第19讲 利用导数研究函数的零点课件-2025届高三数学一轮复习

高考数学一轮复习 第19讲 利用导数研究函数的零点 两类零点问题的不同处理方法:利用函数零点存在定理的条件为函数图象在区 间上是连续不断的曲线,且 .①直接法:判断一个零点时,若函数 为单调函数,则只需取值证明 即可;②分类讨论法:判断几个零点时, 需要先结合单调性,确定分类讨论的标准,再利用函数零点存在定理,在每个单调区 间内取值证明 . 2 . （2）分类讨论法,一般命题情境为没有固定区间,求满足函数零点个数的参数范围,通常解法为结合单调性,先确定参数分类的标准,在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意,将满足题意的参数的各小范围并在一起,即为所求参数范围。 提示一:已知函数有零点求参数范围常用的方法有： （1）分离参数法,一般命题 情境为给出区间,求满足函数零点个数的参数范围,通常解法为从 中分离出参 数,然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值,根据题设条件构建关于参数的 不等式,再通过解不等式确定参数范围; 提示二:可化为函数零点的函数问题（与函数零点性质研究）包括两个方向, 一是与函数零点性质有关的问题（更多涉及构造函数法）;二是可以转化为函数零 点的函数问题（更多涉及整体转化、数形结合等方法技巧）.能够利用等价转换、 构造函数法求解的问题常涉及参数的最值、曲线交点、零点的大小关系等.求解时 一般先通过等价转换,将已知转化为函数零点问题,再构造函数,然后利用导数研究 函数的单调性、极值、最值等,并结合分类讨论,通过确定函数的零点达到解决问 题的目的. 探究点一 判断、证明或讨论函数零点的个数 例1 已知函数 . （1） 求函数 的最值； 解：由函数，，得 ， 令，则恒成立， 所以在 上单调递减，且， 所以当时，，当时， ， ［思路点拨］（1）求出导函数，分析导函数的符号，即可得到 的单调 区间，从而求解最值； 5 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时， 取得最大值，最大值为， 无最小值. 6 （2） 讨论函数 的零点个数. 解： 函数 的零点个数就是方程的根的个数， 即方程 的根的个数. ，， 由（1）可知，在 上单调递增，在上单调递减， 当时，取得最大值， 当 时， ，当 时，且， 作出函数 的图象，如图所示. ［思路点拨］（2）把函数零点问题转化为方程 的根的个数问题，数形 结合即可求解. 7 由图可知，当时，函数 没有零点； 当或时，函数 只有一个零点； 当时，函数 有两个零点. 8 例2 [2023·哈尔滨师大附中一模] 已知 . （1） 若，证明： 存在唯一零点； 证明：由 ， 得 . 因为，所以,, , 所以,即，所以在上单调递减. ［思路点拨］（1）求导，利用导数判断在 上的单调性，进而由函数零 点存在定理证明； 9 又 ,， 所以 存在唯一零点. 10 （2） 当时，判断 的零点个数. 解：由，得 ， 当 时，因为， ，两个等号不能同时取到, 所以， 所以 在上单调递减， 又，所以 在 上没有零点. ［思路点拨］（2）对 分类讨论，结合导数判断单调性，由函数零点存在定 理即可求解. 11 令,则 当 时，，所以在上单调递增， 又 ,所以当时，，故在上单调递减， 当 时，，故在上单调递增， 又，所以当时， 只有1个零点. 当 时，，所以在 上单调递减， 又,， 所以存在 ,使得，且当时，,单调递增， 当 时，,单调递减， 又, ， 所以当时,,此时无零点， 当 时， 只有1个零点. 综上可知，当时， 有2个零点. [总结反思] 确定函数零点个数的方法： （1）数形结合法：构建函数（要求易求， 可解），转化为确 定 的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值（最值），并 确定定义域区间端点值的符号（或变化趋势）等，画出 的图象，数形结合求 解函数零点的个数. （2）利用函数零点存在定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利 用导数研究函数的单调性、极值（最值）及区间端点值的符号，进而判断函数在 该区间上零点的个数. 14 变式题1 已知函数 . （1） 当时，求函数 的极值点； 解：函数的定义域为， . 当时，， 则，， ，此时， 当时，， 则，， ，此时， 所以函数在上单调递减，在 上单调递增， 所以函数的极小值点为 ，无极大值点. 15 （2） 当时，求函数 的零点个数. 解：当时，， 函数 的定义域为，且 . 令，其中，则. 令 可得 ，列表如下： 0 - 单调递增 单调递减 16 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为 ， 因为，， ， 所以函数在，上各有一个零点，且其中一个零点为 . 综上所述，当时，函数 的零点个数为2. 变式题2 [2023·莆田一模] 已知函数 . （1） 若在上单调递减，求 的取值范围； 解：因为，所以, 由在 上单调递减，得，即在 上恒成立. 令,则 . 当时，， 单调递增； 当时，， 单调递减. 故，由，解得 ， 故的取值范围为 . 18 （2） 当时，求证：在上只有一个零点，且 . 证明：由（1）可知，在上单调递减， 当 时，， ， 故存在，使得 . 当时，，函数 单调递增； 当时，，函数 单调递减. 因为，，所以在上只有一个零点 ， 故函数在上只有一个零点 . 因为，所以要证，即证 ， 只需证. 19 由，得 ， 所以只需证 . 令,，则 . 当时，，单调递增； 当时，， 单调递减. 故，故 ，原不等式得证. 探究点二 根据零点个数确定参数范围 例3 [2024·哈尔滨九中一检] 已知函数 . （1） 若函数的图象与直线相切，求实数 的值； 解：设直线与函数的图象相切于点，因为 , 所以由②③可得，易知 . ［思路点拨］（1）设出切点坐标，根据导数的几何意义列出方程组，求出切点 的横坐标，进而可求得的值; 21 由①得，代入④可得 ， 即， 即，解得 ， 故 . 22 （2） 若函数有且只有一个零点，求实数 的取值范围. 解：令，可得 ， 由题意可得 只有一个根. 易知不是方程的根，所以 只有一个根. 设，则直线与 的图象只有一个交点. ［思路点拨］（2）由题意可得 只有一个根， 可转化为直线与的图象只有一个交点，根据导数研究函数 的单调性，数形结合即可求解. 23 易知 . 当时，，函数 单调递增； 当时，，函数 单调递减； 当时，，函数 单调递增. 设，则 . 当时，，函数 单调递减； 当时，，函数 单调递增. 所以，所以 . , 当 时，，当时， , 当时， ,当 时， ， 作出直线 与函数 的图象，如图所示. 由图可知，若直线与的图象只有一个交点， 则 ， 所以实数的取值范围是 . [总结反思] 通过数形结合的方法解决依据函数零点个数确定参数取值范围的问题，最终是通 过两个相关函数图象的交点个数确定参数需满足的条件,进而求得参数的取值范围, 解决问题的步骤是“先形后数”. 26 变式题 [2024·重庆一中模拟] 已知 . （1） 当,时，求函数 的极值； 解：当,时， ， ， 当时，， 单调递减， 当时，， 单调递增， ， 无极大值. 27 （2） 当时，设，若函数在 上有两个不 同的零点，求 的取值范围. 解：当时， ， 当时，令，则 ， 即，即 ，即 . ,， . 令，则， 在 上恒成立，在 上单调递增， ，， . 28 令,,则 . 当时，，单调递增； 当时，， 单调递减. 又, ,， 的大致图象如图所示. 由图可知，要使在 上有两个不同的根， 只需，即 ， 的取值范围为 . 29 提升习题 30 【备选理由】例1考查证明函数零点的个数，解题的关键是利用导数判断函数的 单调性，然后结合函数零点存在定理确定函数的零点，考查数学转化思想和计算 能力;例2考查利用导数研究函数的单调性,考查根据零点的个数求参数的取值范围; 例3考查根据零点的个数求参数的取值范围，题中有两个参数，其中一个参数给 出了取值区间，求另一个参数的取值范围，有利于开阔学生的视野;例4考查利用 导数研究函数的单调性，考查根据零点的个数求参数的取值范围及不等式的证明， 综合性较强. 31 例1 ［配例2使用］ [2023·武汉一检] 已知函数，其中 . （1） 证明： 恒有唯一零点； 证明：由，得， 令，可得 ， 令，得，此时 单调递增， 令，得，此时 单调递减， 又，所以当时，，当时， ， 当时，直线与函数的图象只有一个交点，所以 恒有唯一零点. 32 （2） 记（1）中的零点为，当时，证明： 的图象上存在关于点 对称的两点. 解：因为，在上单调递增，且 ， 所以 ， 要证的图象上存在关于点 对称的两点， 只需证方程 有解， 即证 有解， 即证 有解， 即证 有解. 33 令 ， 则 . 令 ， 则 . 令 ， 则 ， 当时，，则， 单调递增， 当时，，则， 单调递减， 故，因为，所以 ， 又当时， ，当时， ， 故有两个零点,，且， 则当 时，，单调递减， 当时，， 单调递增， 当时，， 单调递减. 又，且当时， ，当时， ， 故先正后负再正再负，则先增后减再增再减， 且是函数 的极小值点. 又当时，，当时，， ， 故在区间上有一个零点，在区间 上也有一个零点，得证. 例2 ［配例3使用］ 已知 . （1） 当时，求函数 的单调区间； 解：由，得， 当 时， . 令得或，令得 ， 的单调递增区间为,，单调递减区间为 . 36 （2） 设，若函数有两个零点，求 的取值范围. 解：方法一：由已知得 ， 故 . ①当时，,在 上单调递增， 不可能存在两个零点. ②当时，令得，令得 ， 故在上单调递减，在 上单调递增， . 当时， ，当 时， ，且 有两个零点， ， 37 又，故，解得 . 综上可知，的取值范围为 . 方法二：有两个零点等价于 关于 的方程 有两个实根， 即 有两个实根. 易得，则 有两个实根. 令，则 ， 由得 ， 由得 ， 在上单调递增，在 上单调递减， . 又当时， ， 当时，，当 时，， 的大致图象如图所示， 由图可知，当，即时， 直线与函数 的图象有两个交点，即 有两个零点， 的取值范围为 . 例3 ［配例3使用］ [2024·郑州一模] 已知 ， 对任意的，恒有两个零点，则 的取值范围是______________. [解析] 由题可得，令，得 ， 所以当时，，当时， ， 所以在上单调递增，在 上单调递减， 又当时， ，有两个零点，所以 所以对任意的， 恒成立， 所以且 . 40 因为在上单调递减，所以当时， ， 因为在上单调递减，所以当时， ， 所以的取值范围为 . 41 例4 ［配例3使用］ [2023·深圳一模] 已知函数 . （1） 讨论函数 的单调性. 解：由题可得 ， 当时，，所以函数在 上单调递减. 当时，设，则 ， 所以函数在上单调递增， 即在 上单调递增. 令，得 ， 42 当时，，函数 单调递减， 当时，，函数 单调递增. 综上可得，当时，函数在 上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在 上单调递增. 43 （2） 当时，函数 恰有两个零点. （ⅰ） 求 的取值范围； 解 ， 函数的定义域为 ， ， 设，则 ， 所以函数在 上单调递增. 由（1）可知，当时， ， 44 即 ，所以 ， 所以 ， 又 ，所以由函数零点存在定理可得， 存在，使得，即 . 当时，，则， 单调递减， 当时，，则， 单调递增. 45 当时，由可知 ， 且 . 设，则 ， 所以函数在 上单调递增. 因为，所以结合 ， 得，又，所以 ， 所以 ， 即 ， 所以当时，函数 最多有一个零点，与题意矛盾. 当时， ， 设，则 ， 所以函数在 上单调递增， 所以，则 . 因为，所以，即，所以 ， 则 ， 所以，且 ， 当时， ， 所以由的单调性可知，则 ， 因为在 上单调递减， 在 上单调递增， 所以由函数零点存在定理可知，在区间 上存在唯一的零点， 又，且 ， 所以由函数零点存在定理可知，在区间 上存在唯一的零点， 所以当时，函数 恰有两个零点. 综上所述，的取值范围为 . （ⅱ） 证明: . 证明：因为，即 ， 即 ， 所以 ， 由基本不等式可得 ， 当且仅当，即 时取等号， 由及可得，这与矛盾，所以 ， 所以 . 49 要证，只需证 . 设 ，则 ， 所以函数在 上单调递减， 所以当时， . 因为，所以 ， 所以 ， 又 ， 所以 . $$