精品解析：湖南省邵阳市第二中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

邵阳市二中2024年下学期期中考试 高一年级数学试卷 命题人：吕立霞 审核人：刘雄才 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知全集，则如图所示的阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若：“”，：“”，则是的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知f(x)是偶函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数，则f(－0.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是（ ） A. f(－0.5)＜f(0)＜f(－1) B. f(－1)＜f(－0.5)＜f(0) C. f(0)＜f(－0.5)＜f(－1) D. f(－1)＜f(0)＜f(－0.5) 5. 下列各组函数中为同一函数的是（ ） A. ， B. ， C ， D. ， 6. 已知函数和分别是相同定义域上的偶函数和奇函数，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知实数，，，下列关系成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 对于实数和，定义运算“”：，设函数，，若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知关于不等式的解集为则（ ） A. B. 不等式的解集为 C D. 不等式的解集为或 10. ，用表示，的较小者，记为，若，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数有最大值，无最小值 C. 不等式解集是 D. 若是方程的三个不同的实数解，则 11. 已知定义在上的函数满足，当时，，，则（ ） A. B. 为奇函数 C. 在上单调递减 D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，若中只有一个元素，则的值构成的集合为_________． 13. 函数是奇函数，且对任意成立，则满足条件的一组值可以是________， ________． 14. 已知a＞b，关于x的不等式对于一切实数x恒成立，又存在实数，使得成立，则最小值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合，. （1）求，； （2）求. 16. 已知命题“，方程有实根”是真命题. （1）求实数的取值集合A； （2）已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围. 17. 某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，先准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用p（单位：万元）和宿舍与工厂的距离x（单位：km）的关系式为，当距离为时，测算宿舍建造费用为20万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需10万元，铺设路面每千米成本为4万元．设为建造宿舍与修路费用之和． （1）求的表达式； （2）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用最小?并求的最小值． 18. 已知． （1）判断的奇偶性并说明理由； （2）求证：函数在上是增函数； （3）若不等式对任意和都恒成立，求的取值范围． 19. 已知幂函数在上单调递增．函数，． （1）求值； （2）当时，记，的值域分别为集合，，若，求实数的取值范围； （3）当时，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 邵阳市二中2024年下学期期中考试 高一年级数学试卷 命题人：吕立霞 审核人：刘雄才 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知全集，则如图所示的阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合交集、补集的知识求得正确答案. 【详解】， 阴影部分表示的集合为. 故选：A 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称命题的否定形式可得正确答案. 【详解】命题“，”的否定就是把任意改为存在且大于零改为小于等于零， 故其否定为：，， 故选：A. 3. 若：“”，：“”，则是的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，将化简，再由充分条件以及必要条件的定义，即可得到结果. 【详解】由可得，又：“”， 则是的充分不必要条件. 故选：C 4. 已知f(x)是偶函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数，则f(－0.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是（ ） A. f(－0.5)＜f(0)＜f(－1) B. f(－1)＜f(－0.5)＜f(0) C. f(0)＜f(－0.5)＜f(－1) D. f(－1)＜f(0)＜f(－0.5) 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，我们可把已知函数自变量的值转化到区间上，再根据的区间上是增函数，即可得到函数值，，的大小关系． 【详解】解：函数为偶函数， ，， 又在区间上是增函数， ， 即， 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是函数奇偶性与单调性的综合应用，属于基础题. 5. 下列各组函数中为同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义域、对应关系、值域等知识来确定正确答案. 【详解】A选项，，所以A选项错误. B选项，，， 两个函数定义域、对应关系、值域相同，所以是同一函数，B选项正确. C选项，对于，，解得或， 所以的定义域是， 对于，，解得， 所以的定义域是，所以C选项错误. D选项，的定义域是， 的定义域是，所以D选项错误. 故选：B 6. 已知函数和分别是相同定义域上的偶函数和奇函数，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性得到新的等式，联立消去即可求得结果. 【详解】因为①， 函数和分别是相同定义域上的偶函数和奇函数， 所以，即②， ②①得，即， 所以， 故选：B. 7. 已知实数，，，下列关系成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，作差法可判断A不正确，举反例可判断B和D不正确，根据基本不等式可判断C正确. 【详解】对于A，，当时，，此时不成立，故A不正确； 对于B，当，时，此时不成立，故B不正确； 对于C，因为，，所以由基本不等式可得，，当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于D，当，时，此时不成立，故D不正确； 故选：C. 8. 对于实数和，定义运算“”：，设函数，，若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据定义求出f(x)的解析式，在同一个坐标系作出与的图像，即可得到答案. 【详解】若，则，解得； 若,则,则或， 所以作出f(x)的函数图象如图所示： 作出直线y=c， 因为函数的图象与轴恰有两个公共点， 所以与由两个交点，只需. 故选：B 【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： (1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知关于的不等式的解集为则（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 不等式的解集为或 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集可得到可判断A，根据根与系数的关系可得，，代入到BCD中可判断出结果. 【详解】由题可得，则， 所以，即，解得，故选项A和选项B正确； ，因为，所以， 即，选项C错误； 不等式可化为， 即，解得或，故选项D正确； 故选：ABD. 10. ，用表示，的较小者，记为，若，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数有最大值，无最小值 C. 不等式的解集是 D. 若是方程的三个不同的实数解，则 【答案】AD 【解析】 【分析】由题可得，判断各选项正误即可. 【详解】由，得或，由，得. 则. 对于A选项，，故A正确. 对于B选项，由可知无最小值，无最大值，故B错误； 对于C选项，当时，，可得，所以； 当时，由，可得，解得， .综上，不等式的解集是，故C错误； 对于D选项，当时，， 可得，解得； 当时，，可得，解得， 则，故D正确. 故选：AD. 11. 已知定义在上的函数满足，当时，，，则（ ） A. B. 为奇函数 C. 在上单调递减 D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用赋值法结合抽象函数的性质一一判定选项. 【详解】A选项，中，令得，故A正确； B选项，中，令得，解得， 中，令得， 所以，故为奇函数，故B正确； C选项，中，令，且． 故，即， 当时，，故，即， 故在上单调递增，C错误； D选项，，解得， 则， 又，故，是的增函数，所以，D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，若中只有一个元素，则的值构成的集合为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意分情况讨论即可求得结果，当时，满足题意；时，只需让判别式等于零即可. 【详解】当时，解得，满足题意； 当时，此时，解得， 所以值构成的集合为， 故答案为：. 13. 函数是奇函数，且对任意成立，则满足条件的一组值可以是________， ________． 【答案】 ①. 1 ②. 0 【解析】 分析】由奇函数确定，再由最值确定. 【详解】因为函数是奇函数， 所以，得，经验证符合； 所以，又恒成立， 所以恒成立， 所以，即. 故答案为：1； 0 14. 已知a＞b，关于x的不等式对于一切实数x恒成立，又存在实数，使得成立，则最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由对于一切实数恒成立，可得，且；再由，使成立，可得，进而可得的值为1，将可化为，利用基本不等式可得结果. 【详解】因为对于一切实数恒成立， 所以，且，所以； 再由，使成立， 可得，所以， 所以， 因为，即，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合，. （1）求，； （2）求. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据并集，交集和补集的定义求解即可； （2）根据补集和并集的定义求解即可. 【小问1详解】 ， ，. 所以，， ； 【小问2详解】 ， 所以. 16. 已知命题“，方程有实根”是真命题. （1）求实数的取值集合A； （2）已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，运算求解即可； （2）由题意可知：集合是集合A的真子集，分和两种情况，结合包含关系列式求解. 【小问1详解】 由题可知：，解得， 所以. 【小问2详解】 若“”是“”的充分不必要条件，则集合是集合A的真子集， ①当时，，即，满足题意； ②当时，，即，满足题意； 综上所述：的取值范围为. 17. 某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，先准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用p（单位：万元）和宿舍与工厂的距离x（单位：km）的关系式为，当距离为时，测算宿舍建造费用为20万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需10万元，铺设路面每千米成本为4万元．设为建造宿舍与修路费用之和． （1）求的表达式； （2）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用最小?并求的最小值． 【答案】（1） （2）宿舍应建在离工厂时，可使总费用最小，且的最小值为 【解析】 【分析】（1）由题意可计算出，即可得的表达式； （2）借助基本不等式计算即可得. 【小问1详解】 由题意可知，当时，有， 解得，即， 则； 【小问2详解】 ， 当且仅当，即时等号成立， 即宿舍应建在离工厂，可使总费用最小，且的最小值为. 18. 已知． （1）判断的奇偶性并说明理由； （2）求证：函数在上是增函数； （3）若不等式对任意和都恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）奇函数，理由见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用函数的奇偶性定义即可求解； （2）利用函数单调性定义即可判断； （3）根据题意求出，从而可得，设，只需即可求解. 小问1详解】 函数是定义在上的奇函数， 理由如下， 定义域，关于原点对称， 又， 所以是定义在上的奇函数. 【小问2详解】 证明：设为区间上的任意两个值，且， 则， 因为， 所以，， 即； 所以函数在上是增函数. 小问3详解】 由（1）（2）可知时，． 所以，即，对恒成立， 令，，则只需，即， 解得，故的取值范围为． 19. 已知幂函数在上单调递增．函数，． （1）求的值； （2）当时，记，的值域分别为集合，，若，求实数的取值范围； （3）当时，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的特征以及性质可求得结果； （2）根据（1）中得到的单调性以及包含关系可得到结果； （3）利用换元法得到有关的一个一元二次函数，根据对称轴的位置分三种情况求最小值可求得结果. 【小问1详解】 因为是是幂函数， 所以，解得或， 当时，，在为减函数， 当时，，在为增函数， 所以； 【小问2详解】 由（1）知，当时，， 即，， ，，解得， 即的取值范围为； 小问3详解】 ，令，因为，所以， 则令，，对称轴为， ①当，即时，函数在为增函数， ，解得； ②当，即时，， 解得，不符合题意，舍去； ③当，即时，函数在为减函数， ，解得，不符合题意，舍去； 综上所述：存在使得的最小值为0． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $