4.1数列的概念（第1课时）（导学案）-【上好课】高二数学选择性必修第二册同步高效课堂（人教A版2019）

第四章 数列 4.1数列的概念（第1课时） 4.1.1数列的概念与通项公式 一、教学目标 (1)能通过对具体实例的共同特征的归纳，抽象出数列的一般概念；知道数列的一般表示，并能说出表示的具体含义；能用函数的观点解释数列，知道是从正整数集(或它的有限子集)到实数集的函数；通过数列概念的抽象，发展数学抽象素养； (2)能类比函数的表示，用通项公式、图象或表格表示一个数列，能说出三种表示方法各自的优势；能通过对数列与函数在表示方法上的异同点的比较，进一步体会函数与数列的联系，加深对数列本质的认识. (3)能说明数列通项公式中各个量的含义；能认识到通项公式是数列最基本最重要的表示方法，其本质就是数列的函数解析式；能根据数列的通项公式，写出数列的任意项，或根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，体会特殊与一般的数学思想. 二、重点难点 重点：数列的有关概念与数列的表示方法、数列的通项公式. 难点：数列的函数视角的类比思维与认知. 三、教学过程 环节一：创设情境，导入新课 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家在沙滩上研究数学问题.他们研究数的概念时，喜欢把数描绘成沙滩上的小石子，小石子能够摆成不同的几何图形，于是就产生一系列的形数.如图，毕达哥拉斯发现，当小石子的数目是1，3，6，10等数时，小石子都能摆成正三角形，他把这些数叫作三角形数；当小石子的数目是1，4，9，16等数时，小石子都能摆成正方形，他把这些数叫作正方形数；当小石子的数目是1,5,12,22等数时，小石子都能摆成正五边形，等等. 像以上这些按照确定的顺序排列的一列数称为数列，本章将学习数列的概念和表示方法，并研究两类特殊的数列，探索它们的取值规律，建立它们的通项公式，前项和公式，并应用它们解决此问题.在本章，我们还将学习数学归纳法，这是一种证明与正整数有关的数学命题的特殊方法，可以为证明数列结论的正确性提供逻辑方法，下面我们先探究数列的概念. 环节二：发现规律，直观感知概念 在现实生活和数学学习中，我们经常需要根据问题的意义，通过对一些数据按特定顺序排列的方法来刻画研究对象．例如： 1．王芳从1岁到17岁，每年生日那天测量身高．将这些身高数据（单位：cm）依次排成一列数：75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168．① 问题1：此例中的第1个数和第6个数分别是什么?它们的实际意义是什么?153和165分别是第几个数?它们的实际意义是什么? 追问：这些数能交换位置吗?如何表示这些数才能准确反映它们各自的位置和大小? 2．在两河流域发掘的一块泥版（编号K90，约产生于公元前7世纪）上，有一列依次表示一个月中从第1天到第15天每天月亮可见部分的数（把满月分成240份，则从初一到十五每天月亮的可见部分可用一个代表份数的数来表示）：5，10，20，40，80，96，112，128，144，160，176，192，208，224，240．② 3．的次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……依次排成一列数： ③ 问题2：你能仿照上面的叙述，说明③也是具有确定顺序的一列数吗？ 问题3：上面三个例子的共同特征是什么? 环节三 抽象概括，形成概念 一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列(sequenceofnumber)，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用表示……第个位置上的数叫做这个数列的第项，用表示．其中第1项也叫做首项．①是按年龄从小到大的顺序排列的，②是按每月的日期从小到大的顺序排列的，③是按幂指数从小到大的顺序排列的，它们都是从第1项开始的． 项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列. 数列的一般形式是 ，，…，，…，简记为． 问题4：我们已经归纳出了数列的概念,请结合数列序号与项数的对应关系，你能从函数视角谈谈你的认识吗？ 由于数列中的每一项与它的序号有下面的对应关系： 所以数列是从正整数集(或它的有限子集)到实数集的函数，其自变量是序号，对应的函数值是数列的第项，记为． 也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值，，…，，…，就是数列．另一方面，对于函数，如果有意义，那么 ，，…，，…， 构成了一个数列． 问题5：函数有表格，图像，解析式三种表示方法，数列作为一种特殊的函数，也应当有这三种表示方法，你能利用不同的方法表示数列①吗？ 表格法如表4.1-1： 图象法如图4.1-1： 解析式法： 如果数列的第项与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．例如，数列③的通项公式为．显然，通项公式就是数列的函数解析式，根据通项公式可以写出数列的各项． 问题6：从表4.1-1和图4.1-1中的项随序号的变化呈现出的特点吗？数列是一种特殊的函数，那么你能类比函数的单调性给出数列单调性的概念吗？ 与函数类似，我们可以定义数列的单调性． 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列，即； 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列，即． 特别地，各项都相等的数列叫做常数列，记． (1)数列作为特殊的函数也可以有表格（如教科书中的表4.1-1）、图象（如教科书中的图4.1-1)和解析式这三种表示形式,表格法、图象法可以根据数列的前若干项得到,因此需要侧重研究解析式法一用来表示数列各项的公式.结合教科书中数列的通项公式的定义,使学生明确并不是所有的数列都有通项公式. （2）与函数类似,我们可以定义递增数列、递减数列与常数列.教学时先让学生阅读单调数列的定义,并回答如何由教科书中的表4.1-1和图4.1-1,确定数列的单调性.再让学生计算由的次幂按升幂顺序排列所成数列的前10项,并画出其图象(图1),观察各项的变化趋势.(参考答案:该数列既不是递增数列也不是递减数列,当项数无限增大时,数列的项会无限趋近于0.) （3）函数在数列研究中有着重要的作用. 环节四：根据新知，简单应用 例1：根据下列数列的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象． （1）；（2）． 例2：根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式： （1）； （2）． 方法规律： 此类问题主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法求解.具体注意以下几方面： (1)分式中分子、分母的特征； (2)相邻项的变化特征； (3)拆项后的特征； (4)各项的符号特征和绝对值特征； (5)化异为同； (6)对于符号交替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k＋1处理. 变式练习: 1.写出下列数列{an}的一个通项公式： (1)，2，，8，，…； (2)1，－3,5，－7,9，…； (3)9,99,999,9 999，…； (4)，，，，…； (5)－，，－，，…； (6)4,0,4,0,4,0，…. 例3如果数列的通项公式为，那么120是不是这个数列的项？如果是，是第几项？ 规律方法 判断某数值是否为该数列的项的方法 先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程. 若方程解为正整数，则是数列的一项； 若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项. 变式训练： 在数列中，，通项公式是的一次函数. (1)求的通项公式； (2)判断88是不是数列中的项？ 环节四：新知再认识，能力提升 题型一：数列的单调性的判断. 1．已知函数，设数列的通项公式为，其中； (1)求证：； (2)判断是递增数列还是递减数列，并说明理由. 变式训练： 1．已知数列的通项公式为，试判断数列的单调性. 题型二：根据数列单调性求参数问题. 2．已知数列满足，记，若数列为递增数列，求的取值范围. 反思感悟：利用数列单调性求参数的求解方法 （1）将对应数列转化为对一个函数，利用相应函数的单调性判断求解，需要注意函数的自变量为； （2）根据数列单调性的定义，利用（）将问题转化为对任意恒成立问题，进而结合恒成立问题求解. 变式训练： 1．已知数列的通项公式是，试求的取值范围，使得数列为递增数列. 2．已知实数，通项为的数列是单调递增数列，求的取值范围． 环节五：凝练升华，课堂小结 回顾数列的概念及其表示方法的学习过程,说说其中运用了怎样的思想方法. 环节六：布置作业，应用迁移 巩固作业：教科书第5页练习第1、2题 拓展作业：教科书第9页习题第7题 练习（第5页） 1．写出下列数列的前10项，并作出它们的图象： （1）所有正偶数的平方按从小到大的顺序排列成的数列； （2）所有正整数的倒数按从大到小的顺序排列成的数列； （3）当自变量依次取时，函数的值构成的数列； （4）数列的通项公式为； 2．根据数列的通项公式填表： n 1 … … … … … … 153 … 273 … 3．除数函数(divisorfunction)的函数值等于的正因数的个数，例如，，．写出数列，，…，，…的前10项． 4．根据下列数列的前5项，写出数列的一个通项公式： （1）； （2）． 教材P8-9页习题4.1第1-4题 1.写出下列数列的前项，并绘出它们的图像： （1）素数按从小到大的顺序排列成的数列； （2）欧拉函数的函数值按自变量从小到大的顺序排列成的数列. 2. 根据下列条件，写出数列的前5项： （1）； （2）； （3），； （4），. 3. 观察下列数列的特点，用适当的数填空，并写出数列的一个通项公式： （1）（ ），，，（ ），，（ ），； （2），，（ ），，，（ ），； （3），，（ ），，，（ ），； （4），，（ ），，，（ ）. 4. 已知数列的第1项是1，第2项是2，以后各项由给出. （1）写出这个数列的前5项； （2）利用数列，通过公式构造一个新的数列，试写出数列的前5项. 7. 已知函数，设数列的通项公式为. （1）求证. （2）是递增数列还是递减数列？为什么？ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 第四章 数列 4.1数列的概念（第1课时） 4.1.1数列的概念与通项公式 一、教学目标 (1)能通过对具体实例的共同特征的归纳，抽象出数列的一般概念；知道数列的一般表示，并能说出表示的具体含义；能用函数的观点解释数列，知道是从正整数集(或它的有限子集)到实数集的函数；通过数列概念的抽象，发展数学抽象素养； (2)能类比函数的表示，用通项公式、图象或表格表示一个数列，能说出三种表示方法各自的优势；能通过对数列与函数在表示方法上的异同点的比较，进一步体会函数与数列的联系，加深对数列本质的认识. (3)能说明数列通项公式中各个量的含义；能认识到通项公式是数列最基本最重要的表示方法，其本质就是数列的函数解析式；能根据数列的通项公式，写出数列的任意项，或根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，体会特殊与一般的数学思想. 二、重点难点 重点：数列的有关概念与数列的表示方法、数列的通项公式. 难点：数列的函数视角的类比思维与认知. 三、教学过程 环节一：创设情境，导入新课 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家在沙滩上研究数学问题.他们研究数的概念时，喜欢把数描绘成沙滩上的小石子，小石子能够摆成不同的几何图形，于是就产生一系列的形数.如图，毕达哥拉斯发现，当小石子的数目是1，3，6，10等数时，小石子都能摆成正三角形，他把这些数叫作三角形数；当小石子的数目是1，4，9，16等数时，小石子都能摆成正方形，他把这些数叫作正方形数；当小石子的数目是1,5,12,22等数时，小石子都能摆成正五边形，等等. 像以上这些按照确定的顺序排列的一列数称为数列，本章将学习数列的概念和表示方法，并研究两类特殊的数列，探索它们的取值规律，建立它们的通项公式，前项和公式，并应用它们解决此问题.在本章，我们还将学习数学归纳法，这是一种证明与正整数有关的数学命题的特殊方法，可以为证明数列结论的正确性提供逻辑方法，下面我们先探究数列的概念. 环节二：发现规律，直观感知概念 在现实生活和数学学习中，我们经常需要根据问题的意义，通过对一些数据按特定顺序排列的方法来刻画研究对象．例如： 1．王芳从1岁到17岁，每年生日那天测量身高．将这些身高数据（单位：cm）依次排成一列数：75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168．① 问题1：此例中的第1个数和第6个数分别是什么?它们的实际意义是什么?153和165分别是第几个数?它们的实际意义是什么? 追问：这些数能交换位置吗?如何表示这些数才能准确反映它们各自的位置和大小? 不能交换位置，这是具有确定顺序的一列数. 记王芳第岁时的身高为，那么，，，． 我们发现，中的反映了身高按岁数从1到17的顺序排列时的确定位置，即是排在第1位的数，是排在第2位的数……是排在第17位的数，它们之间不能交换位置．所以，①是具有确定顺序的一列数． 2．在两河流域发掘的一块泥版（编号K90，约产生于公元前7世纪）上，有一列依次表示一个月中从第1天到第15天每天月亮可见部分的数（把满月分成240份，则从初一到十五每天月亮的可见部分可用一个代表份数的数来表示）：5，10，20，40，80，96，112，128，144，160，176，192，208，224，240．② 记第天月亮可见部分的数为,那么. 这里，中的反映了月亮可见部分的数按日期从1到15的顺序排列时的确定位置，即是排在第1位的数，是排在第2位的数……，是排在第15位的数，它们之间不能交换位置.所以，②也是具有确定顺序的一列数. 3．的次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……依次排成一列数： ③ 问题2：你能仿照上面的叙述，说明③也是具有确定顺序的一列数吗？ 记的第次幂为,那么. 这里,中的反映了的次幂按指数从小到大的顺序排列时的确定位置,即是排在第1位的数,是排在第2位的数,是排在第3位的数..它们之间不能交换位置.所以,③是具有确定顺序的一列数列. 问题3：上面三个例子的共同特征是什么? 环节三 抽象概括，形成概念 一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列(sequenceofnumber)，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用表示……第个位置上的数叫做这个数列的第项，用表示．其中第1项也叫做首项．①是按年龄从小到大的顺序排列的，②是按每月的日期从小到大的顺序排列的，③是按幂指数从小到大的顺序排列的，它们都是从第1项开始的． 项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列. 数列的一般形式是 ，，…，，…，简记为． 问题4：我们已经归纳出了数列的概念,请结合数列序号与项数的对应关系，你能从函数视角谈谈你的认识吗？ 由于数列中的每一项与它的序号有下面的对应关系： 所以数列是从正整数集(或它的有限子集)到实数集的函数，其自变量是序号，对应的函数值是数列的第项，记为． 也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值，，…，，…，就是数列．另一方面，对于函数，如果有意义，那么 ，，…，，…， 构成了一个数列． 问题5：函数有表格，图像，解析式三种表示方法，数列作为一种特殊的函数，也应当有这三种表示方法，你能利用不同的方法表示数列①吗？ 表格法如表4.1-1： 图象法如图4.1-1： 解析式法： 如果数列的第项与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．例如，数列③的通项公式为．显然，通项公式就是数列的函数解析式，根据通项公式可以写出数列的各项． 问题6：从表4.1-1和图4.1-1中的项随序号的变化呈现出的特点吗？数列是一种特殊的函数，那么你能类比函数的单调性给出数列单调性的概念吗？ 与函数类似，我们可以定义数列的单调性． 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列，即； 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列，即． 特别地，各项都相等的数列叫做常数列，记． (1)数列作为特殊的函数也可以有表格（如教科书中的表4.1-1）、图象（如教科书中的图4.1-1)和解析式这三种表示形式,表格法、图象法可以根据数列的前若干项得到,因此需要侧重研究解析式法一用来表示数列各项的公式.结合教科书中数列的通项公式的定义,使学生明确并不是所有的数列都有通项公式. （2）与函数类似,我们可以定义递增数列、递减数列与常数列.教学时先让学生阅读单调数列的定义,并回答如何由教科书中的表4.1-1和图4.1-1,确定数列的单调性.再让学生计算由的次幂按升幂顺序排列所成数列的前10项,并画出其图象(图1),观察各项的变化趋势.(参考答案:该数列既不是递增数列也不是递减数列,当项数无限增大时,数列的项会无限趋近于0.) （3）函数在数列研究中有着重要的作用. 环节四：根据新知，简单应用 例1：根据下列数列的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象． （1）；（2）． 解：（1）当通项公式中的时，数列的前5项依次为 图象如图4.1-2(1)所示． （2）当通项公式中的时，数列的前项依次为． 图象如图4.1-2(2)所示． 例2：根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式： （1）； （2）． 解：（1）这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为 ① ①或常常用来表示正负相间的变化规律． （2）这个数列前4项的奇数项是2，偶数项是0，所以它的一个通项公式为 ． 解答第(1)题时,可以先思考第(1)题与下列两个数列(1),(2)的关系;对于第(2)题,可以考虑在的每一项上加1,也可以对例1(2)中数列的每一项取绝对值后乘以2.教师同时强调,通过数列的前几项归纳得到的数列的通项公式,可能是不唯一的. 方法规律： 此类问题主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法求解.具体注意以下几方面： (1)分式中分子、分母的特征； (2)相邻项的变化特征； (3)拆项后的特征； (4)各项的符号特征和绝对值特征； (5)化异为同； (6)对于符号交替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k＋1处理. 变式练习: 1.写出下列数列{an}的一个通项公式： (1)，2，，8，，…； (2)1，－3,5，－7,9，…； (3)9,99,999,9 999，…； (4)，，，，…； (5)－，，－，，…； (6)4,0,4,0,4,0，…. 解析：解：(1)先将各项都统一成分数再观察：，，，，，…，所以它的一个通项公式为an＝. (2)数列各项的绝对值分别为1,3,5,7,9，…是连续的正奇数，其通项公式为An＝2n－1.考虑具有转换符号的作用，所以数列{an}的一个通项公式为． (3)各项加1后，分别变为10,100,1 000，10 000，…，此数列的通项公式为An＝10n，可得原数列的通项公式为an＝10n－1. (4)数列中每一项均由三部分组成，分母是从1开始的奇数列，其通项公式为An＝2n－1；分子的前一部分是从2开始的自然数的平方，其通项公式为Bn＝(n＋1)2，分子的后一部分是减去一个自然数，其通项公式为Cn＝n，综合得原数列的一个通项公式为. (5)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是. (6)由于该数列中，奇数项全部都是4，偶数项全部都是0，因此可用分段函数的形式表示通项公式，即an＝该数列也可改写为2＋2,2－2,2＋2,2－2,2＋2,2－2，…，因此其通项公式又可表示为 例3如果数列的通项公式为，那么120是不是这个数列的项？如果是，是第几项？ 分析：要判断120是不是数列中的项，就是要回答是否存在正整数，使得．也就是判断上述关于的方程是否有正整数解． 解：令，解这个关于的方程，得（舍去），或． 所以，120是数列的项，是第10项． 规律方法 判断某数值是否为该数列的项的方法 先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程. 若方程解为正整数，则是数列的一项； 若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项. 变式训练： 在数列中，，通项公式是的一次函数. (1)求的通项公式； (2)判断88是不是数列中的项？ 解：(1)设，则解得∴ (2)令，即，解得， ∴88不是数列中的项. 环节四：新知再认识，能力提升 题型一：数列的单调性的判断. 1．已知函数，设数列的通项公式为，其中； (1)求证：； (2)判断是递增数列还是递减数列，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)递增，理由见解析 【分析】（1）根据数列的通项公式，结合n的性质即可证明结论； （2）利用作差法，说明成立，即可得结论. 【详解】（1）由题意可知， 又因为，所以，因此，即. （2）因为， 又因为，，所以， 从而，即， 因此是递增数列. 反思感悟：数列单调性的判断 (1)利用数列所对应的函数的单调性确定数列的单调性（注意数列中只能取整数）. （2）结合数列单调性定义，从第2项起，观察每一项与它的前一项的大小关系，作差或作商（作商需满足().）判断. 若满足，则是递增数列； 若满足，则是递减数列； 若满足，则是常数列. 变式训练： 1．已知数列的通项公式为，试判断数列的单调性. 【答案】详见解析 【分析】由判断判断单调性. 【详解】解：， 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， 所以在时单调递增，在时单调递减； 题型二：根据数列单调性求参数问题. 2．已知数列满足，记，若数列为递增数列，求的取值范围. 【答案】 【分析】根据数列单调性分析可得对任意恒成立，参变分离可得，根据恒成立问题结合数列单调性运算求解. 【详解】由题可得：， 则， 若数列为递增数列，则对任意恒成立， 可得， 令，则对任意恒成立， 可知数列为递增数列，则， 所以，即的取值范围为. 反思感悟：利用数列单调性求参数的求解方法 （1）将对应数列转化为对一个函数，利用相应函数的单调性判断求解，需要注意函数的自变量为； （2）根据数列单调性的定义，利用（）将问题转化为对任意恒成立问题，进而结合恒成立问题求解. 变式训练： 1．已知数列的通项公式是，试求的取值范围，使得数列为递增数列. 【答案】 【分析】递增数列有，结合解不等式即可. 【详解】数列为递增数列，则有，即， 解得，由，则. 所以的取值范围为. 2．已知实数，通项为的数列是单调递增数列，求的取值范围． 【答案】 【分析】根据分段函数的单调性结合数列的性质求解. 【详解】依题意，可得，即，解得． 环节五：凝练升华，课堂小结 回顾数列的概念及其表示方法的学习过程,说说其中运用了怎样的思想方法. 环节六：布置作业，应用迁移 巩固作业：教科书第5页练习第1、2题 拓展作业：教科书第9页习题第7题 练习（第5页） 1．写出下列数列的前10项，并作出它们的图象： （1）所有正偶数的平方按从小到大的顺序排列成的数列； （2）所有正整数的倒数按从大到小的顺序排列成的数列； （3）当自变量依次取时，函数的值构成的数列； （4）数列的通项公式为； 解析：（1）前10项为：4，16，36，64，100，144，196，256，324，400；图象如图（1）； （2）前10项为：；图象如图（2）； （3）前10项为：3，5，7，9，11，13，15，17，19，21；图象如图（3）； （4）前10项为：2，3，2，5，2，7，2，9，2，11；图象如图（4）． 2．根据数列的通项公式填表： n 1 … … … … … … 153 … 273 … 解析：当时，；当时，； 当时，；当时，，解得； 当时，，解得．所以列表如下： n 1 … … 12 … 22 … 21 33 … 69 … 153 … 273 … 3．除数函数(divisorfunction)的函数值等于的正因数的个数，例如，，．写出数列，，…，，…的前10项． 解析：由题意可得，因为，所以；因为，所以， 因为，所以；因为，所以； 因为，所以；因为，所以， 因为，所以；因为，所以， 因为，所以．前10项依次为：1，2，2，3，2，4，2，4，3，4． 4．根据下列数列的前5项，写出数列的一个通项公式： （1）； （2）． 解析：（1）原数列变形为；分子都是1，分母是连续的奇数，所以数列的一个通项公式为； （2）原数列变形为，所以通项公式为． 教材P8-9页习题4.1第1-4题 1.写出下列数列的前项，并绘出它们的图像： （1）素数按从小到大的顺序排列成的数列； （2）欧拉函数的函数值按自变量从小到大的顺序排列成的数列. 【答案】（1）、、、、、、、、、，图见解析； （2）、、、、、、、、、，图见解析. 【解析】 【分析】（1）本题可依次列出素数，然后绘图即可； （2）本题可依次列出欧拉函数的函数值，然后绘图即可. 【详解】（1）素数从小到大依次是：、、、、、、、、、， 绘出图像如图所示： （2），，，，， ，，，，， 依次为、、、、、、、、、， 绘出图像如图所示： 2. 根据下列条件，写出数列的前5项： （1）； （2）； （3），； （4），. 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用通项公式分别取n＝1，2，3，4，5，即可得出． （2）利用通项公式分别取n＝1，2，3，4，5，即可得出． （3）分别取n＝2，3，4，5，即可得出． （4）分别取n＝2，3，4，5，即可得出． 【详解】（1）由可得a1＝1，，， a4，a5． （2）由an＝（﹣1）n+1（n2+1）可得：a1＝2，a2＝﹣5， a3＝10，a4＝﹣17，a5＝26． （3），an＝4an﹣1+1（n≥2）； n＝2时，； n＝3时，； n＝4时，； n＝5时，； （4）， （n≥2）． n＝2时，a2＝15； n＝3时，a3＝1； n＝4时，a4＝1； n＝5时，a5＝15． 3. 观察下列数列的特点，用适当的数填空，并写出数列的一个通项公式： （1）（ ），，，（ ），，（ ），； （2），，（ ），，，（ ），； （3），，（ ），，，（ ），； （4），，（ ），，，（ ）. 【答案】详见解析 【解析】 【分析】本题可依次观察每个数列中的数之间的关系，根据数之间的关系即可得出结果. 【详解】（1）中依次填写、、，通项公式为； （2）中依次填写、，通项公式为； （3）中依次填写、，通项公式为； （4）中依次填写、，通项公式为. 4. 已知数列的第1项是1，第2项是2，以后各项由给出. （1）写出这个数列的前5项； （2）利用数列，通过公式构造一个新的数列，试写出数列的前5项. 【答案】（1）a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8；；（2）b12，b2，b3，b4，b5． 【解析】 【分析】（1）根据题中给的递推关系，依次写出数列的前5项． （2）依据（1）中给的an的前5项，通过公式bn求解出数列{bn}的前5项． 【详解】（1）由a1＝1，a2＝2，an＝an﹣1+an﹣2， 得a3＝a2+a1＝2+1＝3， a4＝a3+a2＝2+3＝5， a5＝a4+a3＝3+5＝8； （2）依题意有：b12， b2， b3， b4， b5． 7. 已知函数，设数列的通项公式为. （1）求证. （2）是递增数列还是递减数列？为什么？ 【答案】（1）证明见解析；（2）递增数列，证明见解析. 【解析】 【分析】（1）结合指数函数的单调性以及不等式的性质即可证得； （2）证得，即可得出结论. 【详解】（1）由题意得，因为为正整数，所以，所以； （2）是递增数列， 证明：因为，所以， 所以，所以是递增数列. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$