广东省实验中学教育集团2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年广东省实验中学教育集团九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）用配方法解方程x2﹣4x+1＝0，下列配方正确的是（　　） A．（x﹣2）2＝5 B．（x+2）2＝5 C．（x﹣2）2＝3 D．（x+2）2＝3 3．（3分）方程（x﹣5）2＝16的根是（　　） A．9 B．1 C．9或1 D．4或5 4．（3分）把抛物线y＝﹣2x2+4的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（　　） A．y＝﹣2（x﹣2）2+7 B．y＝﹣2（x﹣2）2+1 C．y＝﹣2（x+2）2+7 D．y＝﹣2（x+2）2+1 5．（3分）关于二次函数y＝（x+1）2﹣3，下列说法错误的是（　　） A．图象的开口方向向上 B．函数的最小值为﹣3 C．图象的顶点坐标为（1，﹣3） D．当x＜﹣1时，y随x的增大而减小 6．（3分）如图，在△ABC中，以C为中心，将△ABC顺时针旋转34°得到△DEC，边ED，AC相交于点F，若∠A＝30°，则∠EFC的度数为（　　） A．60° B．64° C．66° D．68° 7．（3分）如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠ABC＝3∠ADC，那么∠ABC是（　　） A．100° B．135° C．120° D．105° 8．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y＝ax+c在同一坐标系中的图象大致为（　　） A． B． C． D． 9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，若∠A＝30°，AD＝5，则BC的长度为（　　） A． B． C． D． 10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣1，0）和点（3，0），以下结论：①abc＞0；②3a﹣c＝0；③m为任意实数，则am2+bm＞a+b；④当y＜0时，﹣1＜x＜3．其中，正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．（3分）已知点P（x，1）与点Q（﹣3，y）关于原点对称，则x+y＝ 　 　． 12．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，将△ABC绕点B逆时针旋转90°得到△A'BC'，连接AA'，则AA'的长为 　 　． 13．（3分）若a是方程x2﹣2x＝1的解，则代数式a2﹣2a+2024的值为 　 　． 14．（3分）如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，PA＝10cm，C是劣弧AB上的点（不与点A、B重合），过点C的切线分别交PA、PB于点E、F．则△PEF的周长为　 　cm． 15．（3分）已知点A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C（1，y3）都在二次函数y＝ax2+2ax﹣5（a是常数，且a＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系（用“＜”连接）是 　 　． 16．（3分）如图，已知Rt△ACB，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝6，点D在CB所在直线上运动，以AD为边作等边三角形ADE．在点D运动过程中，CE的最小值 　 　． 三、解答题（共9题，共72分） 17．（6分）解方程： （1）x2﹣4x+2＝0； （2）4（x﹣1）＝x（x﹣1）． 18．（6分）如图：在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度；已知△ABC． （1）作出△ABC以O为旋转中心，顺时针旋转90°的△A1B1C1（只画出图形）； （2）请在y轴上找一点P，使PB1+PC1的值最小，并直接写出点P的坐标． 19．（6分）如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点E，AD＝BC． （1）比较与的长度，并证明你的结论； （2）求证：AE＝CE． 20．（8分）如图，二次函数的图象与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与一次函数y2＝﹣x+b的图象交于A，C两点． （1）求b的值； （2）求△ABC的面积； （3）根据图象，直接写出当y1＞y2时x的取值范围． 21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两实根为x1、x2，且+﹣x1x2＝27，求m的值． 22．（8分）如图，BD是⊙O的直径，A是BD延长线上的一点，点E在⊙O上，BC⊥AE，交AE的延长线于点C，BC交⊙O于点F，且点E是的中点． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若AD＝5，，求⊙O的半径． 23．（8分）如图1所示是一座古桥，桥拱截面为抛物线，如图2，AO，BC是桥墩，桥的跨径AB为20m，此时水位在OC处，桥拱最高点P离水面6m，在水面以上的桥墩AO，BC都为2m．以OC所在的直线为x轴、AO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，其中x（m）是桥拱截面上一点距桥墩AO的水平距离，y（m）是桥拱截面上一点距水面OC的距离． （1）求此桥拱截面所在抛物线的表达式； （2）有一艘游船，其左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在河中航行．当水位上涨2m时，水面到棚顶的高度为3m，遮阳棚宽12m，问此船能否通过桥洞？请说明理由． 24．（10分）【问题提出】如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，△CDE是等边三角形，点D在边AB上，探究DE与EB的数量关系． 【问题探究】 （1）先将问题特殊化如图1，当点E在边BC上时，猜想ED和EB数量关系，并加以证明； （2）再探究一般情形．如图2，当点E在△ABC内部时，证明（1）中的结论仍然成立． 【问题拓展】 如图3，当点E在△ABC外部时，EH⊥AB于点H，过点E作GE∥AB，交线段AC的延长线于点G，AG＝5CG，BH＝3．直接写出CG的长 　 　． 25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+（1﹣m）x﹣m交x轴于A，B两点A在点B的左边），交y轴负半轴于点C． （1）如图1，m＝3， ①直接写出A，B，C三点的坐标； ②抛物线上存在点D，使得S△ACD＝2S△ACO，直接写出D点的坐标； （2）如图2，设经过A，B，C三点的⊙M交y轴于另外一点E，m＝3•OE，经过点M的直线y＝kx+b（k≠0）交抛物线于G，H两点，若GH的长等于⊙M的直径长，求k2的值． 2024-2025学年广东省实验中学教育集团九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据中心对称图形的定义可得答案． 【解答】解：由各选项图形可知，是中心对称图形的是D选项． 故选：D． 【点评】本题考查中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键． 2．（3分）用配方法解方程x2﹣4x+1＝0，下列配方正确的是（　　） A．（x﹣2）2＝5 B．（x+2）2＝5 C．（x﹣2）2＝3 D．（x+2）2＝3 【分析】在本题中，把常数项1移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣4的一半的平方． 【解答】解：把方程x2﹣4x+1＝0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣4x＝﹣1， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣4x+4＝﹣1+4， 配方得（x﹣2）2＝3． 故选：C． 【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为1； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 3．（3分）方程（x﹣5）2＝16的根是（　　） A．9 B．1 C．9或1 D．4或5 【分析】利用直接开平方法对所给一元二次方程进行求解即可． 【解答】解：（x﹣5）2＝16， x﹣5＝±4， 所以x1＝9，x2＝1． 故选：C． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟知直接开平方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 4．（3分）把抛物线y＝﹣2x2+4的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（　　） A．y＝﹣2（x﹣2）2+7 B．y＝﹣2（x﹣2）2+1 C．y＝﹣2（x+2）2+7 D．y＝﹣2（x+2）2+1 【分析】直接根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可． 【解答】解：由“左加右减”的原则可知，二次函数y＝﹣2x2+4的图象向左平移2个单位得到y＝﹣2（x+2）2+4， 由“上加下减”的原则可知，将二次函数y＝﹣2（x+2）2+4的图象向上平移3个单位可得到函数y＝﹣2（x+2）2+4+3，即y＝﹣2（x+2）2+7， 故选：C． 【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减、左加右减”的原则是解答此题的关键． 5．（3分）关于二次函数y＝（x+1）2﹣3，下列说法错误的是（　　） A．图象的开口方向向上 B．函数的最小值为﹣3 C．图象的顶点坐标为（1，﹣3） D．当x＜﹣1时，y随x的增大而减小 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【解答】解：∵二次函数y＝（x+1）2﹣3， ∴a＝1＞0，函数的图象开口向上， 故选项A正确，不符合题意； 函数的最小值为﹣3， 故选项B正确，不符合题意； 图象的顶点坐标为（﹣1，﹣3）， 故选项C不正确，符合题意； 当x＜﹣1时，y随x的增大而减小， 故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查二次函数的图象、性质、最值，掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 6．（3分）如图，在△ABC中，以C为中心，将△ABC顺时针旋转34°得到△DEC，边ED，AC相交于点F，若∠A＝30°，则∠EFC的度数为（　　） A．60° B．64° C．66° D．68° 【分析】由旋转的性质得出∠D＝∠A＝30°，∠DCF＝34°，由三角形的外角性质即可得出答案． 【解答】解：由旋转的性质得：∠D＝∠A＝30°，∠DCF＝34°， ∴∠EFC＝∠A+∠DCF＝30°+34°＝64°； 故选：B． 【点评】本题考查了旋转的性质以及三角形的外角性质；熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 7．（3分）如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠ABC＝3∠ADC，那么∠ABC是（　　） A．100° B．135° C．120° D．105° 【分析】根据圆内接四边形的对角互补计算即可． 【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O内接四边形， ∴∠ABC+∠ADC＝180°， ∵∠ABC＝3∠ADC， ∴∠ABC＝135°，∠ADC＝45°， 故选：B． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 8．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y＝ax+c在同一坐标系中的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【分析】可先根据一次函数的图象判断a、c的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误． 【解答】解：A、由一次函数y＝ax+c的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2+bx+c的图象应该开口向上，错误； B、由一次函数y＝ax+c的图象可得：a＞0，c＞0，此时二次函数y＝ax2+bx+c的图象应该开口向上，交于y轴的正半轴，错误； C、由一次函数y＝ax+c的图象可得：a＜0，c＞0，此时二次函数y＝ax2+bx+c的图象应该开口向下，错误． D、由一次函数y＝ax+c的图象可得：a＜0，c＞0，此时二次函数y＝ax2+bx+c的图象应该开口向下，与一次函数的图象交于同一点，正确； 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数y＝kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，若∠A＝30°，AD＝5，则BC的长度为（　　） A． B． C． D． 【分析】连接OD，如图，先根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，再利用含30度角的直角三角形三边的关系求出BD＝，AB＝，再证明∠COD＝60°，接着根据切线的性质得到∠ODC＝90°，然后计算出OC的长，最后计算OC﹣OB． 【解答】解：连接OD，如图， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， 在Rt△ADB中，∵∠A＝30°， ∴BD＝AD＝， ∴AB＝2BD＝， ∴OD＝OB＝AB＝， ∵OA＝OD， ∴∠ODA＝∠A＝30°， ∴∠COD＝∠A+∠ODA＝60°， ∵CD是⊙O的切线， ∴OD⊥CD， ∴∠ODC＝90°， 在Rt△ODC中，∵∠ODC＝60°， ∵OC＝2OD＝， ∴CB＝OC﹣OB＝﹣＝． 故选：D． 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和含30度角的直角三角形三边的关系． 10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣1，0）和点（3，0），以下结论：①abc＞0；②3a﹣c＝0；③m为任意实数，则am2+bm＞a+b；④当y＜0时，﹣1＜x＜3．其中，正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据二次函数图象的对称轴位置和抛物线开口方向确定①③，根据x＝﹣1时y的值判定②，由抛物线图象和性质判定④． 【解答】解：∵抛物线开口向上，则a＞0， ∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣1，0）和点（3，0）， ∴对称轴为直线， 则 即b＝﹣2a＜0， 抛物线与y轴的交点在负半轴，则c＜0， ∴abc＞0，故①正确； ∵抛物线经过点（﹣1，0） ∴a﹣b+c＝0 又b＝﹣2a ∴a+2a+c＝0，即3a+c＝0，故②错误； ∵对称轴为直线x＝1，a＞0， ∴当x＝1时，y的最小值a+b+c， ∴当m为任意实数，则am2+bm+c≥a+b+c， 即am2+bm≥a+b，故③错误； ∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣1，0）和点（3，0）， ∴当y＜0时，﹣1＜x＜3．故④正确； 综上，①④正确； 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．（3分）已知点P（x，1）与点Q（﹣3，y）关于原点对称，则x+y＝ 　2　． 【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横、纵坐标都变成相反数． 【解答】解：∵点P（x，1）与点Q（﹣3，y）关于原点对称， ∴x＝3，y＝﹣1， ∴x+y＝3+（﹣1）＝2， 故答案为：2． 【点评】此题主要考查了关于原点对称，解题的关键是掌握点的坐标变化规律． 12．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，将△ABC绕点B逆时针旋转90°得到△A'BC'，连接AA'，则AA'的长为 　5　． 【分析】先根据勾股定理计算出AB＝5，再根据旋转的性质得到BA＝BA′＝5，∠ABA′＝90°，然后利用勾股定理可计算出AA'的长． 【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4， ∴AB＝＝5， ∵△ABC绕点B逆时针旋转90°得到△A'BC'， ∴BA＝BA′＝5，∠ABA′＝90°， ∴AA′＝＝5． 故答案为：5． 【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．也考查了勾股定理． 13．（3分）若a是方程x2﹣2x＝1的解，则代数式a2﹣2a+2024的值为 　2025　． 【分析】一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把x＝a代入原方程得到a2﹣2a＝1，据此利用整体代入法求解即可． 【解答】解：根据条件可知：a2﹣2a＝1， ∴a2﹣2a+2024＝1+2024＝2025， 故答案为：2025． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，整体代入是关键． 14．（3分）如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，PA＝10cm，C是劣弧AB上的点（不与点A、B重合），过点C的切线分别交PA、PB于点E、F．则△PEF的周长为　20　cm． 【分析】利用切线长定理，可以得到：PA＝PB，AE＝EC，FC＝FB，据此即可求解 【解答】解：∵PA，PB是圆的切线． ∴PA＝PB 同理，AE＝EC，FC＝FB． 三角形PEF的周长＝PE+EF+PF＝PE+PF+CF+EC＝PE+AE+PF+FB＝PA+PB＝2PA＝20cm． 故答案是20． 【点评】本题主要考查了切线长定理，对于定理的认识，在图形中找到切线长定理的基本图形是解决本题的关键． 15．（3分）已知点A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C（1，y3）都在二次函数y＝ax2+2ax﹣5（a是常数，且a＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系（用“＜”连接）是 　y1＜y3＜y2　． 【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线x＝﹣1，根据x＜﹣1时，y随x的增大而增大，即可得出答案． 【解答】解：∵y＝ax2+2ax﹣5（a是常数，且a＜0） ∴图象的开口向下，对称轴是直线， ∴x＜﹣1时，y随x的增大而增大， ∴C（1，y3）关于直线x＝﹣1的对称点是（﹣3，y3）， ∵﹣4＜﹣3＜﹣2， ∴y1＜y3＜y2， 故答案为：y1＜y3＜y2． 【点评】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键． 16．（3分）如图，已知Rt△ACB，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝6，点D在CB所在直线上运动，以AD为边作等边三角形ADE．在点D运动过程中，CE的最小值 　　． 【分析】以AC为边作正△AFC，并作FH⊥AC，垂足为点H，连接FD、CE，由直角三角形可求，由“SA5”可证△FAD≌△CAE，得CE＝FD，CE最小即是FD最小，此时，故CE的 最小值是． 【解答】解：以AC为边作正△AFC，并作FH⊥AC，垂足为点H，连接FD、CE， 在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝6， ∴∠BAC＝30°，AB＝2BC＝12， ∴， ∵△AFC，△ADE都是等边三角形， ∴AD＝AE，AF＝AC，∠DAE＝∠FAC＝60°， ∴∠DAE﹣∠DAC＝∠FAC﹣∠DAC， 即∠FAD＝∠CAE， 在△FAD和△CAE中， ∴△FAD≌△CAE（SAS）， ∴CE＝FD， ∴CE最小即是FD最小， ∵当FD⊥BD时，FD最小，此时∠FDC＝∠DCH＝∠CHF＝90°， ∴四边形FDCH是矩形， ∴， ∴CE的最小值是． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握等边三角形的性质． 三、解答题（共9题，共72分） 17．（6分）解方程： （1）x2﹣4x+2＝0； （2）4（x﹣1）＝x（x﹣1）． 【分析】（1）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得； （2）因式分解法求解可得． 【解答】解：（1）x2﹣4x+2＝0， x2﹣4x＝﹣2， x2﹣4x+4＝﹣2+4， （x﹣2）2＝2， ∴x﹣2＝， x1＝2+，x2＝2﹣； （2）4（x﹣1）＝x（x﹣1）， ∵4（x﹣1）﹣x（x﹣1）＝0， ∴（x﹣1）（4﹣x）＝0， 则x﹣1＝0或4﹣x＝0， 解得：x＝1或x＝4． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 18．（6分）如图：在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度；已知△ABC． （1）作出△ABC以O为旋转中心，顺时针旋转90°的△A1B1C1（只画出图形）； （2）请在y轴上找一点P，使PB1+PC1的值最小，并直接写出点P的坐标． 【分析】（1）根据旋转的性质，画出△A1B1C1即可； （2）作B1关于y轴的对称点D，连接C1D与y轴的交点即为点P，写出点P的坐标即可． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求； （3）如图，点P即为所求，点P的坐标（0，3）． 【点评】本题考查作图﹣旋转变换，勾股定理，轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 19．（6分）如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点E，AD＝BC． （1）比较与的长度，并证明你的结论； （2）求证：AE＝CE． 【分析】（1）由圆心角、弧、弦的关系推出＝，即可得到＝． （2）由AAS证明△ADE≌△CBE（AAS），即可推出AE＝CE． 【解答】（1）解：与的长度相等，理由如下： ∵AD＝BC， ∴＝， ∴+＝+， ∴＝． （2）证明：在△ADE和△CBE中， ， ∴△ADE≌△CBE（AAS）， ∴AE＝CE． 【点评】本题考查圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质，关键是由圆心角、弧、弦的关系推出＝；证明△ADE≌△CBE（AAS）． 20．（8分）如图，二次函数的图象与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与一次函数y2＝﹣x+b的图象交于A，C两点． （1）求b的值； （2）求△ABC的面积； （3）根据图象，直接写出当y1＞y2时x的取值范围． 【分析】（1）根据函数与方程的关系，当y1＝0时，求解一元二次方程，即可得出抛物线与x轴的两个交点，然后将点A代入一次函数解析式即可确定b的值； （2）先求两个函数的交点C的坐标，把y2＝﹣x﹣1代入中，求解一元二次方程，即可确定点C的坐标，然后结合图象，求三角形面积即可； （3）根据A（﹣1，0），C（2，﹣3），结合图象，即可确定x的取值范围． 【解答】解：（1）当y1＝0时， x2﹣2x﹣3＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝3， ∴抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）． ∵直线y2＝﹣x+b经过A点， ∴0＝﹣（﹣1）+b， ∴b＝﹣1； （2）由（1）知y2＝﹣x﹣1， 联立得：x2﹣2x﹣3＝﹣x﹣1， 整理得x2﹣x﹣2＝0 解得：x＝﹣1（舍），x＝2， 把x＝2代入y＝﹣x﹣1，得y＝﹣3， ∴C（2，﹣3）， ∴S△ABC＝×[3﹣（﹣1）]×|﹣3|＝6； （3）A（﹣1，0），C（2，﹣3）， 当x＜﹣1或x＞2时，抛物线在直线的上方， ∴当y1＞y2时，x＜﹣1或x＞2． 【点评】本题主要考查二次函数与坐标轴交点，待定系数法确定一次函数解析式，结合图象求不等式解集等，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两实根为x1、x2，且+﹣x1x2＝27，求m的值． 【分析】（1）表示出根的判别式，判断其正负即可作出判断； （2）利用根与系数的关系表示出两根之积与两根之和，已知等式变形代入代入计算即可求出m的值． 【解答】（1）证明：x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0， ∵Δ＝（m﹣3）2﹣4×（﹣m） ＝m2﹣6m+9+4m ＝m2﹣2m+1+8 ＝（m﹣1）2+8≥8＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解：由根与系数的关系可得：x1+x2＝m﹣3，x1x2＝﹣m， ∵+﹣x1x2＝27， ∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝27，即（m﹣3）2+3m＝27， 解得：m＝﹣3或m＝6． 故m的值是﹣3或6． 【点评】此题考查了根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． 22．（8分）如图，BD是⊙O的直径，A是BD延长线上的一点，点E在⊙O上，BC⊥AE，交AE的延长线于点C，BC交⊙O于点F，且点E是的中点． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若AD＝5，，求⊙O的半径． 【分析】（1）连接OE，根据同圆中，等弧所对的圆周角相等得出∠EBC＝∠DBE，根据等边对等角得出∠DBE＝∠BEO，推得∠EBC＝∠BEO，根据内错角相等，两直线平行得出BC∥OE，根据两直线平行，同位角相等得出OE⊥AC，即可证明； （2）设⊙O半径为r，根据勾股定理可得AE2+OE2＝AO2，据此列出方程，解方程求出r即可． 【解答】（1）证明：如图，连接OE， ∵点E是的中点， ∴， ∴∠EBC＝∠DBE， 又OB＝OE， ∴∠DBE＝∠BEO， ∴∠EBC＝∠BEO， ∴BC∥OE， 又BC⊥AC于点E， ∴OE⊥AC于点E， ∵OE是⊙O的半径， ∴AC为⊙O的切线． （2）解：设⊙O半径为r， 在Rt△AOE中，AE2+OE2＝AO2， ∴50+r2＝（r+5）2， 解得：r＝2.5 即⊙O的半径为2.5． 【点评】本题考查了圆周角性质，等边对等角，平行线的判定和性质，勾股定理，切线的判定．熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 23．（8分）如图1所示是一座古桥，桥拱截面为抛物线，如图2，AO，BC是桥墩，桥的跨径AB为20m，此时水位在OC处，桥拱最高点P离水面6m，在水面以上的桥墩AO，BC都为2m．以OC所在的直线为x轴、AO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，其中x（m）是桥拱截面上一点距桥墩AO的水平距离，y（m）是桥拱截面上一点距水面OC的距离． （1）求此桥拱截面所在抛物线的表达式； （2）有一艘游船，其左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在河中航行．当水位上涨2m时，水面到棚顶的高度为3m，遮阳棚宽12m，问此船能否通过桥洞？请说明理由． 【分析】（1）先求出点A，点B，点P的坐标，再把抛物线解析式设为顶点式进行求解即可； （2）求出当y＝5时x的值，然后计算出两个对应的x的值之间的差的绝对值即可得到答案． 【解答】解：（1）由题意知，A（0，2），P（10，6），B（20，2）， 设抛物线解析式为y＝a（x﹣10）2+6， 把A（0，2）代入解析式得，100a+6＝2， 解得， ∴此桥拱截面所在抛物线的表达式为； （2）此船不能通过，理由： 当y＝2+3＝5时，， 解得x＝5或x＝15， ∵15﹣5＝10＜12， ∴此船不能通过桥洞． 【点评】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键【点睛】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键． 24．（10分）【问题提出】如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，△CDE是等边三角形，点D在边AB上，探究DE与EB的数量关系． 【问题探究】 （1）先将问题特殊化如图1，当点E在边BC上时，猜想ED和EB数量关系，并加以证明； （2）再探究一般情形．如图2，当点E在△ABC内部时，证明（1）中的结论仍然成立． 【问题拓展】 如图3，当点E在△ABC外部时，EH⊥AB于点H，过点E作GE∥AB，交线段AC的延长线于点G，AG＝5CG，BH＝3．直接写出CG的长 　2　． 【分析】【问题探究】 （1）根据等边三角形的性质、三角形的外角的性质得到∠EDB＝∠B，根据等腰三角形的判定定理证明； （2）取AB的中点O，连接CO、EO，分别证明△ACD≌△OCE和△COE≌△BOE，根据全等三角形的性质证明； 【问题拓展】 取AB的中点O，连接CO、EO、EB，根据等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质推出△CEG≌△DCO，根据全等三角形的性质解答即可． 【解答】解：【问题探究】（1）ED＝EB，理由如下： ∵△CDE是等边三角形， ∴∠CED＝60°， ∵∠ABC＝30°，∠CED＝∠B+∠EDB， ∴∠EDB＝60°﹣∠B＝30°， ∴∠EDB＝∠B， ∴DE＝EB； （2）如图2，取AB的中点O，连接CO、EO， ∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°， ∴∠A＝60°，OC＝OA， ∴△ACO为等边三角形， ∴CA＝CO， ∵△CDE是等边三角形， ∴CD＝CE，∠DCE＝60°＝∠ACO， ∴∠ACD＝∠OCE， 在△ACD和△OCE中， ， ∴△ACD≌△OCE（SAS）， ∴∠COE＝∠A＝60°， ∴∠BOE＝180°﹣60°﹣60°＝60°， 在△COE和△BOE中， ， ∴△COE≌△BOE（SAS）， ∴EC＝EB， ∴ED＝EB； 【问题拓展】 如图3，取AB的中点O，连接CO、EO、EB， 与（2）同理，△ACD≌△OCE，△OAC是为等边三角形， ∴∠COE＝∠A＝60°， ∴∠BOE＝60°＝∠COE， 又∵OC＝OB，OE＝OE， ∴△COE≌△BOE（SAS）， ∴EC＝EB， ∴ED＝EB， ∵EH⊥AB， ∴DH＝BH＝3， ∵GE∥AB， ∴∠G＝180°﹣∠A＝120°， ∵∠GCD＝∠GCE+60°＝∠CDA+60°， ∴∠GCE＝∠CDA， 在△CEG和△DCO中， ， ∴△CEG≌△DCO（AAS）， ∴CG＝OD， 设CG＝a，则AG＝5a，OD＝a， ∴AC＝OC＝4a， ∵OC＝OB， ∴4a＝a+3+3， 解得，a＝2， 即CG＝2， 故答案为：2． 【点评】本题是三角形综合题，考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+（1﹣m）x﹣m交x轴于A，B两点A在点B的左边），交y轴负半轴于点C． （1）如图1，m＝3， ①直接写出A，B，C三点的坐标； ②抛物线上存在点D，使得S△ACD＝2S△ACO，直接写出D点的坐标； （2）如图2，设经过A，B，C三点的⊙M交y轴于另外一点E，m＝3•OE，经过点M的直线y＝kx+b（k≠0）交抛物线于G，H两点，若GH的长等于⊙M的直径长，求k2的值． 【分析】（1）①令y＝0，求出x，可得出A，B的坐标，令x＝0，求出y，可得出点C的坐标； ②取点F（1，0），可得出S△ACF＝2S△ACO，过点F作FN∥AC，联立抛物线与直线的解析式，即可得出点D的坐标； （2）先表达出点A，B，C的坐标，根据同弧所对圆周角相等可得出OE＝OA＝1，进而可得出m的值，进而可得点M的坐标；过点M作MH⊥x轴于点H，连接BM，可得出BM的长，进而可得GH的长，联立抛物线和直线的解析式，根据韦达定理可表达HG的程度，列出方程即可得出结论． 【解答】解：（1）当m＝3时，抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3， ①令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或x＝3， ∴A（﹣1，0），B（3，0）； 令x＝0，则y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3， ∴C（0，﹣3）； ②由①知，A（﹣1，0）， 取点F（1，0），则AF＝2OA， ∴S△ACF＝2S△ACO， 过点F作FN∥AC，直线FN与抛物线的交点即为所求点D， ∴直线FN：y＝﹣3x+3， 联立， 解得x＝2或﹣3， ∴D（2，﹣3）或（﹣3，12）； （2）对于y＝x2+（1﹣m）x﹣m， 令y＝0，可得x＝﹣1或x＝m， ∴A（﹣1，0），B（m，0）， 令x＝0，则y＝﹣m， ∴C（0，﹣m）， ∴OB＝OC＝m，OA＝1， ∴∠ABC＝∠OCB＝45°， ∴∠ABC＝∠AEO＝45°，∠OAE＝∠OCB＝45°， ∴∠AEO＝∠OAE＝45°， ∴OA＝OE＝1， ∴m＝3OE＝3， ∴y＝x2﹣2x﹣3，A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）； 过点M作MP⊥x轴于点P，连接BM， ∴M（1，﹣1）， ∴BM＝， ∴GH＝2BM＝2， ∵直线y＝kx+b过点M（1，﹣1）， ∴y＝kx﹣k﹣1， 令x2﹣2x﹣3＝kx﹣k﹣1，得x2﹣（k+2）x+k﹣2＝0， ∴xH+xG＝k+2，xH•xG＝k﹣2， ∴HG2＝（xH﹣xG）2+（yH﹣yG）2＝（k2+1）（k2+12）＝20， 解得k2＝（负值舍去）． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法，三角形的面积转化，韦达定理，圆的相关定理等内容，关键是求出点M的坐标． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$