精品解析：河北省唐山市第八中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试卷

2023.10.7唐山八中高二10月份月考数学试卷 考试时间：120分钟；满分150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1. 已知向量则（ ） A. 21 B. －21 C. 20 D. －20 2. 已知，，，则的夹角是（ ） A. B. C. D. 3. 若直线的方向向量，平面的法向量，则（ ） A. B. C. D. 或 4. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，则（ ） A. －4 B. －10 C. 4 D. 10 5. 已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量的模为（ ） A. B. C. D. 6. 空间四点共面，但任意三点不共线，若为该平面外一点且，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点是平行四边形所在的平面外一点，如果，，.对于结论：①；②；③是平面的法向量；④.其中正确的是（ ） A. ②④ B. ②③ C. ①③ D. ①② 8. 如图，在四面体中，是的重心，是上的一点，且，若，则为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9. 给出下列命题，其中正确命题有（　　） A. 空间任意三个不共面的向量都可以作为一组基底 B. 已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一组基底 C. A，B，M，N是空间四点，若不能构成空间的一组基底，那么点A，B，M，N共面 D. 已知向量是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 10. 对于任意非零向量，，以下说法错误的有 A. 若，则 B. 若，则 C. D. 若，则为单位向量 11. 如图，正方体的棱长为1，是的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线平面 B. C. 三棱锥的体积为 D. 直线与面所成的角为 12. 在四面体中，下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若Q为的重心，则 C. 若，，则 D. 若四面体的各棱长都为2，M，N分别为PA，BC的中点，则． 三、填空题 13. 若直线l1的方向向量为=(1,3,2),直线l2上有两点A(1,0,1),B(2,-1,2),则两直线的位置关系是_____. 14. 已知直线平面，且的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则______. 15. 在下列命题中：①若，共线，则，所在的直线平行；②若，所在的直线是异面直线，则，一定不共面；③若，，三向量两两共面，则，，三向量一定也共面；④已知三向量，，，则空间任意一个向量总可以唯一表示为，其中不正确的命题为________． 16. 如图所示，已知平行六面体中，，，.为的中点，则长度为______. 四、解答题 17. 已知空间三点，设. （1）求和的夹角的余弦值; （2）若向量与互相垂直，求的值. 18. 如图，平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，设，，. （1）试用，，表示向量，； （2）若，求直线与所成的角. 19. 在棱长为的正方体中，、分别是与的中点. （1）求与截面所成角的正弦值； （2）求点到截面的距离． 20. 如图所示，在直三棱柱中，，，棱，、分别为、的中点.建立适当的空间直角坐标系，解决如下问题： （1）求的模； （2）求的值； （3）求证：是平面的一个法向量. 21. 如图，四棱锥的底面为菱形且，底面ABCD，，，E为PC的中点. （1）求二面角平面角的正切值； （2）在线段PC上是否存在一点M，使平面MBD成立如果存在，求出MC的长；如果不存在，请说明理由. 22. 如图，在四棱锥中，，，，，分别为的中点，． （1）求证：平面平面； （2）设，若平面与平面所成锐二面角，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023.10.7唐山八中高二10月份月考数学试卷 考试时间：120分钟；满分150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1. 已知向量则（ ） A. 21 B. －21 C. 20 D. －20 【答案】A 【解析】 【分析】 先求的坐标，再根据向量数量积的坐标表示求数量积. 【详解】，所以. 故选：A 2. 已知，，，则的夹角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出向量的坐标，然后利用数量积的夹角坐标公式计算即可. 【详解】因为，，，所以，， 所以， 又，所以，即的夹角是. 故选：C. 3. 若直线的方向向量，平面的法向量，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】 直接利用空间向量数量积的坐标表示计算可得到答案. 【详解】直线的方向向量，平面的法向量 由，则或， 故选：D. 【点睛】本题考查了空间向量数量积的坐标表示，向量垂直的坐标表示，属于基础题. 4. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，则（ ） A. －4 B. －10 C. 4 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】根据关于平面对称的点的规律：横坐标、纵坐标保持不变，竖坐标变为它的相反数，即可求出点关于平面的对称点的坐标，再利用向量的坐标运算求. 【详解】解：由题意，关于平面对称的点横坐标、纵坐标保持不变，竖坐标变为它的相反数， 从而有点关于对称的点的坐标为（2，−1，-3）． . 故选：A． 【点睛】本题以空间直角坐标系为载体，考查点关于面的对称，考查数量积的坐标运算，属于基础题． 5. 已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量的模为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意求出，，结合投影向量的计算公式即可求解. 【详解】向量，， ，， 向量在向量方向上的投影向量的模为. 故选：D. 6. 空间四点共面，但任意三点不共线，若为该平面外一点且，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由空间向量共面定理构造方程求得结果. 【详解】空间四点共面，但任意三点不共线，，解得：. 故选：A. 7. 已知点是平行四边形所在的平面外一点，如果，，.对于结论：①；②；③是平面的法向量；④.其中正确的是（ ） A. ②④ B. ②③ C. ①③ D. ①② 【答案】B 【解析】 【分析】求出判断①不正确；根据 判断②正确；由，判断③正确；假设存在使得，由无解，判断④不正确. 【详解】由，，，，2，，，2，，知： 在①中，，故①不正确； 在②中，，，，故②正确； 在③中，， ，又因为，，知是平面的法向量，故③正确； 在④中，，3，，假设存在使得，则，无解，故④不正确； 综上可得：②③正确． 故选：B． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间向量垂直、向量平行等基础知识，考查了平面的法向量以及空间向量的模，考查推理能力与计算能力，属于基础题． 8. 如图，在四面体中，是的重心，是上的一点，且，若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算进行计算，用表示出． 【详解】因为是中点，所以， 是的重心，则， 所以， 因为 所以， 若，则． 故选：D． 【点睛】本题考查空间的向量的线性运算，掌握向量线性运算的运算法则是解题关键． 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9. 给出下列命题，其中正确命题有（　　） A. 空间任意三个不共面的向量都可以作为一组基底 B. 已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一组基底 C. A，B，M，N是空间四点，若不能构成空间的一组基底，那么点A，B，M，N共面 D. 已知向量是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 【答案】ABCD 【解析】 【分析】根据空间向量基底、空间点共面的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】选项A中，根据空间向量的基底的概念， 可得任意三个不共面的向量都可以构成空间的一组基，所以A正确； 选项B中，根据空间的基底的概念，可得B正确； 选项C中，由不能构成空间的一组基底，可得共面， 又由过相同点B，可得A，B，M，N四点共面，所以C正确； 选项D中，由是空间的一组基底，则基向量与向量一定不共面， 所以可以构成空间的另一组基底，所以D正确. 故选：ABCD 10. 对于任意非零向量，，以下说法错误的有 A. 若，则 B. 若，则 C. D. 若，则为单位向量 【答案】BD 【解析】 【分析】利用空间向量垂直的坐标表示可判断A选项的正误；取，且可判断B选项的正误；利用空间向量夹角余弦的坐标表示可判断C选项的正误；求得，可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，因为，则，A选项正确； 对于B选项，若，且，，若，但分式无意义，B选项错误； 对于C选项，由空间向量数量积的坐标运算可知，C选项正确； 对于D选项，若，则，此时，不是单位向量，D选项错误. 故选：BD. 【点睛】本题考查与空间向量相关的命题真假的判断，考查了空间向量数量积的坐标运算以及空间共线向量的坐标表示，属于基础题. 11. 如图，正方体的棱长为1，是的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线平面 B. C. 三棱锥的体积为 D. 直线与面所成的角为 【答案】AB 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法一一验证即可； 【详解】如图建立空间直角坐标系，，，，，，，，，，，，，，则有， 对于A，设平面的法向量为，则，即，取， 则，即， 又直线平面，所以直线平面，故A正确， 对于B，因为，即，所以，故B正确， 对于C，，故C错误， 对于D，由题意易知，为平面的一个法向量，且， 则设直线与平面所成的角为， 所以，，所以，故D错误. 故选：AB. 12. 在四面体中，下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若Q为的重心，则 C. 若，，则 D. 若四面体的各棱长都为2，M，N分别为PA，BC的中点，则． 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据给定的几何体，利用空间向量运算逐项计算判断即得. 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，由Q为的重心，得， 则， 于是，即，B正确； 对于C，若，，则 ，C正确； 对于D，由四面体的各棱长都为2，得， ， 则，D错误． 故选：ABC 三、填空题 13. 若直线l1的方向向量为=(1,3,2),直线l2上有两点A(1,0,1),B(2,-1,2),则两直线的位置关系是_____. 【答案】垂直 【解析】 【分析】求出，根据·=0,可判断两直线的位置关系. 【详解】因为=(1,-1,1), 直线l1的方向向量为=(1,3,2), ·=(1,3,2)·(1,-1,1)=0,所以两直线位置关系为垂直. 【点睛】本题考查空间向量的数量积，涉及线线垂直，属基础题． 14. 已知直线平面，且的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，根据线面平行可得，则，进而得到的值. 【详解】由题意，知， ∴，即，∴. 故答案为： 【点睛】本题主要考查了直线与平面的位置关系，根据线面平行、线面垂直的性质得到平面的法向量与平行于平面的直线垂直，考查了空间向量垂直的坐标表示. 15. 在下列命题中：①若，共线，则，所在的直线平行；②若，所在的直线是异面直线，则，一定不共面；③若，，三向量两两共面，则，，三向量一定也共面；④已知三向量，，，则空间任意一个向量总可以唯一表示为，其中不正确的命题为________． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】利用共线向量和共面向量的概念逐个分析判断即可 【详解】解：对于①，若，共线，则，所在的直线平行或重合，所以①不正确； 对于②，若，所在的直线是异面直线，则，一定共面，所以②不正确； 对于③，如图，，三向量两两共面，但，，三向量不共面，所以③不正确； 对于④，若三向量，，共面，则不在平面内的向量不能表示为，所以④不正确， 故答案为：①②③④ 【点睛】此题考查了共线向量、共面向量定理及其空间向量基本定理，属于基础题 16. 如图所示，已知平行六面体中，，，.为的中点，则长度为______. 【答案】 【解析】 【分析】 利用空间向量的加法得到，然后再由，利用空间向量的数量积求解. 【详解】因为， 所以， ， ， 所以 故答案为： 【点睛】本题主要考查空间两点间距离的向量的求法，还考查空间想象和运算求解的能力，属于中档题. 四、解答题 17. 已知空间三点，设. （1）求和的夹角的余弦值; （2）若向量与互相垂直，求的值. 【答案】（1） （2）2或 【解析】 【分析】（1）利用空间向量的坐标表示求出，再利用向量夹角的坐标表示计算即得. （2）利用垂直关系的向量表示及向量数量积的运算律，结合（1）中信息列出方程求解即可. 【小问1详解】 由点，得， 所以，所以和夹角的余弦值为 【小问2详解】 由（1）可得， 因为向量与互相垂直， 则， 整理可得，解得或， 所以的值为2或. 18. 如图，平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，设，，. （1）试用，，表示向量，； （2）若，求直线与所成的角. 【答案】（1）；；（2）. 【解析】 【分析】（1）由向量的加减运算法则，即可求解向量，； （2）根据向量的数量积的运算公式，分别求得,结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）由向量的加减运算法则知： 在平行四边形中，， 又由. （2）由题意知，，，，， 可得 . 又由， ， 所以， 因为，所以. 所以与所成的角为. 【点睛】本题主要考查空间向量的线性运算，以及异面直线所成角的求解，其中解答中熟记空间向量的数量积和夹角公式，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 19. 在棱长为的正方体中，、分别是与的中点. （1）求与截面所成角的正弦值； （2）求点到截面的距离． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】(1)以为原点，DA、DC、分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解； (2)根据(1)中空间直角坐标系，利用向量法即可求解. 【小问1详解】 以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，，，，，0，，，，，，，， 则，，，，，，，，， 设平面的一个法向量为，，， 则，即，取，则，2，， 设与截面所成角为， 则， ∴与截面所成角正弦值为． 【小问2详解】 由(1)知，，，平面的一个法向量为，2，， ∴点到截面的距离． 20. 如图所示，在直三棱柱中，，，棱，、分别为、的中点.建立适当的空间直角坐标系，解决如下问题： （1）求的模； （2）求的值； （3）求证：是平面的一个法向量. 【答案】（1） （2） （3） 依题意得、、、、， 则，，， 所以，，， 则，，即，， 又因为，平面，所以平面. 是平面的一个法向量. 【解析】 【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的模长公式可求得结果； （2）利用空间向量数量积的坐标运算可求得的值； （3）利用空间向量法可证得，，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立. 【小问1详解】 因为平面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立 如下图所示的空间直角坐标系， 则，，所以， 则. 【小问2详解】 依题意得、、、， 所以，，，， 又，， 所以，. 【小问3详解】 略 21. 如图，四棱锥的底面为菱形且，底面ABCD，，，E为PC的中点. （1）求二面角平面角的正切值； （2）在线段PC上是否存在一点M，使平面MBD成立如果存在，求出MC的长；如果不存在，请说明理由. 【答案】（1）2 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）以O为原点，OA、OB、OE分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，先判断二面角是锐角还是钝角，再利用平面法向量夹角与二面角的关系即可； （2）设PC上存在点M使得平面，则有，设，利用空间向量法求出，即可求出，从而得解. 【小问1详解】 连接对角线AC、BD相交于点O，连接DE、OE，则为的中点，又E为PC的中点， 所以， 平面，平面，， 底面是菱形，即， 以O为原点，OA、OB、OE分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， ，，，，， ，，，，，，， 则，，， 设二面角的平面角为，由图可知是锐角， 等于法向量夹角余弦的绝对值，平面ADC的法向量为， 设平面EAD的法向量为， ，，取，得到， ， 即，，，故二面角的平面角正切值是2. 【小问2详解】 设PC上存在点M使得平面，又平面，则有， ，设， ， ， ， ，， 此时，而平面，平面，， 又，平面，所以平面， 故当时，能使得平面. 22. 如图，在四棱锥中，，，，，分别为的中点，． （1）求证：平面平面； （2）设，若平面与平面所成锐二面角，求的取值范围． 【答案】（1） ∵，，，为的中点， ∴为矩形，，又∵，是中点， ∴，∵，∴， ∵，平面，∴平面， 又平面，∴平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）由题目给出的条件，可得四边形为矩形，说明，再证明，由线面垂直的判定可得平面，再根据面面垂直的判定得到平面平面； （2）以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，利用平面法向量所成交与二面角的关系求出二面角的余弦值，根据给出的二面角的范围得其余弦值的范围，最后求解不等式可得的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，分别为的中点，∴， 又，，∴，又， 平面，∴平面， 平面，∴， 如图，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， ∴，， 平面的法向量， 设平面的法向量为， 则，即，取，得，， 则， ∴， ∵平面与平面所成锐二面角， ∴，即， 由，得：，由得：或， ∴的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $