专项2 新考向新题型-北师大版八年级上册期末专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 2 新考向新题型 【新考向：新考法】1．（24·山东威海）定义新运算： ①在平面直角坐标系中， �, � 表示动点从原点出发，沿着�轴正方向（� ≥ 0）或负方向（ � < 0）．平移 � 个单位长度，再沿着�轴正方向（� ≥ 0）或负方向（� < 0）平移 � 个单位长 度．例如，动点从原点出发，沿着�轴负方向平移 2个单位长度，再沿着�轴正方向平移 1个 单位长度，记作 −2,1 ． ②加法运算法则： �, � + �, � = � + �, � + � ，其中�，�，�，�为实数． 若 3,5 + �, � = −1,2 ，则下列结论正确的是（ ） A．� = 2，� = 7 B．� =− 4，� =− 3 C．� = 4，� = 3 D．� =− 4，� = 3 【新考向：新考法】2．（24·内蒙古）定义新运算“⊗”，规定： 2 | |a b a b   ，则 ( 2) ( 1)   的 运算结果为（ ） A．−5 B．−3 C．5 D．3 【新考向：新趋势】3．（24·江苏无锡）《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题（凫：野鸭）， 大意如下：野鸭从南海飞到北海需要 7天，大雁从北海飞到南海需要 9天．如果野鸭、大雁分 别从南海、北海同时起飞，经过多少天相遇？设经过�天相遇，则下列方程正确的是（ ） A． 1 7 � + 1 9 � = 1 B．1 7 � − 1 9 � = 1 C．9� + 7� = 1 D．9� − 7� = 1 【新考向：新趋势】4．（24·四川成都）中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题 目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何？其大意是：今有 人合伙买琎石，每人出 1 2 钱，会多出 4钱；每人出 1 3 钱，又差了 3钱．问人数，琎价各是多少？ 设人数为�，琎价为�，则可列方程组为（ ） 新考法 新趋势 新情境 跨学科 模块导航 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 A． � = 1 2 � + 4 � = 1 3 � + 3 B． � = 1 2 � − 4 � = 1 3 � + 3 C． � = 1 2 � − 4 � = 1 3 � − 3 D． � = 1 2 � + 4 � = 1 3 � − 3 【新考向：新趋势】5．（24·湖北）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个关于“方程” 的问题：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．问牛羊各直金几何？”译文： “今有牛 5头，羊 2头，共值金 10 两．牛 2头，羊 5头，共值金 8两．问牛、羊每头各值金 多少？”若设牛每头值金 x两，羊每头值金 y两，则可列方程组是（ ） A． 5� + 2� = 10 2� + 5� = 8 B． 2� + 5� = 10 5� + 2� = 8 C． 5� + 5� = 10 2� + 5� = 8 D． 5� + 2� = 10 2� + 2� = 8 【新考向：新趋势】6．（24·山东威海）《九章算术》是我国古老的数学经典著作，书中提到 这样一道题目：以绳测井．若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、 井深各几何？题目大意是：用绳子测量水井的深度．如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深 多 4尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多 1尺．绳长、井深各是多少尺？若设绳长 �尺，井深�尺，则符合题意的方程组是（ ） A． 3� − � = 4 4� − � = 1 B． 3� + 4 = � 4� + 1 = � C． � 3 − � = 4 � 4 − � = 1 D． � 3 + 4 = � � 4 + 1 = � 【新考向：跨学科】7．（24·江苏扬州）如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线 与平面镜夹角∠1 = 50°，则反射光线与平面镜夹角 4 的度数为（ ） A．40° B．50° C．60° D．70° 【新考向：跨学科】8．（24·广东深圳）化学实验小组查阅资料了解到：某种絮凝剂溶于水后 能够吸附水中悬浮物并发生沉降，从而达到净水的目的．实验得出加入絮凝剂的体积与净水率 之间的关系如图所示，下列说法正确的是（ ） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 A．加入絮凝剂的体积越大，净水率越高 B．未加入絮凝剂时，净水率为 0 C．絮凝剂的体积每增加 0.1mL，净水率的增加量相等 D．加入絮凝剂的体积是 0.2mL时，净水率达到 76.54% 【新考向：新考法】9．（24·青海）我们规定：若一个正整数�能写成�2 − �，其中�与�都是 两位数，且�与�的十位数字相同，个位数字之和为 8，则称�为“方减数”，并把�分解成�2 − � 的过程，称为“方减分解”．例如：因为 602 = 252 − 23，25与 23的十位数字相同，个位数 字 5与 3的和为 8，所以 602是“方减数”，602分解成 602 = 252 − 23的过程就是“方减 分解”．按照这个规定，最小的“方减数”是 ．把一个“方减数”�进行“方减分解”， 即� = �2 − �，将�放在�的左边组成一个新的四位数�，若�除以 19余数为 1，且 2� + � = �2 （�为整数），则满足条件的正整数�为 ． 【新考向：新趋势】10．（24·重庆）《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》 中最重要的一部，书中第八章内容“方程”里记载了一个有趣的追及问题，可理解为：速度快 的人每分钟走 100米，速度慢的人每分钟走 60米，现在速度慢的人先走 100米，速度快的人 去追他．问速度快的人追上他需要 分钟． 【新考向：新情境】11．（24·北京）为防治污染，保护和改善生态环境，自 2023 年 7 月 1 日 起，我国全面实施汽车国六排放标准 6b 阶段（以下简称“标准”）.对某型号汽车，“标准” 要求�类物质排放量不超过 35mg/km，�，�两类物质排放量之和不超过 50mg/km.已知该型 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 号某汽车的�，�两类物质排放量之和原为 92mg/km.经过一次技术改进，该汽车的�类物质排 放量降低了 50%，�类物质排放量降低了 75%，�，�两类物质排放量之和为 40mg/km，判断 这次技术改进后该汽车的�类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由. 【新考向：新情境】12．（24·湖南长沙）中国新能源产业异军突起．中国车企在政策引导和 支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势，2023 年，中国新能源汽车产销量均突破 900 万辆，连续 9年位居全球第一．在某次汽车展览会上， 工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中 一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图 类型 人数 百分比 纯电 m 54% 混动 n �% 氢燃料 3 �% 油车 5 �% 请根据以上信息，解答下列问题： (1)本次调查活动随机抽取了_____人；表中� =______，� =______； (2)请补全条形统计图； (3)请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数； (4)若此次汽车展览会的参展人员共有 4000 人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料） 汽车的有多少人？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 2 新考向新题型 答案解析 1．B 【分析】本题考查了新定义运算，平面直角坐标系，根据新定义得出 3 + � =− 1,5 + � = 2， 即可求解． 【详解】解：∵ �, � + �, � = � + �, � + � ， 3,5 + �, � = −1,2 ∴3 + � =− 1,5 + � = 2 解得：� =− 4，� =− 3 故选：B． 2．D 【分析】根据新定义的运算求解即可． 【详解】解：∵ 2 | |a b a b   ， ∴( − 2) ⊗ ( − 1) = ( − 2)2 − −1 = 4 − 1 = 3， 故选：D． 【点睛】题目主要考查新定义的运算，理解题意中的运算法则是解题关键． 3．A 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，根据题意可得野鸭的速度为 1 7 ，大雁的速度为 1 9 ， 设经过�天相遇，则相遇时野鸭的路程+大雁的路程=总路程，据此即可列出方程． 【详解】解：设经过�天相遇， 可列方程为： 1 7 � + 1 9 � = 1， 故选：A． 4．B 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组，根据题意列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设人数为�，琎价为�， 根据每人出 1 2 钱，会多出 4钱可得出� = 1 2 � − 4， 每人出 1 3 钱，又差了 3钱．可得出� = 1 3 � + 3， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 则方程组为： � = 1 2 � − 4 � = 1 3 � + 3 ， 故选：B． 5．A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方 程组是解题的关键．因为每头牛值金�两，每头羊值金�两，根据“牛 5 头，羊 2 头，共值金 10 两；牛 2头，羊 5头，共值金 8两”，即可得出关于�、�的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：根据题意得： 5� + 2� = 10 2� + 5� = 8 ． 故选：A． 6．C 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，此题中的等量关系有：①将绳三折测之，绳多四尺； ②绳四折测之，绳多一尺，不变的是井深，据此即可得方程组．正确理解题意，找准等量关系 解题的关键． 【详解】解：设绳长 x尺，井深 y尺， 依题意，得： � 3 − � = 4 � 4 − � = 1 ． 故选：C． 7．B 【分析】本题考查了平行线的性质，根据�� ⊥ ��，∠5 = ∠6，则∠1 = ∠2 = 50°，再结合平行 线的性质，得出同位角相等，即可作答． 【详解】解：如图： ∵一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角∠1 = 50°， ∴�� ⊥ ��，∠5 = ∠6， ∴∠1 + ∠5 = ∠2 + ∠6 = 90°， 则∠1 = ∠2 = 50°， ∵光线是平行的， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 即�� ∥ ��， ∴∠2 = ∠4 = 50°， 故选：B． 8．D 【分析】本题考查从图像上获取信息，能从图像上获得信息是解题的关键，根据图像信息对选 项进行判断即可 【详解】A、从图像上可以看到，加入絮凝剂的体积在 0.5mL达到最大净水率，之后净水率开 始降低，不符合题意，选项错误； B、未加入絮凝剂时，净水率为 12.48%，故不符合题意，选项错误； C、当絮凝剂的体积为 0.3mL时，净水率增加量为 84.60% − 76.54% = 8.06%，絮凝剂的体积 为 0.4mL时，净水率增加量为 86.02% − 84.60% = 1.42%；故絮凝剂的体积每增加 0.1mL， 净水率的增加量不相等，不符合题意，选项错误； D、根据图像可得，加入絮凝剂的体积是 0.2mL时，净水率达到 76.54%，符合题意，选项正 确； 故选：D 9． 82 4564 【分析】本题考查了新定义，设� = 10� + �，则� = 10� + 8 − �（1 9a  ，0 ≤ � ≤ 8）根据 最小的“方减数”可得� = 10, � = 18，代入，即可求解；根据�除以 19余数为 1，且 2� + � = �2（�为整数），得出3�+4�+7 19 为整数，30� + � + 8是完全平方数，在1 9a  ，0 ≤ � ≤ 8，逐 个检验计算，即可求解． 【详解】①设� = 10� + �，则� = 10� + 8 − �（1 9a  ，0 ≤ � ≤ 8） 由题意得：�2 − � = 10� + � 2 − 10� + 8 − � ， ∵1 9a  ，“方减数”最小， ∴� = 1， 则� = 10 + �，� = 18 − �， ∴�2 − � = 10 + � 2 − 18 − � = 100 + 20� + �2 − 18 + � = 82 + �2 + 21�， 则当� = 0时，�2 − �最小，为 82， 故答案为：82； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 ②设� = 10� + �，则� = 10� + 8 − �（1 9a  ，0 ≤ � ≤ 8） ∴� = 1000� + 100� + 10� + 8 − � = 1010� + 99� + 8 ∵�除以 19余数为 1， ∴1010� + 99� + 7能被 19整除 ∴ �−1 19 = 53� + 5� + 3�+4�+7 19 为整数， 又 2� + � = �2（�为整数） ∴2 10� + � + 10� + 8 − � = 30� + � + 8是完全平方数， ∵1 9a  ，0 ≤ � ≤ 8 ∴30� + � + 8最小为 49，最大为 256 即 7 ≤ � ≤ 16 设 3� + 4� + 7 = 19�，�为正整数， 则 1 ≤ � ≤ 3 当� = 1时，3� + 4� = 12，则� = 3 − 3 4 �，则 30� + � + 8 = 30� + 3 − 3 4 � + 8是完全平方数， 又1 9a  ，0 ≤ � ≤ 8，无整数解， 当� = 2时，3� + 4� = 31，则� = 31−3� 4 ,则 30� + � + 8 = 30� + 31−3� 4 + 8是完全平方数，又 1 ≤ � ≤ 9，0 ≤ � ≤ 8，无整数解， 当� = 3时，3� + 4� = 50，则� = 50−3� 4 ，则 30� + � + 8 = 30� + 50−3� 4 + 8是完全平方数， 经检验，当� = 6, � = 8时，3� + 4� + 7 = 3 × 6 + 4 × 8 + 7 = 57 = 19 × 3，30 × 6 + 8 + 8 = 196 = 142，� = 3, � = 14， ∴� = 68, � = 60， ∴� = 682 − 60 = 4564 故答案为：82，4564． 10．2.5 【分析】本题考查了一元一次方程的运用，理解数量关系，列出方程是解题的关键． 根据题意，设需要�分钟追上，则速度快的人的路程等于速度慢的人的路程，由此列式求解即 可． 【详解】解：根据题意，设�分钟追上， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 ∴100 + 60� = 100�， 解得，� = 2.5， ∴速度快的人追上速度慢的人需要 2.5分钟， 故答案为：2.5 ． 11．符合，理由见详解 【分析】本题考查了列一元一次方程解应用题，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 设技术改进后该汽车的 A类物质排放量为�mg/km，则 B 类物质排放量为 40 − � mg/km，根 据汽车的�，�两类物质排放量之和原为 92mg/km建立方程求解即可． 【详解】解：设技术改进后该汽车的 A 类物质排放量为�mg/km，则 B 类物质排放量为 40 − � mg/km， 由题意得： � 1−50% + 40−� 1−75% = 92， 解得：� = 34， ∵34 < 35， ∴这次技术改进后该汽车的�类物质排放量符合“标准”． 12．(1)50；30，6 (2)见解析 (3)108° (4)3600人 【分析】本题考查统计表、条形统计图和扇形统计图的综合，理解题意，能从统计图中获取有 用信息是解答的关键． （1）用喜欢油车人数除以其所占的百分比可求得调查人数，用喜欢氢燃料人数除以调查人数 可求得 b，进而用 1减去喜欢其他车型所占的百分比可求解 a； （2）先求得 n，进而可补全条形统计图； （3）用 360 度乘以喜欢混动所占的百分比即可求解； （4）用总人数乘以样本中喜欢新能源汽车所占的百分比即可求解． 【详解】（1）解：本次调查活动随机抽取人数为 5 ÷ 10% = 50（人）， �% = 3 ÷ 50 × 100% = 6%，则� = 6， �% = 1 − 54% − 6% − 10% = 30%，则� = 30， 故答案为：50；30，6； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 （2）解：∵� = 50 × 30% = 15， ∴补全条形统计图如图所示： （3）解：扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数为 360° × 30% = 108°； （4）解：4000 × 54%+ 30%+ 6% = 3600（人）． 答：估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有 3600 人．