4.5.2 用二分法求方程的近似解（分层作业）-【上好课】高一数学必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）

4.5 函数的应用（二） 4.5.2 用二分法求方程的近似解 分层作业 一、题型研究 1、 二分法的概念 例1　(1)(多选)下列函数图象与x轴均有交点，能用二分法求函数零点近似值的是(　　) 二、用二分法求函数零点的近似值 例2　(多选)用二分法求函数f(x)＝5x＋7x－2的一个零点，其参考数据如下： x 0.062 5 0.093 75 0.125 0.156 25 0.187 5 f(x) －0.456 7 －0.180 9 0.097 8 0.379 7 0.664 7 根据上述数据，可得f(x)＝5x＋7x－2的一个零点近似值(精确度0.05)为(　　) A．0.625 B．0.093 75 C．0.125 D．0.096 三、二分法的实际应用 跟踪训练3　一块电路板的AB线段之间有60个串联的焊接点，已知电路不通的原因是焊口脱落，要想用二分法的思想检测出哪处焊口脱落，至多需要检测(　　) A．4次 B．6次 C．8次 D．30次 1、 基础达标 1.若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表： 那么方程的一个近似解（误差不超过0.025）为（    ） A．1.25 B．1.40625 C．1.4375 D．1.421875 2.下列函数中不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 3.已知函数f(x)=,用二分法求方程在（0，2）的根，则方程的根落在下面哪个区间比较精确（ ） A．（0，1） B．（1，2） C．（0，） D．（，1） 4.若函数的一个零点附近的函数值用二分法逐次计算的参考数据如下： 那么方程的一个近似根（精确度0.1）为（   ）． A． B． C． D． 5.下列函数中不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 6.用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 7.设，用二分法求方程在区间内近似解的过程中，得，则方程的根落在区间（    ） A． B． C． D． 8.已知f(x)＝－x－x3，x∈[a，b]，且f(a)·f(b)＜0，则f(x)＝0在[a，b]内（    ） A．至少有一个实根 B．至多有一个实根 C．没有实根 D．有唯一实根 9.利用二分法求方程的近似解时,若第一次确定的有解区间是,则第二次确定的有解区间是（    ） A． B． C． D． 10.定义在R上的函数 f(x) 的图像是连续不断的曲线，已知函数 f(x)在区间(a，b)上有一个零点 x0，且 f(a)f(b)<0，用二分法求 x0 时，若 f＝0，则函数 f(x) 的零点是(　　) A．(a，b)内的 B． C．区间或内的任意一个实数 D．a或b 2、 能力提升 1.下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（    ） A． B． C． D． 2.已知函数f（x）=x3+2x-8的零点用二分法计算，附近的函数值参考数据如表所示： x 1 2 1.5 1.75 1.625 1.6875 f（x） -5.00 4.00 -1.63 0.86 -0.46 0.18 则方程x3+2x-8=0的近似解可取为（精确度0.1）（　　） A．1.50 B．1.66 C．1.70 D．1.75 3.在用二分法求函数在区间上的唯一零点的过程中，取区间上的中点，若，则函数在区间上的唯一零点 A．在区间内 B．在区间内 C．在区间（a，c）或（c，d）内 D．等于 4.用二分法求方程x3＋3x－7＝0在(1，2)内的近似解的过程中，构造函数f(x)＝x3＋3x－7，算得f(1)<0，f(1.25)<0，f(1.5)>0，f(1.75)>0，则该方程的根所在的区间是（    ） A．(1，1.25) B．(1.25，1.5) C．(1.5，1.75) D．(1.75，2) 5.观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是（    ） A． B． C． D． 6.已知函数的图象是连续不断的，有如下的，的对应表： 1 2 3 4 5 6 136.13 15.552 －3.92 10.88 －52.488 －232.064 则函数存在零点的区间有（ ） A．区间 B．区间 C．区间 D．区间 7.已知函数的一个零点附近的函数值的参考数据如下表： x 0 0.5 0.53125 0.5625 0.625 0.75 1 0.066 0.215 0.512 1.099 由二分法，方程的近似解（精确度为0.05）可能是（    ） A．0.625 B． C．0.5625 D．0.066 8.基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （    ） A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天 3、 直击高考 1.若函数的部分函数值如下，那么方程的一个近似根（精确到0.1）可以是（    ） A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5 2.已知在区间内有一个零点，若用二分法求的近似值(精确度)为，则最少需要将区间等分的次数为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 3.用二分法求方程在内的近似解，已知判断，方程的根应落在区间（    ） A． B． C． D． 4.已知定义在上的增函数，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，，，又，则函数的零点为（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 4.5 函数的应用（二） 4.5.2 用二分法求方程的近似解 分层作业 一、题型研究 1、 二分法的概念 例1　(1)(多选)下列函数图象与x轴均有交点，能用二分法求函数零点近似值的是(　　) 答案　ABC 解析　根据二分法的定义，知函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)f(b)<0，即函数的零点是变号零点，才能将区间[a，b]一分为二，逐步得到零点的近似值．对各图象分析可知，选项A，B，C都符合条件，而选项D不符合，因为零点左右两侧的函数值不变号，所以不能用二分法求函数零点的近似值． 反思感悟　运用二分法求函数的零点应具备的条件 (1)函数图象在零点附近连续不断． (2)在该零点左右两侧的函数值异号． 二、用二分法求函数零点的近似值 例2　(多选)用二分法求函数f(x)＝5x＋7x－2的一个零点，其参考数据如下： x 0.062 5 0.093 75 0.125 0.156 25 0.187 5 f(x) －0.456 7 －0.180 9 0.097 8 0.379 7 0.664 7 根据上述数据，可得f(x)＝5x＋7x－2的一个零点近似值(精确度0.05)为(　　) A．0.625 B．0.093 75 C．0.125 D．0.096 答案　BCD 解析　已知f(0.093 75)<0，f(0.125)>0，则函数f(x)的零点的初始区间为(0.093 75,0.125)，所以零点在区间(0.093 75,0.125)上，|0.125－0.093 75|＝0.031 25<0.05，所以0.093 75,0.096,0.125都符合题意． 反思感悟　二分法求函数零点的关注点 (1)验证零点所在的区间是否符合精确度要求． 给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的步骤 1．确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0. 2．求区间(a，b)的中点c. 3．计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间： (1)若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点； (2)若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c； (3)若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c. 4．判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2～4. 以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断． 注意点： (1)初始区间的确定要包含函数的变号零点． (2)精确度ε表示当区间的长度小于ε时停止二分． 三、二分法的实际应用 跟踪训练3　一块电路板的AB线段之间有60个串联的焊接点，已知电路不通的原因是焊口脱落，要想用二分法的思想检测出哪处焊口脱落，至多需要检测(　　) A．4次 B．6次 C．8次 D．30次 答案　B 解析　第一次，可去掉30个结果，从剩余的30个中继续二分法； 第二次，可去掉15个结果，从剩余的15个中继续二分法； 第三次，可去掉7或8个结果，考虑至多的情况，所以去掉7个结果，从剩余的8个中继续二分法； 第四次，可去掉4个结果，从剩余的4个中继续二分法； 第五次，可去掉2个结果，从剩余的2个中继续二分法； 第六次，可去掉1个结果，得到最终结果，所以至多需要检测六次． 1、 基础达标 1.若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表： 那么方程的一个近似解（误差不超过0.025）为（    ） A．1.25 B．1.40625 C．1.4375 D．1.421875 【答案】D 【分析】利用零点存在性定理找到零点所在区间，即可获得方程的近似解 【详解】， ，零点在区间内， 即该方程的根在区间内，结合各选项，方程的近似解为1.421875. 故选：D. 2.下列函数中不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二分法的定义，在连续区间，使，则能用二分法求零点，根据定义判断选项. 【详解】选项恒成立，不存在区间使， 所以不能用二分法求零点. 故选：C 3.已知函数f(x)=,用二分法求方程在（0，2）的根，则方程的根落在下面哪个区间比较精确（ ） A．（0，1） B．（1，2） C．（0，） D．（，1） 【答案】D 【分析】直接利用零点存在定理以及二分法的定义判断即可. 【详解】因为， 所以； ； ； ； 可得方程的根落在区间比较精确，故选D. 【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用以及二分法的定义，属于基础题. 4.若函数的一个零点附近的函数值用二分法逐次计算的参考数据如下： 那么方程的一个近似根（精确度0.1）为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先研究函数，再利用函数的单调性，结合二分法求函数零点，由参考数据可得,且,可得解． 【详解】解：由函数为增函数，由参考数据可得,且, 所以当精确度时,可以将作为函数零点的近似值,也即方程根的近似值． 故选C． 【点睛】本题主要考查利用二分法求函数零点，重点考查了函数的单调性，属基础题. 5.下列函数中不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】逐一分析各个选项的函数是否有零点，零点两侧符号是否相反即可得解. 【详解】对于A，为单调递增函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号， 所以可用二分法求零点，故A正确； 对于B，为单调递增函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号， 所以可用二分法求零点，故B正确； 对于C，不是单调函数，有唯一零点，但函数值在零点两侧都是正的， 所以不可用二分法求零点，故C错误； 对于D，为单调递增函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号， 所以可用二分法求零点，故D正确. 故选：C. 6.用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据函数零点的存在性定理可知零点，结合对二分法的理解即可得出结果. 【详解】因为， 由零点存在性知：零点， 根据二分法，第二次应计算，即， 故选：D. 7.设，用二分法求方程在区间内近似解的过程中，得，则方程的根落在区间（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由零点判定定理与二分法求解即可 【详解】因为区间的中点值为，且，在是增函数 则， 所以根落在内， 又区间的中点值为，且， 则 所以根落在内， 又区间的中点值为，且， 则 所以根落在内， 故选：D 8.已知f(x)＝－x－x3，x∈[a，b]，且f(a)·f(b)＜0，则f(x)＝0在[a，b]内（    ） A．至少有一个实根 B．至多有一个实根 C．没有实根 D．有唯一实根 【答案】D 【分析】先判断函数的单调性，然后利用零点存在性定理判断即可 【详解】解：设，且，则 ， 因为，所以，即 所以f(x)＝－x－x3在[a，b]上单调递减， 因为f(a)·f(b)＜0， 所以f(x)＝0在[a，b]内有唯一解. 故选：D 【点睛】此题考查在是函数零点存在性定理的应用，属于基础题. 9.利用二分法求方程的近似解时,若第一次确定的有解区间是,则第二次确定的有解区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设,先确定的符号,再根据的符号,确定第二次的有解区间即可. 【详解】设, , 第二次确定的有解区间是. 故选:C. 10.定义在R上的函数 f(x) 的图像是连续不断的曲线，已知函数 f(x)在区间(a，b)上有一个零点 x0，且 f(a)f(b)<0，用二分法求 x0 时，若 f＝0，则函数 f(x) 的零点是(　　) A．(a，b)内的 B． C．区间或内的任意一个实数 D．a或b 【答案】B 【分析】由二分法的定义和已知，结合f＝0从而可求函数f（x）的零点． 【详解】由已知定义在R上的函数 f(x) 的图像是连续不断的曲线，已知函数 f(x)在区间(a，b)上有一个零点 x0，且 f(a)f(b)<0，且f＝0，故函数的零点为. 选B. 【点睛】本题主要考查了二分法的定义，属于基础题． 2、 能力提升 1.下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】二分法的理论依据是零点存在定理，必须满足零点两侧函数值异号才能求解，观察图象可得结果. 【详解】二分法的理论依据是零点存在定理，必须满足零点两侧函数值异号才能求解. 而选项B图中零点两侧函数值同号，即曲线经过零点时不变号，称这样的零点为不变号零点. 另外，选项A，C，D零点两侧函数值异号，称这样的零点为变号零点. 根据二分法的理论依据选项B不能用二分法求图中函数零点， 故选：B. 【点睛】本题考查二分法求函数零点，关键是理解零点两侧函数值的正负问题，是基础题. 2.已知函数f（x）=x3+2x-8的零点用二分法计算，附近的函数值参考数据如表所示： x 1 2 1.5 1.75 1.625 1.6875 f（x） -5.00 4.00 -1.63 0.86 -0.46 0.18 则方程x3+2x-8=0的近似解可取为（精确度0.1）（　　） A．1.50 B．1.66 C．1.70 D．1.75 【答案】B 【详解】近似解可取为1.66，选B. 3.在用二分法求函数在区间上的唯一零点的过程中，取区间上的中点，若，则函数在区间上的唯一零点 A．在区间内 B．在区间内 C．在区间（a，c）或（c，d）内 D．等于 【答案】D 【分析】在区间上的唯一零点，而区间上的中点，，则等于 【详解】根据用二分法求方程的近似解的方法和步骤，函数f（x）在区间（a，b）上的唯一零点x0=，故选D． 【点睛】本题考查二分法求方程近似解，在使用二分法时对于函数f(x),先找到a、b属于区间（x，y），使f(a)，f(b)异号，说明在区间(a,b)内一定有零点，所以二分法需要定义域内至少有两点x对应的f（x）的值符号相反． 4.用二分法求方程x3＋3x－7＝0在(1，2)内的近似解的过程中，构造函数f(x)＝x3＋3x－7，算得f(1)<0，f(1.25)<0，f(1.5)>0，f(1.75)>0，则该方程的根所在的区间是（    ） A．(1，1.25) B．(1.25，1.5) C．(1.5，1.75) D．(1.75，2) 【答案】B 【分析】根据零点存在性定理可求解. 【详解】由f(1.25)<0，f(1.5)>0得f(1.25)·f(1.5)<0， 又函数f(x)的图象是连续不断的， 根据零点存在性定理可知，函数f(x)的一个零点x0∈(1.25，1.5)， 即方程x3＋3x－7＝0的根所在的区间是(1.25，1.5)， 故选：B 5.观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由图象观察有无零点，再根据零点左右两侧，函数值符号不同，可以选出答案. 【详解】由图象可知，BD选项中函数无零点，AC选项中函数有零点，C选项中函数零点两侧函数值符号相同，A选项中函数零点两侧函数值符号相反，故A选项中函数零点可以用二分法求近似值，C选项不能用二分法求零点. 故选：A 6.已知函数的图象是连续不断的，有如下的，的对应表： 1 2 3 4 5 6 136.13 15.552 －3.92 10.88 －52.488 －232.064 则函数存在零点的区间有（ ） A．区间 B．区间 C．区间 D．区间 【答案】D 【详解】试题分析：由零点二分法，有，在有零点，故零点在区间. 考点：零点与二分法． 7.已知函数的一个零点附近的函数值的参考数据如下表： x 0 0.5 0.53125 0.5625 0.625 0.75 1 0.066 0.215 0.512 1.099 由二分法，方程的近似解（精确度为0.05）可能是（    ） A．0.625 B． C．0.5625 D．0.066 【答案】C 【分析】按照二分法的方法流程进行计算，根据的符号确定根所在的区间，当区间长度小于或等于0.05时，只需从该区间上任取一个数即可． 【详解】由题意得在区间上单调递增， 设方程的解的近似值为， 由表格得， 所以, 因为， 所以方程的近似解可取为0.5625． 故选：C. 8.基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （    ） A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天 【答案】B 【分析】根据题意可得，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，根据，解得即可得结果. 【详解】因为，，，所以，所以， 设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天， 则，所以，所以， 所以天. 故选：B. 【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题. 3、 直击高考 1.若函数的部分函数值如下，那么方程的一个近似根（精确到0.1）可以是（    ） A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5 【答案】C 【分析】根据题干中所给的函数值，利用二分法求方程的近似解即可. 【详解】解：因为，，且1.375与1.4375精确到0.1的近似值都为1.4， 所以原方程的一个近似根为1.4． 故选：C. 2.已知在区间内有一个零点，若用二分法求的近似值(精确度)为，则最少需要将区间等分的次数为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】设需要将区间等分次，则根据二分法的定义可得，从而可求出的最小值. 【详解】设需要将区间等分次， 因为每次等分区间，都会将区间的长度变为原来的一半，原区间长度为1， 所以，得， 因为，所以的最小值为3， 故选：A 3.用二分法求方程在内的近似解，已知判断，方程的根应落在区间（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由零点存在定理及的单调性可得在上有唯一零点，从而得到方程的根应落在上. 【详解】令， 因为与在上单调递增， 所以在上单调递增， 因为，， ， 所以在上有唯一零点，即，故， 所以方程的根落在区间上， 故选：B. 4.已知定义在上的增函数，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，，，又，则函数的零点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，根据二分法找零点的逻辑过程可得求参数a、b，再由已知写出零点即可. 【详解】由在上单调递增得：，，又恒成立， ∴，解得， ∴的零点为， 故选：C. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$