专项10 三角形与双角平分线模型-北师大版八年级上册期末专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 10 三角形与双角平分线模型 答案解析 1．C 【分析】根据角平分线的定义得出∠��� = ∠��� = ∠��� = ∠���，根据平角为 180°可得 ∠��� = 1 4 180° − ∠��� ，从而得出∠��� = 3 4 180° − ∠��� ，同理可得∠��� = 3 4 180° − ∠��� ，然后根据两直线平行同旁内角互补得出∠��� + ∠��� = 180°，代入整理得出 ∠��� +∠��� = 120°，最后根据三角形内角和即可得出答案． 【详解】∵ ��，��分别是△ ���的外角∠���，∠���的角平分线 ∴ ∠��� = ∠���，∠��� = ∠��� ∵ ��，��分别是∠���，∠���的角平分线 ∴ ∠��� = ∠��� = 1 2 ∠���，∠��� = ∠��� = 1 2 ∠��� ∴∠��� = ∠��� =∠��� = ∠��� ∵∠��� +∠���+∠��� +∠��� +∠��� = 180° ∴∠��� = 1 4 180° −∠��� ∴∠��� = 3∠��� = 3 4 180° −∠��� 同理，由于��、 BE分别是 DBG 、∠���的角平分线 ∴ ∠��� = ∠��� = 1 2 ∠���，∠��� = ∠��� = 1 2 ∠��� ∵∠��� =∠��� ∴∠��� =∠��� = ∠��� =∠��� ∵∠��� +∠��� +∠��� +∠��� +∠��� = 180° ∴∠��� = 1 4 180° −∠��� ∴∠��� = 3∠��� = 3 4 180° −∠��� 假设�� ∥ ��，根据两直线平行，同旁内角互补得∠��� +∠��� = 180° 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 即 3 4 180° −∠��� + 3 4 180° −∠��� = 180° 整理得，∠��� +∠��� = 120° ∴∠� = 180° − ∠��� +∠��� = 60° 故选 C． 【点睛】本题考查了角平分线的有关计算、平行线的性质、三角形内角和，根据给出的角平分 线得出∠���和∠���的关系是解题的关键． 2．（1）证明见详解；（2）∠��� = 58°；（3） 4 360     ，证明见详解 【分析】此题重点考查平行线的性质、三角形内角和定理的证明、三角形的一个外角等于与它 不相邻的两个内角的和，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． （1）选择①，延长��到�，过点�作射线��平行于��，则 ,ACE A DCE B      ，所以 A B ACB ACE DCE     180ACB   （2）作�� ∥ ��，则 2 29CRH   ，�� ∥ ��，所以 1 53ARH   ，则 3 29QRH ARH     ， 所以 58QRC QRH CRH     ； （3）延长��交��于点�，延长��交��于点�，则 ELN ETG  ，由 1 2 MNE ENF     ，推 导出 3MNF   ，则 180 180 3FNK MNF      ，所以 3FKN TFN FNK        −180°， 则 180 360FTG FKN        −3�，由∠��� = 1 3 ∠���，得∠��� = 1 4 ∠��� = 1 4 360° − � − 3� ， 而 ELN NET MNE        ，于是得� − � = 1 4 360° − � − 3� 由此即可求解． 【详解】证明∶（1）选择①，证明如下： 如图 2， 延长��到�，过点�作射线�� ∥ ��， , ,ACE A DCE B      A B ACB ACE    180DCE ACB   ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 （2）如图 4， 作�� ∥ ��，则 2 29CRH    ∵ �� ∥ ��， ∴ �� ∥ ��， ∴ 1 53ARH   ， ∵∠3 = 24°， ∴ 3 53 24QRH ARH      = 29°， ∴∠��� =∠��� +∠��� = 29° + 29° = 58°． 故∠��� = 58°． （3） 4 360     ， 证明∶延长��交��于点�，延长��交��于点�，如图 5 ∵ �� ∥ �� ∴ ELN ETG  ， GTF 180FKN   1 , 2 MNE ENF     2 ,ENF   3 ,MNF   180 180FNK MNF    −3�， FKN TFN FNK      − 180° − 3� = � + 3� − 180°， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 180 180FTG FKN    − � + 3� − 180° = 360° − � − 3� 1 , 3 ETG ETF   1 4 ETG FTG   = 1 4 360° − � − 3� ELN NET MNE        ∴ � − � = 1 4 360° − � − 3� , 4 360 .       3．(1)80° (2)�� ∥ ��，证明见解析 (3)能，理由见解析 【分析】（1）根据平行线的性质，角平分线的定义，结合平角的定义即可求解； （2）设∠ACB=∠O=β，根据四边形内角和定理，角平分线的定义可得∠CAE= 1 2 ∠MAC， ∠CBF= 1 2 ∠NBC，∠CAE+∠CBF= 1 2 ∠MAC+ 1 2 ∠NBC=β，可得∠CBF=β-∠CAE，过点 C作 CD∥AE，根 据平行线的性质和平行线的判定即可求解； （3）由 SAS 可证△AOC≌△BOC，△ACP≌△BCP，再根据全等三角形的性质和角平分线的性质 即可求解． 【详解】（1）解：∵�� ∥ ��， ∴∠MAE=∠O=50°， ∵AE 平分∠MAC， ∴∠CAE=∠MAE=50°， 又∵∠OAC+∠CAE+∠MAE=180°， ∴∠OAC=180°-（∠CAE+∠MAE）=80°； （2）解：�� ∥ ��．理由如下： 设∠ACB=∠O=β， 在四边形 AOBC 中，∠O+∠OAC+∠ACB+∠OBC=360°， ∴∠OAC+∠OBC=360°-2β， ∴∠MAC+∠NBC=180°-∠OAC+180°-∠OBC =360°-（∠OAC+∠OBC） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 =360°-（360°-2β） =2β， ∵AE、BF 分别是∠MAC、∠NBC 的角平分线， ∴∠CAE= 1 2 ∠MAC，∠CBF= 1 2 ∠NBC， ∴∠CAE+∠CBF= 1 2 ∠MAC+ 1 2 ∠NBC=β， ∴∠CBF=β-∠CAE， 过点 C作�� ∥ ��， ∴∠CAE=∠ACD， ∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=β-∠CAE， ∴∠CBF=∠BCD， ∴�� ∥ ��， ∴�� ∥ ��； （3）解：OC、AE、BF 三线共点．理由如下： 设 AE 与 OC 相交于点 P，连结 BP． ∵OC 是∠MON 的角平分线， ∴∠AOC=∠BOC， 在△AOC 和△BOC 中， �� = �� ∠��� = ∠��� �� = �� ， ∴△AOC≌△BOC（SAS）， ∴∠ACO=∠BCO，∠CAO=∠CBO，AC=BC， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 ∵∠ACO=∠BCP，∠BCO=∠ACP， ∴∠ACP=∠BCP， 在△ACP 和△BCP 中， �� = �� ∠��� = ∠��� �� = �� ， ∴△ACP≌△BCP（SAS）， ∴∠CAP=∠CBP， ∵∠CAO=∠CBO，∠CAO+∠CAM=180°，∠CBO+∠CBN=180°， ∴∠MAC=∠NBC， ∵AE 平分∠MAC， ∴∠CAP=∠CBP= 1 2 ∠MAC= 1 2 ∠NBC， 同理∠CBP= 1 2 ∠NBC， ∴BP 平分∠NBC， 又∵∠NBC 的角平分线 BF 是唯一的， ∴P点在 BF 上， 即 OC、AE、BF 三线共点． 【点睛】此题考查了平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、四边 形的内角和等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 4．（1）135°；（2）不变， � 2；（3）60°或 45° 【分析】（1）由角平分线的性质分别求解∠CAB 与∠CBA 的大小，再通过三角形内角和定理求 值． （2）由三角形的外角定理及角平分线的性质求出∠3+∠4=∠1+∠2+α，∠4=∠2+∠D，再通过 加减消元求出α与∠D的等量关系． （3）先通过角平分线的性质求出∠FBD 为 90°，再分类讨论有一个角是另一个角的 3倍的情 况求解． 【详解】解：（1）∵ ��、��分别是 BAO 和∠���的角平分线， 1 25 2 CAB BAO    ， 1 20 2 CBA ABO    ， 180 135ACB CAB CBA        ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 （2）∠���的大小不发生变化，理由如下：如图， ∵ ��平分 BAO ，��平分∠���，��平分 OBE ， ∴ ∠1 = ∠2，∠5 = ∠6，∠3=∠4， OBE 是����的外角， OBE OAB AOB     ， 即 3 4 1 2         ①， DBE 是����的外角， DBE BAD D    ， 即 4 2 D    ②， 由①−2 ×②得 2 0D    ， 解得 2 D   ． （3）如图， ∵ ��平分∠���，��平分 OBE ，��平分∠���， ∴ ∠1 = ∠2，∠3=∠4， 15 452 BOQ    ， 1 11 3 ( 1 2 3 4) 180 90 2 2 FBD                 ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 OBE 是 AOB 的外角， 3 4 2 3 BAO AOB         ， 2 3 90BAO    ． ①当 1 30 3 F FBD    时， 90 60D F      ， 3 5 180D       ， 3 180 5 135 75D D            ， ∴ ∠��� = 2∠3 − 90° = 60°． ②当 1 30 3 D FBD    时， 3 180 5 135 105D D            ， ∴ ∠��� = 2∠3 − 90° = 120°． 120 90  ，不符合题意． ③当 1 3 F D   时， 1 4 90 3 3 F D D D D          ， 解得 67.5D  ， 3 180 5 135 67.5D D            ， ∴ ∠��� = 2∠3 − 90° = 45°． ④当 1 3 D F   时，∠� = 3∠�， 4 90F D D      ， 解得∠� = 22.5°， 3 180 5 135 112.5D D            ， ∴ ∠��� = 2∠3 − 90° = 135°，不符合题意． 综上所述，∠��� = 60°或 45°． 【点睛】本题考查三角形的内角和定理与外角定理以及角平分线的性质，解题关键是熟练掌握 三角形内角和与外角定理，通过分类讨论求解． 5．（1）证明见解析；（2） 70F  ；（3）199.5 【分析】（1）根据三角形外角的性质及角平分线的定义，即可得到答案 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 （2）先推导出 1 202AEC ABC    ，再推导出 90EAC FAC   ，进而可以求解 （3）延长BA，CD交于点 M，延长CE、 BF交于点 N，可得 12N M   ，进而即可求解 【详解】解：（1）如图， ∵点 E是 ABC 内角 ACB 平分线CE与外角 ABD 的平分线 BE的交点 ∴ ACE ECB  ， ABE EBD   ， ∵ 2ABD A ACB A ECD        ， EBD E ECD    ， 2ABD EBD   ， ∴ 2 2 2E ECD A ECD       ， ∴ 2A E   ； （2）如图， ∵ 40ABC  ， BAC 、 CAG 的角平分线与 BCH 的角平分线及其反向延长线交于 E、F， ∴ 1 20 2 AEC ABC    ， ∴  1 1 180 90 2 2 EAC FAC BAC CAG         ； ∴ 180 90 20 70F      ； （3）延长BA，CD交于点 M，延长CE、 BF交于点 N， 如图所示， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 ∵ BF、CE平分 ,ABG DCB  1 2 N M   ， ∵ 150 ∠BAD ， 70ADC  ， ∴    180 180 152 180 67 39M         ， ∴ 19.5N  ， ∵ 180NFE NEF N    ， ∴  360 180 19.5 199.5AEF BFE       ； 故答案为：199.5． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义，掌握三角 形外角的性质，是解题关键． 6．(1)115，25； (2)不变化， 190 2 DPC   ， 1 2 Q   ； (3)60或90或120． 【分析】（1）先求出 80ACB  ，根据角平分线的定义及平行线的性质得 35BCP   ， 30PDG  ， 然后根据三角形的内角和定理可得出 DPC 的度数；根据角平分线的定义及邻补角的定义得 90PCQ  ，进而可得出 Q 的度数； （2）根据角平分线的定义及平行线的性质得 1 ( )2PDG PGD B ACB       ，根据三角形内角和定 理得 180B ACB       ，则 190 2 PDG PGD       ，进而可得出 DPC 的度数；然后根据 90PCQ   可得出 Q 的度数； （3）由（1）（2）可知 190 2 QPC    ， 1 2 Q   ， 90PCQ  ，根据当若 PCQ△ 中存在一个 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 内角等于另一个内角的 2倍，有以下 4中情况：①当 2PCQ Q   时，②当 2PCQ QPC   时，③ 当 2QPC Q   时，④当 2Q QPC   时，根据每一种情况求出 的值即可得出 A 的度数． 本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，准确识图，理解角平分线定义， 熟练掌握平行线的性质，灵活运用三角形的内角和定理进行计算是解决问题的关键． 【详解】（1）解： 在 ABCV 中， 50A  ， =60B ， 180 ( ) 70ACB A B       ， CP 平分 ACB ， 1 35 2 BCP ACP ACB       ， DE BC ∥ ， 60ADE B    ， 35BCPPGD    ， DP 平分 ADE ， 1 30 2 PDG ADE    ， 在Rt DPG 中， 180 ( ) 180 (30 35 ) 115DPC PDG PGD             ； 180 65QPC DPC     ， CP 平分 ACB ，CQ平分 ACF ， 1 2 ACP ACB   ， 1 2 ACQ ACF   ， 1 ( ) 2 PCQ ACP ACQ ACF ACB         ， 180ACF ACB     90PCQ  ， 在 PCQ△ 中， 180 ( ) 180 (90 65 ) 25Q PCQ QPC             ， 故答案为：115； 25； （2）解： DPC 、 Q 均不发生变化， 190 2 DPC   ， 1 2 Q   ，理由如下： DE BC ∥ ， ADE B   ， PGD BCP   ， DP 平分 ADE ，CP平分 ACB ， 1 1 2 2 PDG ADE B     ， 1 2 PGD BCP ACB    ， 1 ( ) 2 PDG PGD B ACB     ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 在 ABC 中， A   ， 180B ACB       ， 190 2 PDG PGD       ， 在 DPG△ 中， 1 1180 ( ) 180 (90 ) 90 2 2 DPC PDG PGD                 ， 1 1180 180 (90 ) 90 2 2 QPC DPC               ， 由（1）可知： 90PCQ  ， 在 PCQ△ 中， 1 1180 ( ) 180 (90 90 ) 2 2 Q PCQ QPC                 ； （3）解：由（1）（2）可知：在△ PCQ中， 190 2 QPC    ， 1 2 Q   ， 90PCQ  ， 当若 PCQ△ 中存在一个内角等于另一个内角的 2倍时，有以下 4中情况： ①当 2PCQ Q   时，则 190 2 2    ， 解得： 90  ； ②当 2PCQ QPC   时，则 190 2(90 ) 2     ， 解得： 90  ； ③当 2QPC Q   时，则 1 190 2 2 2      ， 解得： 60  ； ④当 2Q QPC   时，则 1 12(90 ) 2 2     ， 解得： 120  ， 综上所述：若 PCQ△ 中存在一个内角等于另一个内角的 2倍时， A 的度数为60或90或120， 故答案为：60或90或120． 7．(1) 40  BFD (2) 130BFC   (3) 1 1180 2 2 PHC BFC       或 1 1 2 2 PHC BFC      【分析】本题考查角平分线的定义，三角形的内角和定理，折叠的性质，熟知相关知识是解题 的关键． （1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 （2）先由折叠的性质和平角的定义得到 80A  ，进而求出 100ABC ACB   ，同（1）即可 得到答案； （3）当两种情况画图，讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵ 100A  ， ∴ 180 180 100 80ABC ACB A        ， 又∵ BE，CD分别平分 ABC ACB 、 ， ∴ 1 2 EBC ABC   ， 1 2 DCB ACB   ， ∴  1 1 1 1 80 40 2 2 2 2 EBC DCB ABC ACB ABC ACB             ， ∴ 40BFD EBC DCB    ； （2）解：∵ 1 2 160   ， ∴  360 1 2 360 160 200AMF ANF          ， 由折叠可得： 1 2 AMN AMF   ， 1 2 ANM ANF   ， ∴  1 1 200 100 2 2 AMN ANM AMF ANF         ， ∴  180 180 100 80A AMN ANM         ， ∴ 180 180 80 100ABC ACB A        ， 又∵ BF，CF分别平分 ABC ACB 、 ， ∴ 1 2 FBC ABC   ， 1 2 FCB ACB   ， ∴ 1 1 1 1 1 100 50 2 2 2 2 2 FBC FCB ABC ACB ABC ACB                   ， ∴  180 180 50 130BFC EBC DCB         ； （3）解：如图，设CH与 PQ相交于点 G， ∴ 180 180APQ A AQP A        ， 又∵PH平分 APQ ， ∴  1 1 180 2 2 HPQ APQ A       ， ∵ BF，��分别是 ABC 和 ACB 的平分线， ∴ 1 2 FBC ABC   ， 1 2 FCB ACB   ， ∴    1 1 1 1 180 2 2 2 2 FBC FCB ABC ACB ABC ACB A           ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 14 1 2 PGH CGQ AQP ACF          ， ∴    1 1180 180 180 90 2 2 BFC FBC FCB A A             ，  1 1 1 1 1180 180 180 90 2 2 2 2 2 PHC HPQ PGH A A                       ， ∴ 1 1 2 2 PHC BFC      ； 如图，设直线PH交 AC于点 G， 180 180APQ A AQP A        ， 又∵PG平分 APQ ， ∴  1 1 180 2 2 GPQ APQ A       ， ∴  1 180 2 AGP GPQ GQP A          ， ∵ BF，��是 ABC 和 ACB 的平分线， ∴ 1 2 FBC ABC   ， 1 2 FCB ACB   ， ∴    1 1 1 1 180 2 2 2 2 FBC FCB ABC ACB ABC ACB A           ， ∴    1 1180 180 180 90 2 2 BFC FBC FCB A A             ，  1 1180 2 2 PHC AGH ACH A            ， ∴  1 1 1 1 1180 90 180 2 2 2 2 2 PHC BFC A A                   ； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15 综上所述， PHC 与 BFC 之间的数量关系为 1 1180 2 2 PHC BFC       或 1 1 2 2 PHC BFC      ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 10 三角形与双角平分线模型 1．如图，��，��分别是△ ���的外角∠���，∠���的角平分线；��，BE分别是∠���，∠��� 的角平分线；��，��分别是∠���， DBG 的角平分线．当∠� =（ ）时，�� ∥ ��． A．45° B．50° C．60° D．120° 2．【问题初探】 （1）在张老师的课堂上，正引导学生证明“三角形内角和定理”，如图 1，已知：△���．求 证：∠� +∠� +∠� = 180°，结合之前拼摆的实践操作经验，学生们多用于下列两种证明思 路： ①如图 2，延长��到�，过点�作射线�� ∥ ��，相当于把∠�，∠�都移到了顶点�的位置，利用 图形特点获得∠�，∠�，∠�的数量关系； ②如图 3，过点�作直线�� ∥ ��，相当于把∠�，∠�都移到了顶点�的位䈯，再利用图形特点 获得∠�，∠�，∠�的数量关系； 请你选择上述的一种证明思路，并写出证明过程． 【类比分析】 （2）在回顾解题思路时，张老师带领同学们重点总结了转化思想，两种解题思路都利用了“平 行线”的等角转化的功能；为了帮助学生更好地感悟转化思想，将图 3进行了变换并提出了下 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 面问题，请你解答． 如图 4，已知△���，过点�作直线�� ∥ ��，R为线段��上一点，连接��，��，若∠1 = 53°， ∠2 = 29°，∠3 = 24°，求∠���的度数． 【学以致用】 （3）如图 5，�� ∥ ��，∠��� = 1 2 ∠���，∠��� = 1 3 ∠���，若∠��� = �，∠� = �，∠� = �， 请你判断�，，�三者之间的数量关系，并证明你的结论． 3．如图，点 A、B分别在射线 OM、ON 上，点 C为∠MON 内一点，连结 AC、BC．分别作∠MAC、 ∠NBC 的角平分线 AE、BF． (1)若∠O＝50°，�� ∥ ��．试求出∠���的度数； (2)当∠ACB＝∠O时，射线 AE 与 BF 是否存在特殊的位置关系？若存在，试写出 AE 与 BF 的位 置关系并证明；若不存在，请说明理由； (3)当 OA＝OB，点 C恰好是∠MON 的角平分线与 AB 的交点时，射线 OC、AE、BF 是否能相交于 同一点（“三线共点”）？请说明理由． 4．如图 1，直线 m与直线 n相交于 O，点 A在直线 m上运动，点 B 在直线 n上运动，AC、BC 分别是∠BAO 和∠ABO 的角平分线． （1）若∠BAO=50º，∠ABO=40º，求∠ACB 的度数； （2）如图 2，若∠AOB=α，BD 是△AOB 的外角∠OBE 的角平分线，BD 与 AC 相交于点 D，点 A、 B在运动的过程中，∠ADB 的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化， 试求出其度数（用含α的代数式表示）； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 （3）如图 3，若直线 m与直线 n相互垂直，延长 AB 至 E，已知∠ABO、∠OBE 的角平分线与 ∠BOQ 的角平分线及延长线分别相交于 D、F，在△BDF 中，如果有一个角是另一个角的 3倍， 请直接写出∠BAO 的度数． 5．综合与实践 【结论发现】三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内 角度数的一半． 【结论探究】（1）如图 1，在 ABC 中，点 E是 ABC 内角 ACB 平分线CE与外角 ABD 的平 分线 BE的交点，则有 1 2   E A，请给出证明过程； *请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题： 【简单应用】（2）如图 2，在 ABC 中， 40ABC  ．延长BA至G，延长 AC至H．已知 BAC CAG 、 的角平分线与 BCH 的角平分线及其反向延长线交于 E F、 ，求 F 的度数； 【变式拓展】（3）如图 3，四边形 ABCD的内角 BCD 与外角 ABG 的平分线形成如图所示形状．已 知 152 , 67 , _______A D E F         ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 6．如图，在 ABC 中，点 D在��上，过点 D作DE BC∥ ，交 AC于点 E．DP平分 ADE ，交 ACB 的平分线于点 P，CP与DE相交于点 G， ACF 的平分线CQ与DP的延长线相交于点 Q． (1)若 50 60A B     ， ，则 DPC _____°， Q  _____°； (2)若 A   ，当 B 的度数发生变化时， DPC Q ， 的度数是否发生变化？若要变化，说明理 由；若不变化求出 DPC Q ， 的度数（用 的代数式表示）； (3)若 PCQ△ 中存在一个内角等于另一个内角的 2倍，则所有符合条件的 A 的度数为_____． 7．在 ABC 中， ABC ， ACB 的角平分线 BE，CD交于点 F． (1)【问题呈现】如图 1，若 100A  ，求 BFD 的度数； (2)【问题推广】如图 2，将 ABC 沿MN折叠，使得点A与点 F重合，若 1 2 160   ，求 BFC 的度数； (3)【问题拓展】若 P，Q分别是线段 AB，AC上的点，设 AQP ， ACB   ．射线CF与 APQ 的平分线所在的直线相交于点H（不与点 P重合），直接写出 PHC 与 BFC 之间的数量关系 （用含 ， 的式子表示）．