专项7 二元一次方程组与一次函数综合-北师大版八年级上册期末专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 7 二元一次方程组与一次函数综合 1．如图，直线� = 2� + 3与直线� = �� + � � ≠ 0 相交于点� 2, � ，则方程组 � = 2� + 3 � = �� + �的 解为 ． 2．一名生物学家在研究两种不同的物种 A和 B在同一生态环境中的资源消耗时发现：50 个物 种 A和 100 个物种 B共消耗了 200 单位资源；100 个物种 A和 50 个物种 B共消耗了 250 单位 资源． (1)求 1 个物种 A和 1个物种 B各消耗多少单位资源； (2)已知物种 A，B共有 200 个且 A的数量不少于 100 个．设物种 A有 a个，物种 A，B共消耗 的单位资源 W． ①求 W与 a的函数关系式； ②当物种 A的数量为何值时，物种 A、B共消耗的单位资源最少，最小值是多少？ 3．为创建“绿色校园”，绿化校园环境，某校计划分两次购进 A、B两种花草，第一次分别购 进 A，B两种花草 30 棵和 15 棵，共花费 675 元，第二次分别购进 A、B两种花草 12 棵和 5棵， 共花费 265 元（两次购进同种花草和价格相同）．求： (1)A、B 两种花草每棵的价格分别是多少元？ (2)若计划购买 A、B两种花草共 30 棵，其中购买 A种花草 m棵，且� ≥ 10，请你给出一种费 用最省的方案，并求该方案所需费用． 4．某礼品店为迎接农历新年的到来，准备购进一批适合学生的礼品.已知购进 4件 A礼品和 12 件 B 礼品共需 360 元，购进 8件 A礼品和 6件 B礼品共需 270 元. (1)（列二元一次方程组）求 A，B两种礼品每件的进价. (2)该店计划将 5000 元全部用于购进 A，B这两种礼品，设购进 A礼品 m件，B礼品 n件. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 ①求 n与 m之间的关系式； ②该店进货时，厂家要求 A礼品的购进数量不少于 100 件.已知 A礼品每件售价为 20 元，B礼 品每件售价为 35 元.设该店全部售出这两种礼品可获利 W元，求 W与 m之间的关系式和该店所 获利润的最大值. 5．要制作 200 个 ,A B两种规格的顶部无盖木盒，�种规格是长、宽、高都为 20cm 的正方体无 盖木盒，�种规格是长、宽、高各为 20cm, 20cm, 10cm 的长方体无盖木盒（如图 1）；现有 200 张规格为 40cm × 40cm 的木板材，对该种木板材有甲、乙两种切割方式（如图 2）． 切割、拼 接等板材损耗忽略不计． (1)设制作�种木盒�个，则制作�种木盒__________个；若使用甲种方式切割的木板材�张，则 使用乙种方式切割的木板材__________张； (2)若 200 张木板材恰好能做成 200 个 ,A B两种规格的无盖木盒，请分别求出 ,A B木盒的个数和 使用甲、乙两种方式切割的木板材张数； (3)包括材质等成本在内，用甲种切割方式的木板材每张成本 5元，用乙种切割方式的木板材 每张成本 8元． 根据市场调研，�种木盒的销售单价定为�元，�种木盒的销售单价定为 20 − 1 2 � 元，在（2）的条件下，请直接写出这批木盒的销售利润�（用含�的式子表示）． 6．某公司要印制宣传材料，甲、乙两个印刷厂可选择，甲印刷厂只收取印制费，乙印刷厂收 费包括印制费和制版费． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 (1)甲印刷厂每份宣传材料的印制费是______元； (2)求乙印刷厂收费 y（元）关于印制数量 x（份）的函数表达式，并说明一次项系数，常数项 的实际意义；y/元 (3)若印制相同数量，乙印刷厂的收费总是低于甲厂，求印制数量的范围． 7．一条笔直的公路顺次经过 A，B，C三地，甲车从 A地出发，沿公路匀速经过 B地到 C地， 乙车从点 B出发，沿公路匀速到 A地，甲，乙两车到 B地的距离� km 与甲车的运动时间� ℎ 的函数关系如图所示，请结合图象信息解答下列问题：（函数表达式都不需要写出自变量 x的 取值范围） (1)求图象中线段��和线段��所在直线的函数表达式，并求直线��与直线��交点的坐标； (2)请直接写出 A，C两地的距离是___________； (3)当甲、乙两车到 B地的距离和为 110km 时，请直接写出�的值为___________． 8．【问题初探】 工人师傅在铺地面时发现，用 8块大小一样的长方形瓷砖恰好可以拼成一个大的长方形，如图 1．然后，他用这 8块瓷砖又拼出一个正方形，如图 2．中间恰好空出一个边长为 1的小正方 形（阴影部分），假设长方形的长为 y，宽为 x，且� > �． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 （1）请求出图 1中 y与 x的函数关系式； 【策略分析】 （2）求出图 2中 y与 x的函数关系式； （3）对于（2）中的问题，小明给出解题思路： 由图 2得 8�� + 1 = 2� + � 2； 整理得： 2� − � 2 = 1， 由平方根定义可以得出： 2 1x y   ， 所以图 2中与的函数关系式是� = 2� + 1或� = 2� − 1． 小明得出的结果正确不?请说明理由． 【拓展研究】 （4）在图 3中作出两个函数的图象，求出交点坐标，并解释交点坐标的实际意义； （5）根据以上讨论补全下表，观察 x与 y的关系，回答：如果给你任意 8个相同的长方形， 你能否拼成类似图 1和图 2的图形？请说明理由． 图（2）中小正方形边长（阴影部分） 1 2 3 4 … x 3 6 9 12 … y … 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 7 二元一次方程组与一次函数综合 答案解析 1． � = 2 � = 7 【分析】本题考查了两个一次函数图象交点与对应方程组解的关系；由交点� 2, � 和� = 2� + 3可求� = 7，从而可得� 2,7 ，即可求解；理解“函数图象交点的坐标是对应方程组的解”是 解题的关键．据此即可求解． 【详解】解：∵一次函数� = �� + �和� = 2� + 3的图象交于点� 2, � ， ∴ � = 2 × 2 + 3 = 7， ∴ � 2,7 ，  � = 2� = 7是方程� = �� + �和� = 2� + 3的解， ∴二元一次方程组 � = 2� + 3 � = �� + �的解是 � = 2 � = 7． 故答案： � = 2 � = 7． 2．(1)1 个物种 A消耗 2单位资源，1个物种 B消耗 1单位资源 (2)①� = � + 200，②当物种 A的数量为 100 个时，物种 A、B共消耗的单位资源最少，最少 值是 300 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的应用： （1）设 1个物种 A消耗 x单位资源，1个物种 B消耗 y单位资源，根据已知数量关系列二元 一次方程组，解方程组即可； （2）①设物种A有a个，则物种B有 200 − � 个，结合（1）中结论，可得� = 2� + 200 − � = � + 200；② 判断①中一次函数图象的增减性，结合 a的取值范围，即可求出最值． 【详解】（1）解：设 1个物种 A消耗 x单位资源，1个物种 B消耗 y单位资源， 依题意得： 50� + 100� = 200 100� + 50� = 250 ， 解得： � = 2 � = 1 ， 答：1个物种 A消耗 2单位资源，1个物种 B消耗 1单位资源. （2）解：①设物种 A有 a个，则物种 B有 200 − � 个， 结合（1）中结论，可得：� = 2� + 200 − � = � + 200； ② ∵� = 1 > 0， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 ∴W随 a的增大而增大， ∵A的数量不少于 100 个 ∴当� = 100时，W有最小值，最小值为100 200 300  ． 答：当物种 A的数量为 100 个时，物种 A、B共消耗的单位资源最少，最少值是 300． 3．(1)A、B 两种花草每棵的价格分别是 20 元和 5元； (2)购买 A花草 10 棵，购买 B花草 20 棵，共花费 300 元． 【分析】（1）设 A、B两种花草每棵的价格分别是 x，y元，由题意列二元一次方程组求解即 可； （2）设所需费用为 W，则 =15 150W m  ，利用函数增减性可知：当� = 10时，W取最小值，此 时 300W  元． 【详解】（1）解：设 A、B两种花草每棵的价格分别是 x，y元， 则由题意可知： 30� + 15� = 675 12� + 5� = 265 ，解之得： � = 20 � = 5 ， ∴A、B两种花草每棵的价格分别是 20 元和 5元； （2）解：设所需费用为 W，则由已知可得：  20 5 30 15 150W m m m     ， 由15 0＞ 可知 W随 m的增大而增大， ∵� ≥ 10， ∴当� = 10时，W取最小值，此时 300W  元， 故最省钱的方案是：购买 A花草 10 棵，购买 B花草 20 棵，共花费 300 元． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，一次函数增减性，一次函数的分配问题．解题的关 键是找出等量关系列出方程组求解，表示出所需费用  20 5 30 15 150W m m m     利用一次函数 增减性可知当� = 10时，W取最小值，此时 300W  元． 4．(1)A 礼品每个的进价是 15 元，B礼品每个的进价是 25 元 (2)①� = 200 − 3 5 �；②� =−�+ 2000，最大利润为 1900 元 【分析】(1)设 A、B 两种礼品的进价分别是 x元、y元，根据购进 4件 A礼品和 12 件 B 礼品 共需 360 元，购进 8件 A礼品和 6件 B礼品共需 270 元，列出方程组，解方程组即可； (2)①该店计划用 5000 元全部购进 A，B两种礼品，购进 A种礼品 m个，B种礼品 n个，结合 （1）中求出的进价，得到购进 A种礼品需要 15�元，B种礼品需要 25�元，列出二元一次方 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 程，整理可得 n关于 m的关系式； ②根据两种礼品的进价和售价列出 W与 m的关系式，根据 W随 m的变化情况及 m的取值范围求最大利润即可． 本题主要考查了一次函数和二元一次方程组的应用，解决问题的关键是熟练掌握总价与单价和 数量的关系，列出二元一次方程或方程组，一次函数关系式，并根据函数值的增减性和自变量 的取值范围求出函数最值． 【详解】（1）设 A礼品每个的进价是 x元，B礼品每个的进价是 y元， 依题意得， 4� + 12� = 360 8� + 6� = 270 ， 解得 � = 15 � = 25， 故 A礼品每个的进价是 15 元，B礼品每个的进价是 25 元；． （2）(2)①依题意得，15� + 25� = 5000， ∴� = 200 − 3 5 �． ②∵W表示所获得的利润， ∴� = 20 − 15 � + 35 − 25 � = 5� + 10 200 − 3 5 � =−�+ 2000， ∵−1 < 0， ∴W随 m的增大而减小， ∵� ≥ 100， ∴当� = 100时，W取得最大值．即 A礼品进货 100 件时，该店获利最大， 最大利润为，−100 + 2000 = 1900 (元)． 5．(1) 200 − � ， 200 − � (2)故制作�种木盒 100 个，制作�种木盒 100 个，使用甲种方式切割的木板 150 张，使用乙种 方式切割的木板材 50 张． (3) 50 850w a  【分析】本题主要考查了列代数式，二元一次方程组的实际应用，解题的关键是正确理解题意， 根据题意找出数量关系，列出方程组求解． （1）根据制作 200 个 ,A B两种规格的顶部无盖木盒，现有 200 张规格为 40cm × 40cm的木板 材，即可解答； （2）根据使用甲种方式切割的木板材�张，使用乙种方式切割的木板材 200 − � 张，得出可 切割出 4�张 20cm × 20cm的木板材，8 200 − � 张10cm 20cm 的木板材，再根据一个规格 A 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 的盒子需要 5张 20cm × 20cm的木板材，一个规格 B的盒子需要 1张 20cm × 20cm的木板材 和 4张10cm 20cm 的木板材，列出方程组求解即可； （3）根据总利润=销售额−总成本，即可解答． 【详解】（1）解：∵制作 200 个 ,A B两种规格的顶部无盖木盒，制作�种木盒�个， ∴制作�种木盒 200 − � 个， ∵现有 200 张规格为 40cm × 40cm的木板材，使用甲种方式切割的木板材�张， ∴使用乙种方式切割的木板材 200 − � 张， 故答案为： 200 − � ， 200 − � ； （2）解：∵使用甲种方式切割的木板材�张，使用乙种方式切割的木板材 200 − � 张， ∴可切割出 4�张 20cm × 20cm的木板材，8 200 − � 张10cm 20cm 的木板材， 一个规格A的盒子需要5张 20cm × 20cm的木板材，一个规格B的盒子需要1张 20cm × 20cm 的木板材和 4张10cm 20cm 的木板材； ∴ 4� = 5� + 200 − � 8 200 − � = 4 200 − � ， 解得： � = 100 � = 150， ∴200 − � = 100,200 − � = 150， 答：故制作�种木盒 100 个，制作�种木盒 100 个，使用甲种方式切割的木板 150 张，使用乙 种方式切割的木板材 50 张． （3）解：� = 100� + 100 20 − 1 2 � − 150 × 5 + 50 × 8 ， 整理为： 50 850w a  ． 6．(1)2.5 (2)� = � + 1500，一次项系数 1代表每份宣传材料的印制费为 1元，常数项 1500 代表制版费 为 1500 元 (3)当印制数量大于 1000 时，乙印刷厂的收费总是低于甲厂 【分析】（1）由图象知，甲印刷厂印 400 份，费用为 1000 元，用总费用除以份数即可求解； （2）设乙印刷厂收费 y（元）关于印制数量 x（份）的函数表达式为� = �� + �，把 0,1500 ，  400,1900 代入即可求解，再结合题意，根据总费用单位乘以份数加制版费，一次项系数，常数 项的实际意义即可； （3）先求出甲印刷厂函数解析式，再联立两函数解析式求出方程组的解，即函数图象交点坐 标，即可由求解． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 【详解】（1）解：由图或得，甲印刷厂每份宣传材料的印制费为： 1000 400 2.5  (元)； （2）解：设乙印刷厂收费 y（元）关于印制数量 x（份）的函数表达式为� = �� + �， 由图可得 0,1500 ，  400,1900 在图象上，代入，得 � = 1500 400� + � = 1900，解得： � = 1 � = 1500 ∴� = � + 1500， 一次项系数 1代表每份宣传材料的印制费为 1元， 常数项 1500 代表制版费为 1500 元． （3）解：由（1）知甲印刷厂每份宣传材料的印制费是 2.5 元， ∴甲印刷厂收费 y（元）关于印制数量 x（份）的函数表达式为� = 2.5�， 联立两函数解析式得 � = � + 1500 � = 2.5� 解得 � = 1000 � = 2500， ∴两函数图象交点坐标为  1000, 2500 ， 由图象可得当印制数量大于 1000 时，乙印刷厂的收费总是低于甲厂． 【点睛】本题考查的是一次函数的应用问题，解题关键是要读懂题目的意思，根据图象获取信 息，用待定系数法求出函数解析式． 7．(1)线段��所在直线的函数表达式为� =− 60� + 300；线段��所在直线的函数表达式为� = 50� − 150；直线��与直线��交点的坐标为 45 11 ， 600 11 (2)540km (3)4或56 11 【分析】（1）根据待定系数法求出一次函数解析式，然后再联立方程组，解出即可得出答案； （2）根据图象，计算出�地到�地的距离，再得出 A，B两地的距离，然后相加即可得出答案； （3）根据图象，结合（1）的结论，列出方程，解出即可得出答案． 【详解】（1）解：设线段��所在直线的函数表达式为� = �� + �， 根据图象，可得：� 0，300 、� 5，0 ， ∴可得： � = 300 5� + � = 0， 解得： � =− 60 � = 300， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 ∴线段��所在直线的函数表达式为� =− 60� + 300； 设线段��所在直线的函数表达式为� = �� + �， 根据图象，可得：� 3，0 、� 9，300 ， ∴可得： 3� + � = 0 9� + � = 300， 解得： � = 50 � =− 150， ∴线段��所在直线的函数表达式为� = 50� − 150； 根据题意，可得： � =− 60� + 300 � = 50� − 150 ， 解得： � = 45 11 � = 600 11 ， ∴直线��与直线��交点的坐标为 45 11 ， 600 11 ； （2）解：甲车的速度为 300 ÷ 5 = 60km/h， 根据图象，可得：甲车从�地到�地所用的时间为 9 − 5 = 4ℎ， ∴�地到�地的距离为：60 × 4 = 240km， 由图象可知：A，B两地的距离是 300km， 300 + 240 = 540 km ， ∴A，C两地的距离是540km； 故答案为：540km （3）解：甲到达 B地前，−60� + 300 + 50� − 150 = 110， 解得� = 4， 甲到达 B地后， 60( 5) 50 150 110x x    ， 解得：� = 56 11 ， ∴当甲、乙两车到 B地的距离和为 110km 时，�的值为 4或56 11 ． 故答案为：4或56 11 【点睛】本题考查了求一次函数解析式、两直线的交点问题、一元一次方程的应用，解本题的 关键在充分利用数形结合思想解答． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 8．（1）� = 5 3 �；（2）� = 2� − 1；（3）不正确，理由见解析；（4）作图见解析，交点坐 标为 3，5 ，交点坐标的实际意义为：瓷砖的长和宽分别为 5和 3时，能围成图 1，图 2中的 图形；（5）表格见解析，理由见解析 【分析】（1）由组成长方形的长度关系可得 3� = 5�，然后整理即可； （2）依题意得， 2� + � 2 − 1 = 8��，整理得， 2� − � 2 = 1，结合� = 5 3 �，确定 y与 x的 函数关系式即可； （3）理由见（2）； （4）描点，连线作图象即可，联立得， � = 5 3 � � = 2� − 1 ，计算求解可得交点坐标，然后进行作答 即可； （5）根据图 2中 y与 x的函数关系式，分别求解不同正方形边长，不同长方形宽度下的长方 形的长，填表格，然后作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，3� = 5�， ∴� = 5 3 �； （2）解：依题意得， 2� + � 2 − 1 = 8��，整理得， 2� − � 2 = 1， ∵� = 5 3 �， ∴2� − � = 1 3 � > 0， ∴ 2 1x y  ，即� = 2� − 1； （3）解：不正确，理由如下： ∵� = 5 3 �， ∴2� − � = 1 3 � > 0， ∴ 2 1x y   ，不符合题意； ∴ 2 1x y  ，即� = 2� − 1； （4）解：如图 3， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 联立得， � = 5 3 � � = 2� − 1 ， 解得， � = 3 � = 5， ∴交点坐标为 3，5 ，交点坐标的实际意义为：瓷砖的长和宽分别为 5和 3时，能围成图 1， 图 2中的图形； （5）解：由题意得，当阴影部分边长为 1，� = 3时，� = 5； 当阴影部分边长为 2，� = 6时，则 2� − � 2 = 4，此时满足要求的� = 10； 当阴影部分边长为 3，� = 9时，则 2� − � 2 = 9，此时满足要求的� = 15； 当阴影部分边长为 4， 12x  时，则 2� − � 2 = 16，此时满足要求的� = 20； 填表如下： 图（2）中小正方形边长（阴影部分） 1 2 3 4 … x 3 6 9 12 … y 5 10 15 20 … 由表格可知，� = 5 3 �， ∴当长方形的长、宽满足� = 5 3 �时，能拼成类似图 1和图 2的图形；当长方形的长、宽不满足 � = 5 3 �时，不能拼成类似图 1和图 2的图． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，一次函数解析式，一次函数的图象，二元一次方程组的 应用．熟练掌握一次函数的应用，利用面积的关系求表达式是解题的关键．