4.1数列的概念（第2课时）（教学课件）-【上好课】高二数学选择性必修第二册同步高效课堂（人教A版2019）

·选择性必修第一册· 第四章 数列 4.1数列的概念 (第2课时) 学习目标 （一）课程标准要求 本节内容的学习，可以帮助学生通过对日常生活中实际问题的分析，了解数列的概念；具体的为：通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式),了解数列是一种特殊函数。 1 2 学习目标 能结合具体事例说明数列递推公式的作用；能根据数列的递推公式写出数列的某一项，体会特殊与一般的数学思想 能说出数列的前n项和的含义，能根据数列的前n项和的定义推出数列的通项an与前n项和Sn之间的关系 并能根据这一关系由前n项和公式Sn求通项公式an,体会分类与整合的数学思想. 引入新知 1202年，意大利数学家斐波那契出版了他的《算盘全书》.他在书中收录了一些有意思的问题，其中有一个关于兔子繁殖的问题： 如果1对兔子每月能生1对小兔子(一雄一雌)，而每1对小兔子在它出生后的第3个月里，又能生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，由1对初生的小兔子开始，50个月后会有多少对兔子？ 在第1个月时，只有1对小兔子，过了1个月，那对兔子成熟了，在第3个月时便生下1对小兔子，这时有2对兔子.再过1个月，成熟的兔子再生1对小兔子，而另1对小兔子长大，有3对兔子.如此推算下去，我们可以得到一个表格： 引入新知 由此可知，从第1个月开始，每月末的兔子总对数是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，889，144，…. 新课探究 问题1：图4.1-3中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形。在图中4个大三 角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数 列的一个通项公式。 解：在以上4个图中，着色三角形的个数依次为1，3，9，27， 即所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1. 因此，这个数列的一个通项公式是. 新课探究 追问1：换个角度观察以上4个图形，你能观察出图中三角形的变化规律吗? 追问2：你能根据这个规律说出相邻两个图形中着色三角形个数的关系吗? 追问3：你能用表达式表示这个关系吗? 追问4：以上表达式中的 n 从何值开始取? 追问5： 能否表示出这个数列的所有项? 新课探究 像这样，如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.知道了首项或前几项，以及递推公式，就能求出数列的每一项了. l 数列的递推公式注意事项： (1)两个条件： ①已知数列的第1项(或前几项)； ②从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系 可以用一个公式来表示． 具备以上两个条件的公式叫做这个数列的递推公式． (2)结论： 新课探究 思考：一个数列的通项公式和递推公式有何联系与区别？ 通项公式 递推公式 区别 联系 表示an与n之间的关系 表示an与它的前一项an-1 (或前几项)之间的关系 (1)都是表示数列的一种方法； (2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式. 新课探究 数列的前n项和公式 探索数列的求和公式，曾是古代算学家非常感兴趣的问题． 如果数列的前项和与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前项和公式. 新课探究 问题2：数列的前n项和公式与通项公式有何联系？ 已知Sn求出an依据的是Sn的定义：Sn=a1+a2+…+an，分段求解，然后检验结果能否统一形式，能就写成一个，否则只能写成分段函数的形式. 应用新知 例4 解析 应用新知 规律方法 利用递推关系求解数列的项的方法 递推公式反映的是相邻两项(或 n 项)之间的关系. 对于通项公式，已知 n 的值即可得到相应的项， 而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项. 若项数很大，则应考虑数列是否具有规律. 应用新知 变式训练 答案　AD 解析 所以数列 {an} 是周期为 3 的数列，故a22＝a28＝3. 应用新知 例5 解析 应用新知 规律方法 已知前n项和Sn求通项an的方法 应用新知 变式训练 解析 能力提升 题型一 数列的周期性问题 例题 解析 能力提升 题型一 数列的周期性问题 例题 解析 能力提升 方法总结 利用数列周期性解题的方法（试探+找规律） 先利用所给数列的递推公式,结合数列的首项,求出数列的前几项, 通过前几项观察发现数列的周期性,并确定数列的周期, 然后再解决相关的问题. 能力提升 题型一 数列的周期性问题 变式训练 解析 能力提升 题型一 数列的周期性问题 变式训练 解析 能力提升 题型二 数列最值问题的求解 例题 分析 能力提升 题型二 数列最值问题的求解 例题 解析 能力提升 题型二 数列最值问题的求解 方法总结 求数列最值的常用方法 能力提升 题型二 数列最值问题的求解 变式训练 解析 能力提升 题型二 数列最值问题的求解 变式训练 解析 能力提升 题型二 数列最值问题的求解 变式训练 解析 课堂小结 数列的前n项和 数列的周期性问题 数列的递推关系 数列的递推关系 与前n项和 数列的最值问题 作业布置 巩固作业：教科书第9页习题4.1第4,5题 课后作业答案 教科书第9页习题4.1第4题 课后作业答案 教科书第9页习题4.1第5题 5.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数．他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数，第三行的1，5，12，22称为五边形数．请你分别写出三角形数、正方形数和五边形数所构成的数列的第5项和第6项． 课后作业答案 本课结束 感谢您的聆听 ·选择性必修第一册· 如果用表示第n个月的兔子的总对数，可以看出 这是一个由递推公式给出的数列，称为斐波那契数列. 在对数列的研究中，求数列某些项的和是主要问题之一．我们把数 列从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列的前项和， 记作，即： 于是我们有 显然， 已知数列的前n项和公式为，你能求出的 通项公式吗？ 因为当时，， 当时，， 并且当时，依然成立． 所以的通项公式是． 已知数列{an}的前n项和公式Sn，求通项公式an的步骤： (1)当n＝1时，a1＝S1. (2)当n≥2时，根据Sn写出Sn－1，化简an＝Sn－Sn－1. (3)如果a1也满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式为an＝Sn－Sn－1；如果a1不满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式要分段表示为 an＝ 已知数列的前n项和为 (1)求数列的通项公式；(2)求数列前6项和． （1）数列的前n项和为， 时，， 时，， 不符合，所以. （2）数列前6项和为. 已知数列中，，，． (1)求，的值；(2)求的前2023项和． （1） 当时，，所以； 当时，，所以． 已知数列中，，，． (1)求，的值；(2)求的前2023项和． （2）当时，，所以． 由知，所以， 故数列是以4为周期的周期数列， 即，，，， 所以 在数列中，，，则等于（ ） A． B． C．2 D．3 由题意知，，当时，； 当时，；当时，； 当时，；…， 所以数列是周期为3的周期数列，故． 故选：B 若数列满足，，，则 . 由，得， 则，因此数列是以4为周期的周期数列， 所以. 故答案为：2 已知数列的通项公式是，试问数列有没有 最大项？若有，求出最大项和最大项的项数；若没有，说明理由． 根据题意，计算， 判断数列单调性即可求解. 已知数列的通项公式是，试问数列有没有 最大项？若有，求出最大项和最大项的项数；若没有，说明理由． 因为， 所以当时，；当时，；当时，． 于是，数列的第8项和第9项为最大项，且， 即最大项为. (1)利用数列的单调性:根据单调性求数列的最值. (2)通过建立不等式组求解:若设第()项最大,则有解该 不等式组确定的值即得数列的最大值（注意）. (3)通过建立不等式组求解:若设第()项最大,则有解该 不等式组确定的值即得数列的最小值（注意）. 已知数列的前n项和． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的最大项是该数列的第几项． （1）当时，，不满足上式， 当时，， 故数列的通项公式为. 已知数列的前n项和． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的最大项是该数列的第几项． （2）由已知得， 当时，， 则，即，得， 即， 已知数列的前n项和． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的最大项是该数列的第几项． 所以当，的最大项为第7项， 又， 所以数列的最大项是该数列的第7项. $$