． B． C． D． 4．等差数列中，，则（    ） A．26 B．22 C．18 D．14 5．已知和的等差中项是4，和的等差中项是5，则和的等差中项是（    ） A．8 B．6 C．4.5 D．3 6．在等差数列中，已知，，，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 7．在数列中，，，若，则 ． 8．（1）求等差数列8，5，2，…的第20项； （2）是否为等差数列，，，…的项？如果是，是该数列的第几项？如果不是，说明理由． 9．已知，是等差数列的图象上的两点． (1)求数列的通项公式； (2)画出数列的图象； (3)判断数列的单调性． 10．在等差数列，，，，…每相邻的两项之间插入一个数，使之组成一个新的等差数列. (1)求新数列的通项公式； (2)28是新数列的项吗？若是，是第几项？ 二、解答题 三、能力提升 11．已知等差数列满足，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 12．已知是无穷数列，，则“对任意的，都有”是“是等差数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．已知数列，则“”是“数列是等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．已知数列的首项，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 15．“数列是等差数列”是“数列是等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 16．已知数列与均为等差数列，且，则 . 17．已知正项数列满足（，且），，，则 . 18．（1）在等差数列中，，，求的通项公式； （2）已知数列的前n项和为，求数列的通项公式. 19．已知数列中，，．求证：是等差数列． 20．已知数列，，且满足，． (1)证明：数列是等差数列并求出的通项公式； (2)若是数列的前n项和，求数列的通项公式. 21．已知等差数列满足，． (1)求的通项公式； (2)若对一切，恒成立，求的取值范围． 四、拓展巩固 22．在数列中，已知，且 (1)求，的值； (2)是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 23．给定数列.对于任意的，若恒成立,则称数列是互斥数列. (1)若数列，判断是否是互斥数列，说明理由； (2)若数列与都是由正整数组成的且公差不为零的等差数列，若与不是互斥数列，求证:存在无穷多组正整教对，使成立； (3)若(是正整数)， 试确定满足的条件，使是互斥数列. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 4.2.1等差数列的概念（第1课时） 一、基础巩固 1．下列数列是等差数列的是（   ） A．，，， B．1，，， C．1，，1，－1 D．0，0，0，0 2．已知实数是2和8的等差中项，则（   ） A． B．-4 C．4 D．5 3．下列数列的通项公式中，能得到为等差数列的是（    ） A． B． C． D． 4．等差数列中，，则（    ） A．26 B．22 C．18 D．14 5．已知和的等差中项是4，和的等差中项是5，则和的等差中项是（    ） A．8 B．6 C．4.5 D．3 6．在等差数列中，已知，，，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 7．在数列中，，，若，则 ． 8．（1）求等差数列8，5，2，…的第20项； （2）是否为等差数列，，，…的项？如果是，是该数列的第几项？如果不是，说明理由． 9．已知，是等差数列的图象上的两点． (1)求数列的通项公式； (2)画出数列的图象； (3)判断数列的单调性． 10．在等差数列，，，，…每相邻的两项之间插入一个数，使之组成一个新的等差数列. (1)求新数列的通项公式； (2)28是新数列的项吗？若是，是第几项？ 二、解答题 三、能力提升 11．已知等差数列满足，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 12．已知是无穷数列，，则“对任意的，都有”是“是等差数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．已知数列，则“”是“数列是等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．已知数列的首项，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 15．“数列是等差数列”是“数列是等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 16．已知数列与均为等差数列，且，则 . 17．已知正项数列满足（，且），，，则 . 18．（1）在等差数列中，，，求的通项公式； （2）已知数列的前n项和为，求数列的通项公式. 19．已知数列中，，．求证：是等差数列． 20．已知数列，，且满足，． (1)证明：数列是等差数列并求出的通项公式； (2)若是数列的前n项和，求数列的通项公式. 21．已知等差数列满足，． (1)求的通项公式； (2)若对一切，恒成立，求的取值范围． 四、拓展巩固 22．在数列中，已知，且 (1)求，的值； (2)是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 23．给定数列.对于任意的，若恒成立,则称数列是互斥数列. (1)若数列，判断是否是互斥数列，说明理由； (2)若数列与都是由正整数组成的且公差不为零的等差数列，若与不是互斥数列，求证:存在无穷多组正整教对，使成立； (3)若(是正整数)， 试确定满足的条件，使是互斥数列. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 11 12 13 14 答案 D D B B D A B A B A 题号 15 答案 A 1．D 【分析】由等差数列定义逐项判断即可得. 【详解】∵，故排除A； ∵，故排除B； ∵，故排除C， 常数列是等差数列，故D正确. 故选：D． 2．D 【分析】根据等差中项的概念求值. 【详解】由题意：. 故选：D 3．B 【分析】根据等差数列的定义即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，不为常数，故A错误， 对于B，为常数，故B正确， 对于C, 不为常数，故C错误， 对于D，不为常数，故D错误， 故选：B 4．B 【分析】根据等差数列基本量的计算即可求解. 【详解】由可得公差， 故, 故选：B 5．D 【分析】运用等差中项概念及性质可解. 【详解】，， ，， 和的等差中项是. 故选：D. 6．A 【分析】根据等差数列基本量的计算即可求解. 【详解】由，可得，公差， 故，解得， 故选：A 7．506 【分析】由题意可得到数列是等差数列，求得其通项公式，即可求得答案. 【详解】由题意可得，故数列为等差数列，4为公差， 则，故令，解得. 故答案为：. 8．（1）；（2）是等差数列，，，…的第100项，理由见解析 【分析】（1）求出公差，进而得到第20项； （2）求出公差，得到通项公式，得到方程，求出，得到答案. 【详解】（1）可以得到公差，故第20项为 （2）可以得到公差，故通项公式为， 令，解得， 故是等差数列，，，…的第100项. 9．(1) (2)答案见解析 (3)递减数列 【分析】（1）设出公差，列出方程组，求出首项和公差，从而得到通项公式； （2）数列的图象是均匀分布在直线上的一系列孤立的点，画出图象； （3）由公差得到数列的单调性. 【详解】（1）设数列的公差为d． 因为，是等差数列的图象上的两点， 所以，，即，解得 因此． （2）由（1）可知，数列的图象是均匀分布在直线上的一系列孤立的点， 其中且， 如图， （3）由（1）可知公差，所以等差数列为递减数列． 10．(1) (2)是，第45项. 【分析】（1）由等差数列的定义确定新的公差即可求解； （2）由（1）所得通项公式代入验证即可 【详解】（1）原数列的公差， 所以新数列的公差，所以新数列的通项公式为. （2）是.设28是新数列的第项，令， 解得，所以28是新数列中的项，且是第45项. 11．B 【分析】利用等差数列的性质计算即得. 【详解】在等差数列中， 故选：B. 12．A 【分析】根据充分性和必要性的判断，直接论证即可. 【详解】对任意的，都有， 令，可以得到，因此是公差为的等差数列； 若，则，，，可得， 故“对任意的，都有”是“是等差数列”的充分不必要条件. 故选：A 13．B 【分析】先判断充分性：由已知可得，数列的偶数项成等差数列，奇数项成等差数列，举例可知数列不一定是等差数列，再判断必要性：数列是等差数列，可得，可得结论. 【详解】先判断充分性：， 令，则数列的偶数项成等差数列， 令，则数列的奇数项成等差数列， 但数列不一定是等差数列，如：1，1，2，2，3，3， ∴“”不是“数列是等差数列”的充分条件； 再判断必要性：若数列是等差数列，则， ，∴“”是“数列是等差数列”的必要条件； 综上，“”是“数列是等差数列”的必要不充分条件. 故选：B. 14．A 【分析】利用取倒法证得是等差数列，进而求得，从而得解. 【详解】因为，，易知， 所以，即， 又，所以， 故是以为首项，为公差的等差数列， 则，故， 所以. 故选：A. 15．A 【分析】先假设数列是等差数列，结合等差数列的性质设出其首项及公差，计算可得数列亦为等差数列，举出恰当的数列的通项公式，使是等差数列，但不是等差数列即可得. 【详解】若数列是等差数列，可设其首项为，公差为， 则，则， 即数列是以为首项，为公差的等差数列； 若数列是等差数列，取，则，符合要求， 但数列不为等差数列， 故“数列是等差数列”是“数列是等差数列”的充分不必要条件. 故选：A, 16．1012 【分析】根据等差数列通项公式的性质可设，结合题意可得，，进而可得结果. 【详解】因为数列与均为等差数列， 可设，则， 可知，即，则， 则，解得，即， 所以. 故答案为：1012. 17． 【分析】根据已知条件判断数列是等差数列，求出数列的通项公式，即可求出，进而可求. 【详解】因为，由等差中项的定义可知： 数列是首项，公差为的等差数列， 所以， 由此可知：，又因为，所以. 故答案为： 18．（1） （2） 【分析】（1）利用等差数列通项公式表示出不同的项，然后代入，求解即可； （2）利用数列通项与前项和的关系求解即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由题可知， 因为，，得，解得 所以等差数列的通项公式为； （2）当时， 当时， 检验， 所以 . 19．证明见解析 【分析】由等差数列的定义，通过已知递推公式，证明为常数即可. 【详解】证明：∵，∴， ∴，又， ∴是以为首项，为公差的等差数列． 20．(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）定义法证明等差数列，再求出首项与公差由等差数列通项公式可得所求； （2）由与关系分类求通项公式即可得. 【详解】（1）由， 则 ， 故数列是等差数列，且首项为，公差为. 则， 即的通项公式为. （2）由，则 由（1）知，所以， 当时，. 当时，时，也适合. 综上所述，数列的通项公式为. 21．(1)， (2) 【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为，由已知列关于首项与公差的方程组，求得首项与公差，则答案可求； （2）由恒成立，得对一切恒成立，求出的最小值即可得答案. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，， 得解得 ∴，． （2）由恒成立，得恒成立， 即对一切恒成立． 当时，取得最小值1， ∴，即的取值范围是． 22．(1)， (2)存在， 【分析】（1）根据条件，利用递推关系，令和，即可求出结果； （2）先假设数列为等差数列，根据条件得到为常数，从而得到，即可求出结果. 【详解】（1）因为，且， 所以，. （2）假设数列为等差数列， 因为，所以， 当，得到为常数， 故存在实数，使得数列为等差数列，. 23．(1)是互斥数列，理由见解析 (2)证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）根据互斥数列的概念判断即可； （2）由题知存在，使得，设的公差分别为，进而得都为正整数，取，证明即可证明结论； （3）由题知除以的余数为或，进而分，或，三种情况证明即可. 【详解】（1）解：中只有首项为1，其余均为偶数，均为大于1的奇数， 故对任意的，若恒成立， 所以是互斥数列； （2）证明：若与不是互斥数列，则存在，使得， 设的公差分别为， 因为数列与都是由正整数组成的且公差不为零的等差数列， 所以都为正整数， 取， 所以,，， 所以， 因为， 所以，存在无穷多组正整数对，使成立，证毕. （3）解：由于， 因为除以的余数为，是互斥数列， 所以除以的余数为或， （i）若，则对成立即可， （ii）若或，则或都为的倍数，此时是互斥数列，满足题意， （iii）若，则， 下面我们证明除以3的余数为1， 由二项式定理，展开得， 所以, 除以3的余数为1 所以是互斥数列，满足题意， 综上，满足的条件是，对成立； 或或，或，其中. 【点睛】关键点点睛:本题第二问解题的关键在于取，进而根据证明即可；第三问解题的关键在于讨论使得除以的余数为或的情况即可. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$