浙江省精准联盟2024-2025学年九年级上学期期中质量调研数学试卷

2024-2025学年浙江省宁波市精准联盟九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分） 1．（3分）下列事件中，属于必然事件的是（　　） A．任意抛掷一只纸杯，杯口朝下 B．a为实数，|a|＞0 C．打开电视，正在播放动画片 D．任选三角形的两边，其差小于第三边 2．（3分）抛物线y＝﹣2（x﹣1）2﹣6的顶点坐标为（　　） A．（﹣1，6） B．（1，﹣6） C．（1，6） D．（﹣1，﹣6） 3．（3分）如图，线段AB，CD相交于点O，AC∥BD，若OA＝6，OC＝3，OD＝2，则OB的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（3分）如图，以量角器的直径AB为斜边画直角三角形ABC，量角器上点D对应的读数是100°，则∠BCD的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．80° 5．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（　　） x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 … y … ﹣1 ﹣0.49 0.04 0.59 1.16 … A．1＜x＜1.1 B．1.1＜x＜1.2 C．1.2＜x＜1.3 D．1.3＜x＜1.4 6．（3分）为了解学生在假期中的阅读量，语文老师统计了全班学生在假期里的看书数量，统计结果如表：那么假期里该班学生看书数量的平均数与众数分别为（　　） 看书数量/（本） 2 3 4 5 6 人数/（人） 6 6 10 8 5 A．4，5 B．5，4 C．4，4 D．5，5 7．（3分）某商品的进价为每件20元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件．则每星期售出商品的利润y（单位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（　　） A．y＝（200﹣5x）（40﹣20+x） B．y＝（200+5x）（40﹣20﹣x） C．y＝200（40﹣20﹣x） D．y＝200﹣5x 8．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝﹣1，点B的坐标为（1，0），则下列结论中，不正确的是（　　） A．AB＝4 B．b2﹣4ac＞0 C．ab＜0 D．a﹣b+c＜0 9．（3分）如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，以点O为圆心，OA为半径作弧交AB于点C，交OB于点D，若OA＝4，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 10．（3分）已知a1＞a2＞a3＞0，且x1，x2，x3都是大于1的数，若满足a1（x1+1）（x1﹣1）＝1，a2（x2+1）（x2﹣1）＝2，a3（x3+1）（x3﹣1）＝3，则（　　） A．x3＜x2＜x1 B．x1＝x2＝x3 C．x3＜x1＜x2 D．x1＜x2＜x3 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）抛物线y＝﹣x2+5的开口方向是向 　 　． 12．（3分）若点A（0，y1），B（1，y2），C（3，y3）在抛物线y＝（x﹣1）2+k上，则y1，y2，y3的大小关系为 　 　（用“＞”连接）． 13．（3分）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝6，那么AP的长是　 　． 14．（3分）如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是 　 　． 15．（3分）如图，AB是⊙O的弦，C是优弧上一动点，连接AC，BC，M，N分别是AB，BC的中点，连接MN．若AB＝8，∠ACB＝45°，则MN的最大值为 　 　． 16．（3分）如图，△ABC是一个含45°角的三角板，∠A＝90°，，将三角板绕着点C顺时针旋转α（0°＜α＜180°）后，点A与点D对应，点B与点E对应，当边DE与原三角板的一边平行时，则点A与点E的距离为　 　． 三、解答题（本题有8小题，共72分） 17．（8分）（1）已知，求x：y的值． （2）已知线段a＝2，b＝8，求线段a，b的比例中项． 18．（8分）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A，B，C在格点上． （1）画出过A，B，C三点的圆的圆心P； （2）求AC的长． 19．（8分）现有三位“抗疫”英雄（依次标记为A，B，C）．为了让同学们了解他们的英雄事迹，张老师设计了如下活动：取三张完全相同的卡片，分别在正面写上A，B，C三个标号，然后背面朝上放置，搅匀后请一位同学从中随机抽取一张，记下标号后放回，要求大家依据抽到标号所对应的人物查找相应“抗疫”英雄资料． （1）求班长在这三种卡片中随机抽到标号为C的概率； （2）用树状图或列表法求小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同“抗疫”英雄标号的概率． 20．（8分）如图，水平放置的圆柱形排水管的截面半径为12cm，截面中有水部分弓形的高为6cm． （1）求截面中弦AB的长； （2）求截面中有水部分弓形的面积． 21．（8分）如图，二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）的图象的对称轴为直线x＝2． （1）求a的值． （2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式． 22．（10分）为响应吴兴区“千里助力，精准扶贫”活动，某销售平台为青川农户销售农产品，平台销售农产品的总运营成本为4元/千克，在销售过程中要保证农户的售价不低于7元/千克，且不超过15元/千克．如图记录了某三周的销售数据，经调查分析发现，每周的农产品销售量y（千克）与售价x（元/千克）（x为正整数）近似满足如图规律的函数关系． （1）试写出y与x符合的函数表达式． （2）若要确保农产品一周的销售量不少于6500千克，问：当农产品售价定为多少时，青川农户可获得最大收入？最大收入为多少？ 23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆O，交BC于点D，交AC于点E． （1）求证：BD＝CD． （2）若弧DE＝50°，求∠C的度数． 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3交y轴于点A，且过点B（﹣1，2），C（3，0）． （1）求抛物线的函数解析式； （2）将抛物线向左平移m（m＞0）个单位，当抛物线经过点B时，求m的值； （3）若P是抛物线上位于第一象限内的一点，且S△ABC＝2S△ACP，求点P的坐标． 2024-2025学年浙江省宁波市精准联盟九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分） 1．（3分）下列事件中，属于必然事件的是（　　） A．任意抛掷一只纸杯，杯口朝下 B．a为实数，|a|＞0 C．打开电视，正在播放动画片 D．任选三角形的两边，其差小于第三边 【分析】根据绝对值的非负性，随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、任意抛掷一只纸杯，杯口朝下，是随机事件，故A不符合题意； B、a为实数，|a|＞0，是随机事件，故B不符合题意； C、打开电视，正在播放动画片，是随机事件，故C不符合题意； D、任选三角形的两边，其差小于第三边，是必然事件，故D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了绝对值，绝对值的非负性，随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键． 2．（3分）抛物线y＝﹣2（x﹣1）2﹣6的顶点坐标为（　　） A．（﹣1，6） B．（1，﹣6） C．（1，6） D．（﹣1，﹣6） 【分析】根据所给抛物线解析式为顶点式即可得出顶点的坐标． 【解答】解：因为抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣1）2﹣6， 所以抛物线的顶点坐标为（1，﹣6）． 故选：B． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数表达式中的顶点式是解题的关键． 3．（3分）如图，线段AB，CD相交于点O，AC∥BD，若OA＝6，OC＝3，OD＝2，则OB的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等，可得∠C＝∠D，∠A＝∠B，则△AOC∽△BOD，由相似三角形的性质得，代入数值即可求解． 【解答】解：∵AC∥BD， ∴∠C＝∠D，∠A＝∠B， ∴△AOC∽△BOD， ∴， ∵OA＝6，OC＝3，OD＝2， ∴， ∴OB＝4． 故选：B． 【点评】本题主要考查平行线的性质、相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例时解题关键． 4．（3分）如图，以量角器的直径AB为斜边画直角三角形ABC，量角器上点D对应的读数是100°，则∠BCD的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．80° 【分析】根据以量角器的直径AB为斜边画直角三角形ABC，可知A、C、B、D四点共圆，再根据圆周角定理求解即可． 【解答】解：设AB的中点为O，连接OD，如图所示： ∵以量角器的直径AB为斜边画直角三角形ABC， ∴A、C、B、D四点共圆， ∵量角器上点D对应的读数是100°， ∴∠BOD＝180°﹣100°＝80°， ∴∠BCD＝∠BOD＝40°， 故选：B． 【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 5．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（　　） x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 … y … ﹣1 ﹣0.49 0.04 0.59 1.16 … A．1＜x＜1.1 B．1.1＜x＜1.2 C．1.2＜x＜1.3 D．1.3＜x＜1.4 【分析】根据表格中自变量、函数的值的变化情况，得出当y＝0时，相应的自变量的取值范围即可． 【解答】解：由表格数据可得，当x＝1.1时，y＝﹣0.49，当x＝1.2时，y＝0.04， 于是可得，当y＝0时，相应的自变量x的取值范围为1.1＜x＜1.2， 故选：B． 【点评】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取值即可． 6．（3分）为了解学生在假期中的阅读量，语文老师统计了全班学生在假期里的看书数量，统计结果如表：那么假期里该班学生看书数量的平均数与众数分别为（　　） 看书数量/（本） 2 3 4 5 6 人数/（人） 6 6 10 8 5 A．4，5 B．5，4 C．4，4 D．5，5 【分析】直接根据平均数及众数的定义求解即可． 【解答】解：由题意可知，假期里该班学生看书数量的平均数＝＝4（本）， ∵看书数量为4本的有10人，人数最多， ∴众数为4（本）， 故选：C． 【点评】本题考查了众数和加权平均数，解题的关键是熟练掌握平均数的计算公式． 7．（3分）某商品的进价为每件20元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件．则每星期售出商品的利润y（单位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（　　） A．y＝（200﹣5x）（40﹣20+x） B．y＝（200+5x）（40﹣20﹣x） C．y＝200（40﹣20﹣x） D．y＝200﹣5x 【分析】由每件涨价x元，可得出销售每件的利润为（40﹣20+x）元，每星期的销售量为（200﹣5x）件，再利用每星期售出商品的利润＝销售每件的利润×每星期的销售量，即可得出结论． 【解答】解：∵每涨价1元，每星期要少卖出5件，每件涨价x元， ∴销售每件的利润为（40﹣20+x）元，每星期的销售量为（200﹣5x）件， ∴每星期售出商品的利润y＝（200﹣5x）（40﹣20+x）． 故选：A． 【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y与x之间的函数关系式． 8．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝﹣1，点B的坐标为（1，0），则下列结论中，不正确的是（　　） A．AB＝4 B．b2﹣4ac＞0 C．ab＜0 D．a﹣b+c＜0 【分析】用抛物线的对称性可确定A点坐标为（﹣3，0），则可对选项A进行判断；利用根的判别式的意义和抛物线与x轴有2个交点可对选项B进行判断；由抛物线开口向下得到a＞0，再利用对称轴方程得到b＝2a＞0，则可对选项C进行判断；利用x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0和a＞0可对选项D进行判断． 【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，点B的坐标为（1，0）， ∴A（﹣3，0）， ∴AB＝1﹣（﹣3）＝4，所以选项A正确，不合题意； ∵抛物线与x轴有2个交点， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0，所以选项B正确，不合题意； ∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1， ∴b＝2a＞0， ∴ab＞0，所以选项C不正确，符合题意； ∵x＝﹣1时，y＜0， ∴a﹣b+c＜0，所以D正确，不合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．也考查了二次函数的性质． 9．（3分）如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，以点O为圆心，OA为半径作弧交AB于点C，交OB于点D，若OA＝4，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【分析】连接OC，根据直角三角形的性质求出AB，证明△AOC为等边三角形，得到∠AOC＝60°，∠COB＝30°，得到，进而得到OC为△AOB的中线，得到S△AOC＝S△BOC，推出阴影部分的面积等于S扇形AOC﹣S扇形DOC，计算即可． 【解答】解：连接OC， ∵∠AOB＝90°，∠B＝30°，OA＝4， ∴AB＝2OA＝8， ∵OA＝OC，∠OAB＝60°， ∴△AOC为等边三角形， ∴∠AOC＝60°， ∴∠COB＝30°， ∴， ∴OC为△AOB的中线， ∴S△AOC＝S△BOC， ∴阴影部分的面积为． 故选：A． 【点评】本题考查求不规则图形的面积，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，扇形的面积．正确的分割图形，利用分割法求面积，是解题的关键． 10．（3分）已知a1＞a2＞a3＞0，且x1，x2，x3都是大于1的数，若满足a1（x1+1）（x1﹣1）＝1，a2（x2+1）（x2﹣1）＝2，a3（x3+1）（x3﹣1）＝3，则（　　） A．x3＜x2＜x1 B．x1＝x2＝x3 C．x3＜x1＜x2 D．x1＜x2＜x3 【分析】根据a1＞a2＞a3＞0，可得＜＜，又由于x1，x2，x3都是大于1的数，可得（x1+1）（x1﹣1）＞0，a2（x2+1）（x2﹣1）＞0，a3（x3+1）（x3﹣1）＞0，进而得出（x1+1）（x1﹣1）＝，（x2+1）（x2﹣1）＝，（x3+1）（x3﹣1）＝，再根据完全平方公式可得（x1+1）（x1﹣1）＝x12﹣1，（x2+1）（x2﹣1）＝﹣1，（x3+1）（x3﹣1）＝x32﹣1，进而得出答案． 【解答】解：∵a1＞a2＞a3＞0， ∴＜＜， ∵x1，x2，x3都是大于1的数， ∴（x1+1）（x1﹣1）＞0，a2（x2+1）（x2﹣1）＞0，a3（x3+1）（x3﹣1）＞0， ∵a1（x1+1）（x1﹣1）＝1，a2（x2+1）（x2﹣1）＝2，a3（x3+1）（x3﹣1）＝3， ∴（x1+1）（x1﹣1）＝，（x2+1）（x2﹣1）＝，（x3+1）（x3﹣1）＝， ∵＜＜， ∴（x1+1）（x1﹣1）＜（x2+1）（x2﹣1）＜（x3+1）（x3﹣1）， ∵（x1+1）（x1﹣1）＝x12﹣1，（x2+1）（x2﹣1）＝﹣1，（x3+1）（x3﹣1）＝x32﹣1， ∴x12﹣1＜﹣1＜x32﹣1， ∴x12＜＜x32， ∵x1，x2，x3都是大于1的数， ∴x1＜x2＜x3． 故选：D． 【点评】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）抛物线y＝﹣x2+5的开口方向是向 　下　． 【分析】直接根据二次函数的性质进行解答即可． 【解答】解：y＝﹣x2+5中，a＝﹣1＜0， ∴抛物线y＝﹣x2+5开口方向向下， 故答案为：下． 【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的性质是解答此题的关键． 12．（3分）若点A（0，y1），B（1，y2），C（3，y3）在抛物线y＝（x﹣1）2+k上，则y1，y2，y3的大小关系为 　y1＞y3＞y2　（用“＞”连接）． 【分析】根据y＝（x﹣1）2+k可求出函数的对称轴，点B、C在对称轴右侧，函数图形开口向上，y随x增大而增大，可以判断y2，y3的大小，而点A离对称轴最远，故y1的值最大，据此即可判断． 【解答】解：∵抛物线的开口向上，且对称轴为直线x＝1， ∵B、C点在抛物线右侧，2＜3， ∴y3＞y2， ∵x＝﹣3离对称轴最远，y值最大，x＝2离对称轴最近，y值最小， ∴y1＞y3＞y2． 故答案为：y1＞y3＞y2． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数中变化时，抛物线的开口方向以及对称轴的位置对的影响是解题的关键． 13．（3分）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝6，那么AP的长是　3﹣3　． 【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP＝AB，代入数据即可得出AP的长． 【解答】解：由于P为线段AB＝6的黄金分割点， 且AP是较长线段； 则AP＝6×＝3﹣3． 故答案为：3﹣3． 【点评】本题考查了黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割． 14．（3分）如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是 　3秒或4.8秒　． 【分析】如果以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，由于A与A对应，那么分两种情况：①D与B对应；②D与C对应．根据相似三角形的性质分别作答． 【解答】解：如果两点同时运动，设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似， 则AD＝t，CE＝2t，AE＝AC﹣CE＝12﹣2t． ①当D与B对应时，有△ADE∽△ABC． ∴AD：AB＝AE：AC， ∴t：6＝（12﹣2t）：12， ∴t＝3； ②当D与C对应时，有△ADE∽△ACB． ∴AD：AC＝AE：AB， ∴t：12＝（12﹣2t）：6， ∴t＝4.8． 故当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是3秒或4.8秒． 【点评】主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例．本题分析出以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，有两种情况是解决问题的关键． 15．（3分）如图，AB是⊙O的弦，C是优弧上一动点，连接AC，BC，M，N分别是AB，BC的中点，连接MN．若AB＝8，∠ACB＝45°，则MN的最大值为 　4　． 【分析】根据中位线定理得到MN的长最大时，BC最大，当BC最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值． 【解答】解：∵点M，N分别是AB，AC的中点， ∴MN＝BC， ∴当BC取得最大值时，MN就取得最大值，当BC是直径时，BC最大， 连接BO并延长交⊙O于点C′，连接AC′， ∵BC′是⊙O的直径，′′ ∴∠BAC′＝90°． ∵∠ACB＝45°，AB＝8， ∴∠AC′B＝45°， ∴BC′＝＝＝8， ∴MN最大＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了三角形外接圆与外心，三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及圆周角定理，解题的关键是了解当什么时候MN的值最大，难度不大． 16．（3分）如图，△ABC是一个含45°角的三角板，∠A＝90°，，将三角板绕着点C顺时针旋转α（0°＜α＜180°）后，点A与点D对应，点B与点E对应，当边DE与原三角板的一边平行时，则点A与点E的距离为　或5　． 【分析】据题意画出图形，分将三角板绕着点C顺时针旋转 45°及90°两种情况讨论，进行求解即可． 【解答】解：∵△ABC中，∠A＝90°，BC＝，∠B＝45° ∴AB＝AC＝5， 由旋转性质可得：， 如图所示， 将三角板绕着点C顺时针旋转 45°后，DE∥BC， 此时； 如图所示， 将三角板绕着点C顺时针旋转90°后，DE∥AC， ∵DE∥AC，DE＝AC， ∴四边形ACDE是平行四边形， ∵∠CDE＝90°， ∴四边形ACDE是矩形， ∴AE＝CD＝5， 故答案为：或5． 【点评】本题考查了旋转的性质，平行线的性质及矩形的判定与性质等，解题关键是能够根据题意画出图形，再利用相关性质解题． 三、解答题（本题有8小题，共72分） 17．（8分）（1）已知，求x：y的值． （2）已知线段a＝2，b＝8，求线段a，b的比例中项． 【分析】（1）根据比例的基本性质得到7x＝3x+3y，移项得到4x＝3y，于是得到x：y＝3：4； （2）根据比例中项的定义得到方程c2＝ab，解之可得答案． 【解答】解：（1）∵， ∴7x＝3x+3y， ∴4x＝3y， ∴x：y＝3：4； （2）设c为线段 a，b的比例中项， 则c2＝ab， 即c2＝16， 由于 c＞0， 故c＝4． 【点评】本题主要考查比例线段，熟练掌握线段的比例中项的定义是解题的关键． 18．（8分）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A，B，C在格点上． （1）画出过A，B，C三点的圆的圆心P； （2）求AC的长． 【分析】（1）连接AB，BC，分别作线段AB，BC的垂直平分线，交点即为过A，B，C三点的圆的圆心P． （2）利用勾股定理计算即可． 【解答】解：（1）如图，连接AB，BC，分别作线段AB，BC的垂直平分线，相交于点P， 则点P即为所求． （2）由勾股定理得，AC＝＝． 【点评】本题考查作图—应用与设计作图、垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理、勾股定理是解答本题的关键． 19．（8分）现有三位“抗疫”英雄（依次标记为A，B，C）．为了让同学们了解他们的英雄事迹，张老师设计了如下活动：取三张完全相同的卡片，分别在正面写上A，B，C三个标号，然后背面朝上放置，搅匀后请一位同学从中随机抽取一张，记下标号后放回，要求大家依据抽到标号所对应的人物查找相应“抗疫”英雄资料． （1）求班长在这三种卡片中随机抽到标号为C的概率； （2）用树状图或列表法求小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同“抗疫”英雄标号的概率． 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有9种等可能的结果，其中小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同“抗疫”英雄标号的结果有6种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：（1）∵共有三张卡片，分别是A，B，C三个标号， ∴班长在这三种卡片中随机抽到标号为C的概率为； （2）画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同“抗疫”英雄标号的结果有6种， ∴小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同“抗疫”英雄标号的概率为＝． 【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 20．（8分）如图，水平放置的圆柱形排水管的截面半径为12cm，截面中有水部分弓形的高为6cm． （1）求截面中弦AB的长； （2）求截面中有水部分弓形的面积． 【分析】（1）连接OA、OB，过O作OD⊥AB，交AB于点E，由于弓形的高为6cm可求出OE的长，在Rt△AOE中利用三角函数的定义可求出∠AOE＝60°，解直角三角形求得AE，进一步求得AB； （2）由垂径定理可知，∠AOE＝∠BOE，进而可求出∠AOB的度数，根据扇形及三角形的面积可求出弓形的面积． 【解答】解：连接OA、OB，过O作OD⊥AB，交AB于点E， ∵弓形的高为6cm，截面半径为12cm， ∴OE＝OD﹣DE＝12﹣6＝6cm， 在Rt△AOE中，OE＝OB＝6cm， ∴∠OAE＝30°，∠AOE＝60°， ∴AE＝OA＝×12＝6（cm）， ∴AB＝2AE＝12cm； （2）∵∠AOE＝60°， ∴∠AOB＝2∠AOE＝2×60°＝120°， ∴S弓形＝S扇形AOB﹣S△AOB＝﹣12×6＝（）（cm2）． 【点评】本题考查的是垂径定理、解直角三角形、扇形及三角形的面积，根据题意画出图形是解答此题的关键． 21．（8分）如图，二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）的图象的对称轴为直线x＝2． （1）求a的值． （2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式． 【分析】（1）根据抛物线解析式得到抛物线与x轴的交点横坐标，结合抛物线的轴对称性质求得a的值即可． （2）将a的值代入，结合抛物线解析式求平移后图象所对应的二次函数的表达式． 【解答】解：（1）由二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）知，该抛物线与x轴的交点坐标是（1，0）和（a，0）． ∵对称轴为直线x＝2， ∴＝2． 解得a＝3； （2）由（1）知，a＝3，则该抛物线解析式是：y＝x2﹣4x+3． ∴抛物线向下平移3个单位后经过原点． ∴平移后图象所对应的二次函数的表达式是y＝x2﹣4x． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上的点的坐标，根据对于函数图象的描述能够理解函数的解析式的特点，是解决本题的关键． 22．（10分）为响应吴兴区“千里助力，精准扶贫”活动，某销售平台为青川农户销售农产品，平台销售农产品的总运营成本为4元/千克，在销售过程中要保证农户的售价不低于7元/千克，且不超过15元/千克．如图记录了某三周的销售数据，经调查分析发现，每周的农产品销售量y（千克）与售价x（元/千克）（x为正整数）近似满足如图规律的函数关系． （1）试写出y与x符合的函数表达式． （2）若要确保农产品一周的销售量不少于6500千克，问：当农产品售价定为多少时，青川农户可获得最大收入？最大收入为多少？ 【分析】（1）由图观察可得y与x之间符合一次函数关系，用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式； （2）设这一周该商场销售这种商品的利润为w元，根据题意得二次函数的解析式，然后根据二次函数的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）由图可知，x值增加1，y值减小500，故y与x之间符合一次函数关系， 设y和x的函数表达式为：y＝kx+b，则， 解得， ∴y和x的函数表达式为：y＝﹣500x+12000； （2）设这一周青川农户可获得的利润为w元， ∵农产品一周的销售量不少于6500千克， ∴﹣500x+12000≥6500，解得x≤11， ∴7≤x≤11， 而w＝y（x﹣4）＝（﹣500x+12000）（x﹣4）＝﹣500（x﹣14）2+50000， ∵﹣500＜0，抛物线对称轴为直线x＝14， ∴7≤x≤11在对称轴左侧，w随x的增大而增大， ∴x＝11时，w有最大值为45500元， 故当农产品售价定为11时，青川农户可获得最大收入，最大收入为45500元． 【点评】本题考查了一次函数和二次函数在实际问题中 应用，明确二次函数的相关性质及正确列出函数关系式，是解题的关键． 23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆O，交BC于点D，交AC于点E． （1）求证：BD＝CD． （2）若弧DE＝50°，求∠C的度数． 【分析】（1）连接AD，利用圆周角定理推知AD⊥BD，然后由等腰三角形的性质证得结论； （2）根据已知条件得到∠EOD＝50°，结合圆周角定理求得∠DAC＝25°，所以根据直角三角形的性质求得∠ABD的度数，根据等腰三角形的性质即可得解． 【解答】（1）证明：如图，连接AD， ∵AB是圆O的直径， ∴∠ABD＝90°， ∴AD⊥BD， 又∵AB＝AC， ∴BD＝CD． （2）解：连接OD、OE， ∵弧DE＝50°， ∴∠EOD＝50°． ∴∠DAE＝∠DOE＝25°， ∵由（1）知，∠ADB＝90°， ∴∠ABD＝90°﹣25°＝65°， ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠ABD＝65°． 【点评】此题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理、等腰三角形的性质是解题的关键． 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3交y轴于点A，且过点B（﹣1，2），C（3，0）． （1）求抛物线的函数解析式； （2）将抛物线向左平移m（m＞0）个单位，当抛物线经过点B时，求m的值； （3）若P是抛物线上位于第一象限内的一点，且S△ABC＝2S△ACP，求点P的坐标． 【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可； （2）由（1）解析式求出对称轴，再求出点B关于对称轴的对称点B′，求出BB′的长度即可； （3）先求出直线AC的解析式，再过点B作BD⊥y轴交AC于点D，求出点D的坐标，过点P作PE⊥x轴交AC于点E，设点P（x，﹣x2+x+3），则E（x，﹣x+3），求出PE的长度，求出△ABC的面积，再根据S△ABC＝2S△ACP，求出△ACP的面积，然后得出关于x的方程，解方程求出x的值即可． 【解答】解：（1）把B（﹣1，2），C（3，0）代入y＝ax2+bx+3， 则， 解得， ∴抛物线的函数解析式为y＝﹣x2+x+3； （2）∵y＝﹣x2+x+3， ∴对称轴为直线x＝﹣＝， 令B点关于对称轴的对称点为B′， ∴B′（2，2）， ∴BB′＝3， ∵抛物线向左平移m（m＞0）个单位经过点B， ∴m＝3； （3）设直线AC的解析式为y＝kx+n， 把A（0，3），C（3，0）代入y＝kx+n得：， 解得， ∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3， 过点B作BD⊥y轴交AC于点D，如图： 则点D的纵坐标为2， 把y＝2代入y＝﹣x+3得，﹣x+3＝2， 解得x＝1， ∴D（1，2）， ∴BD＝2， ∴S△ABC＝S△ABD+S△BCD＝×1•BD+×2•BD＝1+2＝3， 过点P作PE⊥x轴交AC于点E， 设点P（x，﹣x2+x+3），则E（x，﹣x+3）， ∴PE＝﹣x2+x+3﹣（﹣x+3）＝﹣x2+x， ∵S△ABC＝2S△ACP＝3， ∴S△ACP＝， ∵S△ACP＝×3•PE＝． ∴PE＝1， 令﹣x2+x＝1， 解得x＝1或2， ∴当x＝1时，y＝﹣++3＝3； 当x＝2时，y＝﹣×4+×2+3＝2， ∴P（1，3）或（2，2）． 【点评】本题主要考查二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、解析式的求法等知识，关键是掌握二次函数的性质和平移的性质． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$