新疆乌鲁木齐实验学校2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年新疆乌鲁木齐实验学校九年级（上）期中数学试卷 一、单选题（每题4分，共36分） 1．（4分）下列函数中，y是x的二次函数是（　　） A． B．y＝ax2+bx+c C．y＝x（x﹣2）﹣1 D．y＝x2﹣x（x+1） 2．（4分）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（4分）抛物线y＝﹣3（x﹣2）2﹣3可以由抛物线y＝﹣3x2+1平移得到，则下列平移过程正确的是（　　） A．先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度 B．先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 C．先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 D．先向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度 4．（4分）如图，在△ABO中，AB⊥OB，，AB＝1，将△ABO绕O点旋转90°后得到△A1B1O，则点A1的坐标是（　　） A． B．或 C． D．或 5．（4分）用反证法证明命题“四边形中至少有一个角不是锐角”时，应先假设（　　） A．没有一个角是钝角或直角 B．至多有一个钝角或直角 C．没有一个角是锐角 D．没有一个角是钝角 6．（4分）如图是唐代亭皋发明了“桨轮船”，该桨轮船的轮子被水面截得线AB为10，轮子的吃水深度CD为3，则该桨轮船的轮子半径为（　　） A． B． C． D．6 7．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以BC为直径的⊙O交AB于点D．E是⊙O上一点，且，连接OE．过点E作⊙O的切线交AC的延长线于点F，则∠F的度数为（　　） A．90° B．100° C．110° D．120° 8．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CP，CM分别是AB上的高线和中线．如果⊙A是以点A为圆心，4为半径的圆，那么下列判断中，正确的是（　　） A．点P，M均在⊙A内 B．点P，M均在⊙A外 C．点P在⊙A内，点M在⊙A外 D．以上选项都不正确 9．（4分）如图，在正方形ABCD中，AD＝15，E，F分别是CD，BC边上的点，且∠EAF＝45°，EC＝5，将△AED绕点A沿顺时针方向旋转90°后与△AGB重合，连接EF．给出下列结论：①DE+BF＝EF；②BF＝3；③；④四边形AEFG的面积是195，其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（每题4分，共24分） 10．（4分）已知点A（a，﹣2），B（3，b）关于原点对称，则ab的值为 　 　． 11．（4分）正十边形绕着它的中心至少旋转 　 　度，能与它本身重合． 12．（4分）某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件．如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元），设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元，那么y与x的函数关系式是 　 　． 13．（4分）已知△ABC的面积是54cm2，周长是36cm，则△ABC的内切圆半径是 　 　cm． 14．（4分）如图，△ABC周长为20cm，BC＝6cm，圆O是△ABC的内切圆，圆O的切线MN与AB、CA相交于点M、N，则△AMN的周长为　 　cm． 15．（4分）如图，MN是⊙O的直径，MN＝6，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值是 　 　． 三、解答题（共8小题，共90分） 16．（16分）用适当的方法解下列一元二次方程： （1）x2﹣4x＝0； （2）x2+4x﹣2＝0； （3）x（x+5）＝3（x+5）； （4）2x2+5x+1＝0． 17．（12分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0． （1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根； （2）若该方程有一个根为4，求m的值； （3）若方程的两个实数根为x1，x2，且满足，求m的值． 18．（8分）在如图所示平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上． （1）以O为旋转中心，将△ABC逆时针旋转90°，画出旋转后的△A1B1C1； （2）画出△A1B1C1关于原点对称的△A2B2C2； （3）若△ABC内有一点P（a，b），经过上面两次变换后点P在△A2B2C2中的对应点为P′，则点P′的坐标为　 　． 19．（10分）“低碳生活，绿色出行”，自行车已成为人们喜爱的交通工具．某运动商城自行车销量逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆． （1）若该商城前4个月的自行车销售的月平均增长率相同，求2、3月份的月平均增长率？ （2）求商城4月份卖出多少辆自行车？ （3）考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车，已知A型自行车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型自行车的进价为1000元/辆，售价为1300元/辆．根据销售验，A型自行车不少于B型自行车的2倍，但不超过B型自行车的2.8倍．假设所进自行车全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？ 20．（8分）如图，一位篮球运动员身高为1.8m，在距离篮下4m处跳起投篮，篮球运行的路线是抛物线，当篮球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05m．求他跳离地面的高度． 21．（12分）已知△ABC，∠A＝60°，BC＝6． （1）求作△ABC的外接圆． （2）求∠BOC的度数． （3）求⊙O的半径． 22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，以CD为直径作⊙O，交BC边于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为点F． （1）求证：EF为⊙O的切线； （2）若AC＝6，CD＝5，求DF的长． 23．（14分）（1）发现：如图1，点B是线段AD上的一点，分别以AB，BD为边向外作等边三角形ABC和等边三角形BDE，连接AE，CD，相交于点O． ①线段AE与CD的数量关系为：　 　；∠AOC的度数为　 　． ②△CBD可看作△ABE经过怎样的变换得到的？　 　． （2）应用：如图2，若点A，B，D不在一条直线上，（1）中的结论①还成立吗？请说明理由； （3）拓展：在四边形ABCD中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠ADC＝45°，若AD＝8，CD＝6，请直接写出B，D两点之间的距离． 2024-2025学年新疆乌鲁木齐实验学校九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、单选题（每题4分，共36分） 1．（4分）下列函数中，y是x的二次函数是（　　） A． B．y＝ax2+bx+c C．y＝x（x﹣2）﹣1 D．y＝x2﹣x（x+1） 【分析】形如y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数叫做二次函数，其中a、b、c是常数；根据二次函数的定义判断即可． 【解答】解：A、，不是二次函数，故A不符合题意； B、y＝ax2+bx+c不一定是二次函数，当a为零时，则不是，故B不符合题意； C、y＝x（x﹣2）﹣1＝x2﹣2x﹣1是二次函数，故C符合题意； D、y＝x2﹣x（x+1），整理后得到y＝﹣x，是一次函数，故D不符合题意； 故选：C． 2．（4分）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【解答】解：A．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意； D．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 3．（4分）抛物线y＝﹣3（x﹣2）2﹣3可以由抛物线y＝﹣3x2+1平移得到，则下列平移过程正确的是（　　） A．先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度 B．先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 C．先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 D．先向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度 【分析】根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可． 【解答】解：抛物线y＝﹣3x2+1向右平移2个单位可得到抛物线y＝﹣3（x﹣2）2+1， 抛物线y＝﹣3（x﹣2）2+1再向下平移4个单位即可得到抛物线y＝﹣3（x﹣2）2﹣3． 故平移过程为：先向右平移2个单位，再向下平移4个单位． 故选：C． 4．（4分）如图，在△ABO中，AB⊥OB，，AB＝1，将△ABO绕O点旋转90°后得到△A1B1O，则点A1的坐标是（　　） A． B．或 C． D．或 【分析】根据题意将△ABO绕O点旋转90°后得到△A1B1O，应分顺时针和逆时针进行分类讨论，根据旋转知识求得A1的坐标． 【解答】解：在△ABO中，AB⊥OB，，AB＝1， ∴当△ABO绕点O顺时针旋转90°后得到△A1B1O，如图， ∴， ∴； 当△ABO绕点O逆时针旋转90°后得到△A1B1O， ∴， ∴， 故选：B． 5．（4分）用反证法证明命题“四边形中至少有一个角不是锐角”时，应先假设（　　） A．没有一个角是钝角或直角 B．至多有一个钝角或直角 C．没有一个角是锐角 D．没有一个角是钝角 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．据此解答． 【解答】解：“四边形中至少有一个角不是锐角”，用反证法证明命题时第一步应假设：没有一个角是钝角或直角． 故选：A． 6．（4分）如图是唐代亭皋发明了“桨轮船”，该桨轮船的轮子被水面截得线AB为10，轮子的吃水深度CD为3，则该桨轮船的轮子半径为（　　） A． B． C． D．6 【分析】根据垂径定理求AC的长，设该桨轮船的轮子半径为x，利用勾股定理建立方程，即可求解． 【解答】解：由垂径定理，得， 设该桨轮船的轮子半径为x， 在Rt△AOC中，OA＝x，OC＝OD﹣DC＝x﹣3， 由勾股定理可知OA2＝AC2+OC2，得 x2＝（x﹣3）2+52， 解得， ∴该桨轮船的轮子半径为， 故选：B． 7．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以BC为直径的⊙O交AB于点D．E是⊙O上一点，且，连接OE．过点E作⊙O的切线交AC的延长线于点F，则∠F的度数为（　　） A．90° B．100° C．110° D．120° 【分析】直接利用互余的性质再结合圆周角定理得出∠COE的度数，再利用四边形内角和定理得出答案即可． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝50°， ∴∠ABC＝40°， ∵， ∴2∠ABC＝∠COE＝80°， 又∵∠OCF＝∠OEF＝90°， ∴∠F＝360°﹣90°﹣90°﹣80°＝100°． 故选：B． 8．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CP，CM分别是AB上的高线和中线．如果⊙A是以点A为圆心，4为半径的圆，那么下列判断中，正确的是（　　） A．点P，M均在⊙A内 B．点P，M均在⊙A外 C．点P在⊙A内，点M在⊙A外 D．以上选项都不正确 【分析】先利用勾股定理求得AB的长，再根据面积公式求出CP的长，根据勾股定理求出AP的长，根据中线的定义求出AM的长，然后由点P、M到A点的距离判断点P、M与圆A的位置关系即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴AB＝＝10， ∵CP、CM分别是AB上的高和中线， ∴AB•CP＝AC•BC，AM＝AB＝5， ∴CP＝4.8， ∴AP＝＝3.6， ∵AP＝3.6＜4，AM＝5＞4， ∴点P在圆A内、点M在圆A外， 故选：C． 9．（4分）如图，在正方形ABCD中，AD＝15，E，F分别是CD，BC边上的点，且∠EAF＝45°，EC＝5，将△AED绕点A沿顺时针方向旋转90°后与△AGB重合，连接EF．给出下列结论：①DE+BF＝EF；②BF＝3；③；④四边形AEFG的面积是195，其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】利用全等三角形的性质条件勾股定理求出BF的长，再利用勾股定理求出DE的长，即可求解． 【解答】解：在正方形ABCD中，AD＝15， ∴AD＝AB＝BC＝CD＝15，∠DAB＝∠ABC＝∠D＝∠BCD＝90°， ∵将△AED绕点A沿顺时针方向旋转90°后与△AGB重合， ∴AG＝AE，∠DAE＝∠BAG，DE＝BG， ∵∠EAF＝45°， ∴∠DAE+∠BAF＝∠DAB﹣∠EAF＝45°， ∴∠GAB+∠BAF＝∠GAF＝45°＝∠EAF， 在△AFE和△AFG中， ， ∴△AFE≌△AFG（SAS）， ∴EF＝FG，S△AEF＝S△AGF， ∵DE＝BG， ∴EF＝FG＝BG+FB＝DE+BF，故①正确， ∵BC＝CD＝AD＝15，EC＝5， ∴DE＝BG＝10， 设BF＝x，则GF＝EF＝x+10，CF＝15﹣x， 在Rt△ECF中，EF2＝CF2+CE2， ∴（x+10）2＝（15﹣x）2+52， 解得x＝3， ∴BF＝3，，故②③正确， ∴GF＝EF＝x+10＝3+10＝13， ∴， 四边形AEFG的面积是，故④正确， 正确的是①②③④； 故选：D． 二、填空题（每题4分，共24分） 10．（4分）已知点A（a，﹣2），B（3，b）关于原点对称，则ab的值为 　9　． 【分析】根据关于原点对称的点，横纵坐标互为相反数求出a、b的值，再代入代数式计算即可求解． 【解答】解：∵点A（a，﹣2），B（3，b）关于原点对称， ∴根据关于原点对称的点的坐标特征，a＝﹣3，b＝2， ∴ab＝（﹣3）2＝9， 则ab的值为9． 故答案为：9． 11．（4分）正十边形绕着它的中心至少旋转 　36　度，能与它本身重合． 【分析】根据旋转角及旋转对称图形的定义结合图形特点作答． 【解答】解：∵360°÷10＝36°， ∴该图形绕中心至少旋转36度后能与它本身重合． 故答案为：36． 12．（4分）某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件．如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元），设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元，那么y与x的函数关系式是 　y＝﹣10x2+100x+2000（0≤x≤12）　． 【分析】由题意可知，每件商品的售价上涨x元，则每件的利润为60﹣50+x＝（10+x）元，每月销售量减少10x件，每个月的销售量为（200﹣10x）件，根据总利润＝单个利润×销售量，代入计算即可得出关系式，由件售价不能高于72元，可得自变量x的取值范围为0≤x≤12． 【解答】解：每件商品的售价上涨x元，则每件的利润为60﹣50+x＝（10+x）元，每月销售量减少10x件， 根据题意可得， y＝（10+x）（200﹣10x） ＝﹣10x2+100x+2000， ∵每件售价不能高于72元， ∴0≤x≤12． ∴y与x的函数关系式是y＝﹣10x2+100x+2000（0≤x≤12）． 故答案为：y＝﹣10x2+100x+2000（0≤x≤12）． 13．（4分）已知△ABC的面积是54cm2，周长是36cm，则△ABC的内切圆半径是 　3　cm． 【分析】设△ABC的内切圆的半径为r cm．根据三角形的面积公式：S△ABC＝（a+b+c）•r（r为内切圆半径）计算即可． 【解答】解：设△ABC的内切圆的半径为r cm． 由题意：×36×r＝54， 解得r＝3， 故答案为：3． 14．（4分）如图，△ABC周长为20cm，BC＝6cm，圆O是△ABC的内切圆，圆O的切线MN与AB、CA相交于点M、N，则△AMN的周长为　8　cm． 【分析】根据切线长定理得到BF＝BE，CF＝CD，DN＝NG，EM＝GM，AD＝AE，然后利用三角形的周长和BC的长求得AE和AD的长，从而求得△AMN的周长． 【解答】解：∵圆O是△ABC的内切圆，圆O的切线MN与AB、CA相交于点M、N， ∴BF＝BE，CF＝CD，DN＝NG，EM＝GM，AD＝AE， ∵△ABC周长为20cm，BC＝6cm， ∴AE＝AD＝＝＝＝4， ∴△AMN的周长为AM+MG+NG+AN＝AM+ME+AN+ND＝AE+AD＝4+4＝8， 故答案为：8． 15．（4分）如图，MN是⊙O的直径，MN＝6，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值是 　3　． 【分析】首先利用在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点P的位置，然后根据弧的度数发现一个等腰直角三角形计算． 【解答】解：作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，连接OB，则P点就是所求作的点． 此时PA+PB最小，且等于AC的长． 连接OA，OC， ∵∠AMN＝30°， ∴∠AON＝60°， ∵＝ ∴∠AOB＝∠BON＝30°， ∵MN⊥BC， ∴＝， ∴∠CON＝∠NOB＝30°， 则∠AOC＝90°，又OA＝OC＝3， 则AC＝3． 三、解答题（共8小题，共90分） 16．（16分）用适当的方法解下列一元二次方程： （1）x2﹣4x＝0； （2）x2+4x﹣2＝0； （3）x（x+5）＝3（x+5）； （4）2x2+5x+1＝0． 【分析】（1）提取公因式分解因式，再解方程即可； （2）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，再解方程即可； （3）先移项，然后利用提公因式法分解因式，再解方程即可； （4）利用公式法解方程即可． 【解答】解：（1）原方程左侧提取公因式得：（x﹣4）x＝0， ∴x﹣4＝0或x＝0， 解得：x1＝0，x2＝4； （2）x2+4x﹣2＝0， ∴x2+4x+4＝2+4， ∴（x+2）2＝6， ∴， 解得：∴； （3）原方程变形得：x（x+5）﹣3（x+5）＝0， ∴（x﹣3）（x+5）＝0， ∴x﹣3＝0或x+5＝0， 解得：x1＝﹣5，x2＝3． （4）2x2+5x+1＝0， ∴Δ＝52﹣4×2×1＝17＞0， ∴， 解得：． 17．（12分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0． （1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根； （2）若该方程有一个根为4，求m的值； （3）若方程的两个实数根为x1，x2，且满足，求m的值． 【分析】（1）计算判别式的值得到Δ＝（m﹣2）2，利用非负数的意义得到Δ≥0，然后根据判别式的意义得到结论； （2）将方程有一个根为4代入原方程，可得关于m的方程，求解即可； （3）利用根与系数的关系得到x1+x2＝m+2，x1x2＝2m，再把变形为，所以（m+2）2﹣2×2m＝9，然后解关于m的方程即可． 【解答】（1）证明：∵Δ＝（m+2）2﹣4×2m ＝m2+4m+4﹣8m ＝m2﹣4m+4 ＝（m﹣2）2≥0， ∴不论m为何值时，方程总有实数根； （2）解：根据题意得：42﹣（m+2）×4+2m＝0， 解得：m＝4； （3）解：由根与系数的关系得：x1+x2＝m+2，x1x2＝2m， ∵， ∴（m+2）2﹣2×2m＝9， 解得m1＝，m2＝﹣， ∴m的值为或． 18．（8分）在如图所示平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上． （1）以O为旋转中心，将△ABC逆时针旋转90°，画出旋转后的△A1B1C1； （2）画出△A1B1C1关于原点对称的△A2B2C2； （3）若△ABC内有一点P（a，b），经过上面两次变换后点P在△A2B2C2中的对应点为P′，则点P′的坐标为　（b，﹣a）　． 【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点A1、B1、C1即可得到△A1B1C1； （2）利用关于原点中心对称的点的坐标特征写出点A2、B2、C2的坐标，然后描点即可得到△A2B2C2； （3）点P（a，b）以O为旋转中心，逆时针旋转90°所得对应点的坐标为（﹣b，a），而点（﹣b，a）关于原点的对称点为（b，﹣a），从而得到点P′的坐标． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作； （2）如图，△A2B2C2为所作； （3）点P′的坐标为（b，﹣a）． 故答案为（b，﹣a）． 19．（10分）“低碳生活，绿色出行”，自行车已成为人们喜爱的交通工具．某运动商城自行车销量逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆． （1）若该商城前4个月的自行车销售的月平均增长率相同，求2、3月份的月平均增长率？ （2）求商城4月份卖出多少辆自行车？ （3）考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车，已知A型自行车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型自行车的进价为1000元/辆，售价为1300元/辆．根据销售验，A型自行车不少于B型自行车的2倍，但不超过B型自行车的2.8倍．假设所进自行车全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？ 【分析】（1）首先根据1月份和3月份的销售量求得月平均增长率， （2）根据上一问的结果求得4月份的销量即可； （3）设A型车x辆，根据“A型车不少于B型车的2倍，但不超过B型车的2.8倍”列出不等式组，求出x的取值范围；然后求出利润W的表达式，根据一次函数的性质求解即可． 【解答】解：（1）设平均增长率为a，根据题意得： 64（1+a）2＝100， 解得：a＝0.25＝25%或a＝﹣2.25， 答：2、3月份的月平均增长率为25%； （2）四月份的销量为：100•（1+25%）＝125（辆）． 答：四月份的销量为125辆； （2）设购进A型车x辆，则购进B型车辆， 根据题意得：2×≤x≤2.8×， 解得：30≤x≤35， 利润W＝（700﹣500）x+（1300﹣1000）＝9000+50x． ∵50＞0， ∴W随着x的增大而增大． 当x＝35时，不是整数，故不符合题意， ∴x＝34，此时＝13（辆）． 答：为使利润最大，该商城应购进34辆A型车和13辆B型车． 20．（8分）如图，一位篮球运动员身高为1.8m，在距离篮下4m处跳起投篮，篮球运行的路线是抛物线，当篮球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05m．求他跳离地面的高度． 【分析】根据题意，可知该抛物线的顶点坐标为（0，3.5），设抛物线的解析式为y＝ax2+3.5，将点（1.5，3.05）代入抛物线解析式并求解，即可获得解析式，将x＝﹣2.5代入抛物线解析式，然后根据题意求解即可． 【解答】解：根据题意得，顶点坐标为（0，3.5）， ∴设抛物线的解析式为y＝ax2+3.5． ∵点（1.5，3.05）在此抛物线上， ∴3.05＝a×1.52+3.5， 解得a＝﹣， ∴所求抛物线的解析式为y＝﹣x2+3.5． 当x＝﹣2.5时，y＝﹣×（﹣2.5）2+3.5＝2.25， ∴他跳离地面的高度为2.25﹣1.8＝0.45（m）． 21．（12分）已知△ABC，∠A＝60°，BC＝6． （1）求作△ABC的外接圆． （2）求∠BOC的度数． （3）求⊙O的半径． 【分析】（1）画出边AC，AB的垂直平分线，两线交于一点O，以O为圆心，OB长为半径画圆即可； （2）由圆周角定理即可求出∠BOC的度数； （3）过点O作OD⊥BC于点D，即可得出CD的长以及∠COD的度数，进而利用锐角三角函数关系求出即可． 【解答】解：（1）如图所示：⊙O即为所求△ABC的外接圆； （2）∵∠A＝60°， ∴∠BOC＝2∠A﹣120°； （3）过点O作OD⊥BC于点D， ∵∠A＝60°，BC＝6， ∴∠COD＝60°，CD＝BC＝3， ∴sin∠COD＝， ∴OC＝＝2． 即⊙O的半径为2． 22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，以CD为直径作⊙O，交BC边于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为点F． （1）求证：EF为⊙O的切线； （2）若AC＝6，CD＝5，求DF的长． 【分析】（1）根据圆周角定理，直角三角形的性质以及等腰三角形的性质得出OE是三角形BCD的中位线，再根据平行线的性质得出OE⊥EF即可； （2）根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半求出斜边AB，由勾股定理求出BC，再根据中点的定义可得BE＝4，再由勾股定理求出DE，由三角形面积公式求出EF，最后由勾股定理求出DF即可． 【解答】（1）证明：如图，连接OE，DE， ∵CD是⊙O直径， ∴∠CED＝90°， 即DE⊥BC， ∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点， ∴CD＝BD， ∴点E是BC的中点， 又∵点O是CD的中点， ∴OE是△BCD的中位线， ∴OE∥AB， ∵EF⊥AB， ∴EF⊥OE， ∵OE是⊙O的半径， ∴EF是⊙O的切线； （2）解：∵CD是直角三角形ABC斜边中线，CD＝5， ∴AB＝2CD＝10， ∵AC＝6， ∴BC＝＝8， ∵点E是BC的中点， ∴BE＝BC＝4， 在Rt△BDE中，BD＝5，BE＝4， ∴DE＝＝3， ∵S△BDE＝DE•BE＝BD•EF，即3×4＝5×EF， ∴EF＝， 在Rt△DEF中，DE＝3，EF＝， ∴DF＝＝． 23．（14分）（1）发现：如图1，点B是线段AD上的一点，分别以AB，BD为边向外作等边三角形ABC和等边三角形BDE，连接AE，CD，相交于点O． ①线段AE与CD的数量关系为：　AE＝CD　；∠AOC的度数为　60°　． ②△CBD可看作△ABE经过怎样的变换得到的？　△CBD可看作△ABE绕点B顺时针旋转60°得到的　． （2）应用：如图2，若点A，B，D不在一条直线上，（1）中的结论①还成立吗？请说明理由； （3）拓展：在四边形ABCD中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠ADC＝45°，若AD＝8，CD＝6，请直接写出B，D两点之间的距离． 【分析】（1）①由等边三角形的性质得出AB＝BC，BE＝BD，∠ACB＝∠CAB＝∠ABC＝∠EBD＝60°，推出∠ABE＝∠CBD，由SAS证得△ABE≌△CBD，得出AE＝CD，∠BAE＝∠BCD，则∠CAE+∠BCD＝60°，由三角形内角和定理即可得出结果； ②由①得△ABE≌△CBD，由等边三角形的性质得∠EBD＝60°，即可得出结果； （2）由等边三角形的性质得出AB＝BC，BE＝BD，∠ACB＝∠CAB＝∠ABC＝∠EBD＝60°，推出∠ABE＝∠CBD，由SAS证得△ABE≌△CBD，得出AE＝CD，∠BAE＝∠BCD，则∠CAE+∠BCD＝60°，由三角形内角和定理即可得出结果； （3）过点C作CE⊥AD于E，过点B作BF⊥AD，交DA延长线于F，由∠ADC＝45°，得出△CDE是等腰直角三角形，得出CE＝DE＝3，则AE＝AD﹣DE＝8﹣3，证得∠ABF＝∠CAE，由AAS证得△BFA≌△AEC，得出AF＝CE＝3，BF＝AE＝8﹣3，DF＝AD+AF＝8+3，由勾股定理即可求得BD． 【解答】解：（1）①∵△ABC、△BDE都为等边三角形， ∴AB＝BC，BE＝BD，∠ACB＝∠CAB＝∠ABC＝∠EBD＝60°， ∴∠ABE＝∠CBD， 在△ABE和△CBD中，， ∴△ABE≌△CBD（SAS）， ∴AE＝CD，∠BAE＝∠BCD， ∴∠CAE+∠BCD＝60°， ∴∠AOC＝180°﹣∠ACB﹣∠CAE﹣∠BCD＝180°﹣60°﹣60°＝60°， 故答案为：AE＝CD，60°； ②由①知：△ABE≌△CBD， ∴AB＝BC，BE＝BD，AE＝CD， ∵∠EBD＝60°， ∴△CBD可看作△ABE绕点B顺时针旋转60°得到的， 故答案为：△CBD可看作△ABE绕点B顺时针旋转60°得到的； （2）若点A，B，D不在一条直线上，（1）中的结论①依然成立；理由如下： ∵△ABC、△BDE都为等边三角形， ∴AB＝BC，BE＝BD，∠ACB＝∠CAB＝∠ABC＝∠EBD＝60°， ∴∠ABE＝∠CBD， 在△ABE和△CBD中，， ∴△ABE≌△CBD（SAS）， ∴AE＝CD，∠BAE＝∠BCD， ∴∠CAE+∠BCD＝60°， ∴∠AOC＝180°﹣∠ACB﹣∠CAE﹣∠BCD＝180°﹣60°﹣60°＝60°； （3）过点C作CE⊥AD于E，过点B作BF⊥AD，交DA延长线于F，如图3所示： ∵∠ADC＝45°， ∴△CDE是等腰直角三角形， ∴CE＝DE＝＝＝3， ∴AE＝AD﹣DE＝8﹣3， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAF+∠CAE＝90°， ∵∠BAF+∠ABF＝90°， ∴∠ABF＝∠CAE， 在△BFA和△AEC中，， ∴△BFA≌△AEC（AAS）， ∴AF＝CE＝3，BF＝AE＝8﹣3， ∴DF＝AD+AF＝8+3， BD＝＝＝2． 学科网（北京）股份有限公司 $$