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专项 9 平行线综合与拐点模型
1.已知,小明将一副直角三角板按如图所示的方式摆放,其中△ ���是一个角 ∠� 等于 45°
的直角三角板,△ ���是一个角 ∠� 等于 30°的直角三角板,小明摆放时确保点�在线段��
上,��与��相交于点�,且∠��� = 105°.
(1)判断��,��的位置关系,并说明理由;
(2)直接写出图中等于 75°的角.
2.综合与实践
【动手操作】
数学活动课上,老师让同学们探究用尺规作图作一条直线的平行线.已知:如图 1,直线 l及
直线 l外一点 A.求作:直线��,使得�� ∥ �.小明同学设计的做法如下:
①在直线 l上取两点 B、C,连接��,以点 B为圆心,小于��的长度为半径作弧,交线段��
于点 D,交线段��于点 E;
②分别以点 D和 E为圆心,以大于
1
2
��的长为半径作弧,两弧在∠���内交于点 F,作射线 BF;
③以点 A为圆心,��的长为半径作弧,交射线 BF于点 P,作直线��.
则直线��平行于直线 l.
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2
(1)根据小明同学设计的尺规作图过程,在图 2中补全图形;(要求:尺规作图并保留作图
痕迹)
【验证证明】
(2)请证明直线�� ∥ �;
【拓展延伸】
(3)已知:如果两条直线平行,则其中一条直线上任意两点到另外一条直线的距离相等.在
图 2中连接��,��,请直接写出△ ���与△ ���的面积关系_______;
【应用实践】
(4)某市政府为发展新能源产业,决定在如图 3所示的四边形����空地上划出 20km2区域用
于建设新能源产业发展基地.已知在四边形����中,∠��� = 45°,∠� = 90°,�� = 8km,
5BC km.为便于运营管理,某公司向政府提出在线段��上取一点 E使得四边形����的面积
为 20km
2
,则�� =______km.
3.在△ ���中,点�在线段��上,�� ∥ ��交��于点�,点�在线段��上(点�不与点�,�,�
重合),连接��,过点�作�� ⊥ ��交射线��于点�.
(1)如图,当点�在线段 BE上时:
①求证: EDF BGF DFG ;
②求证:∠��� +∠��� −∠��� = 90°;
(2)当点�在线段��上时,请直接用等式表示∠���与∠���的数量关系.
4.【发现问题】如图①,小明同学在做光的折射实验时发现:平行于主光轴��的光线��和��
经过凹透镜的折射后,折射光线��,��的反向延长线交于主光轴��上一点�.
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3
【提出问题】
小明提出:∠���,∠���和∠���三个角之间存在着怎样的数量关系?
【分析问题】
已知平行,可以利用平行线的性质,把∠���分成两部分进行研究.
【解决问题】
探究一:请你帮小明解决这个问题,并说明理由.
探究二:如图②,∠�,∠���,∠���的数量关系为______;如图③,已知,∠��� = 25°,∠� =
60°,�� ∥ ��,则∠��� =______°.(不需要写解答过程)
【拓广提升】
利用探究一得到的结论解决下列问题:
如图④,射线��,��分别平分∠���和∠���,��交直线��于点�,��与∠���内部的一条
射线��交字点�,若 2P F ,求 FME 的度数.
5.如图,已知直线�� ∥ ��,直线 l与��、��分别交于点 A、点 C.
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(1)如图 1,点 E在线段��上,连接 BE、��.求证: ABE CDE BED ;
(2)如图 2,点 E在线段��的延长线上,连接��,过点 B作�� ∥ ��,试画出图形并直接写出
∠���与∠���的数量关系;
(3)如图 3,点 E在��、��之间且��平分∠���,∠��� = ∠���,以点 E为圆心,��为半径
画弧,交��于点 K,若∠��� = 106°,求∠���的度数.
6.�� ∥ ��,点 E、F分别在��、��上;点 O在直线��、��之间,且∠��� = 80°
(1)如图 1,①若 20OFC ,求∠���的度数;
②若∠��� = �,请你直接写出 OFC AEO ________;
(2)如图 2,直线��分别交∠���、∠���的角平分线于点 M、N,求∠���−∠���的值
(3)如图 3,��在∠���内,∠��� = �∠���;��在∠���内,∠��� = �∠���,直线��分
别交��、��分别于点 M、N,且∠��� −∠��� = 80°,直接写出 m的值
7.已知直线�� ∥ ��,点�在��、��之间,点�、�分别在直线��、��上,连接��、 EQ.
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(1)如图 1,直接写出∠���、∠���、∠���之间的数量关系;
(2)如图 2, PF平分∠���,��平分∠���,当∠��� = 150°时,求出∠���的度数;
(3)如图 3,若点�在��的下方,PF平分∠���,��平分∠���,��的反向延长线交 PF于点�,
当∠��� = 60°时,直接写出∠���的度数.
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专项 9 平行线综合与拐点模型
答案解析
1.(1)�� ∥ ��,理由见解析
(2)∠��� = ∠��� = ∠��� = 75°
【分析】(1)根据邻补角求得∠��� = 75°.再根据三角形的外角性质∠��� = 75° − 45° =
30° = ∠�,最后根据平行线的判定可得�� ∥ ��.
(2)由对顶角相等可得∠��� = ∠��� = 75°,再根据平行线的性质可得∠��� = 175°,从而即
可得解.
【详解】(1)解:��,��的位置关系是�� ∥ ��;
理由如下: 105AFE ,
75AFC .
∵ ∠���是△ ���的一个外角,
AFC ECB B ,
又 45B , 30E ,
75 45 30ECB E ,
∴ �� ∥ ��.
(2)解:∵∠��� = 75°.
∴∠��� = ∠��� = 75°,
∵�� ∥ ��.∠� = 60°,
∴∠��� = 180° − 60° = 120°,
∵∠��� = 45°,
∴∠��� = 120° − 45° = 75°.
∴图中等于 75°的角有三个, AFC EFB ACD .
【点睛】本题主要考查了三角板中的角度计算,平行线的性质,对顶角相等以及三角形的外角
性质,熟练掌握平行线的性质,对顶角相等以及三角形的外角性质是解题的关键。
2.(1)见解析;(2)见解析;(3)����� = �����;(4)3
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【分析】(1)根据作图过程补全图形即可;
(2)根据作图过程得出∠��� = ∠���,�� = ��,根据等腰三角形的性质得出∠��� = ∠���,
可得∠��� = ∠���,根据平行线的判定定理即可得结论;
(3)根据平行线间距离相等结合三角形面积公式即可得答案;
(4)过点�作�� ∥ ��交��于�,连接��、��,根据平行线的性质得出△ ���是等腰直角三角
形,根据线段的和差关系得出�� = 3,由(3)的结论可得出�△��� = �△���,即可得出
�四边形���� = �△��� = 20,即可得出点�与点�重合,进而得出 AE AF ,可得答案.
【详解】解:(1)补全图形,如图所示:
(2)证明:由作图步骤可知 BF 为∠ABC 的角平分线
∴∠��� = ∠���,
∵以点 A为圆心,��的长为半径作弧,交射线 BF于点 P,
∴�� = ��,
∴∠��� = ∠���,
∴∠��� = ∠���,
∴�� ∥ �.
(3)如图,分别过点�、点�作�� ⊥ ��于�,�� ⊥ ��于�,
∵如果两条直线平行,则其中一条直线上任意两点到另外一条直线的距离相等,
∴�� = ��,
∵�△��� =
1
2
�� ⋅ ��,�△��� =
1
2
�� ⋅ ��,
∴����� = �����.
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故答案为:����� = �����
(4)如图,过点�作�� ∥ ��交��于�,连接��、��,
∵∠��� = 45°,
∴∠��� = ∠��� = 45°,
∵∠� = 90°,
∴∠��� = 45°,△���是等腰直角三角形,
∴�� = �� = 5,�� = �� − �� = 3,
∵�� ∥ ��,
∴由(3)可知,�△��� = �△���,
∴�四边形���� = �△��� + �△��� = �△��� + �△��� = �△��� =
1
2
× 8 × 5 = 20,
∴点�符合四边形����的面积为 20km2的条件,即点�与点�重合,
∴�� = �� = 3.
【点睛】本题考查尺规作图——作角平分线,平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质
及三角形面积的计算,熟练掌握平行线的性质及等腰三角形的性质,正确作出辅助线是解题关
键.
3.(1)①见解析;②见解析;
(2)∠��� − ∠��� = 90°或∠��� +∠��� = 90°;
【分析】本题考查三角形内角和定理,平行线的性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助
线,构造平行线解决问题.
(1)①如图 1中,过点�作�� ∥ ��交��于点H,利用平行线的性质求解即可;
②过点�作�� ∥ ��交��于点H,利用平行线的性质求解即可;
(2)作出图形,利用平行线的性质,以及三角形的外角的性质求解即可.
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【详解】(1)①证明:如图 1中,过点�作�� ∥ ��交��于点H,
∵�� ∥ ��,
∴�� ∥ ��,
∴∠��� = ∠1,
∵�� ∥ ��,
∴∠��� = ∠2.
∵�� ⊥ ��,
∴∠��� = 90°,
∴ 1 2 90 ,
∴∠��� +∠��� = 90° = ∠���.
②证明: 如图 2, 过点�作�� ∥ ��交��于点H,
∴∠��� = ∠���,
∴∠��� = ∠1 +∠3,
∴∠3 = ∠��� −∠1,
∵∠��� = ∠1,
∴∠3 = ∠��� −∠���,
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∵�� ⊥ ��,
∴∠��� = 90°,
∴∠��� +∠3 = 90°,
∴∠3 = 90° −∠���,
∴90° −∠��� = ∠��� −∠���,
∴∠��� +∠��� −∠��� = 90°.
(2)解:设��交��于�,如图 3,
∵�� ∥ ��,
∴∠��� = ∠���,
∵∠��� = ∠��� + ∠���,∠��� = 90°,
∴∠��� −∠��� = 90°,
当点�在��的延长线上时,同法可证∠��� +∠��� = 90°,如图 4:
4.解决问题:[探究一]∠��� = ∠��� + ∠���;[探究二] P AMP CNP ,145;[拓广提
升]∠��� = 90°
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【分析】本题考查平行线的性质、三角形的外角性质,关键是由平行线的性质推出∠��� =
∠��� +∠���,由此结论来解决问题.
探究一:由平行线的性质推出∠��� = ∠���,∠��� = ∠���,得到∠��� +∠��� =
∠��� +∠���,即可解决问题;
探究二:如图②,由平行线的性质推出∠��� = ∠���,由三角形外角的性质即可得到
∠��� = ∠� +∠���;
如图③,由平行线的性质推出∠��� = ∠� = 60°,求出∠��� = 180° − ∠��� = 120°,由三角
形外角的性质得到∠��� = ∠� +∠��� = 145°;
如图④,由探究一的结论得到∠� = ∠��� + ∠��� + ∠��� + ∠���,∠� = ∠��� + ∠���,
而 2P F ,推出∠��� = 1
2
∠���,又∠��� = 1
2
∠���,得到∠��� = 1
2
∠��� = 90°.
【详解】解:[探究一]:∠��� = ∠��� +∠���,理由如下:
如图①,
∵�� ∥ �� ∥ ��,
∴∠��� = ∠���,∠��� = ∠���,
∴∠��� +∠��� = ∠��� +∠���,
∴∠��� = ∠��� +∠���.
[探究二]如图②,
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∠��� = ∠� +∠���,理由如下:
∵�� ∥ ��,
∴∠��� = ∠���,
∵∠��� = ∠� +∠���,
∴∠��� = ∠� +∠���.
如图③,延长��交��于 L,
∵�� ∥ ��,
∴∠��� = ∠� = 60°,
∴∠��� = 180° −∠��� = 120°,
∴∠��� = ∠� +∠��� = 25° + 120° = 145°.
故答案为:∠��� = ∠� +∠���,145.
[拓广提升]∵射线��,��分别平分∠���和∠���,
∴∠��� = 1
2
∠���,∠��� = ∠���,
如图④,
由探究一的结论得:∠� = ∠��� +∠��� +∠��� +∠���,∠� = ∠��� +∠���,
∵ 2P F ,
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∴∠��� +∠��� +∠��� +∠��� = 2∠��� + 2∠���,
∵∠��� = ∠���,
∴∠��� +∠��� = 2∠���,
∴∠��� = ∠��� = 1
2
∠���,
∴∠��� +∠��� = 1
2
∠��� +∠���
∴∠��� = 1
2
∠��� = 1
2
× 180° = 90°.
5.(1)证明见解析;
(2)∠��� = ���或∠��� +∠��� = 180°;
(3)37°
【分析】(1)过点�作�� ∥ ��,由平行线的性质得出∠��� = ∠���,∠��� = ∠���,即
可证明结论;
(2)分两种情况讨论:①当点�在��下方时;②当点�在��上方时,利用平行线的性质和三
角形内角和定理分别求解,即可得到答案;
(3)证明△ ��� ≌△ ��� AAS ,得到∠��� = ∠���,再利用平行线的性质和三角形内角和定
理,得出∠��� + ∠��� = ∠���,进而得到∠��� = 2∠��� + 2∠���,由等腰三角形的性质,
得出∠��� = 180° − 2∠���,最后由∠��� + ∠��� + ∠��� = 360°,即可求出∠���的度数.
【详解】(1)证明:如图,过点�作�� ∥ ��,
∴ ∠��� = ∠���,
AB CD∥ ,
∴ �� ∥ ��,
∴ ∠��� = ∠���,
∴ ∠��� +∠��� = ∠��� +∠���,
即 ABE CDE BED ;
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(2)解:①如图,当点�在��下方时,��与直线�交于点�,
AB CD∥ ,
∴ ∠��� = ∠���,
∵ �� ∥ ��,
∴ ∠��� = ∠���,
∵ ∠��� = ∠���,
∴ ∠��� = ∠���,
∴ ∠��� = 180° −∠��� −∠��� = 180° −∠��� −∠��� = ���,
即∠��� = ���;
②如图,当点�在��上方时,延长MB交直线�交于点�,
同①理可得:∠��� = ∠���,
∵ ∠��� +∠��� = 180°,
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∴ ∠��� +∠��� = 180°,
综上可知,∠���与∠���的数量关系为∠��� = ���或∠��� +∠��� = 180°;
(3)解:∵ ��平分∠���,
∴ ∠��� = ∠���,
在△ ���和△���中,
∠��� = ∠���
∠��� = ∠���
�� = ��
,
∴△ ��� ≌△ ��� AAS ,
∴ ∠��� = ∠���,
AB CD∥ ,
∴ ∠��� +∠��� = 180°,
∴ 2∠��� +∠��� +∠��� = 180°,
∵ ∠��� +∠��� +∠��� = 180°,
∴ ∠��� +∠��� = ∠���,
∴ ∠��� = 2∠��� = 2∠��� + 2∠��� = 2∠��� + 2∠���,
∵以点 E为圆心,��为半径画弧,
∴ �� = ��,
∴ ∠��� = ∠���,
∴ ∠��� = 180° −∠��� −∠��� = 180° − 2∠���,
∵ ∠��� + ∠��� + ∠��� = 360°,且∠��� = 106°,
∴ 180° − 2∠��� + 2∠��� + 2∠��� + 106° = 360°,
∴ ∠��� = 37°.
【点睛】本题考查了平行线的性质,三角形内角和定理,全等三角形的判定和性质,等腰三角
形的判定和性质等知识,利用分类讨论的思想解决问题是关键.
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6.(1)①∠��� = 60°②80°
(2)50°
(3)� = 4
【分析】本题考查了平行线的性质,角平分线的性质及三角形的外角性质,熟练掌握平行线的
性质、角平分线的性质及三角形的外角性质并正确作出辅助线是解题关键.
(1)如图 1,过点�作�� ∥ ��,利用两直线平行,内错角相等的性质分别求得∠��� = ∠���,
∠��� = ∠���,再根据∠��� = 80°,即可求出①②结论;
(2)如图 2,过点�作�� ∥ ��,过点�作�� ∥ ��,利用两直线平行,内错角相等的性质,得
到∠���− ∠��� = ∠��� −∠���,再根据角平分线的性质,得到∠��� = ∠��� = 1
2
∠���,
∠��� = ∠��� = 1
2
∠��� = 1
2
180° − ∠��� ,进而可求出∠���−∠���的值;
(3)如图 3,设直线��交��于点H ,��与GE相交于点�,由�� ∥ ��得到∠��� = ∠���,
根据三角形外角与内角关系得到∠��� = ∠��� + ∠��� = ∠��� + ∠���,进而得到∠��� =
∠��� + ∠���,再由三角形外角与内角关系求得∠��� = 80°,即可得到∠���与 AEG 的关
系,即∠��� − ∠��� = 80°,再由题意可求得∠��� = 180° − 1 + 1
�
∠���,∠��� = 1 +
1
�
∠���,然后由∠��� + ∠��� = 360° − ∠��� + ∠��� = 80°,化简可得方程 1 + 1
�
×
80° = 100°,求解即可.
【详解】(1)解:如图 1,过点�作�� ∥ ��,
AB CD∥ ,
∴ �� ∥ �� ∥ ��,
∴ ∠��� = ∠���,∠��� = ∠���
①∵ ∠��� = 20°,
∴ ∠��� = ∠��� = 20°,
∵ ∠��� = 80°,
∴ ∠��� = 80° − 20° = 60°,
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∴ ∠��� = 60°;
②∵ ∠��� = �,
∴ ∠��� = ∠��� = �,
∵ ∠��� = 80°,
∴ ∠��� = 80° − �,
∴ ∠��� = 80° − �,
∴ ∠��� + ∠��� = � + 80° − � = 80°;
故答案为:80°;
(2)解:如图 2,过点�作�� ∥ ��,过点�作�� ∥ ��,
AB CD∥ ,
∴ �� ∥ �� ∥ �� ∥ ��,
∴ ∠��� = ∠���,∠��� = ∠���,∠��� = ∠���,
∴ ∠���−∠��� = ∠��� + ∠��� − (∠��� + ∠���) = ∠��� −∠���,
∵ ��平分∠���,��平分∠���,
∴ ∠��� = ∠��� = 1
2
∠���,∠��� = ∠��� = 1
2
∠��� = 1
2
(180° −∠���),
又由(1)得∠��� + ∠��� = 80°,
∴ ∠��� + ∠��� = 180° × 2 − 80° = 280°,
∴ ∠���−∠��� =
1
2
∠��� −
1
2
180° −∠���
=
1
2
∠��� + ∠��� − 180°
=
1
2
× 280° − 180°
= 50°.
(3)解:如图 3,设直线��交��于点H ,��与GE相交于点�,
AB CD∥ ,
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∴ ∠��� = ∠���,
∵ ∠��� = ∠��� + ∠��� = ∠��� + ∠���,
∴ ∠��� = ∠��� + ∠���,
∵ ∠��� = ∠��� = ∠��� −∠��� = 80°,
∴ ∠��� = 80° + ∠���,
即∠��� −∠��� = 80°,
∠��� = �∠���,��在∠���内,∠��� = �∠���,
∴ ∠��� = 180° −∠��� −∠��� = 180° − 1
�
∠��� −∠��� = 180° − 1 + 1
�
∠���,
∴ ∠��� = ∠��� + ∠��� = ∠��� + 1
�
∠��� = 1 + 1
�
∠���,
∵ ∠��� + ∠��� = 280°,
∴ ∠��� + ∠��� = 180° −∠��� + 180° −∠��� = 360° − ∠��� + ∠��� = 80°,
∴ 1 + 1
�
∠��� + 180° − 1 + 1
�
∠��� = 1+ 1
�
∠��� −∠��� + 180° = 80°,
即 1 + 1
�
∠��� −∠��� = 100°,
∴ 1 + 1
�
× 80° = 100°,
解得� = 4.
7.(1)∠��� = ∠��� + ∠���,理由见解析
(2)∠��� = 105°
(3)∠��� = 150°
【分析】本题考查了平行线的判定和性质,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造平行线解
决问题,学会探究规律,利用规律解决问题.
(1)如图 1,过点�作�� ∥ ��,根据平行线的性质得到∠��� = ∠���,∠��� = ∠���,等
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量代换即可得到结论;
(2)如图 2,过点�作�� ∥ ��,根据平行线的性质得到∠��� + ∠��� = 360∘ − ∠��� +
∠��� = 210°,根据角平分线的定义得到��� = 1
2
∠���,∠��� = 1
2
∠���,得到∠��� +
∠��� = 1
2
∠��� + ∠��� = 105°,作�� ∥ ��,于是得到结论;
(3)如图 3,过点�作�� ∥ ��,设∠��� = �,根据平行线的性质得到∠��� = 180∘ − �,
根据角平分线的定义得到∠��� = 1
2
∠��� = 90° − 1
2
�,∠��� = 180° − ∠��� = 180° −
60∘ + � = 120° − �,根据角平分线的定义得到∠��� = 1
2
∠��� = 60° − 1
2
�,作�� ∥ ��,于
是得到结论.
【详解】(1)解:∠��� = ∠��� + ∠���,理由如下:
如图 1,过点�作�� ∥ ��,
APE PEH ,
∵ �� ∥ ��,�� ∥ ��,
∴ �� ∥ ��,
∴ ∠��� = ∠���,
∵ ∠��� = ∠��� + ∠���,
∴ ∠��� = ∠��� + ∠���;
(2)解:如图 2,过点�作�� ∥ ��,
同理可得,∠��� = ∠��� + ∠��� = 150°,
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∵ ∠��� = 180° − ∠���,∠��� = 180° −∠���,
∴ ∠��� + ∠��� = 360° − ∠��� + ∠��� = 210°,
∵ ��平分∠���,��平分∠���,
∴ ∠��� = 1
2
∠���,∠��� = 1
2
∠���,
∴ ∠��� + ∠��� = 1
2
∠��� + ∠��� = 105°,
作�� ∥ ��,同理可得,∠��� = ∠��� + ∠��� = 105°;
(3)解:如图 3,过点�作�� ∥ ��,
设∠��� = �,
∴ ∠��� = 180° − �,
∵ ��平分∠���,
∴ ∠��� = 1
2
∠��� = 90° − 1
2
�,
∴ ∠��� = 180° −∠��� = 90° + 1
2
�,
∵ �� ∥ ��,�� ∥ ��,
∴ �� ∥ ��,
∴ ∠��� = 180° −∠��� = 180° − 60° + � = 120° − �,
∵ ��平分∠���,
∴ ∠��� = 1
2
∠��� = 60° − 1
2
�,
作�� ∥ ��,同理可得,∠��� = ∠��� + ∠��� = 150°.