专项9 平行线综合与拐点模型-北师大版八年级上册期末专项(初中数学)

2024-11-19
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资源信息

学段 初中
学科 数学
教材版本 初中数学北师大版(2012)八年级上册
年级 八年级
章节 第七章 平行线的证明,综合复习与测试
类型 题集-专项训练
知识点 -
使用场景 同步教学-期末
学年 2024-2025
地区(省份) 全国
地区(市) -
地区(区县) -
文件格式 ZIP
文件大小 3.27 MB
发布时间 2024-11-19
更新时间 2024-11-19
作者 邵俊成
品牌系列 其它·其它
审核时间 2024-11-19
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来源 学科网

内容正文:

原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 1 专项 9 平行线综合与拐点模型 1.已知,小明将一副直角三角板按如图所示的方式摆放,其中△ ���是一个角 ∠� 等于 45° 的直角三角板,△ ���是一个角 ∠� 等于 30°的直角三角板,小明摆放时确保点�在线段�� 上,��与��相交于点�,且∠��� = 105°. (1)判断��,��的位置关系,并说明理由; (2)直接写出图中等于 75°的角. 2.综合与实践 【动手操作】 数学活动课上,老师让同学们探究用尺规作图作一条直线的平行线.已知:如图 1,直线 l及 直线 l外一点 A.求作:直线��,使得�� ∥ �.小明同学设计的做法如下: ①在直线 l上取两点 B、C,连接��,以点 B为圆心,小于��的长度为半径作弧,交线段�� 于点 D,交线段��于点 E; ②分别以点 D和 E为圆心,以大于 1 2 ��的长为半径作弧,两弧在∠���内交于点 F,作射线 BF; ③以点 A为圆心,��的长为半径作弧,交射线 BF于点 P,作直线��. 则直线��平行于直线 l. 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 2 (1)根据小明同学设计的尺规作图过程,在图 2中补全图形;(要求:尺规作图并保留作图 痕迹) 【验证证明】 (2)请证明直线�� ∥ �; 【拓展延伸】 (3)已知:如果两条直线平行,则其中一条直线上任意两点到另外一条直线的距离相等.在 图 2中连接��,��,请直接写出△ ���与△ ���的面积关系_______; 【应用实践】 (4)某市政府为发展新能源产业,决定在如图 3所示的四边形����空地上划出 20km2区域用 于建设新能源产业发展基地.已知在四边形����中,∠��� = 45°,∠� = 90°,�� = 8km, 5BC  km.为便于运营管理,某公司向政府提出在线段��上取一点 E使得四边形����的面积 为 20km 2 ,则�� =______km. 3.在△ ���中,点�在线段��上,�� ∥ ��交��于点�,点�在线段��上(点�不与点�,�,� 重合),连接��,过点�作�� ⊥ ��交射线��于点�. (1)如图,当点�在线段 BE上时: ①求证: EDF BGF DFG   ; ②求证:∠��� +∠��� −∠��� = 90°; (2)当点�在线段��上时,请直接用等式表示∠���与∠���的数量关系. 4.【发现问题】如图①,小明同学在做光的折射实验时发现:平行于主光轴��的光线��和�� 经过凹透镜的折射后,折射光线��,��的反向延长线交于主光轴��上一点�. 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 3 【提出问题】 小明提出:∠���,∠���和∠���三个角之间存在着怎样的数量关系? 【分析问题】 已知平行,可以利用平行线的性质,把∠���分成两部分进行研究. 【解决问题】 探究一:请你帮小明解决这个问题,并说明理由. 探究二:如图②,∠�,∠���,∠���的数量关系为______;如图③,已知,∠��� = 25°,∠� = 60°,�� ∥ ��,则∠��� =______°.(不需要写解答过程) 【拓广提升】 利用探究一得到的结论解决下列问题: 如图④,射线��,��分别平分∠���和∠���,��交直线��于点�,��与∠���内部的一条 射线��交字点�,若 2P F   ,求 FME 的度数. 5.如图,已知直线�� ∥ ��,直线 l与��、��分别交于点 A、点 C. 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 4 (1)如图 1,点 E在线段��上,连接 BE、��.求证: ABE CDE BED   ; (2)如图 2,点 E在线段��的延长线上,连接��,过点 B作�� ∥ ��,试画出图形并直接写出 ∠���与∠���的数量关系; (3)如图 3,点 E在��、��之间且��平分∠���,∠��� = ∠���,以点 E为圆心,��为半径 画弧,交��于点 K,若∠��� = 106°,求∠���的度数. 6.�� ∥ ��,点 E、F分别在��、��上;点 O在直线��、��之间,且∠��� = 80° (1)如图 1,①若 20OFC  ,求∠���的度数; ②若∠��� = �,请你直接写出 OFC AEO   ________; (2)如图 2,直线��分别交∠���、∠���的角平分线于点 M、N,求∠���−∠���的值 (3)如图 3,��在∠���内,∠��� = �∠���;��在∠���内,∠��� = �∠���,直线��分 别交��、��分别于点 M、N,且∠��� −∠��� = 80°,直接写出 m的值 7.已知直线�� ∥ ��,点�在��、��之间,点�、�分别在直线��、��上,连接��、 EQ. 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 5 (1)如图 1,直接写出∠���、∠���、∠���之间的数量关系; (2)如图 2, PF平分∠���,��平分∠���,当∠��� = 150°时,求出∠���的度数; (3)如图 3,若点�在��的下方,PF平分∠���,��平分∠���,��的反向延长线交 PF于点�, 当∠��� = 60°时,直接写出∠���的度数. 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 1 专项 9 平行线综合与拐点模型 答案解析 1.(1)�� ∥ ��,理由见解析 (2)∠��� = ∠��� = ∠��� = 75° 【分析】(1)根据邻补角求得∠��� = 75°.再根据三角形的外角性质∠��� = 75° − 45° = 30° = ∠�,最后根据平行线的判定可得�� ∥ ��. (2)由对顶角相等可得∠��� = ∠��� = 75°,再根据平行线的性质可得∠��� = 175°,从而即 可得解. 【详解】(1)解:��,��的位置关系是�� ∥ ��; 理由如下: 105AFE   , 75AFC  . ∵ ∠���是△ ���的一个外角, AFC ECB B   , 又 45B  , 30E  , 75 45 30ECB E       , ∴ �� ∥ ��. (2)解:∵∠��� = 75°. ∴∠��� = ∠��� = 75°, ∵�� ∥ ��.∠� = 60°, ∴∠��� = 180° − 60° = 120°, ∵∠��� = 45°, ∴∠��� = 120° − 45° = 75°. ∴图中等于 75°的角有三个, AFC EFB ACD   . 【点睛】本题主要考查了三角板中的角度计算,平行线的性质,对顶角相等以及三角形的外角 性质,熟练掌握平行线的性质,对顶角相等以及三角形的外角性质是解题的关键。 2.(1)见解析;(2)见解析;(3)����� = �����;(4)3 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 2 【分析】(1)根据作图过程补全图形即可; (2)根据作图过程得出∠��� = ∠���,�� = ��,根据等腰三角形的性质得出∠��� = ∠���, 可得∠��� = ∠���,根据平行线的判定定理即可得结论; (3)根据平行线间距离相等结合三角形面积公式即可得答案; (4)过点�作�� ∥ ��交��于�,连接��、��,根据平行线的性质得出△ ���是等腰直角三角 形,根据线段的和差关系得出�� = 3,由(3)的结论可得出�△��� = �△���,即可得出 �四边形���� = �△��� = 20,即可得出点�与点�重合,进而得出 AE AF ,可得答案. 【详解】解:(1)补全图形,如图所示: (2)证明:由作图步骤可知 BF 为∠ABC 的角平分线 ∴∠��� = ∠���, ∵以点 A为圆心,��的长为半径作弧,交射线 BF于点 P, ∴�� = ��, ∴∠��� = ∠���, ∴∠��� = ∠���, ∴�� ∥ �. (3)如图,分别过点�、点�作�� ⊥ ��于�,�� ⊥ ��于�, ∵如果两条直线平行,则其中一条直线上任意两点到另外一条直线的距离相等, ∴�� = ��, ∵�△��� = 1 2 �� ⋅ ��,�△��� = 1 2 �� ⋅ ��, ∴����� = �����. 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 3 故答案为:����� = ����� (4)如图,过点�作�� ∥ ��交��于�,连接��、��, ∵∠��� = 45°, ∴∠��� = ∠��� = 45°, ∵∠� = 90°, ∴∠��� = 45°,△���是等腰直角三角形, ∴�� = �� = 5,�� = �� − �� = 3, ∵�� ∥ ��, ∴由(3)可知,�△��� = �△���, ∴�四边形���� = �△��� + �△��� = �△��� + �△��� = �△��� = 1 2 × 8 × 5 = 20, ∴点�符合四边形����的面积为 20km2的条件,即点�与点�重合, ∴�� = �� = 3. 【点睛】本题考查尺规作图——作角平分线,平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质 及三角形面积的计算,熟练掌握平行线的性质及等腰三角形的性质,正确作出辅助线是解题关 键. 3.(1)①见解析;②见解析; (2)∠��� − ∠��� = 90°或∠��� +∠��� = 90°; 【分析】本题考查三角形内角和定理,平行线的性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助 线,构造平行线解决问题. (1)①如图 1中,过点�作�� ∥ ��交��于点H,利用平行线的性质求解即可; ②过点�作�� ∥ ��交��于点H,利用平行线的性质求解即可; (2)作出图形,利用平行线的性质,以及三角形的外角的性质求解即可. 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 4 【详解】(1)①证明:如图 1中,过点�作�� ∥ ��交��于点H, ∵�� ∥ ��, ∴�� ∥ ��, ∴∠��� = ∠1, ∵�� ∥ ��, ∴∠��� = ∠2. ∵�� ⊥ ��, ∴∠��� = 90°, ∴ 1 2 90    , ∴∠��� +∠��� = 90° = ∠���. ②证明: 如图 2, 过点�作�� ∥ ��交��于点H, ∴∠��� = ∠���, ∴∠��� = ∠1 +∠3, ∴∠3 = ∠��� −∠1, ∵∠��� = ∠1, ∴∠3 = ∠��� −∠���, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 5 ∵�� ⊥ ��, ∴∠��� = 90°, ∴∠��� +∠3 = 90°, ∴∠3 = 90° −∠���, ∴90° −∠��� = ∠��� −∠���, ∴∠��� +∠��� −∠��� = 90°. (2)解:设��交��于�,如图 3, ∵�� ∥ ��, ∴∠��� = ∠���, ∵∠��� = ∠��� + ∠���,∠��� = 90°, ∴∠��� −∠��� = 90°, 当点�在��的延长线上时,同法可证∠��� +∠��� = 90°,如图 4: 4.解决问题:[探究一]∠��� = ∠��� + ∠���;[探究二] P AMP CNP    ,145;[拓广提 升]∠��� = 90° 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 6 【分析】本题考查平行线的性质、三角形的外角性质,关键是由平行线的性质推出∠��� = ∠��� +∠���,由此结论来解决问题. 探究一:由平行线的性质推出∠��� = ∠���,∠��� = ∠���,得到∠��� +∠��� = ∠��� +∠���,即可解决问题; 探究二:如图②,由平行线的性质推出∠��� = ∠���,由三角形外角的性质即可得到 ∠��� = ∠� +∠���; 如图③,由平行线的性质推出∠��� = ∠� = 60°,求出∠��� = 180° − ∠��� = 120°,由三角 形外角的性质得到∠��� = ∠� +∠��� = 145°; 如图④,由探究一的结论得到∠� = ∠��� + ∠��� + ∠��� + ∠���,∠� = ∠��� + ∠���, 而 2P F   ,推出∠��� = 1 2 ∠���,又∠��� = 1 2 ∠���,得到∠��� = 1 2 ∠��� = 90°. 【详解】解:[探究一]:∠��� = ∠��� +∠���,理由如下: 如图①, ∵�� ∥ �� ∥ ��, ∴∠��� = ∠���,∠��� = ∠���, ∴∠��� +∠��� = ∠��� +∠���, ∴∠��� = ∠��� +∠���. [探究二]如图②, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 7 ∠��� = ∠� +∠���,理由如下: ∵�� ∥ ��, ∴∠��� = ∠���, ∵∠��� = ∠� +∠���, ∴∠��� = ∠� +∠���. 如图③,延长��交��于 L, ∵�� ∥ ��, ∴∠��� = ∠� = 60°, ∴∠��� = 180° −∠��� = 120°, ∴∠��� = ∠� +∠��� = 25° + 120° = 145°. 故答案为:∠��� = ∠� +∠���,145. [拓广提升]∵射线��,��分别平分∠���和∠���, ∴∠��� = 1 2 ∠���,∠��� = ∠���, 如图④, 由探究一的结论得:∠� = ∠��� +∠��� +∠��� +∠���,∠� = ∠��� +∠���, ∵ 2P F   , 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 8 ∴∠��� +∠��� +∠��� +∠��� = 2∠��� + 2∠���, ∵∠��� = ∠���, ∴∠��� +∠��� = 2∠���, ∴∠��� = ∠��� = 1 2 ∠���, ∴∠��� +∠��� = 1 2 ∠��� +∠��� ∴∠��� = 1 2 ∠��� = 1 2 × 180° = 90°. 5.(1)证明见解析; (2)∠��� = ���或∠��� +∠��� = 180°; (3)37° 【分析】(1)过点�作�� ∥ ��,由平行线的性质得出∠��� = ∠���,∠��� = ∠���,即 可证明结论; (2)分两种情况讨论:①当点�在��下方时;②当点�在��上方时,利用平行线的性质和三 角形内角和定理分别求解,即可得到答案; (3)证明△ ��� ≌△ ��� AAS ,得到∠��� = ∠���,再利用平行线的性质和三角形内角和定 理,得出∠��� + ∠��� = ∠���,进而得到∠��� = 2∠��� + 2∠���,由等腰三角形的性质, 得出∠��� = 180° − 2∠���,最后由∠��� + ∠��� + ∠��� = 360°,即可求出∠���的度数. 【详解】(1)证明:如图,过点�作�� ∥ ��, ∴ ∠��� = ∠���, AB CD∥ , ∴ �� ∥ ��, ∴ ∠��� = ∠���, ∴ ∠��� +∠��� = ∠��� +∠���, 即 ABE CDE BED   ; 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 9 (2)解:①如图,当点�在��下方时,��与直线�交于点�, AB CD∥ , ∴ ∠��� = ∠���, ∵ �� ∥ ��, ∴ ∠��� = ∠���, ∵ ∠��� = ∠���, ∴ ∠��� = ∠���, ∴ ∠��� = 180° −∠��� −∠��� = 180° −∠��� −∠��� = ���, 即∠��� = ���; ②如图,当点�在��上方时,延长MB交直线�交于点�, 同①理可得:∠��� = ∠���, ∵ ∠��� +∠��� = 180°, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 10 ∴ ∠��� +∠��� = 180°, 综上可知,∠���与∠���的数量关系为∠��� = ���或∠��� +∠��� = 180°; (3)解:∵ ��平分∠���, ∴ ∠��� = ∠���, 在△ ���和△���中, ∠��� = ∠��� ∠��� = ∠��� �� = �� , ∴△ ��� ≌△ ��� AAS , ∴ ∠��� = ∠���, AB CD∥ , ∴ ∠��� +∠��� = 180°, ∴ 2∠��� +∠��� +∠��� = 180°, ∵ ∠��� +∠��� +∠��� = 180°, ∴ ∠��� +∠��� = ∠���, ∴ ∠��� = 2∠��� = 2∠��� + 2∠��� = 2∠��� + 2∠���, ∵以点 E为圆心,��为半径画弧, ∴ �� = ��, ∴ ∠��� = ∠���, ∴ ∠��� = 180° −∠��� −∠��� = 180° − 2∠���, ∵ ∠��� + ∠��� + ∠��� = 360°,且∠��� = 106°, ∴ 180° − 2∠��� + 2∠��� + 2∠��� + 106° = 360°, ∴ ∠��� = 37°. 【点睛】本题考查了平行线的性质,三角形内角和定理,全等三角形的判定和性质,等腰三角 形的判定和性质等知识,利用分类讨论的思想解决问题是关键. 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 11 6.(1)①∠��� = 60°②80° (2)50° (3)� = 4 【分析】本题考查了平行线的性质,角平分线的性质及三角形的外角性质,熟练掌握平行线的 性质、角平分线的性质及三角形的外角性质并正确作出辅助线是解题关键. (1)如图 1,过点�作�� ∥ ��,利用两直线平行,内错角相等的性质分别求得∠��� = ∠���, ∠��� = ∠���,再根据∠��� = 80°,即可求出①②结论; (2)如图 2,过点�作�� ∥ ��,过点�作�� ∥ ��,利用两直线平行,内错角相等的性质,得 到∠���− ∠��� = ∠��� −∠���,再根据角平分线的性质,得到∠��� = ∠��� = 1 2 ∠���, ∠��� = ∠��� = 1 2 ∠��� = 1 2 180° − ∠��� ,进而可求出∠���−∠���的值; (3)如图 3,设直线��交��于点H ,��与GE相交于点�,由�� ∥ ��得到∠��� = ∠���, 根据三角形外角与内角关系得到∠��� = ∠��� + ∠��� = ∠��� + ∠���,进而得到∠��� = ∠��� + ∠���,再由三角形外角与内角关系求得∠��� = 80°,即可得到∠���与 AEG 的关 系,即∠��� − ∠��� = 80°,再由题意可求得∠��� = 180° − 1 + 1 � ∠���,∠��� = 1 + 1 � ∠���,然后由∠��� + ∠��� = 360° − ∠��� + ∠��� = 80°,化简可得方程 1 + 1 � × 80° = 100°,求解即可. 【详解】(1)解:如图 1,过点�作�� ∥ ��, AB CD∥ , ∴ �� ∥ �� ∥ ��, ∴ ∠��� = ∠���,∠��� = ∠��� ①∵ ∠��� = 20°, ∴ ∠��� = ∠��� = 20°, ∵ ∠��� = 80°, ∴ ∠��� = 80° − 20° = 60°, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 12 ∴ ∠��� = 60°; ②∵ ∠��� = �, ∴ ∠��� = ∠��� = �, ∵ ∠��� = 80°, ∴ ∠��� = 80° − �, ∴ ∠��� = 80° − �, ∴ ∠��� + ∠��� = � + 80° − � = 80°; 故答案为:80°; (2)解:如图 2,过点�作�� ∥ ��,过点�作�� ∥ ��, AB CD∥ , ∴ �� ∥ �� ∥ �� ∥ ��, ∴ ∠��� = ∠���,∠��� = ∠���,∠��� = ∠���, ∴ ∠���−∠��� = ∠��� + ∠��� − (∠��� + ∠���) = ∠��� −∠���, ∵ ��平分∠���,��平分∠���, ∴ ∠��� = ∠��� = 1 2 ∠���,∠��� = ∠��� = 1 2 ∠��� = 1 2 (180° −∠���), 又由(1)得∠��� + ∠��� = 80°, ∴ ∠��� + ∠��� = 180° × 2 − 80° = 280°, ∴ ∠���−∠��� = 1 2 ∠��� − 1 2 180° −∠��� = 1 2 ∠��� + ∠��� − 180° = 1 2 × 280° − 180° = 50°. (3)解:如图 3,设直线��交��于点H ,��与GE相交于点�, AB CD∥ , 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 13 ∴ ∠��� = ∠���, ∵ ∠��� = ∠��� + ∠��� = ∠��� + ∠���, ∴ ∠��� = ∠��� + ∠���, ∵ ∠��� = ∠��� = ∠��� −∠��� = 80°, ∴ ∠��� = 80° + ∠���, 即∠��� −∠��� = 80°, ∠��� = �∠���,��在∠���内,∠��� = �∠���, ∴ ∠��� = 180° −∠��� −∠��� = 180° − 1 � ∠��� −∠��� = 180° − 1 + 1 � ∠���, ∴ ∠��� = ∠��� + ∠��� = ∠��� + 1 � ∠��� = 1 + 1 � ∠���, ∵ ∠��� + ∠��� = 280°, ∴ ∠��� + ∠��� = 180° −∠��� + 180° −∠��� = 360° − ∠��� + ∠��� = 80°, ∴ 1 + 1 � ∠��� + 180° − 1 + 1 � ∠��� = 1+ 1 � ∠��� −∠��� + 180° = 80°, 即 1 + 1 � ∠��� −∠��� = 100°, ∴ 1 + 1 � × 80° = 100°, 解得� = 4. 7.(1)∠��� = ∠��� + ∠���,理由见解析 (2)∠��� = 105° (3)∠��� = 150° 【分析】本题考查了平行线的判定和性质,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造平行线解 决问题,学会探究规律,利用规律解决问题. (1)如图 1,过点�作�� ∥ ��,根据平行线的性质得到∠��� = ∠���,∠��� = ∠���,等 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 14 量代换即可得到结论; (2)如图 2,过点�作�� ∥ ��,根据平行线的性质得到∠��� + ∠��� = 360∘ − ∠��� + ∠��� = 210°,根据角平分线的定义得到��� = 1 2 ∠���,∠��� = 1 2 ∠���,得到∠��� + ∠��� = 1 2 ∠��� + ∠��� = 105°,作�� ∥ ��,于是得到结论; (3)如图 3,过点�作�� ∥ ��,设∠��� = �,根据平行线的性质得到∠��� = 180∘ − �, 根据角平分线的定义得到∠��� = 1 2 ∠��� = 90° − 1 2 �,∠��� = 180° − ∠��� = 180° − 60∘ + � = 120° − �,根据角平分线的定义得到∠��� = 1 2 ∠��� = 60° − 1 2 �,作�� ∥ ��,于 是得到结论. 【详解】(1)解:∠��� = ∠��� + ∠���,理由如下: 如图 1,过点�作�� ∥ ��, APE PEH   , ∵ �� ∥ ��,�� ∥ ��, ∴ �� ∥ ��, ∴ ∠��� = ∠���, ∵ ∠��� = ∠��� + ∠���, ∴ ∠��� = ∠��� + ∠���; (2)解:如图 2,过点�作�� ∥ ��, 同理可得,∠��� = ∠��� + ∠��� = 150°, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 15 ∵ ∠��� = 180° − ∠���,∠��� = 180° −∠���, ∴ ∠��� + ∠��� = 360° − ∠��� + ∠��� = 210°, ∵ ��平分∠���,��平分∠���, ∴ ∠��� = 1 2 ∠���,∠��� = 1 2 ∠���, ∴ ∠��� + ∠��� = 1 2 ∠��� + ∠��� = 105°, 作�� ∥ ��,同理可得,∠��� = ∠��� + ∠��� = 105°; (3)解:如图 3,过点�作�� ∥ ��, 设∠��� = �, ∴ ∠��� = 180° − �, ∵ ��平分∠���, ∴ ∠��� = 1 2 ∠��� = 90° − 1 2 �, ∴ ∠��� = 180° −∠��� = 90° + 1 2 �, ∵ �� ∥ ��,�� ∥ ��, ∴ �� ∥ ��, ∴ ∠��� = 180° −∠��� = 180° − 60° + � = 120° − �, ∵ ��平分∠���, ∴ ∠��� = 1 2 ∠��� = 60° − 1 2 �, 作�� ∥ ��,同理可得,∠��� = ∠��� + ∠��� = 150°.

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