第20讲 双变量不等式的证明课件——2025届高三数学一轮复习

高考数学一轮复习 第20讲 双变量不等式的证明 1.双变量不等式的证明常用策略： （1）指定主变量，有些问题虽然有两个变量，但只要把其中一个当作常数， 另一个看成自变量，或者将其中一个变量用主变量表示，就可以将双变量问题变 成单变量问题，进而可使问题得以解决. （2）整体代换，变量归一，通过等价转化，将双变量问题等价转化为一个 新变量表示的不等式，再构造以新变量为主元的函数，通过研究此函数的单调性 及极值等，从而使问题巧妙地得到解决，我们将这种解决问题的思想称为变量归 一思想. 2 2.极值点偏移问题的一般题设形式： （1）若函数存在两个零点,且，求证： 为函 数 的极值点）； （2）若函数中存在,且满足 ，求证： 为函数 的极值点）； （3）若函数存在两个零点,且，令 ，求证： ； 3 （4）若函数中存在,且满足，令 ，求 证： . 特别地，当条件许可时要善于应用对数均值不等式 证明极值点偏移. 4 探究点一 消参减元法 例1 已知函数，若的两根为 ， ，且，求证： . ［思路点拨］ 由条件可得， ，由此可得要证 ，只需证 ，利用导数研究函 数 的单调性，由此完成证明. 5 证明：因为函数，所以的定义域为 ， . 因为的两根为， 且 ， 所以，即，其中， ， 所以，且，则， ， 所以， . 要证 ， 只需证，只需证 ， 6 即证，即证 ， 即证 . 令 ， 则 ， 所以在上单调递增，且 ， 故，所以 . [总结反思] 破解含双变量不等式的证明问题的关键: 一是转化,即由已知条件入手,寻找双变量所满足的关系式,并把含双变量的不等式 通过消去一个变量，转化为含单变量的不等式问题; 二是巧构造函数,再借助导数,判断函数的单调性,从而求其最值; 三是回归双变量的不等式的证明,把所求的最值应用到双变量不等式,即可证得结果. 8 变式题 已知函数 . （1） 若，判断函数 的单调性； 解：当时，，的定义域为 ， . 因为，所以，则在 上单调递增. 9 （2） 若函数有两个极值点,，且，求证： . 证明：由题意得 . 当时，，在上单调递增，不合题意. 当 时，令，得 . 当时，令，得，则 只有一个极值点，不合题意. 当时，令，得,， 则 ,,故 . 10 要证，即证 ， 即证， 即证 ， 又 ， 所以要证，即证 . 构造函数， ， 则，即在 上单调递增， 则，所以 . 11 探究点二 整体代换法 例2 已知 . （1） 求函数 的单调区间； 解：因为 ，所以， 令，可得 或， 故的单调递增区间为和 . 令，可得， 故的单调递减区间为 . ［思路点拨］（1）求出，分别令，，即可得到函数 的单调区间； 12 （2） 已知，证明： . ［思路点拨］（2）原不等式可化为 ，换 元，令，可化为 ，构造函数 ，利用导数讨论其单调性，即可证出. 13 证明：因为， 所以 等价于， 令 ，则不等式等价于， 故只需证 ，设 ， 则 ， 所以在上单调递增，故 ， 故 . 14 [总结反思] 证明双变量不等式时，可将要求证的不等式等价变形，然后利用整体思想换元， 再构造函数，结合函数的单调性即可证得. 15 变式题 [2023·山东青岛中学一检] 已知函数, . （1） 讨论 的单调性； 解：由题意得，的定义域为 , ， 令，则 ， 当，即时， 恒成立，即恒成立， 在 上单调递减. 当，即时， 令，解得 , . 16 当时，，即； 当时， ，即 . 在,上单调递减， 在 上单调递增. 17 （2） 若在定义域内有两个极值点,，求证： . 证明：在定义域内有两个极值点, ， 由（1）知且,是方程 的两个不等实根， 则, ， 则 . 设，，则 ， ，，，则在 上单调递减， ，则 成立. 18 探究点三 极值点偏移和零点偏移 例3 已知函数，若关于的方程 有两个不同的实数 根,，求证： . ［思路点拨］ 思路一：根据题意得 ，进而令 ，得，构造函数 ， 利用导数判断函数的单调性，进而证明. 思路二：由题知方程 有两个不同的实数根,,构造函数 ， ，, ，进而利用导数求证 即可. 19 证明：方法一：, . 因为,为方程 的两个不同的实数根， 所以， . 由得，即 , 所以 . 令，则 , 所以，可得 . 20 令，则 , 所以函数在上单调递增， 则当时,，即 , 又，所以对任意的,恒成立， 即 ，得证. 21 方法二：, . 因为,为方程的两个不同的实数根，所以方程 ， 即方程有两个不同的实数根, . 令,，则, . 令，得 . 当时，，所以在 上单调递减； 当时，，所以在 上单调递增， 所以 . 22 当时， ， 令, , 则， 所以 在上单调递减，所以， 即当 时，， 所以当时， ， 所以. 又在上单调递增，所以 ， 即 ，得证. [总结反思] 极值点偏移问题的解法（极值点为 ） （1）对称化构造法，构造辅助函数，对结论或 型， 构造函数；对结论（或 ）型，构造 函数，通过研究 的单调性获得不等式. （2）比值（差值）代换法，通过代数变形，如 ，将所证的双 变量不等式化为单变量不等式，再利用函数单调性证明. 24 变式题 已知函数，曲线在点 处的切线与直 线 垂直. （1） 求的值，比较与 的大小，并说明理由； 解：由题可知，，则， 又直线 的斜率， 曲线在点处的切线与直线 垂直， 所以，解得 25 ，， 所以当 时，，当时，， 所以在 上单调递增，在上单调递减， 所以，即 ， 即，即 ， 所以 . 26 （2） 若函数有两个不同的零点,，证明： . 证明：不妨设，所以， 化简得 , , 则， . 要证，即证 ， 即证，因为，所以只需证 ， 即证 . 设，因为，所以 ， 27 即证 . 设，则， 所以函数 在上单调递增，所以， 即 ， 即，所以 . 提升习题 29 【备选理由】例1考查利用导数判断函数的单调性和双变量转化为单变量的不等 式证明问题;例2考查整体代换法证明不等式，解题的关键是依据已知等式，设出 新变量，构造新函数，把问题转化为函数的最值问题;例3考查双变量不等式的证 明、极值点偏移问题. 30 例1 ［配例1使用］ [2023·重庆八中一检] 已知函数 . （1） 讨论函数 的单调性； 解：由题意得. 令 ，则，的图象的对称轴为直线， 故 . 当，即时，在上单调递增，所以当 时， ，故，所以在 上单调递增. 当，即 时，若，即，则 恒成立， 故，所以在 上单调递增. 31 若，即 ， 则存在,，使得 ， 其中， ， 故当时，，当时，， 当 时， ， 所以在上单调递增，在上单调递减，在 上单调递增. 综上可知，当时，函数在上单调递增; 当时，函数 在和上单调递增， 在 上单调递减. （2） 若有两个极值点,，证明： . 证明：由（1）可知，要使有两个极值点,，则 ， 且， ， 不妨设，则 ， 从而原不等式转化为 ， 将及 代入上式得 ， 33 化简得，即 . 由，可得，令，则只需证 . 设，则 ， 故在上单调递增，则 ， 故原不等式成立. 例2 ［配例2使用］ [2023·安徽师大附中一模] 已知函数 . （1） 若在定义域上单调递增，求 的取值范围； 解：由题意得的定义域为， ， 由在定义域上单调递增，可得在 上恒成立， 故在 上恒成立. 令，，则 ， 所以当时，, 单调递增； 当时，, 单调递减. 35 故 ,所以， 可得，解得 , 故的取值范围为 . 36 （2） 若，函数，且 ， 求证： . 证明：若,则 ， 由，得 ， 即 ， 即 ， 即 . 令, ， 则，所以当时，, 单调递增； 37 当时，,单调递减. 则 ， 即 ， 解得或 （舍去）， 故 . 例3 ［配例3使用］ 已知函数 . （1） 证明：若，则 ； 证明：的定义域为，要证，只需证 . 设，则 ， 当时，，当时， ， 所以在上单调递减，在 上单调递增， 故 . 因为，所以，故 . 39 （2） 证明：若有两个零点，，则 . 证明：不妨设，则，也是的两个零点， 且 ,，，故. 因为在 上单调递减，所以要证，只需证 . 又，故只需证 . 设，则①式等价于 ， . 40 设 ， 则当时，，故在 上单调递增， 所以当时，，故在上恒成立， 故 在 上单调递增. 又，故，故，所以 . 课后作业 42 ◆ 基础热身 ◆ 1.已知函数， . （1） 当时，求函数的图象在 处的切线方程； 解：当时，，则，所以切点坐标为 ， 又因为，所以切线的斜率， 故切线方程为 ， 即 . 43 （2） 若，正实数，满足 ，求证： . 证明：当时， . 由 ，得 ， 即 ， 令，，则 ， 易知在区间上单调递减，在区间 上单调递增， 所以，所以， 因为， ，所以 . 44 2.已知函数, . （1） 若无零点，求 的取值范围； 解：由题可得，，令，得 ， 当时，，单调递减， 当时，， 单调递增， 所以函数的最小值是， 因为函数 无零点，所以，得， 所以的取值范围是 . 45 （2） 若有两个不同的零点,，证明： . 证明：不妨设，由（1）得，在上单调递减，在 上单调递增， 所以，故，要证，只需证 . 因为 ， 所以 . 设， ， 46 则，因为，所以, 所以函数在区间 上单调递增， 所以在区间上恒成立，故 ， 即，又在上单调递减，所以 ， 所以 . 47 ◆ 综合提升 ◆ 3.已知函数， . （1） 若，比较与 的大小； 解：当时，， ， 令 ，则， 所以在上单调递增，又 ， 所以当时，，； 当时， ， ； 当时，， . 48 （2） 若，求证： . 证明：因为，所以，要证 ， 即证，即证 . 设，且，即证 ，即证， 由（1）知，当时， 成立， 故当时，, 所以当时， . 49 4.[2023·抚顺模拟] 已知函数 . （1） 讨论函数 的单调性； 解：由已知得函数的定义域为 ， ， 当且仅当 时等号成立， 当时，恒成立，所以在 上单调递增； 当时，方程有两个不等的正根， ， 由，即，解得或 . 50 由，即，解得. 所以 在上单调递增，在 上单调递减， 在上单调递增. 综上，当时，在 上单调递增； 当时，在上单调递增，在 上单调递减， 在 上单调递增. 51 （2） 若函数有两个极值点，，且，求证： . 证明：由（1）知，当时，在 上单调递增， 在上单调递减，在 上单调递增， 所以，，且，满足， ， 所以， . ，且 . 令，则， 当 时，，所以在上单调递增，所以 ， 52 故 ，即 ，且 . 令，则 ， 令，则， 所以 在上单调递增，在上单调递减， 所以 ，因此，即， 所以在上单调递减，当 时，， 故，即. 综上， . ◆ 能力拓展 ◆ 5.[2023·烟台模拟] （1） 已知函数，若恒成立，求实数 的值； 解：由题意得的定义域为， . ①当时，，在 上单调递增， 则 ，不合题意. ②当时，若，则； 若，则 在上单调递减，在上单调递增， . 54 若恒成立，则. 令，则 ， 当时，，当时， ， 在上单调递增，在 上单调递减. 又，. 则当时， 符合题意. 综上所述， . 55 （2） 若，，，证明： . 证明：由，得 ， 令，则 ， 当时，，当时， ， 在上单调递减，在上单调递增. 由 ，得 ，，当时，由 ，得， .当时，要证，只需证 ， ，，则只需证 ， 56 又， 只需证 . 令， ， 则， 在 上单调递减，， ， 即，即， . 综上所述， 成立. $$