4.1数列的概念（第2课时）（教学设计）-【上好课】高二数学选择性必修第二册同步高效课堂（人教A版2019）

第四章数列 4.1数列的概念（第2课时） 4.1.2数列的递推关系与前n项和 一、教材分析 （1）内容的本质 数列是数学重要的研究对象，是刻画现实世界中一类具有递推规律事物的数学模型，是研究其他函数的基本工具，在日常生活中也有着广泛的应用. 数列是按照确定的顺序排列的一列数.通常，我们把正整数作为一种“序数”,数列中各项的顺序用正整数表示。这样，数列就可以表示成，这是数列的一般形式，它不仅揭示了数列本质上是从正整数集(或它的有限子集)到实数集的函数，其自变量是,对应的函数值是数列的第项，而且也反映了数列自身的特征—离散性，因此数列是定义在正整数集(或它的有限子集)上的一类离散函数，是刻画“离散”过程的重要数学模型. 由于数列是一类特殊的函数，我们可以类比研究函数的研究路径“背景一定义—表示方法一性质”来研究数列，可以类比函数的表示方法，用列表、图象、通项公式去表示数列.数列的通项公式就是数列的函数解析式，是描述一个数列取值规律最基本最重要的方法.递推公式反映的是数列相邻两项或多项之间的关系，也是数列的一种重要表示方式.如果已知数列的递推公式和初始值，就可以确定数列的每一项，因而利用数列的递推公式，不仅可以通过迭代法求出数列中的指定项，而且还蕴含一种通过运算发现规律的思想，递推公式在数列的研究中有着非常重要的作用. 数列的前项和是数列的一个十分重要的概念，是数列离散性的重要体现.数列的通项与前项和之间的关系不仅揭示了数列的基本性质，也为我们求数列的通项提供了一种方法.从这个意义上看，数列的前项和公式也是给出数列的一种方式，是表示数列的一种方法，这是因为：如果知道数列的前项和，我们便可以根据这一关系求出数列的通项.需要注意的是，由推出的通项公式仅当时成立，因此需要检验的数值是否满足这个公式. (2)知识的上下位关系 一方面，由于数列是一类特殊的函数，因此通过本单元的学习能进一步加深对函数的认识、丰富所掌握的函数的类型、强化函数思想方法的运用.另一方面，本单元是本章的起始内容，不仅是后续学习等差数列、等比数列、数学归纳法等知识的基础，同时也为研究等差数列与等比数列等提供了方法与路径.因而，本单元内容具有承上启下的作用. (3)内容蕴含的数学思想和方法 数列是一类特殊的函数，函数的思想方法贯穿本单元学习的始终，因此，用类比函数的研究路径研究数列是本单元重要的思维方法；数列概念的抽象体现了从具体到抽象、由特殊到一般的思维方法.此外，无论是根据数列的通项公式求指定项，还是根据数列的递推公式写前几项，都体现了从一般到特殊的思维方法，蕴含了特殊与一般的数学思想；在已知通项公式和项求项数时，需要将问题转化为求方程的整数解问题，既蕴含了转化与化归的数学思想，同时也渗透了函数与方程的数学思想；已知数列的前项和公式求其通项公式时，不仅需要分和两种情况讨论，而且还要检验的通项公式对是否成立，渗透了分类与整合的数学思想. (4)内容的育人价值 数列自古以来都是人们感兴趣的问题，古巴比伦、古埃及、古印度和中国的文献中都有丰富的数列问题.教科书中在本单元列举了两河流域发掘的泥版、谢尔宾斯基三角形、古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子排列的形数等，通过这些数学史料让学生感受到数学的源远流长与数学家们的不懈探索，激发学生学习数学的热情.通过这些史料中图形的对称性、简洁性和直观性，展现数学蕴含的美育价值，增强学生对数学美的追求，通过揭示数列概念与函数概念、通项公式与函数解析式之间的内在联系，不仅深化学生对数列本质的理解，还可以进一步增强学生用联系的观点看待事物的意识.此外，本单元在素材的选择上十分注重与生活实际相结合，如学生的身高变化、银行存款利率等，通过这些素材进一步增强学生的应用意识，发展学生的数学建模素养. 二、学情分析 (1)认知基础 从学生已有的知识储备来看，一方面，学生对于数列并非一无所知，他们在小学和初中就已经接触过观察规律填数字的问题，对数列的概念有初步的感知，只是当时没有给出数列的概念，另一方面，通过对函数的学习，学生对于函数的概念、表示等内容有了较为深刻的理解，这为本单元内容的学习奠定了必要的知识基础；从学生已有的能力水平来看，在学习函数、幂函数、指数函数、对数函数等数学概念时，学生经历过从具体的实例中抽象出函数概念的过程，具备一定的归纳概括能力，这为数列概念的抽象以及根据一定条件写出其一个通项公式奠定了能力基础；从研究方法来看，在学习函数的概念、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、平面向量等内容时，均采用了“事实→定义→表示→性质”的研究路径，这为本节数列的概念的学习奠定了方法基础 (2)认知困难 虽然学生对数列并非一无所知，但要从一些具体的数列中抽象出数列的本质属性——按照一定顺序排列的一列数，确实存在一定的困难，这需要学生具备较高的数学抽象能力.特别是如何刻画数列中各项的顺序，学生在以前的学习中对此几乎没有任何经验，这是本节元学习的一个难点. 用递推公式表示一种代数取值规律也是学生之前没有经验的，这是本节学习的又一个难点. (3)应对策略 在教学中，要加强对教科书中三个实例的分析，通过精心设计的问题串引导学生从这些具体实例中归纳出数列的一般特征.特别是针对如何用数学的符号语言刻画排成的一列数中“确定的顺序”这一关键问题，需要结合具体实例，引导学生类比函数的自变量与函数值之间的对应关系,用集序号与取值于一身的等数学符号表示数列中的项及其在数列中的位置，从而获得从数学上刻画数列的方法——用正整数表示数列的确定的顺序，即 对于用递推公式表示数列，要加强引导和典型事例的训练，以及通项与前项和之间的互化的训练. 三、教学目标 （一）课程标准要求 本节内容的学习，可以帮助学生通过对日常生活中实际问题的分析，了解数列的概念；具体的为：通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式),了解数列是一种特殊函数。 （二）课时目标要求 (1)能结合具体事例说明数列递推公式的作用；能根据数列的递推公式写出数列的某一项，体会特殊 与一般的数学思想 (2)能说出数列的前项和的含义，能根据数列的前项和的定义推出数列的通项与前项和之间的关系 并能根据这一关系由前项和公式求通项公式,体会分类与整合的数学思想. 四、重点难点 教学重点：数列的递推公式与前项和. 教学难点：由数列的前项和公式求解数列的通项公式. 五、教学过程 环节一：创设情境，导入新课 1202年，意大利数学家斐波那契出版了他的《算盘全书》.他在书中收录了一些有意思的问题，其中有一个关于兔子繁殖的问题： 如果1对兔子每月能生1对小兔子(一雄一雌)，而每1对小兔子在它出生后的第3个月里，又能生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，由1对初生的小兔子开始，50个月后会有多少对兔子？ 在第1个月时，只有1对小兔子，过了1个月，那对兔子成熟了，在第3个月时便生下1对小兔子，这时有2对兔子.再过1个月，成熟的兔子再生1对小兔子，而另1对小兔子长大，有3对兔子.如此推算下去，我们可以得到一个表格： 由此可知，从第1个月开始，每月末的兔子总对数是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，889，144，…. 如果用表示第个月的兔子的总对数，可以看出 这是一个由递推公式给出的数列，称为斐波那契数列. 【设计意图】通过斐波那契数列引入本节教学内容的探究，一方面激发学生的学习热情，另一方面现数学知识生成的文化背景，让学生体会到数学的源远流长，感受其中的趣味性、文化性和思想性。 环节二：观察分析，感知概念 问题1：图4.1-3中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形。在图中4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数列的一个通项公式。 解：在图4.1-3(1)(2)(3)(4)中，着色三角形的个数依次为1，3，9，27， 即所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1． 因此，这个数列的一个通项公式是 追问1：换个角度观察以上4个图形，你能观察出图中三角形的变化规律吗? 师生活动：学生独立思考，小组讨论后全班交流，得出每个图形中的着色三角形都在下一个图形中分裂成3个着色小三角形和1个无色小三角形. 追问2：你能根据这个规律说出相邻两个图形中着色三角形个数的关系吗? 师生活动：学生思考后全班交流，得出：每个图形中着色三角形的个数都是前一个图形中着色三角形个数的3倍. 追问3：你能用表达式表示这个关系吗? 师生活动：学生思考后全班交流，得出这一关系. 追问4：以上表达式中的从何值开始取? 师生活动：学生思考后全班交流，得出从2开始取值，因为取1时，即，无意义. 追问5：能否表示出这个数列的所有项? 师生活动：学生思考后全班交流，得出无法表示的结论，进而需要把单列出来，即. 环节三 抽象概括，形成概念 像这样，如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．知道了首项和递推公式，就能求出数列的每一项了． 【师生活动】教师呈现数列递推公式的定义：“如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式。”学生根据前面对递推公式的认识，对教师呈现的数列递推公式的定义进行理解。教师提醒学生：知道了首项和递推公式，就能求出该数列的每一项了。 思考： 1、相邻多项之间的关系能用递推公式表示吗？ 当不能明显看出数列的项的取值规律时，可以尝试通过运算来寻找规律．如依次取出数列的某一项，减去或除以它的前一项，再对差或商加以观察． 【师生活动】教师提到大名鼎鼎的斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，…引导学生通过观察，发现这个数列第n项等于它的前一项（第项）加上再往前一项（第n-2项）。学生认识到这其实就是相邻三项之间的关系：。教师提醒学生注意：因为下标最小是1，所以这里n≥3。这个数列的递推公式反映的是相邻三项之间的关系。教师向学生介绍：这个数列由意大利数学家斐波那契于1202年提出，它有很多有趣的性质。 2、一个数列的通项公式和递推公式有何联系与区别？ 【师生活动】学生将通项公式和递推公式相比较，发现和刚刚学习的通项公式一样，递推公式也是数列的一种表示方法。只不过通项公式反映的是项与序号之间的对应关系，而递推公式反映的则是相邻两项或多项之间的关系。学生在教师的引导下认识到通项公式和递推公式各有利弊，在数列的研究中都发挥着巨大的作用。 【设计意图】通过具体问题的思考和分析，帮助学生认识数列中的递推公式。发展学生数学抽象和数学建模的核心素养。 问题2：什么是数列的前项和公式？ 在对数列的研究中，求数列某些项的和是主要问题之一．我们把数列从第1项起到第项止的各项之和，称为数列的前项和，记作，即． 【师生活动】教师引导学生顾名思义：一个数列从第1项起到第n项止的各项之和就是该数列的前n项和，记作。如果数列的前n项和与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的前n项和公式。探索数列的求和公式，曾是古代算学家非常感兴趣的问题. 追问：数列的前n项和公式与通项公式有何联系？ 如果数列的前项和与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前项和公式． 显然，而， 于是我们有 【师生活动】教师引导学生观察，发现其中有.如果把留出来，前面的就是前项的和，也就是.如果已知前项和公式，那么把公式中的给换成，就能得到，然后用就可以得到.教师提醒学生注意是前项的和，这里一定是大于或等于2的，所以当时，.学生接着思考的情况，发现就是第1项，所以就等于，于是我们有 . 【设计意图】通过数列的通项与前n项和的认识，帮助学生理解。 环节四：根据新知，简单应用 例4：已知数列的首项为，递推公式为，写出这个数列的前5项. 解：由题意可知， ， ， ， 【师生活动】教师引导学生根据递推公式，令，就得到。同理，令分别等于3，4，5，就可依次求出，，。教师总结：知道了首项和递推公式，就能求出数列的每一项了。 【设计意图】强化递推公式推数列的项，培养学生运算的素养。 例5：已知数列的前n项和公式为，你能求出的通项公式吗？ 解：因为当时，， 当时，， 并且当时，依然成立． 所以的通项公式是． 【师生活动】教师引导学生根据一个数列前n项和公式与通项公式的关系，即，进行求解。教师提醒学生关注的情况是否满足时求出的通项公式，如果不满足，要分开写. 【设计意图】通过具体问题引出通项公式与递推公式之间的关系，强化已知前n项和求通项，帮助学生课堂掌握。 反思感悟： 利用与的关系求通项所应用公式，注意其步骤有三：①求时的项，即； ②求时的表达式； ③验证是否满足时的表达式. 变式训练: 已知数列的前n项和为 (1)求数列的通项公式； (2)求数列前6项和． 【答案】(1)；(2)151 【分析】（1）由与的关系，求数列的通项公式； （2）由直接求数列前6项和． 【详解】（1）数列的前n项和为， 时，， 时，， 不符合， 所以. （2）数列前6项和为. 【设计意图】让学生体会从数列的具体项归纳通项公式的基本方法,认识到得到的通项公式不是唯一的. 环节四：新知再认识，能力提升 题型一：数列的周期性问题 例：已知数列中，，，． (1)求，的值；(2)求的前2023项和． 【答案】(1)； ；(2) 【分析】 （1）由递推公式令和代入即可得出答案； （2）由递推公式可证明数列是以4为周期的周期数列，再由周期数列的性质求解即可. 【详解】（1）当时，，所以；当时，，所以． （2）当时，，所以． 由知，所以，故数列是以4为周期的周期数列， 即，，，， 所以． 反思感悟：利用数列周期性解题的方法（试探+找规律） 先利用所给数列的递推公式,结合数列的首项,求出数列的前几项,通过前几项观察发现数列的周期性,并确定数列的周期,然后再解决相关的问题. 变式训练： 1.在数列中，，，则等于（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】运用代入法，求出数列的若干项，发现具有周期性，根据周期进行求解即可. 【详解】由题意知，，当时，； 当时，；当时，； 当时，；…， 所以数列是周期为3的周期数列，故． 故选：B 2.若数列满足，，，则 . 【答案】2 【分析】根据给定的递推公式求出数列的周期，再计算即可. 【详解】由，得，则， 因此数列是以4为周期的周期数列， 所以. 故答案为：2 题型二：数列最值问题的求解. 例：已知数列的通项公式是，试问数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的项数；若没有，说明理由． 【答案】数列的第8项和第9项为最大项，其值为． 【分析】 根据题意，计算，即可判断. 【详解】因为， 所以当时，；当时，；当时，． 于是，数列的第8项和第9项为最大项，且， 即最大项为. 方法总结：求数列最值的常用方法 (1)利用数列的单调性:根据单调性求数列的最值. (2)通过建立不等式组求解:若设第()项最大,则有解该不等式组确定的值即得数列的最大值（注意）. (3)通过建立不等式组求解:若设第()项最大,则有解该不等式组确定的值即得数列的最小值（注意）. 变式训练： 3.已知数列的前n项和． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的最大项是该数列的第几项． 【答案】(1) (2)第项 【分析】（1）根据求通项即可； （2）根据得到，然后列不等式求最大项即可. 【详解】（1）当时，，不满足上式， 当时，， 故数列的通项公式为. （2）由已知得， 当时，， 则，即， 得，即， 所以当，的最大项为第7项， 又， 所以数列的最大项是该数列的第项. 环节五：凝练升华，课堂小结 问题：请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题： 1. 本节课学习的概念有哪些？ 2. 在解决问题时，用到了哪些数学思想？ 1.判断给定的项是不是数列中的项,实质就是一个解方程的过程.若解得的是正整数,则该项是此数列中的项;否则,就不是此数列中的项. 2.求数列的最大(小)项的两种方法: (1)先判断数列的增减情况,再求数列的最大(小)项; (2)设是最大(小)项,则对任意的,且都成立,解不等式组即可. 3.与的关系: 环节六：布置作业，应用迁移 巩固作业：教科书第9页习题4.1第4、5题 练习（第5页） 4. 已知数列的第1项是1，第2项是2，以后各项由给出. （1）写出这个数列的前5项； （2）利用数列，通过公式构造一个新的数列，试写出数列的前5项. 【答案】（1）a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8；；（2）b12，b2，b3，b4，b5． 【解析】 【分析】（1）根据题中给的递推关系，依次写出数列的前5项． （2）依据（1）中给的an的前5项，通过公式bn求解出数列{bn}的前5项． 【详解】（1）由a1＝1，a2＝2，an＝an﹣1+an﹣2， 得a3＝a2+a1＝2+1＝3， a4＝a3+a2＝2+3＝5， a5＝a4+a3＝3+5＝8； （2）依题意有：b12， b2， b3， b4， b5． 5.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数．他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数，第三行的1，5，12，22称为五边形数．请你分别写出三角形数、正方形数和五边形数所构成的数列的第5项和第6项． 解析：三角形数：第一个数1，第二个数，第三个数，第四个数， 第五个数，第六个数； 正方形数：第一个数，第二个数，第三个数，第四个数，第五个数，第六个数； 五边形数：第一个数1，第二个数，第三个数，第四个数，第五个数，第六个数． 环节七板书设计 4.1.2数列的概念 1.递推关系. 例1. 2.前n项和公式 例2. 3.数列的周期性与最值 例3. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$