第六章反比例函数单元测试2024-2025学年北师大版数学九年级上册

第六章 反比例函数单元检测 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列函数中，变量是的反比例函数的是(    ) A. B. C. D. 2.已知反比例函数，下列结论中不正确的是(    ) A. 点在它的图象上 B. 它的图象分别位于第一、第三象限 C. 当时， D. 当时，随的增大而减小 3.若点，点均在反比例函数的图象上则(    ) A. B. C. D. 4.已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是(    ) A. B. C. D. 5.已知反比例函数，当时，随的增大而增大，则的值为(    ) A. B. C. D. 6.已知一次函数的图象经过第一、二、四象限，则函数的图象在(    ) A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第三、四象限 D. 第一、二象限 7.下列命题中正确的是(    ) A. 到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三条角平分线的交点 B. 如果，那么， C. 等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 D. 对于函数，随的增大而减小 8.在平面直角坐标系中，将一块含的直角三角板按如图所示的方式放置，顶点的坐标为，顶点的坐标为，若顶点恰好落在第二象限的一条双曲线上，则该双曲线的解析式为(    ) A. B. C. D. 9.如图，双曲线经过矩形的顶点双曲线交，于点、，且与矩形的对角线交于点连接，若则的面积为(    ) A. B. C. D. 10.如图，在矩形中，，分别以所在直线为轴、轴建立如图所示的平面直角坐标系．为边上的一个动点不与，重合，过点的反比例函数的图象与边交于点，连接，将沿折叠，点恰好落在边上的点处，则此时的值为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11.若反比例函数的图象经过点，则_________． 12.某蓄电池的电压，使用此蓄电池时，电流单位：与电阻单位：的函数表达式为当时，的值为_____． 13.若反比例函数的图象经过点和，则的值是______． 14.已知反比例函数图象上的三个点，，，其中，则、、的大小关系是          用“”连接 15.如图，矩形中，点在反比例函数的图象上，与反比例函数交于点，若的面积为，则的值是______． 16.如图，，都在双曲线点，分别是轴，轴上的动点，当四边形的周长最小值时，所在直线的解析式是______． 三、解答题：本题共5小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分已知与成反比例函数关系，且当时，求： 与的函数关系式； 当时，的值． 18.本小题分一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间与行驶速度满足函数关系：，其图象为如图所示的一段曲线，且端点为和． 求和的值 若行驶速度不得超过，则汽车通过该路段最少需要多少时间 19.本小题分如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． 以点为位似中心，将放大倍，在轴的右侧得到，请在网格中画出． 求经过点的反比例函数的解析式，并求当时，的取值范围． 20.本小题分如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，连接，过点作轴，垂足为，反比例函数的图象经过点． 求反比例函数的解析式； 将沿轴向右平移个单位长度至处，交于点，交反比例函数的图象于点． 求的长； 直接写出图中阴影部分的面积． 21.本小题分如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴，轴分别交于点，． 求的值及反比例函数的解析式； 将线段沿轴向右平移得到，当点在反比例函数图象上时，求四边形的面积． 点是点关于原点的对称点，以为边长作等边，点是平面上一点，若以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形时，求点的坐标． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了反比例函数的定义．判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为为常数，或为常数，此题应根据反比例函数的定义进行判断． 【解答】 解：不是反比例函数，故A错误； B.是反比例函数，故B正确； C.不是反比例函数，故C错误； D.不是反比例函数，故D错误． 故选B． 2.【答案】  【解析】解：反比例函数， 当时，，即点在它的图象上，故选项A正确； ，则该函数的图象在第一、三象限，故选项B正确； 当时，，故当时，或，故选项C错误； 当时，随的增大减小，故选项D正确； 故选：． 根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 3.【答案】  【解析】解：点，点均在反比例函数的图象上， ，， ，， ， 故选：． 将点、的坐标分别代入已知反比例函数解析式，分别求得、的值，进一步求得的值． 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．函数图象上点的坐标适合解析式是解题的关键． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题考查反比例函数的图象和性质，由可得反比例函数位于第一、三象限，由此可得在每一象限内随的增大而减小，于是根据点的坐标即可作出选择． 【解答】 解：反比例函数中，， 此函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每一象限内随的增大而减小， ，， 在第一象限， ， ． 故选D． 5.【答案】  【解析】解：根据题意得：， 解得：． 故选：． 根据反比例函数的定义列出方程求解，再根据它的性质决定解的取舍． 本题考查了反比例函数的性质．对于反比例函数，当时，在每一个象限内，函数值随自变量的增大而减小；当时，在每一个象限内，函数值随自变量增大而增大． 6.【答案】  【解析】解：一次函数的图象经过第一、二、四象限， ，， ， 反比例函数的图象在第二、四象限． 故选B． 先根据一次函数的性质求出的正负情况，再利用反比例函数的性质解答． 本题考查了反比例函数的性质．先利用一次函数的性质确定，的取值，再根据取值情况确定反比例函数的系数的正负，最后利用反比例函数的性质求解． 7.【答案】  【解析】解：、到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点，故原命题错误，不符合题意； B、如果，那么，正确，符合题意； C、等腰三角形的底边上的高、底边上的中线及顶角的平分线互相重合，故原命题错误，不符合题意； D、对于函数，在每一象限内随的增大而减小，故原命题错误，不符合题意． 故选：． 利用三角形的外心的定义、二次根式的性质、等腰三角形的性质及反比例函数的性质分别判断后即可确定正确的选项． 本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大． 8.【答案】  【解析】解：过点作轴于点，如图， ，， ，， 为等腰直角三角形， ，， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ， 设双曲线的解析式为， 把代入得， 该双曲线的解析式为． 故选：． 过点作轴于点，如图，先证明≌得到，，则，所以，然后利用待定系数法求双曲线的解析式． 本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式：设反比例函数的解析式为常数，，然后把一个点的坐标代入求出，从而得到反比例函数解析式．也考查了等腰直角三角形的性质和三角形全等的判定与性质． 9.【答案】  【解析】本题考查了矩形及反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．设，则，由双曲线经过矩形的顶点，得，再根据反比例函数的性质得，双曲线，，，进而利用面积公式即可得解． 【详解】解：设，过点作轴于点，则，， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， 即， ， 同理可得： ， 双曲线经过矩形的顶点， ， ， 双曲线经过点， ， 双曲线， ，， ，， ， 故选：． 10.【答案】  【解析】本题考查反比例函数与几何综合，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键． 过点作于，则，根据点都在反比例函数的图象上，则，由折叠知，推出，推出，根据，则，则，得出，因为，则，得出． 【详解】解：过点作于， ， ， 点都在反比例函数的图象上， ， 由折叠知，． ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， 故选：． 11.【答案】  【解析】解：反比例函数的图象经过点， ， ． 故答案为：． 由反比例函数的图象经过点，可得出，解之即可得出值． 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，牢记双曲线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键． 12.【答案】  【解析】解：将代入反比例函数表达式得： ， 故答案为：． 将代入反比例函数表达式计算即可． 本题考查了反比例函数的应用，代入求值是解答本题的关键． 13.【答案】  【解析】解：反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数解析式为：， 点在反比例函数图象上， ， ． 故答案为：． 根据反比例函数图象上点的坐标特征进行解答即可． 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握图象上点的坐标满足反比例函数解析式是关键． 14.【答案】  【解析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特点．根据反比例函数的性质得到反比例函数图象分布在第一、三象限，且在每个象限内随增大而减小，据此求解即可． 【详解】解：， 反比例函数图象在第一、三象限，且在每个象限内随增大而减小， ， ，即， 故答案为：． 15.【答案】  【解析】解：由题意得：矩形的面积为， 的面积为， 的面积为， 的面积为， 设点的坐标是， ， ， 与反比例函数交于点， ， 故答案为： 先求出的面积为，则可得的面积为，设点的坐标是，，根据与反比例函数交于点，即可得到． 此题考查了矩形的性质、反比例函数的图象和性质，求出函数表达式是解题的关键． 16.【答案】  【解析】解：分别把点、代入双曲线得：，， 则点的坐标为、点坐标为， 作点关于轴的对称点，点关于轴的对称点，所以点坐标为，点坐标为， 连接分别交轴、轴于点、点，此时四边形的周长最小， 设直线的解析式为， 把，分别代入， 解得：， 则直线的解析式为． 故答案为： 先把点和点的坐标代入反比例函数解析式中，求出与的值，确定出与坐标，再作点关于轴的对称点，点关于轴的对称点，根据对称的性质得到点坐标为，点坐标为，分别交轴、轴于点、点，根据两点之间线段最短得此时四边形的周长最小，然后利用待定系数法确定的解析式． 本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数的解析式；熟练运用两点之间线段最短解决有关几何图形周长最短的问题． 17.【答案】解：设， 把，代入得， 解得， 所以， 所以与的函数关系式为； 当时，．  【解析】根据反比例函数关系得定义，设设，然后把已知的一组对应值代入求出，从而得到与的函数关系式； 利用中的解析式，计算自变量为所对应的函数值即可． 本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式：先设出含有待定系数的反比例函数解析式为常数，，再把已知条件自变量与函数的对应值代入解析式，得到待定系数的方程，接着解方程，求出待定系数；最后写出解析式．也考查了反比例函数的性质和反比例函数图象上点的坐标特征． 18.【答案】解：由题意得，函数经过点， 把代入，得， 解析式为． 把代入，得． 把代入，得， 汽车通过该路段最少需要小时．  【解析】本题考查反比例函数的应用，理解题意求出反比例函数解析式是解答本题的关键． 将点代入，求得，再把点坐标代入求出的解析式中，求得的值； 求出时的值，汽车所用时间应大于等于这个值． 19.【答案】解：如图，即为所求； 在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为， 当时，．  【解析】利用位似变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； 求出反比例函数解析式，可得结论． 本题考查作图位似变换，待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键是掌握位似变换的性质． 20.【答案】解：点的坐标为，轴， ，，， 反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的解析式为； 将沿轴向右平移个单位长度至处， ，点的横坐标为， 把代入，得， ， ， ； 将沿轴向右平移个单位长度至处， ，， ，， ∽， ， ， ， 阴影部分的面积为．  【解析】由反比例函数的图象经过点，得到，可得结论； 根据平移的性质得：，点的横坐标为，根据函数图象上点的坐标特征可得的坐标，即可得解； 由平移的性质得到，证明∽，根据相似三角形的性质得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，平移的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积等知识点．正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键． 21.【答案】解：将代入可得： ， ，则． 将代入 可得： ， 反比例函数表达式为； 由，当，；当，， ，， 由平移可得四边形是平行四边形， 设，将代入 中，得： ， ，则向右平移个单位得到， 将向右平移个单位得到， ； 是关于原点的对称点， ， 设，， 由等边可得， 解得：或， ，； 当时， Ⅰ、以与为对角线， ， 解得：． ； Ⅱ、以与为对角线，同理可得，； Ⅲ、以与为对角线，同理可得，； 当时， 同理可得，，， 综上所述：，，，，，．  【解析】将代入可得代入 可得反比例函数表达式为 由可得，，由平移可得四边形是平行四边形，设，将代入 中得出，根据平移可得，进而根据平行四边形的面积公式，即可求解； 根据关于原点对称的点的特征得出，设，，根据等边三角形的性质以及勾股定理建立方程，得出，，进而根据平行四边形的性质，中点坐标公式，分类讨论，即可求解． 本题考查了平行四边形的性质，一次函数与反比例函数交点问题，等边三角形的性质，勾股定理，平移的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第6页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $$