第4单元 第4节 等腰三角形和直角三角形-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学分层进阶练习册（贵州专用）

第二节 三角形及其基本性质 .AC=DB. 1. A 2.D 3. D 4. D 5.A 6. C 7. B 8.100° 又:AE=DF$EC=FB.. △ACE △DBF 9.100+m '. 乙A=乙D.AE/DF 10.D【解析】如解图,过点A作AE1x轴于点E.过点B 补充条件②EC/FB. 作BF1x轴于点F.:0(0.0).A(1.2).B(3.3). 证明 :AB=DC..AB+BC=DC+BC $C($$.0)$$0E=1$AE=2$BF=3$CF=2EF= .AC=DB. . Smiusoun=S△Aor+S△ncr+ ·EC//FB.. 乙ACE= DBF , 又·EC=FB.. △ACE△DBF .乙A= D..AE/DF.(任选其一即可) 2(2+3)x2-9. 11.(1)证明略; 2 (2)解:如解图,连接CE. 11.6 由(1)知△AOE△COF. 12.解:(1)4.8 :.AE=CF,OE=OF. (2)方法一;△ABC是直角三角形,乙BAC=90{。 . FF=20E. $AB=6.AC=8..$ .n AB· AC 6×8=24. ·四边形ABCD是矩形. ..AB=CD=6. ·AE是边BC上的中线...BE=EC. '.AE-AB=CF-CD.即BE=DFF .BE· AD-EC AD即S So, .FF1AC.OE=OF... CE=CF. .$.-12: .在Rt△CBE中.$CE=BE}+BC=CD+DF$ 7 方法二:由(1)知AD=4.8 .B-nCc=5. .AC=AB+BC=10. .A0=CO-4AC-5. .$r= OF=AF-40-20 3...F 40 (3)·AE为BC边上的中线..BE=CE. '.△ACE的周长-△ABE的周长=AC+AE+CE- 第四节 等腰三角形和直角三角形 $AB+BE+AF)=AC-AB=8-6=2 1.C 2.A 3. B 4.A 5.A 6.C 7.D 8. D 9.35 即△ACE和△ABE的周长的差是2 10.+2=(x+0.5) 11. B 12. D 13. A$$ 13.B【解析】解不等式x-a<0.可得x<a.解不等式2x 14.B【解析】如解图.①当乙ADB=90*}.即AD1BC时. +1=8.可得x3.5.不等式组至少有两个整数解, ABC=1 0AB=AC= 3. $ ABD=30$$$ .a>5.又:存在以2,a,5为边的三角形,:3<a 7..a的取值范围是5<a<7..a的整数解有1个. 14.B【解析】:△ABC是“奇妙互余三角形”,乙C> 在Bt△BAD'中. ABD'=30*$AB=③.$AD'=AB· (90·-50)=20. 第三节 全等三角形 B 1.D 2.B 3.D 4.100* 5.(1.4) 6.证明略 15.3、③ 【解析】如解图,过点E作EH1AC于点H 7.证明略 △DEF是等边三角形,$ DEF=60*,DE=EF 8.D ' A=30$ B=9 0$\$ C$= 9 $$- A=6 \$$ 【解析】如解图,连接AD.乙BAC=90*$AB=AC= 9.C 、乙BED+ DEF =乙C + EFH,乙BED= $6. D 为边 BC的中点.AD=BD=CD. BAD= C= EFH.$ B= EHF=90*$DE=EF $ △EFH$ △DEB(AAS).:. FH=BE.EH= 45,Sc= BD=6 . HCc-2. CF= AD=CD. 3 乙EAD=乙C,. △ADE 二 $$ $H=43. A=30°$ B=90$$$ D LAE-CF. △CDF(SAs),. S△tor=Scor. :.四边形AEDF的面积=S BC-CE=③.FH=③..CF= -$.=9. FH+CH-3+23=3/3 16.(1)证明略; 10.解:补充条件①AE=DF. (2)解::AC=BC,点F为AB的中点. 证明:AB=DC $AB+BC=DC+B$C :.CF为乙ACB的平分线。 46 众相原创 赋能中考 点G.CH1BD于点H. 则乙 CHE=90* CHE= ADE '. DEC=180*- EDC- ACB=40$ ·E为AC的中点.:.CE=AE. △OBC为等腰三角形..CB0=乙BCF=25^ 又:LCEH=乙AED. △CHE△ADE(AAS) . BOE= DEC- CB0=15$ HE=DE.CH=AD. 17.解:(1)(答案不唯一)选择小星,证明如下; 由【尝试探究】得△DAC △GBC. 如解图1.过点A作AD1BC于点D. $.AD=BG.CH=BG .' ABC+ ACB+ BAC=180*. ABC=30$.BAC= ·CG=CD CH1DG .CH=DH=GH=BG $$ 0{* . ACB=30*= ABC$$AB=AC $$$G=DH=GH=2 DE$$BE=BG+GH+HE=$ DE$$ ADI BC.:. BD=CD=BC. AC 2 解图1 解图2 第五节 相似三角形(含位似) 1.C 2.A 3.A 4.B 5.3 6. A=/C(答案不唯一) 7.证明::BE=3.FC=6.BC=3+6=9. ·四边形ABCD是正方形. 解图1 解图2 $AB=BC=9 /B= C=90 (2)如解图2.过点P作PM1BC于点M. ·P是AC的中点,AC=4.:CP=2. _F6=2CF2'CCF' '.△ABE△ECF. 过8.D9. 由(1)知BC-3AC-43. 10.25 【解析】如解图,过点C作CF/AD.交BA的延长 18.解:(1)△ABC是直角三角形,理由略; 线于点F,延长BE交CF于点G.连接AG.△BAE (2)·CD1AB,△ABC是直角三角形, △BFG △BED-△BGC $.BE:BG=AE:FG BE:BG= -CD. AB-4C·BC. .Sc= DE:CG ..AE:FG=DE:CG.:AD=5.点E为AD的中 2.. FG=CG.即G为CF的中点. 点..AE-DE= 5 :xCDx10= .CF//AD.. F= BAD. ACF= CADAD平 (3)①如果CP=CB,那么当点P在AC上,AP=2cm. 分乙BAC, BAD= CAD F=乙ACF,即 此时1-2;当点P在AB上时,易求得BD= △ACF为等腰三角形,*.AG1CF.3. AG1AD.在 R△AEGC中,2 AEGC= BED=60”, AE=5 -2..&ACE= BP36 35.C4+BC+Bp-106 105此时7-106 5; 。 ②如果BC=BP,那么点P在AB上,BP=6cm.CA+ BC+BP=20(cm),此时1=20; EGAE-5.在Rt△ACG ③如果PB=PC,那么点P在BC的垂直平分线与AB 2 的交点处,即在AB的中点.CA+BC4BP=19(cm). 中,AC=7.AG-5、3 此时t-19: 2.CG= 三角形. EG=BE+5. BE:BG=DE:CG, B 7 19.解:【观察发现】乙DAC=乙DBC 5.11 .BE:(BE+5)= 2...B- 25 【尝试探究】乙CDB的大小不变 6 理由如下:如解图1,过点C作CF1CD交BD于点F, 11.解:(1)60。 一 则乙DCF=90. . ACD= BCF=90*- ACF 由(1)得/DAC=乙FBC 又AC=BC.:. △DAC△FBC(ASA). AC交直线/于点0 .CD=CF.. CDB= CFD=45* 'ACB=90*.乙BC0=90 2.乙CDB的大小不改变,乙CDB的度数是45。 又:CABC= CBD.BC=BC. 【深入思考】BE=5DE 理由如下:如解图2.过点C分别作CG1CD交BD于 贵州数学 47班级： 姓名： 第四节 等腰三角形和直角三角形 一阶了基础巩固对点练 1.（2024六盘水二模)如图，在△ABC中，5.（2024青海)如图，在Rt△ABC中，D是AC AB=AC,AD⊥BC,则一定有 的中点，∠BDC=60°，AC=6,则BC的长 是 () A.∠BAD=∠ABDB.∠CAD=∠ACD C.∠BAD=∠CADD.∠BAC=∠ABC 2.(2024安顺一模)直角三角形两直角边边 A.3 B.6 长为3cm和4cm,则斜边长为 ( C.3 D.33 A.5 cm B.3 cm 6.(2024云南)已知AF是等腰三角形ABC C.4 cm D.10 cm 底边BC上的高，若点F到直线AB的距离 3.在等腰三角形ABC中，AB=AC,∠BAC= 为3，则点F到直线AC的距离为() 100°，一含30°角的三角板如图放置（一直 B.2 角边与BC边重合，斜边经过△ABC的顶 点A),则∠的度数为 C.3 7.(2024毕节织金县一模)如图，DE是△ABC 的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°， 若AB=7,BC=10,则EF= () A.159 B.20°C.30° D.40 4.（2024贵阳开阳县一模)中国古建筑是结 构决定外观，这种传统结构形式侧面很容 易呈现出等腰三角形，如图所示的这种建 A.4 B.3 筑剖面图，建筑屋顶是一个等腰三角形， C.2.5 D.1.5 它的底角为30°，腰为10m,则底边上的 8.尔相原画△ABC的三边长a,b,c满足(a- 高是 ( b)2+√2a-b-3+1c-3V21=0,则△ABC 是 () A.等腰三角形 B.直角三角形 A.5m B.10m C.锐角三角形 C.103m D.153m D.等腰直角三角形 贵州数学 39 9.(2024甘孜州)如图，在△ABC中，AB= 莲所在位置的湖水深度，其示意图如图 AC,∠A=40°，按如下步骤作图：①以点B 2,其中AB=AB',AB⊥B'C于点C,BC= 为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA,BC 0.5尺，B'C=2尺.设AC的长度为x尺， 于点D,E:②分别以点D,E为圆心，大于 可列方程为 DE长为半径画弧，两弧在∠ABC的内部 ⑨诗文：波平知镜一湖画，半 尺高处生红莲.$$多姿湖 相交于点F,作射线BF交AC于点G,则 中立， 突遵狂既吹一边。荡 开原处二尺远，花贴湖面象 ∠ABG的大小为 度 睡莲， 图1 图2 10.跨学科·语文（2024吉林)图1中有 首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红 二阶」厂能力提升强化练 11.数学文化明朝数学家程大位在数学著 钢架减少用钢 作《直指算法统宗》中，以《西江月》词牌 叙述了一道“荡秋千”问题：平地秋千未 起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺 板高离地.意思是：如图，秋千OA静止的 时候，踏板离地高一尺(AB=1尺)，将它 A.(24-123)m B.(24-8√3)m 往前推进两步(CA'=10尺)，此时踏板离 C.(24-63)m D.(24-43)m 地五尺(A'D=5尺)，则秋千绳索OA的长13.(2024遵义一模)如图，在Rt△ABC中， 度为 ∠C=90°，DE⊥AB,垂足为E,BC=BE. 若AB=14,BC=6,则DE的长是() A.10.5尺 B.14.5尺 A.610 C.20尺 D.29尺 5 B.510 4 12.(2024自贡)如图，等边三角形ABC钢架 C.4 D.6 的立柱CD⊥AB于点D,AB长I2m.现将 14.易错在等腰三角形ABC中，∠A=120°， 钢架立柱缩短成DE,∠BED=60°，则新 AB=AC=√3，点D在边BC上，若△ABD 40众相原创赋能中考 班级： 姓名： 是直角三角形，则AD的长是 ）17.自主选择四在学习了等腰三角 号 , 形时，老师想让同学们对一些特殊等腰三 角形作一下研究.于是给出了如下问题： c好 D.1或号 如图，在△ABC中，∠ABC=30°，∠BAC= 120°，求证：BC=3AC 15.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A= 30°，AB=15,点D,E,F分别在边AB,BC, AC上，连接DE,EF,DF,若BD=6,且 B △DEF是等边三角形，则CF= 小星：过点A作AD⊥ BC于点D,则根据三 角形的相关知识即 可求解 小红：过点C作CD⊥BA, 交BA的延长线于点D, 则根据三角形的相关知 识即可求解 16.如图，在△ABC中，AC=BC,点F为AB的 (1)请你选择一位同学的说法，并进行证明： 中点，边AC的垂直平分线分别交AC, (2)若点P是AC的中点，连接BP,AC= CF,CB于点D,O,E,连接OA,OB 4,求△PBC的面积. (1)求证：△OBC为等腰三角形： (2)若∠ACF=25°，求∠BOE的度数 贵州数学 41 18.已知在△ABC中，AC=8cm,BC=6cm, (3)若动点P从点A出发，沿着A→C→B AB=10cm.CD为AB边上的高. →A运动，最后回到A点，速度为1cm/s, (1)判断△ABC的形状，并说明理由： 设运动时间为ts,则1为何值时，△BCP (2)求CD的长； 为等腰三角形？ 三阶了贵州中考趋势练 19.综合与探究西翻在R1△ABC中， 【深入思考】如图2，若E为AC的中点，探 ∠ACB=90°，AC=BC,点E为AC上一动 究BE与DE的数量关系. 点，过点A作AD⊥BE于点D,连接CD. 【观察发现】如图1，∠DAC与∠DBC的数 量关系是 【尝试探究】点E在运动过程中，∠CDB 图2 的大小是否改变，若改变，请说明理由：若 不变，求∠CDB的度数： 图1 42 众相原创赋能中考