4.2.1 等差数列的概念（第1课时）（教学课件）-【上好课】高二数学选择性必修第二册同步高效课堂（人教A版2019）

第四章 数列 4.2.1等差数列 的概念(第1课时) ·选择性必修第二册· 学习目标 （一）课程标准要求 ①通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义。 ②探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式 的关系。 ③能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题。 ④体会等差数列与一元一次函数的关系。 1 学习目标 2 3 经历等差数列概念的形成过程，能描述等差数列的定义，感受等差数列的本质特征，发展数学抽象和数学建模素养. 能用递推公式 描述等差数列的概念，体验从函数的视角研究数列的一般路径． 能利用等差数列的定义判断与证明等差数列. 引入新知 我国有用12生肖纪年的习惯．例如，2024年是弄年，从2024年开始，虎年的年份依次为:2024，2036，2048，2060，2072，… 你能否用数列的知识解决下面的问题： 从2024年开始的第10个龙年是哪一年？ 2240年是不是龙年？今年到2240年之间有多少个龙年？ 引入新知 函数 函数的概念 数列 数列是 特殊的函数 函数的性质 基本初等函数 数列的概念 数列的性质 特殊变化 规律的数列 函数的研究路径 数列的研究路径 等差数列 等比数列 新课探究 情景1 北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，有9圈扇环形石板围绕最中间的天心石，从内到外各圈的石板数依次为： 9，18，27，36，45，54，63，72，81 新课探究 情景2 XXS，XS，S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装对应的尺码分别是：34，36，38，40，42，44，46，48 新课探究 情景3 测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面20m起每升高100m处的大气温度(单位：℃)依次为： 25.0, 24.4, 23.8, 23.2, 22.6 新课探究 情景4 某人向银行贷款a万元，贷款时间为n年，若个人贷款月利率为r，则按照等额本金方式还款，他从某月开始，每月应还本金b(=a/12n)万元，每月支付给银行的利息(单位:万元)依次为： 利息=（贷款总额-已归还本金累计额）×月利率 ar, (a－b)r, (a－2b)r, (a－3b)r, ... ar, ar－br, ar－2br, ar－3br, ... 等额本金还款方式是将本金每月等额偿还，然后根据剩余本金计算利息。 好处：总利息较少(在贷款期限、金额和利率相同的情况下，等额本金还款方式所需利息较少),并且贷款年限越长，优势越明显。 缺点：前期还款压力较大，每月还款额不同，不便于规划收支。 比较适合有一定经济基础，能承担前期较大还款压力的人群。 新课探究 问题1 对于情境1中的数列，你能通过代数的运算发现其中的取值规律吗? 对于数列①我们发现： 换一种写法就是： 这表明数列①具有这样的取值规律：从第 2 项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数. 新课探究 追问 你能仿照数列①的运算规律，写出情境2、情境3、情境4中数列的 一般规律吗? 这表明数列①②③④具有这样的取值规律：从第 2 项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数. 数列②满足： 数列③满足： 数列④满足： 数列①满足: 新课探究 等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列（arithmetic progression），这个常数叫做等差数列的公差（common difference），公差通常用字母 d 表示． 问题2 你能结合等差数列的定义写出其符号表达式吗? 从第2项起 同一个常数 新课探究 等差中项的概念 计算等差中项 的方法 新课探究 等差数列通项公式的推导 问题3 你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？ 于是： …… 归纳可得： 所以： 逐步迭代法 注：需要特别强调的是，由猜想归纳得出这个通项公式的方法称作不完全归纳法，这种方法仅仅是猜想出来的结论，没有说服力，严格的证明需要——数学归纳法，将在以后学习. 新课探究 等差数列通项公式的推导 若等差数列{an}的首项为a1，公差是d，根据定义得: 将这些等式的两边分别相加得： 所以： 以上，求等差数列通项公式的方法叫做累加法. 新课探究 等差数列的通项公式 首项为a1，公差为 d 的等差数列{an}的通项公式为： 思考：等差数列{an}的通项公式中涉及了哪几个量？你能由此分析下确 定一个等差数列的基本条件吗？ 通项公式中涉及首项 a1、公差 d、项数 n、第 n 项 an，可知三求一； 首项 a1 与公差 d 是基本量，由基本量就可以唯一确定一个等差数列.因此，在解决等差数列问题时，我们要重视用基本量表示数列中其他元素. 利用等差数列的通项公式不仅可以求出该数列中的任意指定项，也可以判断某特定数是否是该数列中的项． 新课探究 等差数列的通项公式的函数性质 问题4 我们知道，数列是特殊的函数，请观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？ 新课探究 新课探究 等差数列与一次函数的区别与联系 等差数列 一次函数 解析式 不同点 相同点 联系 定义域为N*，图象是一系列孤立的点（在直线上） 定义域为R，图象是一条直线 等差数列的通项公式与一次函数解析式都是自变量的一次整式. an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列 应用新知 分析 应用新知 分析 应用新知 分析 令 应用新知 规律方法 等差数列通项公式中的四个参数及其关系 应用新知 规律方法： 应用新知 变式训练： 能力提升 题型一 等差中项的应用 例题 例：在7和21中插入3个数，使这5个数成等差数列 【解析】 应用新知 方法总结 等差数列等差中项的应用 能力提升 题型一 等差中项的应用 变式训练 【解析】 能力提升 题型一 等差中项的应用 变式训练 【解析】 能力提升 题型二 等差数列的判定 例题 【解析】 能力提升 题型二 等差数列的判定 【解析】 例题 定义法 能力提升 题型二 等差数列的判定 【解析】 例题 能力提升 题型二 等差数列的判定 【解析】 例题 能力提升 题型二 等差数列的判定 【解析】 例题 等差中项法 应用新知 规律方法 判定等差数列常用的方法 (3)通项公式法：an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列 能力提升 题型二 等差数列的判定 变式训练 【证明】 能力提升 题型二 等差数列的判定 变式训练 【证明】 课堂小结 迭代归纳法；累加法 通项公式 与一次函数的关系 概念 方程思想、抽象、运算素养 等差中项 等差数列的 概念 作业布置 巩固作业：教科书第24页习题4.2第1、2题. 作业答案（教科书第24页习题4.2第1题.） 详解 作业答案（教科书第24页习题4.2第1题.） 详解 作业答案（教科书第24页习题4.2第1题.） 详解 作业答案（教科书第24页习题4.2第1题.） 详解 作业答案（教科书第24页习题4.2第2题.） 详解 ·选择性必修第一册· 本课结束 感谢您的聆听 如果用来表示数列①,则有 这时，A叫做a与b的等差中项 (arithmetic mean)． 根据等差数列的定义有：， 特别地，由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列． 整理得：，即 设一个等差数列的首项为，公差为． 根据等差数列的定义，可得就是等差数列的递推公式． 所以，，，…． 当时，上式为 这就是说，上式当时也成立． 当时，上式为． 这就是说，上式当时也成立． 反之，任给一次函数(为常数)， 构成一个等差数列，其首项为，公差为． 则,,…,,…, 例1: (1)已知等差数列的通项公式为，求的公差和首项. 已知等差数列的通项公式，只要根据等差数列的定义， 由即可求出公差； 解：(1)当时，由的通项公式，可得 于是 把代入通项公式，得 所以，的公差为-2，首项为3 例1: (2)求等差数列8 ,5 ,2 ,...的第20项. 可以先根据数列的两个已知项求出通项公式，再利用通项公式 求数列的第20项． 解：由已知条件，得： 把，代入，得 把代入上式，得 所以，这个数列的第20项是- 49． 例2: - 401是不是等差数列-5，-9，-13，... 的项？如果是，是第几项? 先求出数列的通项公式，它是一个关于n的方程，再看-401是否 能使这个方程有正整数解． 解：由，，得这个数列的通项公式为 解这个关于的方程，得 所以，-401是这个数列的项，是第100项． 在等差数列中，首项与公差是两个最基本的元素，有关等差 数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关，的 关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量. 等差数列的通项公式 四个参数 首项、公差、项数、第项 “知三求一” （方程思想） 已知首项、公差、项数、求第项 已知首项、公差、第项、求项数 已知首项、项数、第项、求公差 已知公差、项数、第项、求首项 在7和21中插入3个数，使这5个数成等差数列． 解析： 设这个等差数列为 ，其公差为 ， ∴插入的3个数依次为 ，14， ． 设这个等差数列为 ， 则 ， ， ， ∴插入的3个数依次为 ，14， ． 由等差数列的定义知，即 ，从而由等差中项的定义可知，等差数列从第2项起的每一 项都是它前一项与后一项的等差中项，此表达式可以用来判定等差数列. 在设等差数列的项时，可利用上述性质. (1) 已知a和2b的等差中项是5，3a和4b的等差中项是7， 求2a和3b的等差中项； (1)∵a和2b的等差中项是5，∴a + 2b = 10.① 又∵3a和4b的等差中项是7，∴3a + 4b = 14.② 由①②解得 ∴2a和3b的等差中项为. (2)已知数列的首项，通项（ 为常数），且成等差数列.求的值. （2） 由，得.① 又，， 且， 所以，，解得②， 所以，将②代入①，得.故. 已知数列满足，记. 求证：数列是等差数列并求数列的通项公式. ∴，为常数（）. 又，， 已知数列满足，记. 求证：数列是等差数列并求数列的通项公式. 所以 所以，即. 已知数列满足，记. 求证：数列是等差数列并求数列的通项公式. 因为， 所以， 已知数列满足，记. 求证：数列是等差数列并求数列的通项公式. 所以 所以 所以数列是等差数列. 又， 已知数列满足，记. 求证：数列是等差数列并求数列的通项公式. 所以，， 所以数列是首项公差均为等差数列. 所以 所以，即. (1)定义法：（常数）（）⟺为等差数列. (2)等差中项法：⟺为等差数列. 1.若成等差数列，求证：也成等差数列. 因为成等差数列，所以， 因此， 所以也成等差数列. 已知数列满足. 证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式. 根据题意由易知，即可得 为定值，由此可得数列是以为首项， 公差的等差数列，所以，可得； 即数列的通项公式为； 1.根据下列等差数列中的已知量，求相应的来知量： （1），，，求d及n； （2），，，求及﹔ （3），，，求n及； （4），，，求及． （1） 因为等差数列中，，，， 所以，； 1.根据下列等差数列中的已知量，求相应的来知量： （1），，，求d及n； （2），，，求及﹔ （3），，，求n及； （4），，，求及． （2）因为等差数列中，，，，所以 ，解得； 1.根据下列等差数列中的已知量，求相应的来知量： （1），，，求d及n； （2），，，求及﹔ （3），，，求n及； （4），，，求及． （3）因为等差数列中，，，，所以 ，整理得， 解得，或（舍去），； 1.根据下列等差数列中的已知量，求相应的来知量： （1），，，求d及n； （2），，，求及﹔ （3），，，求n及； （4），，，求及． （4）因为等差数列中，，，， ，. 2. 已知为等差数列，，．求． （2）设的公差为d，首项为，根据题意得 ，∴ ∴ $$