4.2.1 等差数列的概念（第1课时）（导学案）-【上好课】高二数学选择性必修第二册同步高效课堂（人教A版2019）

第四章数列 4.2等差数列 4.2.1等差数列的概念（第1课时） 一、学习目标 (1)经历等差数列概念的形成过程，能描述等差数列的定义，感受等差数列的本质特征，发展数学抽象和数学建模素养. (2)能用递推公式描述等差数列的概念，体验从函数的视角研究数列的一般路径. (3)能利用等差数列的定义判断与证明等差数列. 二、重点难点 重点：等差数列的概念 难点：等差数列通项公式的推导. 三、教学过程 环节一：创设情境，导入新课 我国有用12生肖纪年的习惯．例如，2024年是弄年，从2024年开始，虎年的年份依次为 2024，2036，2048，2060，2072，… 你能否用数列的知识解决下面的问题： (1)从2024年开始的第10个龙年是哪一年？ (2)2240年是不是龙年？今年到2240年之间有多少个龙年？ 我们知道，数列是一种特殊的函数．在函数的研究中，我们在理解了函数的一般概念，了解了函数变化规律的研究内容（如单调性、奇偶性等）后，通过研究基本初等函数，不仅加深了对函数的理解，而且掌握了幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等非常有用的函数模型．类似地，在了解了数列的一般概念后，我们要研究一些具有特殊变化规律的数列，建立它们的通项公式和前n项和公式，并运用它们解决实际问题和数学问题，从中感受数学模型的现实意义与应用．下面，我们从一类取值规律比较简单的数列入手． 环节二：回顾旧知，学习新知 请看下面几个问题中的数列． 情境1．北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为 9，18，27，36，45，54，63，72，81． ① 情境2．S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上衣对应的尺码分别是 38，40，42，44，46，48． ② 情境3．测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面20m起每升高100m处的大气温度（单位：℃）依次为 25.0，24.4，23.8，23.2，22.6． ③ 情境4．某人向银行贷款万元，贷款时间为年．如果个人贷款月利率为，那么按照等额本金方式还款，他从某月开始，每月应还本金元，每月支付给银行的利息（单位：元）依次为 ，，，，…． ④ 如果按月还款，等额本金还款方式的计算公式是每月归还本金=贷款总额÷贷款期总月数，利息部分=（贷款总额一已归还本金累计额）×月利率． 问题1：对于情境1中的数列，你能通过代数的运算发现其中的取值规律吗? 追问：你能仿照数列①的运算规律，写出情境2、情境3、情境4中数列的一般规律吗? 等差数列的概念： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列（arithmetic progression），这个常数叫做等差数列的公差（common difference），公差通常用字母d表示． 特别地，由三个数组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，叫做与的等差中项（arithmeticmean）．根据等差数列的定义可以知道，． 问题2：你能结合等差数列的定义写出其符号表达式吗? 问题3：你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？ 设一个等差数列的首项为，公差为．根据等差数列的定义，可得 ， 就是等差数列的递推公式． 所以 ，，，…． 于是 …… 归纳可得 ． 当时，上式为．这就是说，上式当时也成立． 以上方法为逐步迭代法 注：需要特别强调的是，由猜想归纳得出这个通项公式的方法称作不完全归纳法，这种方法仅仅是猜想出来的结论，没有说服力，严格的证明需要——数学归纳法，将在以后学习. 令一方面：（累加法） 由定义得,将这些等式的两边分别相加得 . 也就是 . 当时，上式为．这就是说，上式当时也成立． 综上，首项为，公差为的等差数列的通项公式为： 追问：等差数列的通项公式中涉及了哪几个量?你能由此分析一下确定一个等差数列的基本条件吗? 问题4：我们知道，数列是特殊的函数，请观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？ 如图4.2-1，在平面直角坐标系中画出函数的图象，就得到一条斜率为，截距为的直线．在这条直线上描出点，，…，，…，就得到了等差数列的图象． 事实上，公差的等差数列的图象是点组成的集合，这些点均匀分布在直线上． 反之，任给一次函数（为常数)，则，，…，，…，构成一个等差数列，其首项为，公差为． 环节三：根据新知，简单应用 例1：（1）已知等差数列的通项公式为，求的公差和首项． （2）求等差数列8，5，2，…的第20项． 例2：是不是等差数列的项？如果是，是第几项? 在等差数列中，首项与公差是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关，的关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量. 等差数列的通项公式 四个参数 首项、公差、项数、第项 “知三求一” （方程思想） 已知首项、公差、项数、求第项 已知首项、公差、第项、求项数 已知首项、项数、第项、求公差 已知公差、项数、第项、求首项 变式训练：在7和21中插入3个数，使这5个数成等差数列． 环节四：新知再认识，能力提升 题型一：等差中项问题. 例：在7和21中插入3个数，使这5个数成等差数列． 变式训练： (1)已知a和2b的等差中项是5，3a和4b的等差中项是7，求2a和3b的等差中项； (2)已知数列的首项，通项（为常数），且成等差数列.求的值. 题型二：等差数列的判定 例.已知数列满足，记. 求证：数列是等差数列并求数列的通项公式. 变式训练： 1.若成等差数列，求证：也成等差数列. 2．已知数列满足. 证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式. 环节五：凝练升华，课堂小结 问题5：回顾本节课的学习内容，回答下列问题： 1)我们是如何发现和提出本单元所研究的对象的?为什么要研究该对象? 2)等差数列定义的文字语言和符号语言分别是什么?本节课你学到了哪些数学思想方法? 3)判断一个数列是否为等差数列有几种方法?应用等差数列定义的关键是什么? 环节六：布置作业，应用迁移 巩固作业：教科书第24页习题4.2第1、2题 巩固作业： 1.根据下列等差数列中的已知量，求相应的来知量： （1），，，求d及n； （2），，，求及﹔ （3），，，求n及； （4），，，求及． 2. 已知为等差数列，，．求． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 第四章数列 4.2等差数列 4.2.1等差数列的概念（第1课时） 一、学习目标 (1)经历等差数列概念的形成过程，能描述等差数列的定义，感受等差数列的本质特征，发展数学抽象和数学建模素养. (2)能用递推公式描述等差数列的概念，体验从函数的视角研究数列的一般路径. (3)能利用等差数列的定义判断与证明等差数列. 二、重点难点 重点：等差数列的概念 难点：等差数列通项公式的推导. 三、教学过程 环节一：创设情境，导入新课 我国有用12生肖纪年的习惯．例如，2024年是弄年，从2024年开始，虎年的年份依次为 2024，2036，2048，2060，2072，… 你能否用数列的知识解决下面的问题： (1)从2024年开始的第10个龙年是哪一年？ (2)2240年是不是龙年？今年到2240年之间有多少个龙年？ 我们知道，数列是一种特殊的函数．在函数的研究中，我们在理解了函数的一般概念，了解了函数变化规律的研究内容（如单调性、奇偶性等）后，通过研究基本初等函数，不仅加深了对函数的理解，而且掌握了幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等非常有用的函数模型．类似地，在了解了数列的一般概念后，我们要研究一些具有特殊变化规律的数列，建立它们的通项公式和前n项和公式，并运用它们解决实际问题和数学问题，从中感受数学模型的现实意义与应用．下面，我们从一类取值规律比较简单的数列入手． 环节二：回顾旧知，学习新知 请看下面几个问题中的数列． 情境1．北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为 9，18，27，36，45，54，63，72，81． ① 情境2．S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上衣对应的尺码分别是 38，40，42，44，46，48． ② 情境3．测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面20m起每升高100m处的大气温度（单位：℃）依次为 25.0，24.4，23.8，23.2，22.6． ③ 情境4．某人向银行贷款万元，贷款时间为年．如果个人贷款月利率为，那么按照等额本金方式还款，他从某月开始，每月应还本金元，每月支付给银行的利息（单位：元）依次为 ，，，，…． ④ 如果按月还款，等额本金还款方式的计算公式是每月归还本金=贷款总额÷贷款期总月数，利息部分=（贷款总额一已归还本金累计额）×月利率． 问题1：对于情境1中的数列，你能通过代数的运算发现其中的取值规律吗? 对于数列①我们发现： 换一种写法就是：. 如果用来表示数列①,则有 ，，…，． 这表明数列①具有这样的取值规律：从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数. 追问：你能仿照数列①的运算规律，写出情境2、情境3、情境4中数列的一般规律吗? 等差数列的概念： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列（arithmetic progression），这个常数叫做等差数列的公差（common difference），公差通常用字母d表示． 特别地，由三个数组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，叫做与的等差中项（arithmeticmean）．根据等差数列的定义可以知道，． 问题2：你能结合等差数列的定义写出其符号表达式吗? 问题3：你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？ 设一个等差数列的首项为，公差为．根据等差数列的定义，可得 ， 就是等差数列的递推公式． 所以 ，，，…． 于是 …… 归纳可得 ． 当时，上式为．这就是说，上式当时也成立． 以上方法为逐步迭代法 注：需要特别强调的是，由猜想归纳得出这个通项公式的方法称作不完全归纳法，这种方法仅仅是猜想出来的结论，没有说服力，严格的证明需要——数学归纳法，将在以后学习. 令一方面：（累加法） 由定义得,将这些等式的两边分别相加得 . 也就是 . 当时，上式为．这就是说，上式当时也成立． 综上，首项为，公差为的等差数列的通项公式为： 追问：等差数列的通项公式中涉及了哪几个量?你能由此分析一下确定一个等差数列的基本条件吗? 问题4：我们知道，数列是特殊的函数，请观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？ 由于， 所以， 当时，数列为常数列；的图象为均匀分布在平行于轴的一条直线上的散点； 当时，等差数列的第项是一次函数，当时的函数值，即． 如图4.2-1，在平面直角坐标系中画出函数的图象，就得到一条斜率为，截距为的直线．在这条直线上描出点，，…，，…，就得到了等差数列的图象． 事实上，公差的等差数列的图象是点组成的集合，这些点均匀分布在直线上． 反之，任给一次函数（为常数)，则，，…，，…，构成一个等差数列，其首项为，公差为． 环节三：根据新知，简单应用 例1：（1）已知等差数列的通项公式为，求的公差和首项． （2）求等差数列8，5，2，…的第20项． 分析： （1）已知等差数列的通项公式，只要根据等差数列的定义，由即可求出公差； （2）可以先根据数列的两个已知项求出通项公式，再利用通项公式求数列的第20项． 解：（1）当时，由的通项公式，可得 于是 把代入通项公式，得 所以，的公差为，首项为3 （2）由已知条件，得： 把，代入，得 把代入上式，得 所以，这个数列的第20项是． 说明：这道题是在等差数列通项公式的四个量中，知道：首项、公差、项数，求，体现了等差数列通项公式中“知三求一”的方程思想. 例2：是不是等差数列的项？如果是，是第几项? 分析：先求出数列的通项公式，它是一个关于的方程，再看是否能使这个方程有正整数解． 解：由，，得这个数列的通项公式为 令 解这个关于的方程，得 ． 所以，是这个数列的项，是第100项． 方法小结：等差数列通项公式中的四个参数及其关系 在等差数列中，首项与公差是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关，的关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量. 等差数列的通项公式 四个参数 首项、公差、项数、第项 “知三求一” （方程思想） 已知首项、公差、项数、求第项 已知首项、公差、第项、求项数 已知首项、项数、第项、求公差 已知公差、项数、第项、求首项 变式训练：在7和21中插入3个数，使这5个数成等差数列． 解析：设这个等差数列为，其公差为，，，． ，，， ∴插入的3个数依次为，14，． 环节四：新知再认识，能力提升 题型一：等差中项问题. 例：在7和21中插入3个数，使这5个数成等差数列． 解析：设这个等差数列为， 则， ， ， ∴插入的3个数依次为，14，． 方法规律：等差数列等差中项的应用 (1)由等差数列的定义知，即，从而由等差中项的定义可知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项. (2)在设等差数列的项时，可利用上述性质. 变式训练： (1)已知a和2b的等差中项是5，3a和4b的等差中项是7，求2a和3b的等差中项； (2)已知数列的首项，通项（为常数），且成等差数列.求的值. 解(1)：∵a和2b的等差中项是5，∴a+2b=10.① 又∵3a和4b的等差中项是7，∴3a+4b=14.② 由①②解得 ∴2a和3b的等差中项为. （2）(2)：由，得.① 又，，且， 所以，，解得②， 所以，将②代入①，得. 故. 题型二：等差数列的判定 例.已知数列满足，记. 求证：数列是等差数列并求数列的通项公式. 证明：(法一：定义法)∵， ∴，为常数（）. 又，， 所以数列是首项公差均为等差数列. 所以 所以，即. (法二：等差中项法)因为， 所以， 所以 所以 又， 所以，， 所以数列是首项公差均为等差数列. 所以 所以，即. 方法规律：判定等差数列常用的2种方法 (1)定义法：（常数）（）⟺为等差数列. (2)等差中项法：⟺为等差数列. 变式训练： 1.若成等差数列，求证：也成等差数列. 【答案】详见解析 【分析】由成等差数列，根据等差中项的定义，可以得到，要想证明也成等差数列.只要证明即可. 【详解】证明：因为成等差数列，所以， 因此，所以 也成等差数列. 【点睛】本题考查了等差数列的性质，考查了证明三个式子成等差数列，运用等差数列的性质是解题的关键. 2．已知数列满足. 证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式. 【答案】(1)； 【分析】（1）根据等差数列定义即可得数列是以为首项，为公差的等差数列，并求出通项公式； 【详解】（1）根据题意由易知， 即可得为定值， 由此可得数列是以为首项，公差的等差数列， 所以，可得； 即数列的通项公式为； 环节五：凝练升华，课堂小结 问题5：回顾本节课的学习内容，回答下列问题： 1)我们是如何发现和提出本单元所研究的对象的?为什么要研究该对象? 2)等差数列定义的文字语言和符号语言分别是什么?本节课你学到了哪些数学思想方法? 3)判断一个数列是否为等差数列有几种方法?应用等差数列定义的关键是什么? 环节六：布置作业，应用迁移 巩固作业：教科书第24页习题4.2第1、2题 巩固作业答案： 1.根据下列等差数列中的已知量，求相应的来知量： （1），，，求d及n； （2），，，求及﹔ （3），，，求n及； （4），，，求及． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）. 【解析】 【分析】（1）由已知结合，求出，再由通项公式，求出； （2）由已知结合，求出，再由通项公式求出； （3）由已知结合，求出，再由通项公式求出； （4）由已知结合通项公式，求出，再由前项和公式求出. 【详解】（1）因为等差数列中，，，， 所以， ； （2）因为等差数列中，，，， 所以， 解得； （3）因为等差数列中，，，， 所以， 整理得，解得，或（舍去）， ； （4）因为等差数列中，，，， ， . 2. 已知为等差数列，，．求． 【答案】1 【解析】 【分析】设的公差为d，根据通项公式列方程即可求解公差与首项，从而求出． 【详解】设的公差为d，首项为，根据题意得 ∴ ∴ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$