4.5.2 用二分法求方程的近似解（导学案）-【上好课】高一数学必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）

4.5 4.5.2 用二分法求方程的近似解 导学案 1、 学习目标 1.通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件． 2.了解二分法是求方程近似解的常用方法，能借助计算器用二分法求方程的近似解． 3.会用二分法求一个函数在给定区间内的零点，从而求得方程的近似解． 2、 重点难点 教学重点：掌握用二分法求方程近似解的思路与步骤. 教学难点：方程近似解所在初始区间的确定，利用二分法求给定精确度的方程的近似解． 3、 导入新知 同学们，前几天有个同事买了一部手机，为了游戏更有趣，暂且不告诉大家是什么牌子的手机，我可以告诉大家这部手机的价位在2 000元～3 000元，如果给大家6次猜价的机会，我只能告诉大家猜的价格比真实值多或少，大家能否猜出与手机真实价钱的误差在50元以内的价钱？注意啊，你的机会只有5次！接下来，让我们一起探究解决这个问题的方法吧． 我们已经知道，函数在区间内存在一个零点．进一步的问题是，如何求出这个零点呢？ 一个直观的想法是：如果能将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，就可以得到符合要求的零点的近似值．为了方便，可以通过取区间中点的方法，逐步缩小零点所在的范围． 取区间的中点2.5，用计算工具算得．因为，所以零点在区间内． 再取区间的中点2.75，用计算工具算得．因为，所以零点在区间内． 大多数方程都不能像一元二次方程那样用公式求出精确解．在实际问题中，往往只需求出满足一定精确度的近似解． 一般地，称为区间的中点． 由于，所以零点所在的范围变小了．如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小（如表4.5-2和图4.5-3）．这样，我们就可以通过有限次重复相同的步骤，将零点所在范围缩小到满足一定精确度的区间，区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值．为了方便，我们把区间的一个端点作为零点的近似值． 零点所在区间 中点的值 中点函数近似值 2.5 -0.084 2.75 0.512 2.625 0.215 2.5625 0.066 2.53125 -0.009 2.546875 0.029 2.5390625 0.010 2.53515625 0.001 例如，当精确度为0.01时，因为，所以区间 内任意一点都可以作为零点的近似值，也可以将作为函数零点的近似值，也即方程的近似解． 对于在区间上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection）． 给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下： 1．确定零点的初始区间，验证． 2．求区间的中点． 3．计算，并进一步确定零点所在的区间： （1）若（此时），则就是函数的零点； （2）若（此时），则令； （3）若（此时），则令． 4．判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或）；否则重复步骤2~4． 由函数零点与相应方程解的关系，我们可用二分法来求方程的近似解． 为了刻画与准确值的接近程度，这里给出了精确度，由可知，区间中任意一个值都是零点满足精确度的近似值（想一想，为什么）． 4、 应用新知 例2 借助信息技术，用二分法求方程的近似解（精确度为0.1）． 解：原方程即，令，用信息技术画出函数的图象（图4.5-4），并列出它的对应值表（表4.5-3）． 表4.5-3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -6 -2 3 10 21 40 75 142 273 观察图4.5-4或表4.5-3，可知，说明该函数在区间内存在零点． 取区间的中点，用信息技术算得．因为，所以． 再取区间的中点，用信息技术算得．因为，所以． 同理可得，，． 由于， 所以，原方程的近似解可取为1.375． 由例2可见，用二分法求方程的近似解，计算量较大，而且是重复相同的步骤．因此，可以通过设计一定的计算程序，借助信息技术完成计算．图4.5-5就是表示二分法求方程近似解过程的程序框图．有兴趣的同学，可以在此基础上用有关算法语言编写程序，利用信息技术求方程的近似解． 【变式】若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表： 那么方程的一个近似解（误差不超过0.025）为（    ） A．1.25 B．1.40625 C．1.4375 D．1.421875 【答案】D 【分析】利用零点存在性定理找到零点所在区间，即可获得方程的近似解 【详解】， ，零点在区间内， 即该方程的根在区间内，结合各选项，方程的近似解为1.421875. 故选：D. 5、 能力提升 题型一　二分法的概念 用二分法求函数的零点可以取的初始区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据所取的初始区间的端点值对应的函数值异号进行逐项判断即可. 【详解】因为， 所以， 所以函数在上有零点. 故可以取区间作为计算的初始区间，用二分法逐步计算. 故选：A. 【点睛】本题考查二分法的概念理解，难度较易. 【感悟提升】用二分法求函数零点应具备的条件 (1)函数图象在零点附近连续不断． (2)在该零点左右两侧的函数值异号． 只有同时满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点． 题型二　用二分法求方程的近似解(或函数零点的近似值) 用二分法求方程的根的近似值时，令，并用计算器得到下表： x 1.00 1.25 1.375 1.50 1.0794 0.1918 -0.3604 -0.9989 则由表中的数据，可得方程的一个近似解（误差不超过0.1）为（    ） A．1.125 B．1.3125 C．1.4375 D．1.46875 【答案】B 【分析】由图表知，故由二分法思想再取的中点，当区间长度小于精确度时便得到近似解. 【详解】因为，故根据二分法的思想，知函数的零点在区间内， 但区间的长度为，因此需要取的中点1.312 5， 两个区间和中必有一个满足区间端点的函数值符号相异， 又区间的长度为，因此1.312 5是一个近似解． 故选：B. 【感悟提升】利用二分法求方程近似解的步骤 (1)构造函数，利用图象确定方程的根所在的大致区间，通常限制在区间(n，n＋1)，n∈Z. (2)利用二分法求出满足精确度的方程的根所在的区间M. (3)区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点． 反思感悟　二分法求函数零点的关注点 (1)验证零点所在的区间是否符合精确度要求． (2)区间内的任一值都可以作为零点的近似值，一般取端点作为零点的近似值． 题型三、二分法的实际应用 一块电路板的AB线段之间有60个串联的焊接点，已知电路不通的原因是焊口脱落，要想用二分法的思想检测出哪处焊口脱落，至多需要检测(　　) A．4次 B．6次 C．8次 D．30次 答案　B 解析　第一次，可去掉30个结果，从剩余的30个中继续二分法； 第二次，可去掉15个结果，从剩余的15个中继续二分法； 第三次，可去掉7或8个结果，考虑至多的情况，所以去掉7个结果，从剩余的8个中继续二分法； 第四次，可去掉4个结果，从剩余的4个中继续二分法； 第五次，可去掉2个结果，从剩余的2个中继续二分法； 第六次，可去掉1个结果，得到最终结果，所以至多需要检测六次． 反思感悟　二分法的思想在实际生活中应用十分广泛，二分法不仅可用于线路、水管、煤气管道故障的排查，还能用于实验设计、资料查询、资金分配等． 6、 课堂总结 1．知识清单： (1)二分法的定义． (2)利用二分法求函数的零点、方程的近似解． (3)二分法在实际生活中的应用． 2．方法归纳：化归、逼近． 3．常见误区：二分法并不适用于所有零点，只能求函数的变号零点，且函数图象在零点附近是连续的． 7、 作业设计 (1)整理本节课的题型； (2)完成教材第146页练习第1,2题;第155页习题4. 5第 1,3,4 题. 练习(第146页） 1．借助信息技术，用二分法求函数在区间内零点的近似值（精确度为0.1）． 1．解析：由题设可知 ，，于是，所以函数在区间内存在零点．下面用二分法求函数在区间内的零点． 取区间的中点，用计算器可算得，因为，所以． 再取区间中点，用计算器可算得，因为， 所以，同理可得，， 由于，所以函数在区间内零点的近似值约为． 2．借助信息技术，用二分法求方程在区间内的近似解（精确度为0.1）． 2．解析：原方程可化为，令，用计算器可算得， ．于是，所以这个方程在区间内存在实数解． 下面用二分法求方程在区间内的近似解． 取区间的中点，用计算器可算得． 因为，所以． 再取区间的中点，用计算器可算得． 因为，所以， 同理可得，，由于， 此时区间中任意一个值都是零点的近似值，所以原方程的近似解可取为． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 4.5 4.5.2 用二分法求方程的近似解 导学案 1、 学习目标 1.通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件． 2.了解二分法是求方程近似解的常用方法，能借助计算器用二分法求方程的近似解． 3.会用二分法求一个函数在给定区间内的零点，从而求得方程的近似解． 2、 重点难点 教学重点：掌握用二分法求方程近似解的思路与步骤. 教学难点：方程近似解所在初始区间的确定，利用二分法求给定精确度的方程的近似解． 3、 导入新知 同学们，前几天有个同事买了一部手机，为了游戏更有趣，暂且不告诉大家是什么牌子的手机，我可以告诉大家这部手机的价位在2 000元～3 000元，如果给大家6次猜价的机会，我只能告诉大家猜的价格比真实值多或少，大家能否猜出与手机真实价钱的误差在50元以内的价钱？注意啊，你的机会只有5次！接下来，让我们一起探究解决这个问题的方法吧． 我们已经知道，函数在区间内存在一个零点．进一步的问题是，如何求出这个零点呢？ 一个直观的想法是：如果能将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，就可以得到符合要求的零点的近似值．为了方便，可以通过取区间中点的方法，逐步缩小零点所在的范围． 取区间的中点2.5，用计算工具算得．因为，所以零点在区间内． 再取区间的中点2.75，用计算工具算得．因为，所以零点在区间内． 大多数方程都不能像一元二次方程那样用公式求出精确解．在实际问题中，往往只需求出满足一定精确度的近似解． 一般地，称为区间的中点． 由于，所以零点所在的范围变小了．如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小（如表4.5-2和图4.5-3）．这样，我们就可以通过有限次重复相同的步骤，将零点所在范围缩小到满足一定精确度的区间，区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值．为了方便，我们把区间的一个端点作为零点的近似值． 零点所在区间 中点的值 中点函数近似值 2.5 -0.084 2.75 0.512 2.625 0.215 2.5625 0.066 2.53125 -0.009 2.546875 0.029 2.5390625 0.010 2.53515625 0.001 例如，当精确度为0.01时，因为，所以区间 内任意一点都可以作为零点的近似值，也可以将作为函数零点的近似值，也即方程的近似解． 对于在区间上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection）． 给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下： 1．确定零点的初始区间，验证． 2．求区间的中点． 3．计算，并进一步确定零点所在的区间： （1）若（此时），则就是函数的零点； （2）若（此时），则令； （3）若（此时），则令． 4．判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或）；否则重复步骤2~4． 由函数零点与相应方程解的关系，我们可用二分法来求方程的近似解． 为了刻画与准确值的接近程度，这里给出了精确度，由可知，区间中任意一个值都是零点满足精确度的近似值（想一想，为什么）． 4、 应用新知 例2 借助信息技术，用二分法求方程的近似解（精确度为0.1）． 【变式】若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表： 那么方程的一个近似解（误差不超过0.025）为（    ） A．1.25 B．1.40625 C．1.4375 D．1.421875 5、 能力提升 题型一　二分法的概念 用二分法求函数的零点可以取的初始区间是（    ） A． B． C． D． 题型二　用二分法求方程的近似解(或函数零点的近似值) 用二分法求方程的根的近似值时，令，并用计算器得到下表： x 1.00 1.25 1.375 1.50 1.0794 0.1918 -0.3604 -0.9989 则由表中的数据，可得方程的一个近似解（误差不超过0.1）为（    ） A．1.125 B．1.3125 C．1.4375 D．1.46875 题型三、二分法的实际应用 一块电路板的AB线段之间有60个串联的焊接点，已知电路不通的原因是焊口脱落，要想用二分法的思想检测出哪处焊口脱落，至多需要检测(　　) A．4次 B．6次 C．8次 D．30次 6、 课堂总结 1．知识清单： (1)二分法的定义． (2)利用二分法求函数的零点、方程的近似解． (3)二分法在实际生活中的应用． 2．方法归纳：化归、逼近． 3．常见误区：二分法并不适用于所有零点，只能求函数的变号零点，且函数图象在零点附近是连续的． 7、 作业设计 (1)整理本节课的题型； (2)完成教材第146页练习第1,2题;第155页习题4. 5第 1,3,4 题. 练习(第146页） 1．借助信息技术，用二分法求函数在区间内零点的近似值（精确度为0.1）． 2．借助信息技术，用二分法求方程在区间内的近似解（精确度为0.1）． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$