第26章 反比例函数与几何图形综合应用题型分析2024-2025学年人教版数学九年级下册

反比例函数与几何图形综合应用题型分析 一:知坐标，求面积。 1．（23-24九年级上·山东日照·期末）如图，在平面直角坐标系中，点和点是一次函数和反比例函数图象的交点． (1)分别求出的值； (2)不等式的解集为______； (3)过点作轴的垂线，垂足为，连接，求的面积． 2．（22-23九年级上·山东日照·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形是矩形，且，，若反比例函数的图象经过线段的中点，交于点，交于点．设直线的解析式为． (1)求反比例函数和直线的解析式； (2)求的面积； (3)请结合图象直接写出不等式的解集． 3．（2022·山东菏泽·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象都经过两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)过O、A两点的直线与反比例函数图象交于另一点C，连接BC，求的面积． \ 二：知面积，求坐标 4．（2024·山东东营·中考真题）如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点C，D． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得，求点的坐标． 5．（2024·山东日照·二模）如图，直线分别交坐标轴交于两点，与反比例函数的图象交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)在如图所示的条件下，直接写出关于x的不等式的解集； (3)将直线沿y轴平移与反比例函数交于点P，使得，求点P坐标． 6．（23-24九年级上·山东青岛·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A与点． (1)求反比例函数的关系式； (2)若点P是第二象限内双曲线上的点（不与点A重合），连接，且过点P作y轴的平行线，与直线相交于点C，连接，若的面积为3，求点P的坐标． 三：最值问题 7．（23-24九年级上·山东济南·期末）如图1，矩形OABC的顶点A、C分别落在x轴、y轴的正半轴上，点B（4，3），反比例函数y＝（x＞0）的图象与AB、BC分别交于D、E两点，BD＝1，点P是线段OA上一动点． (1)求反比例函数关系式和点E的坐标； (2)如图2，连接PE、PD，求PD+PE的最小值； (3)如图3，当∠PDO＝45°时，求线段OP的长． 8．（22-23九年级上·山东济南·期末）如图，直线与双曲线交于点和点，过点A作轴，垂足为C． (1)求直线和双曲线的解析式； (2)连接，求的面积． (3)在x轴上找一点P，使的值最大，请直接写出满足条件的点P的坐标． 9．（22-23九年级上·山东济南·期末）如图1，矩形的顶点A、C分别落在x轴、y轴的正半轴上，点，反比例函数的图象与分别交于D、E两点，，点P是线段上一动点． (1)求反比例函数关系式和点E的坐标； (2)如图2，连接，求周长的最小值； (3)如图3，当时，求线段的长． 四：等腰三角形存在性问题 10．（23-24九年级上·山东济南·期中）如图，已知点A（1，-2）在反比例函数y＝的图象上，直线y＝-x＋1与反比例函数y＝的图象的交点为点B、D． （1）求反比例函数和直线AB的表达式； （2）求S△AOB； （3）动点P（x，0）在x轴上运动，若△OAP是等腰三角形时，直接写出点P的坐标． 11．（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，将直线向上平移个单位，与轴交于点，与双曲线交于点． (1)求反比例函数和直线的表达式； (2)求点的坐标； (3)在轴上是否存在一点，使是以为腰的等腰三角形，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 五：直角三角形存在性问题 12．（23-24九年级上·山东济南·期中）如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)在双曲线上是否存在点，使是以点为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 13．（23-24九年级上·山东泰安·期中）综合与探究：如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，B两点，分别连接． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求出点B的坐标及的面积； (3)在坐标轴y轴上是否存在一点P，使以点B，A，P为顶点的三角形是以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 六：平行四边形存在性问题 14．（22-23九年级上·山东济南·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点A，点C在反比例函数的图象上的一点，轴，垂足为D，与交于点E，． (1)求a，k的值； (2)若点P为x轴上的一点，求当最小时，点P的坐标； (3)F是平面内一点，是否存在点F使得以A、B、C、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由． 15．（2023·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与，轴分别相交于点A，B，与反比例函数的图象相交于点C，已知，点C的横坐标为2． (1)求，的值； (2)平行于轴的动直线与和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，求点D的坐标． 16．（2022·山东济南·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B．    (1)求a，k的值； (2)直线CD过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，AC＝AD，连接CB． ①求△ABC的面积； ②点P在反比例函数的图象上，点Q在x轴上，若以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P坐标． 17．（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，已知一次函数图象y=x+b与y轴交于点C（0，1），与反比例函数图象y=交于点A（a，2）和点B两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求点B的坐标和△AOB的面积； (3)若点M为y轴上的一个动点，N为平面内一个动点，当以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形时，请求出M点坐标． 18．（23-24九年级上·山东菏泽·期末）如图，的顶点在反比例函数的图象上，轴，，点为的中点，已知点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求证：点在反比例函数的图象上； (3)点分别在反比例函数图象的两支上，当四边形是菱形时，请求出点的坐标． 、 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 反比例函数与几何图形综合应用 题型分析答案 1．（23-24九年级上·山东日照·期末）如图，在平面直角坐标系中，点和点是一次函数和反比例函数图象的交点． (1)分别求出的值； (2)不等式的解集为______； (3)过点作轴的垂线，垂足为，连接，求的面积． 【答案】(1)，， (2)或 (3) 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，涉及待定系数法求函数解析式、坐标与图形、利用交点坐标求不等式的解集等知识，熟练掌握数形结合思想是解答的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）利用图象，求得一次函数图象位于反比例函数图象的上方部分的点的横坐标的取值范围即可； （3）利用坐标与图形性质求解三角形的面积即可． 【详解】（1）解：由题意，将代入中，得； 将代入中，得，则， ∴，， 将代入中，得； （2）解：由图象得，当或时，一次函数图象位于反比例函数图象的上方， ∴不等式的解集为或， 故答案为：或； （3）解：∵，， ∴， ∴的面积为． 2．（22-23九年级上·山东日照·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形是矩形，且，，若反比例函数的图象经过线段的中点，交于点，交于点．设直线的解析式为． (1)求反比例函数和直线的解析式； (2)求的面积； (3)请结合图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用、矩形的性质等知识，熟练掌握待定系数法是解题关键． （1）根据点，利用待定系数法即可得反比例函数的解析式，再分别求出点的坐标，利用待定系数法即可得直线的解析式； （2）根据的面积等于矩形的面积减去的面积之和即可得； （3）结合函数图象，找出一次函数的图象位于反比例函数的图象的上方即可得． 【详解】（1）解：将点代入得：， 则反比例函数的解析式为， ∵四边形是矩形，且，， 点的纵坐标为4，点的横坐标为6， 对于反比例函数， 当时，，即， 当时，，即， 将点，代入得：，解得， 则直线的解析式为． （2）解：∵四边形是矩形，且，，，， ，， ， 则的面积为 ． （3）解：不等式可转化为，表示的是一次函数的图象位于反比例函数的图象的上方， 所以由函数图象可知，不等式的解集． 3．（2022·山东菏泽·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象都经过两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)过O、A两点的直线与反比例函数图象交于另一点C，连接BC，求的面积． 【答案】(1)反比例函数的表达式为；一次函数的表达式为 (2)12 【分析】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值，从而得出反比例函数表达式，再由点B的坐标和反比例函数表达式即可求出m值，结合点A、B的坐标利用待定系数法即可求出一次函数表达式； （2）利用分解图形求面积法，利用，求面积即可． 【详解】（1）将A(2，-4)代入得到，即：． 反比例函数的表达式为：． 将B(-4，m)代入，得：， ， 将A，B代入，得： ，解得： 一次函数的表达式为：． （2）设AB交x轴于点D，连接CD，过点A作AE⊥CD交CD延长线于点E，作BF⊥CD交CD于点F． 令，则， ∴点D的坐标为(-2，0)， ∵过O、A两点的直线与反比例函数图象交于另一点C， ∴A(2，-4)关于原点的对称性点C坐标：(-2，4)， ∴点C、点D横坐标相同， ∴CDy轴， ∴ =12． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标、反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是：（1）利用待定系数法求函数表达式；（2）利用分割图形求面积法求出△AOB的面积．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键． 4．（2024·山东东营·中考真题）如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点C，D． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)点坐标为 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将点坐标代入反比例函数解析式，求出，再将点坐标代入反比例函数解析式，求出点坐标，最后将，两点坐标代入一次函数解析式即可解决问题； （2）利用反比例函数以及一次函数图象，即可解决问题； （3）根据与的面积关系，可求出点的纵坐标，据此可解决问题． 【详解】（1）解：将代入得， ∴， 反比例函数的解析式为， 将代入得，， 点的坐标为． 将点和点的坐标代入得， ， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：根据所给函数图象可知， 当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即， 不等式的解集为：或． （3）解：将代入得，， 点的坐标为， ， ． 将代入得，， 点的坐标为， ， 解得． ∵点在第三象限， ∴， 将代入得，， 点坐标为． 5．（2024·山东日照·二模）如图，直线分别交坐标轴交于两点，与反比例函数的图象交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)在如图所示的条件下，直接写出关于x的不等式的解集； (3)将直线沿y轴平移与反比例函数交于点P，使得，求点P坐标． 【答案】(1)反比例函数的解析式为 (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求得直线的解析式，然后代入点求得，然后利用待定系数法求得反比例函数的解析式即可； （2）根据图象即可求解； （3）分两种情况：把向上或向下平移时，如图，过点P作轴，交直线于E，设，则，利用三角形面积公式得到，即可得到关于x的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵直线分别交坐标轴交于两点， ∴，解得， ∴直线为， 把代入，得， ∴， 把代入得，， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：关于x的不等式表示一次函数图象在反比例函数图象的下方， 根据图象的：解集为； （3）解：∵， ∴， ∴， 分两种情况：把向上或向下平移时，如图， 过点P作轴，交直线于E，设，则， ∴， 解得（舍去），（舍去）， ∴点的坐标为或． 【点睛】本题是反比例函数图象与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，函数与不等式的关系，三角形的面积，数形结合是解题的关键． 6．（23-24九年级上·山东青岛·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A与点．    (1)求反比例函数的关系式； (2)若点P是第二象限内双曲线上的点（不与点A重合），连接，且过点P作y轴的平行线，与直线相交于点C，连接，若的面积为3，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数综合，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤． （1）先求出点B的坐标，再把点B的坐标代入，求出k的值，即可得出反比例函数解析式； （2）设点，则，得出．进而得出．然后进行分类讨论①当时，即，②当时或， 即可解答． 【详解】（1）解：由题可知， ∴， ∴． 又点在上， ∴． ∴反比例函数为． （2）解：如图，    设点，则， ∴． ∴． ①当时，即， ∴， ∴， ∴或2， 又， ∴此种情况不存在． ②当时或，， ∴或． 又， ∴． 综上，． 7．（21-22九年级上·山东济南·期末）如图1，矩形OABC的顶点A、C分别落在x轴、y轴的正半轴上，点B（4，3），反比例函数y＝（x＞0）的图象与AB、BC分别交于D、E两点，BD＝1，点P是线段OA上一动点． (1)求反比例函数关系式和点E的坐标； (2)如图2，连接PE、PD，求PD+PE的最小值； (3)如图3，当∠PDO＝45°时，求线段OP的长． 【答案】(1)y＝，（，3） (2) (3) 【分析】（1）由点B的坐标及BD的长，可得出点D的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征，可求出反比例函数的关系式，再利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可得出点E的坐标； （2）作点D关于x轴的对称点D′，连接D′E交x轴于点P，连接PD，此时PD+PE取得最小值，最小值为D′E，由点D的坐标可得出点D′的坐标，结合点E的坐标可求出D′E的长，由BE，BD的长，利用勾股定理可求出DE的长，进而可求出△PDE周长的最小值； （3）过点P作PF⊥OD于点F，则△PDF为等腰直角三角形，利用勾股定理可求出OD的长，设AP=m，则OP=4-m，利用勾股定理及等腰直角三角形的性质，可得出DF，PF的长，进而可求出OF的长，再由OF2+PF2=OP2可求出m的值，将其正值代入OP=4-m中即可得出结论． 【详解】（1）解：∵点B的坐标为（4，3）， ∴OC=AB=3，OA=BC=4． ∵BD=1， ∴AD=2， ∴点D的坐标为（4，2）． ∵反比例函数y=（x＞0）的图象过点D， ∴k=4×2=8， ∴反比例函数的关系式为y=． 当y=3时，3=，解得：x=， ∴点E的坐标为（，3）； （2）解：在图2中，作点D关于x轴的对称点D′，连接D′E交x轴于点P，连接PD，此时PD+PE取得最小值，最小值为D′E． ∵点D的坐标为（4，2）， ∴点D′的坐标为（4，-2）． 又∵点E的坐标为（，3）， ∴D′E=． ∴PD+PE的最小值为； （3）在图3中，过点P作PF⊥OD于点F，则△PDF为等腰直角三角形． ∵OA=4，AD=2， ∴OD=． 设AP=m，则OP=4-m， ∴PD=． ∵△PDF为等腰直角三角形， ∴DF=PF=， ∴OF=OD-DF=． ∵OF2+PF2=OP2，即， 整理得：3m2+16m-12=0， 解得：m1=，m2=-6（不合题意，舍去）， ∴OP=4-m=． 【点睛】本题考查了矩形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、勾股定理、等腰直角三角形以及轴对称-最短路径问题，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k值；（2）利用两点之间线段最短，找出点P的位置；（3）利用勾股定理，找出关于AP长的一元二次方程． 8．（22-23九年级上·山东济南·期末）如图，直线与双曲线交于点和点，过点A作轴，垂足为C． (1)求直线和双曲线的解析式； (2)连接，求的面积． (3)在x轴上找一点P，使的值最大，请直接写出满足条件的点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）把点代入反比例函数，求出反比例函数解析式，把代入反比例函数解析式求出n，再将A、B代入一次函数解析式，解方程求出解析式即可； （2）根据题意求出C点坐标，利用三角形面积公式求解即可； （3）作点关于的对称点，连接，,根据对称性和三角形三边的关系可知当A、、P三点共线时，有最大值，利用A、坐标求出直线解析式，求出x轴交点，即为所求． 【详解】（1）解：把点代入 得：， ∴， ∴双曲线的解析式为， 把点代入得，， ∴， 把A，B代入得 ， 解得：，， ∴直线的解析式为； （2）解：作轴，交延长线于D， ∵，轴，垂足为C ∴点C的坐标为， ∴． ∵， ∴ ∴的面积． （3）解：如图：在x轴上任取一点P， 作点关于x轴的对称点， 连接，， 根据对称性和三角形三边的关系得： 当A、、P三点共线时， 有最大值，为： 设过、的直线解析式为： ， 则： ， 解得： 直线的解析式为； 当时解得： ， 【点睛】本题考查了一次函数和反比函数得交点与解析式问题，还考查了三角形三边之间的关系；利用代入法正确求函数解析式、根据三角形三边关系求出点的位置是解题得关键． 9．（22-23九年级上·山东济南·期末）如图1，矩形的顶点A、C分别落在x轴、y轴的正半轴上，点，反比例函数的图象与分别交于D、E两点，，点P是线段上一动点． (1)求反比例函数关系式和点E的坐标； (2)如图2，连接，求周长的最小值； (3)如图3，当时，求线段的长． 【答案】(1)，点E的坐标为； (2)周长的最小值为； (3)5 【分析】（1）根据题意求出点D坐标为，进而求出反比例函数表达式，点E与点B纵坐标相同，根据反比例函数解析式求出点E坐标． （2）作点D关于x轴的对称点，当E、P、三点共线时周长取得最小值，即的长，根据勾股定理解三角形进行计算即可． （3）作于点H，根据已知条件可得是等腰直角三角形，设，由，用m表示出，进而用勾股定理即可． 【详解】（1）解：∵点B的坐标为，， ∴点D的坐标为， ∵反比例函数的图象经过点D， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 由题意得：点E的纵坐标为3， ∴点E的横坐标为， ∴点E的坐标为； （2）解：如图2，作点D关于x轴的对称点，连接，交于点，连接， 则的值最小，此时周长最小． 由（1）可知，， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴周长的最小值为； （3）解：如图3，过点P作于F， ∵， 则为等腰直角三角形， ∴设， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 则． 【点睛】本题考查了矩形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、勾股定理、等腰直角三角形以及轴对称-最短路径问题，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k值；（2）利用两点之间线段最短，找出点P的位置；（3）利用勾股定理，解直角三角形求解． 10．（23-24九年级上·山东济南·期中）如图，已知点A（1，-2）在反比例函数y＝的图象上，直线y＝-x＋1与反比例函数y＝的图象的交点为点B、D． （1）求反比例函数和直线AB的表达式； （2）求S△AOB； （3）动点P（x，0）在x轴上运动，若△OAP是等腰三角形时，直接写出点P的坐标． 【答案】（1）y= ,  y=x-3；（2）S△AOB=；（3），，，． 【分析】（1）运用待定系数法先求出反比例函数解析式，再求出B的坐标，从而求出直线AB的解析式； （2）利用反比例函数k的几何意义进行面积转化求解即可； （3）列出各边长的表达式，根据不同情况进行分类讨论即可． 【详解】（1）将代入，得，故反比例函数解析式为， 联立，解得或，即：， 设直线的解析式为：， 将，代入得：，解得： ， 则直线的解析式为： 反比例函数解析式为，直线的解析式为：； （2）作轴，轴，轴， 则， 根据反比例函数的几何意义可知：， ， ； （3）由题：，，， ①若，则，解得，故：，； ②若，则，解得或（舍去），故：； ③若，则，解得，故：； 综上，所有的坐标为：，，，． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合问题，以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握反比例函数ｋ的几何意义，以及分类讨论的思想是解题的关键． 11．（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，将直线向上平移个单位，与轴交于点，与双曲线交于点． (1)求反比例函数和直线的表达式； (2)求点的坐标； (3)在轴上是否存在一点，使是以为腰的等腰三角形，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，直线的表达式为 (2) (3)存在，点坐标为或 【分析】（1）把点A的坐标代入中，求得a的值，再代入中，求得k的值，即得反比例函数的表达式，再根据直线向上平移个单位，即可求得直线的表达式； （2）因B是直线BC与双曲线的交点，故得方程，求解方程，即得答案； （3）设，分和两种情况，分别列方程求解，即得答案． 【详解】（1）把代入中，得， 解得， ， ， ， ，且直线向上平移个单位， ∴直线表达式为； （2）由题意得：， ， ，（舍去）， ∴， ； （3）设， 当时，， 解得， ； 当时，， 解得， ； 综上所述，点坐标为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，求一次函数与反比例函数的解析式，一次函数的平移，直线上与已知两点组成等腰三角形的点的探求等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 12．（23-24九年级上·山东济南·期中）如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，．    (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)在双曲线上是否存在点，使是以点为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数得表达式为：， (2)或 (3)存在，， 【分析】本题是一次函数与反比例函数的综合题，考查的有待定系数法求一次函数、反比例函数表达式，解直角三角形的应用等； （1）用待定系数法求出函数表达式，进而求解； （2）观察函数图象即可求解； （3）求出直线的表达式，即可求解； 【详解】（1）把代入， 解得：， 一次函数的表达式为； 把代入，， 把代入得：， 反比例函数得表达式为：， 由得：， 解得：，， ； （2）从图象看，当时，即一次函数值大于等于反比例函数值， x的取值范围为或； （3）过点作交轴于点，如下图， 设直线的解析式为    由直线的表达式知，，则， ， 设，将代入：， ． ，解得：，， ，时，构成直角三角形． 13．（23-24九年级上·山东泰安·期中）综合与探究：如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，B两点，分别连接． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求出点B的坐标及的面积； (3)在坐标轴y轴上是否存在一点P，使以点B，A，P为顶点的三角形是以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，或 【分析】（1）求出点A的坐标，利用待定系数法求解即可； （2）解方程组求出点B的坐标，利用割补法求三角形的面积； （3）设，表示出，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：把，代入，得：， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）联立，解得：或， ∴， ∵，当时，， ∴， ∴； （3）存在，设点， ∵，， ∴， ∵点B，A，P为顶点的三角形是以为直角边的直角三角形， ①当为斜边时：，解得：； ②当为斜边时：，解得：； ∴或． 【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，待定系数法，三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是掌握待定系数法，学会构建方程组确定交点坐标，属于中考常考题型． 14．（22-23九年级上·山东济南·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点A，点C在反比例函数的图象上的一点，轴，垂足为D，与交于点E，．    (1)求a，k的值； (2)若点P为x轴上的一点，求当最小时，点P的坐标； (3)F是平面内一点，是否存在点F使得以A、B、C、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）先将代入即可求出a的值，再将点B的坐标代入，即可求出k的值； （2）先求出点A的坐标，得出，则，即点C的横坐标为2，求出，作点C关于x轴对称的对应点，连接，交x轴于点P，点P即为所求，易得，用待定系数法求出直线的函数表达式为，即可求出点P的坐标； （3）根据题意，结合平行四边形对角线互相平分的性质，进行分类讨论，①当为对角线时，②当为对角线时，③当为对角线时． 【详解】（1）解：把点代入得：， ∴， 把代入得：，解得：， 综上：； （2）解：把代入得：， 解得：， ∴，则， ∵， ∴，即点C的横坐标为2， ∵， ∴反比例函数表达式为：， 把代入得：， ∴， 作点C关于x轴对称的对应点，连接，交x轴于点P，点P即为所求， ∴， 设直线的函数表达式为， 把，代入得： ，解得：， ∴直线的函数表达式为， 把代入， 解得：， ∴；    （3）解： 设， ①当为对角线时， ，解得：， ∴， ②当为对角线时， ，解得：， ∴， ③当为对角线时， ，解得：， ∴， 综上：或或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，平行四边形的性质，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数解析式的方法，以及平行四边形对角线互相平分． 15．（2023·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与，轴分别相交于点A，B，与反比例函数的图象相交于点C，已知，点C的横坐标为2． (1)求，的值； (2)平行于轴的动直线与和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，求点D的坐标． 【答案】(1)，； (2)点D的坐标为或 【分析】（1）求得，利用待定系数法即可求得直线的式，再求得，据此即可求解； （2）设点，则点，利用平行四边形的性质得到，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵直线经过点， ∴，解得，， ∴直线的解析式为， ∵点C的横坐标为2， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过点C， ∴； （2）解：由（1）得反比例函数的解析式为， 令，则， ∴点， 设点，则点， ∵以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形， ∴， ∴，整理得或， 由得， 整理得， 解得， ∵， ∴， ∴点； 由得， 整理得， 解得， ∵， ∴， ∴点； 综上，点D的坐标为或． 【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质，解一元二次方程，用方程的思想解决问题是解本题的关键． 16．（2022·山东济南·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B．    (1)求a，k的值； (2)直线CD过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，AC＝AD，连接CB． ①求△ABC的面积； ②点P在反比例函数的图象上，点Q在x轴上，若以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P坐标． 【答案】(1)，； (2)①8；②符合条件的点坐标是和． 【分析】（1）将点代入，求出，即可得，将点代入，即可求出k； （2）①如图，过A作轴于点，过作轴于点，交于点，求出，，得到CE，进一步可求出△ABC的面积；②设，．分情况讨论：ⅰ、当四边形为平行四边形时，ⅱ、当四边形为平行四边形时，计算即可． 【详解】（1）解：将点代入，得，， 将点代入，得， 反比例函数的解析式为． （2）解：①如图，过A作轴于点，过作轴于点，交于点，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ②分两种情况：设，． ⅰ、如图，当四边形为平行四边形时，    ∵点向下平移1个单位、向右平移个单位得到点， ∴点向下平移1个单位，向右平移个单位得到点， ∴，， ∴． ⅱ、如图，当四边形为平行四边形时，    ∵点向上平移1个单位，向左平移个单位得到点， ∴点向上平移1个单位，向左平移个单位得到点， ∴，， ∴． 综上所述，符合条件的点坐标是和． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合，待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质． 17．（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，已知一次函数图象y=x+b与y轴交于点C（0，1），与反比例函数图象y=交于点A（a，2）和点B两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求点B的坐标和△AOB的面积； (3)若点M为y轴上的一个动点，N为平面内一个动点，当以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形时，请求出M点坐标． 【答案】(1)一次函数的解析式为y=x+1，反比例函数为y=； (2)B（-2，-1）， (3)△AOB的面积为；满足条件的M点的坐标为（0，3）或（0，-3）或（0，）或（0，）． 【分析】（1）用待定系数法求出一次函数的解析式，再求出A点坐标即可确定反比例函数的解析式； （2）联立一次函数和反比例函数即可得出B点坐标，设直线AB与x轴交于点D，则D（-1，0），根据S△AOB=OD•yA+OD•yB计算面积即可； （3）分∠BAM=90°、∠ABM=90°、∠AMB=90°三种情况讨论求值即可． 【详解】（1）解：∵一次函数图象y=x+b与y轴交于点C（0，1）， ∴b=1， ∴一次函数的解析式为y=x+1， ∵点A（a，2）在直线y=x+1上 ∴a=1， 即A（1，2）， 又∵反比例函数y=过A点， ∴k=2， ∴反比例函数为y=； （2）解：∵反比例函数与一次函数交于点A和点B， 联立两解析式得， 解得或， ∴B（-2，-1）， 设直线AB与x轴交于点D，则D（-1，0）， ∴OD=1， ∴S△AOB=S△AOD+S△BOD=OD•yA+OD•yB=×1×1+×1×2=， 即△AOB的面积为； （3）解：分三种情况讨论： ①当∠BAM=90°时， 设M1（0，y）， 则AM2+AB2=BM2， ∴12+（2-y）2+（1+2）2+（2+1）2=4+（y+1）2， 解得y=3， ∴M（0，3）； ②当∠ABM=90°时， 同理可得：M（0，-3）， ③当∠AMB=90°时，设M（0，m），设AB的中点为J， 则J（-，）， ∵AB=， ∴AJ=BJ=JM=， ∴（-）2+（-m）2=（）2， 解得m=， ∴M3（0，），M4（0，）， 综上，满足条件的M点的坐标为（0，3）或（0，-3）或（0，）或（0，）． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的综合题型，熟练掌握待定系数法求解析式，一次函数的性质，反比例函数的图像和性质，矩形的性质等知识是解题的关键． 18．（23-24九年级上·山东菏泽·期末）如图，的顶点在反比例函数的图象上，轴，，点为的中点，已知点．    (1)求反比例函数的解析式； (2)求证：点在反比例函数的图象上； (3)点分别在反比例函数图象的两支上，当四边形是菱形时，请求出点的坐标． 【答案】(1) (2)详见解析 (3)点的坐标为或 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合问题，涉及了反比例函数解析式的求解、菱形的性质等知识点，掌握待定系数法求解解析式是解题关键． （1）根据轴，可求出点，即可求解； （2）由点为的中点可推出点与点关于原点对称，即可求解； （3）根据菱形对角线互相垂直平分可得直线为第一、三象限的角平分线，即可求解； 【详解】（1）解：在中，轴，，点， 点． 点在反比例函数的图象上， ． 反比例函数的解析式为； （2）证明：四边形是平行四边形，且是的中点， 点与点关于原点对称， 由（1）得 当时，， 点在反比例函数的图象上； （3）解：四边形是菱形， 与互相平分． ∵点，且是的中点， ∴直线为第二、四象限的角平分线， 直线为第一、三象限的角平分线， 直线的解析式为． 联立 解得或 点的坐标为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$