4.2.1 等差数列的概念（第1课时）（教学设计）-【上好课】高二数学选择性必修第二册同步高效课堂（人教A版2019）

第四章数列 4.2等差数列 4.2.1等差数列的概念（第1课时） 一、教材分析 (1)内容的本质 等差数列是一种具有特殊变化规律的数列，是定义在正整数集上的线性离散型函数，是反映运算规律的基本数学模型，在现实生活中有着广泛应用.等差数列的通项公式与前n项和公式是等差数列的重要性质.公式的探究与推导，是以等差数列的特征性质为依据(即在等差数列中，若且,则，以下特称“对称性”),这是从概念到性质再到应用的过程.实际上，公式推导过程中，方法的探寻要有根有据，这个根据就是数列的“等差性”和“对称性”,由此找到了前n项的“平均数”,从而实现了由加法到乘法的化归，也就是把不同数相加转化为相同数(即平均数)的自相加.一个数列如果没有“等差”这个特性，就不能直接用这种方法实现转化.可见，“把不同数的求和转化为相同数的求和”的运算方法，既是“倒序相加法”产生的基本线索，又是等差数列求和方法的认知基础，由“等差”所决定的运算中的规律性就是等差数列的本质特征。 (2)知识的上下位关系 等差数列是学生了解数列的概念和表示方法后学习的第一种特殊数列，本节内容既是研究等比数列的类比原型，又是今后研究级数的预备知识.等差数列的概念，既能强化学生对数列概念的进一步理解，加深其对数列作为特殊函数的本质认知，又能为特殊数列的研究提供方向，具有学习方式和思维方法上的引领作用.因此，等差数列具有承上启下的显著特点. (3)内容蕴含的数学思想和方法 等差数列的研究经历了“抽象一归纳—演绎一类比一应用”等一系列过程，蕴含了一些重要的数学思想方法.首先，等差数列概念的引入部分，突出了由对特殊数列各项关系、运算、性质的研究推广到对一般数列相应问题的研究，体现了由特殊到一般的数学思想；在等差数列概念的生成过程中，通过观察、猜想、验证、归纳、概括、总结等过程，最终抽象出等差数列概念的文字描述、符号表达、图形含义，强调了归纳思想的具体应用；类比函数的概念、性质研究等差数列的相应问题，特别是类比一次函数的单调性研究等差数列的单调性，蕴含着丰富的类比思想.其次，等差数列通项公式和等差数列前n项和公式的推导，历经了从“首尾配对法到分类讨论法再到倒序相加法”的认知过程，这个过程本身既是一种方法论的再现过程，又是领悟其中所蕴含的特殊与一般、化归与转化、分类与整合和数形结合等数学思想方法的心理过程，更是学会探索数学公式的思维过程. (4)内容的育人价值 首先，等差数列的研究过程充分体现了研究一个数学对象的基本路径，即“事实→概念→性质→应用”,有助于学生体会数学的整体性.其次，等差数列内容渗透了多元数学史素材，丰富本单元的文化内涵，有利于提升学生的人文素养.以等差数列的前n项和公式为例，从史学层面看，倒序相加法是历史上遗留下来的经典方法，高斯算法及其相关事迹的介绍，不仅可以再现数学家的“火热思考”,还可以激发学生研究数学的热情，使其感受前人严谨的治学精神；从美学层面看，等差数列前n项和公式的结构特征与图形表征的对称性、简洁性和直观性，都体现了对数学美的追求，蕴含着数学的美育价值；从哲学层面看，倒序相加法很好地解决了“化多为少”和“化繁为简”的问题，体现了数学的辩证思维.因此，等差数列的学习能有效提升学生抽象、归纳、类比研究问题的能力，发展学生的数学抽象、数学运算和逻辑推理素养. 二、学情分析 (1)认知基础 类比研究函数的思路，学习了数列的概念后，就要对一些具有特殊变化规律的数列进行研究，这是学生对数列知识的认知路径.在学习等差数列之前，学生已经了解了数列的概念、表示方法以及通项公式和数列的前n项和的概念，知道“数列是一种特殊的函数”,这些知识经验能够帮助学生分析等差数列的变化规律. (2)认知困难 ①在代数的学习中，我们常常通过运算来发现规律，运算规律的发现是等差数列概念生成、等差数列前n项和公式推导的关键，但学生对于通过运算发现代数规律的意识不强，难以用数学符号语言刻画“等差”规律. ②在归纳概括出等差数列的概念后，如何应用等差数列的概念去推导等差数列的通项公式成为本节学习的第二个难点. ③通过等差数列通项公式与一次函数的解析式的结构特征的类比，发现等差数列与一次函数的共性与差异是本节学习的第三个难点.教材中给出了“思考”,目的是让学生从数形结合的角度进一步认识到等差数列的通项公式与一次函数之间的关系，逐步深化学生对等差数列概念的理解，有利于后续进行判断，也可以更好地把握等差数列的性质. ④如何把高斯的首尾配对法自然地过渡到倒序相加法，是学生遇到的第四个难点.高斯方法是将与首尾两端等距离的两项配对，当n为偶数时，当然没有问题，而当n为奇数时，中间一项无“对”可凑，这既是首尾配对的局限性，也是一个难点所在.尽管这两种方法的共性本质都是如何“化不同为相同”,但两者的运算方法又有着形式上的差异，即首尾配对要分奇偶，而倒序相加则可一步到位.正是这种差异，导致了推导公式的一个“老大难”问题：怎么想到用倒序相加的?因此，怎样让推导过程能相对自然地呈现成为学生理解推导过程合理性的一个关键. (3)应对策略 ①要创设合理的情境，让学生自然观察生活中的等差现象，主动发现等差数列的等差特性.在情境中发现等差规律、提炼等差关系、抽象等差概念、完善符号语言，突破第一个难点. ②要铺设好问题，引导学生大胆猜想、主动论证等差数列的通项公式.从定义出发，借助等差数列的等差特性，通过叠加或迭代建立第n项与首项的直接联系，进而发现确定等差数列的基本量，突破第二个难点. ③要通过类比确定一次函数的要素得出确定等差数列的要素(首项、公差),既要重视用基本量思想充分认识的几何意义，还要借助信息技术直观类比等差数列的图象与一次函数的图象，体会任意两点(两项)确定一条直线(一个等差数列)的思路，感悟代数与几何的整体性，有效突破第三个难点. ④要提高认知站位，即把等差数列的通项公式和前n项和公式看成等差数列的重要性质，设计一条探究等差数列前n项和公式的路径突破第四个难点。 1）紧扣“两个对称”的相似性：一是要紧扣等差数列的“对称性”,让学生通过发掘高斯算法的本质，领会等差数列的“对称性”是支持“化不同为相同”的依据；二是要紧扣几何图形的“对称性”,通过类比梯形面积公式的推导方法，追溯毕达哥拉斯学派直观“形数”的研究启示，让学生体会“倒置”一个全等的图形，构造几何图形的“对称性”是将不规则图形化为规则图形的依据。借助这两个对称性质的相似性，就可以把几何图形中的“倒置平移”与等差数列中的“倒序相加”对应起来，从而引导学生经历等差数列前n项和公式的再创造过程。 2）明确“三种方法”的差异性：一是明确高斯巧算用的是首尾配对法，而不是倒序相加法；二是明确首尾配对的局限性，分类讨论的必要性以及倒序相加的优越性，从而将这三种方法有机地融入到探究活动之中，形成自然衔接；三是明确从需要分类到不需分类，其过渡的关键是如何想到要从“倒推变形”中获得启发. 三、教学目标 （一）课程标准要求 ①通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义。 ②探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系。 ③能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题。 ④体会等差数列与一元一次函数的关系。 （二）课时目标要求 (1)经历等差数列概念的形成过程，能描述等差数列的定义，感受等差数列的本质特征，发展数学抽象和数学建模素养. (2)能用递推公式描述等差数列的概念，体验从函数的视角研究数列的一般路径. (3)能利用等差数列的定义判断与证明等差数列. 四、重点难点 教学重点：等差数列的概念 教学难点：等差数列通项公式的推导. 五、教学过程 环节一：创设情境，导入新课 我国有用12生肖纪年的习惯．例如，2024年是弄年，从2024年开始，虎年的年份依次为 2024，2036，2048，2060，2072，… 你能否用数列的知识解决下面的问题： (1)从2024年开始的第10个龙年是哪一年？ (2)2240年是不是龙年？今年到2240年之间有多少个龙年？ 师生活动：根据已知数列，我们需要探求数列的规律性，进而结合规律性解决实际问题. 设计意图：创设学生熟悉的十二生肖的数学情境，以问题为导向，这样的导入贴近学生的实际生活，引起学生极大的兴趣.用这一实例，借助于实际意义让学生感受“等差数列”的问题是自然、清楚、明白的. 我们知道，数列是一种特殊的函数．在函数的研究中，我们在理解了函数的一般概念，了解了函数变化规律的研究内容（如单调性、奇偶性等）后，通过研究基本初等函数，不仅加深了对函数的理解，而且掌握了幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等非常有用的函数模型．类似地，在了解了数列的一般概念后，我们要研究一些具有特殊变化规律的数列，建立它们的通项公式和前n项和公式，并运用它们解决实际问题和数学问题，从中感受数学模型的现实意义与应用．下面，我们从一类取值规律比较简单的数列入手． 环节二：回顾旧知，学习新知 请看下面几个问题中的数列． 情境1．北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为 9，18，27，36，45，54，63，72，81． ① 情境2．S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上衣对应的尺码分别是 38，40，42，44，46，48． ② 情境3．测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面20m起每升高100m处的大气温度（单位：℃）依次为 25.0，24.4，23.8，23.2，22.6． ③ 情境4．某人向银行贷款万元，贷款时间为年．如果个人贷款月利率为，那么按照等额本金方式还款，他从某月开始，每月应还本金元，每月支付给银行的利息（单位：元）依次为 ，，，，…． ④ 如果按月还款，等额本金还款方式的计算公式是每月归还本金=贷款总额÷贷款期总月数，利息部分=（贷款总额一已归还本金累计额）×月利率． 问题1：对于情境1中的数列，你能通过代数的运算发现其中的取值规律吗? 师生活动：教师课件展示情境，学生独立思考后展开讨论，教师引导学生调整运算结构、发现运算规律. 对于数列①我们发现： 换一种写法就是：. 如果用来表示数列①,则有 ，，…，． 这表明数列①具有这样的取值规律：从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数. 教师指出：上面的抽象过程需要注意体会.我们先从运算的角度观察一列数，发现其中的规律是“从第2个数开始，后一个数是前一个数加9”;再把它改写为“后一个数与前一个数之差为9”,这样改写，使运算结果是一个常数，从而使规律更加突出；接着引入符号作出一般化的表示；最后用文字语言概括规律，得到“从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数”,这个表述中，“从第2项起”这个限定是大家容易忽视的. 设计意图：借助北京天坛圜丘坛的建造“秘密”设疑激趣，引出本节课的研究对象，启发学生通过运算规律抓住等差数列的等差特征.通过运算方式的改变，学生独立寻找运算共性，经历等差的发现过程，尝试使用文字语言和符号语言描述等差数列.另外，从生活实例中抽象出等差数列，直接突出重点，尝试突破难点，因为直观上排列好的一列数与等差数列的数学定义之间存在一定的距离，需要学生具备较高的数学抽象、数学表达能力，这种体验对后续研究数列在生活中的应用有重要的价值. 追问：你能仿照数列①的运算规律，写出情境2、情境3、情境4中数列的一般规律吗? 师生活动：发现数列②满足, 数列③满足 数列④满足 这表明数列①②③④具有这样的取值规律：从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数. 引发思考：“常数”的取值具有不变性且可正可负可为零，“常数”的符号影响数列的单调性.此时，教师带领学生回顾数列单调性的定义，做好回顾与巩固. 设计意图：借助数列①的研究方式类比研究数列②③,从文字语言和符号语言两个维度理解运算规律，学生在思维中逐渐形成一般的递推关系.另外，写出一般规律的过程有助于学生深刻理解“常数”,感悟“常数”的作用. 等差数列的概念： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列（arithmetic progression），这个常数叫做等差数列的公差（common difference），公差通常用字母d表示． 特别地，由三个数组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，叫做与的等差中项（arithmeticmean）．根据等差数列的定义可以知道，． 问题2：你能结合等差数列的定义写出其符号表达式吗? 师生活动：学生根据概念给出或，同时引导学生思考为什么要强调? 设计意图：让学生通过定义中的关键词理解等差数列定义的内涵. 关键词一“从第2项起”是后续条件，有两层内涵：一是因为第1项没有前一项，所以没有办法与前一项作差比较；二是确保该数列中任何一项与前一项的差都是同一个常数. 关键词二“每一项与它的前一项的差”也有两层内涵：一是指出作差比较的顺序；二是强调作差比较的两项必须相邻.同时，等差数列的符号描述为判定一个数列是否为等差数列提供了基本依据和方法，也是推导等差数列通项公式的起点，是理解概念内涵的关键。 问题3：你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？ 设一个等差数列的首项为，公差为．根据等差数列的定义，可得 ， 就是等差数列的递推公式． 所以 ，，，…． 于是 …… 归纳可得 ． 当时，上式为．这就是说，上式当时也成立． 以上方法为逐步迭代法 注：需要特别强调的是，由猜想归纳得出这个通项公式的方法称作不完全归纳法，这种方法仅仅是猜想出来的结论，没有说服力，严格的证明需要——数学归纳法，将在以后学习. 令一方面：（累加法） 由定义得,将这些等式的两边分别相加得 . 也就是 . 当时，上式为．这就是说，上式当时也成立． 综上，首项为，公差为的等差数列的通项公式为： 追问：等差数列的通项公式中涉及了哪几个量?你能由此分析一下确定一个等差数列的基本条件吗? 师生活动：学生观察通项公式的结构回答：首项、公差、项数、第项.其中，首项、公差是基本量，由基本量就可以唯一确定一个等差数列.因此，在解决等差数列问题时，我们要重视用基本量表示数列中其他元素. 设计意图：帮助学生记忆公式，初步了解公式中的量，建立基本量思想，为后续研究等差数列的几何意义作铺垫. 问题4：我们知道，数列是特殊的函数，请观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？ 师生活动：由于， 所以， 当时，数列为常数列；的图象为均匀分布在平行于轴的一条直线上的散点； 当时，等差数列的第项是一次函数，当时的函数值，即． 如图4.2-1，在平面直角坐标系中画出函数的图象，就得到一条斜率为，截距为的直线．在这条直线上描出点，，…，，…，就得到了等差数列的图象． 事实上，公差的等差数列的图象是点组成的集合，这些点均匀分布在直线上． 反之，任给一次函数（为常数)，则，，…，，…，构成一个等差数列，其首项为，公差为． 环节三：根据新知，简单应用 例1：（1）已知等差数列的通项公式为，求的公差和首项． （2）求等差数列8，5，2，…的第20项． 分析： （1）已知等差数列的通项公式，只要根据等差数列的定义，由即可求出公差； （2）可以先根据数列的两个已知项求出通项公式，再利用通项公式求数列的第20项． 解：（1）当时，由的通项公式，可得 于是 把代入通项公式，得 所以，的公差为，首项为3 （2）由已知条件，得： 把，代入，得 把代入上式，得 所以，这个数列的第20项是． 说明：这道题是在等差数列通项公式的四个量中，知道：首项、公差、项数，求，体现了等差数列通项公式中“知三求一”的方程思想. 例2：是不是等差数列的项？如果是，是第几项? 分析：先求出数列的通项公式，它是一个关于的方程，再看是否能使这个方程有正整数解． 解：由，，得这个数列的通项公式为 令 解这个关于的方程，得 ． 所以，是这个数列的项，是第100项． 【设计意图】让学生体会并总结：判断一个数是否为数列的项，只须令通项公式等于这个数，得到关于n的方程.若方程有正整数解，则它就是，否则不是 方法小结：等差数列通项公式中的四个参数及其关系 在等差数列中，首项与公差是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关，的关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量. 等差数列的通项公式 四个参数 首项、公差、项数、第项 “知三求一” （方程思想） 已知首项、公差、项数、求第项 已知首项、公差、第项、求项数 已知首项、项数、第项、求公差 已知公差、项数、第项、求首项 变式训练：在7和21中插入3个数，使这5个数成等差数列． 解析：设这个等差数列为，其公差为，，，． ，，， ∴插入的3个数依次为，14，． 环节四：新知再认识，能力提升 题型一：等差中项问题. 例：在7和21中插入3个数，使这5个数成等差数列． 解析：设这个等差数列为， 则， ， ， ∴插入的3个数依次为，14，． 方法规律：等差数列等差中项的应用 (1)由等差数列的定义知，即，从而由等差中项的定义可知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项. (2)在设等差数列的项时，可利用上述性质. 变式训练： (1)已知a和2b的等差中项是5，3a和4b的等差中项是7，求2a和3b的等差中项； (2)已知数列的首项，通项（为常数），且成等差数列.求的值. 解(1)：∵a和2b的等差中项是5，∴a+2b=10.① 又∵3a和4b的等差中项是7，∴3a+4b=14.② 由①②解得 ∴2a和3b的等差中项为. （2）(2)：由，得.① 又，，且， 所以，，解得②， 所以，将②代入①，得. 故. 题型二：等差数列的判定 例.已知数列满足，记. 求证：数列是等差数列并求数列的通项公式. 证明：(法一：定义法)∵， ∴，为常数（）. 又，， 所以数列是首项公差均为等差数列. 所以 所以，即. (法二：等差中项法)因为， 所以， 所以 所以 又， 所以，， 所以数列是首项公差均为等差数列. 所以 所以，即. 方法规律：判定等差数列常用的2种方法 (1)定义法：（常数）（）⟺为等差数列. (2)等差中项法：⟺为等差数列. 变式训练： 1.若成等差数列，求证：也成等差数列. 【答案】详见解析 【分析】由成等差数列，根据等差中项的定义，可以得到，要想证明也成等差数列.只要证明即可. 【详解】证明：因为成等差数列，所以， 因此，所以 也成等差数列. 【点睛】本题考查了等差数列的性质，考查了证明三个式子成等差数列，运用等差数列的性质是解题的关键. 2．已知数列满足. 证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式. 【答案】(1)； 【分析】（1）根据等差数列定义即可得数列是以为首项，为公差的等差数列，并求出通项公式； 【详解】（1）根据题意由易知， 即可得为定值， 由此可得数列是以为首项，公差的等差数列， 所以，可得； 即数列的通项公式为； 环节五：凝练升华，课堂小结 问题5：回顾本节课的学习内容，回答下列问题： 1)我们是如何发现和提出本单元所研究的对象的?为什么要研究该对象? 2)等差数列定义的文字语言和符号语言分别是什么?本节课你学到了哪些数学思想方法? 3)判断一个数列是否为等差数列有几种方法?应用等差数列定义的关键是什么? 师生活动：在学生独立回顾、思考总结的基础上进行班级交流，然后教师点评、总结. 设计意图：通过知识小结，让学生明晰等差数列的研究路径，即事实→概念→性质→应用，有助于学生领悟研究一个数学对象的基本路径，体会数学的整体性.通过方法小结，让学生抓住“等差”的特性和运用定义判断等差数列的基本方法，进一步领会数学抽象、运算、建模的过程，体会特殊与一般、函数与方程、化归与转化的思想方法，提升学生归纳概括、规范表达的能力和应用意识，发展学生的数学抽象、数学运算和数学建模素养. 环节六：布置作业，应用迁移 巩固作业：教科书第24页习题4.2第1、2题 巩固作业答案： 1.根据下列等差数列中的已知量，求相应的来知量： （1），，，求d及n； （2），，，求及﹔ （3），，，求n及； （4），，，求及． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）. 【解析】 【分析】（1）由已知结合，求出，再由通项公式，求出； （2）由已知结合，求出，再由通项公式求出； （3）由已知结合，求出，再由通项公式求出； （4）由已知结合通项公式，求出，再由前项和公式求出. 【详解】（1）因为等差数列中，，，， 所以， ； （2）因为等差数列中，，，， 所以， 解得； （3）因为等差数列中，，，， 所以， 整理得，解得，或（舍去）， ； （4）因为等差数列中，，，， ， . 2. 已知为等差数列，，．求． 【答案】1 【解析】 【分析】设的公差为d，根据通项公式列方程即可求解公差与首项，从而求出． 【详解】设的公差为d，首项为，根据题意得 ∴ ∴ 环节七板书设计 4.2.1等差数列的概念 1.等差数列的概念 例1. 文字语言： 符号语言： 等差中项： 例2 2.等差数列的通项公式： 例3 3.等差数列与一次函数的关系 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$